2 Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків

Разное

2.3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку. 1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно. Зробивши заміну: , одержимо рівняння -порядку . 2) Рівняння не містить явно незалежної змінної. Будемо вважати, що – нова незалежна змінна, а – функції від . Тоді Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку. 3) Нехай функція диференціального рівняння є однорідної щодо аргументів . Робимо заміну , де – нова невідома функція. Одержимо Після підстановки одержимо. Оскільки рівняння однорідне відносно , то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо диференціальне рівняння -порядку. 4) Нехай ліва частина рівняння є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто. У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл. 5) Нехай диференціальне рівняння , розписано у вигляді диференціалів і – функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну , де – нові змінні. Тоді одержуємо, , Підставивши, одержимо Скоротивши на одержимо . Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.

Похожие работы