ДЕМОКРИТ АргументыЗенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихсяматематических теориях. Тем самым факт существо вания математики был поставленпод сомнение. Какими же путями разрешались противоречия, выявленныеЗеноном? Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ отабстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощьюощущений. Такую позицию занял софист
Протагор. Он считал, что мы не можемпредставить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет этитермины геометрия в самом деле, круг касается прямой не в однойточке . Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать добесконечности бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким путемматематику можно сделать неуязвимой для рассуждений
Зенона, но при этомпрактически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее былопостроить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленныеЗеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил Демокрит, разработавконцепцию математического атомизма. Демокрит бал, по мнению Маркса, первымэнциклопедическим умом среди греков . Диоген Лаерций III в. н.э. называет 7О его сочинений, в которых былиосвещены вопросы философии, логики,
математики, космологии, физики, биологии,общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства,техники и другие. Аристотель писал о нем Вообще, кроме поверхностныхизысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такоевпечатление, что он предусмотрел все, даи в методе вычислений он выгодно отличается от других . Вводной частью научной системы Демокритабыла каноника , в которой формулировались и обосновывались принципыатомистической философии. Затем следовала физика, как наука о различныхпроявлениях бытия, и этика. Каноникавходила в физику в качестве исходного раздела, этика же строилась какпорождение физики. В философииДемокрита, прежде всего, устанавливаетсяразличие между подлинно сущим и тем, что существует только в общем мнении . Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота.
Как подлинно сущее, пустота небытие есть такая же реальность, как атомы бытие . Великая пустота безгранична и заключает в себе всесуществующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и возможным еедвижение. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественнооднородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру, положению и порядку, онидалее неделимы вследствие абсолютной твердости и
отсутствия в них пустоты и по величине неделимы . Атомам самим по себе свойственно непрестанноедвижение, разнообразие которогоопределяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и вконечном итоге является причиной всех изменений в мире. Задача научного познания, согласноДемокриту, чтобы наблюдаемые явления свести к области истинногосущего и дать им объяснение исходя из общих принципов атомистики.
Этоможет быть достигнуто посредством совместной деятельности ощущений и разума.Гносеологическую позицию Демокрита Маркссформулировал следующим образом Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, былэмпирическим естествоиспытателем . Содержание исходных философских принципов и гносеологические установкиопределили основные черты научного метода Демокрита а В познании исходить от единичного б Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов анализ и объяснимы исходя из них синтез в Различать существование поистине и согласно мнению г Явления действительности – это отдельные фрагменты упорядоченного космоса, который возник и функционирует в результате действий чисто механическойпричинности. Математика по праву должна считаться у Демокрита первымразделом собственно физики и следовать непосредственно
за каноникой. В самом деле, атомы качественно однородны и их первичныесвойства име ют количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как разновидностьпифагореизма, поскольку Демокрит хотя исохраняет идею господства в мире математической закономерности, но выступает скритикой априорных математических построений пи фагорейцев, считая, что числодолжно выступать не законодателем
при роды, а извлекаться из нее.Математическая закономерность выявляется Демокритом из явленийдействительности, и в этом смысле он предвос хищает идеи математическогоестествознания. Исходные начала матери альногобытия выступают у Демокрита в значительной степени как мате матическиеобъекты, и в соответствии с этим математикеотводится видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствахвещей. Однако включение математики в основание мировоззренческойсистемы потребовало ее перестройки,
приведения математики в соот ветствие с исходными философскимиположениями, с логикой, гносеоло гией, методологией научного исследования.Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией математического атомизма, оказалась существенноотличной от предыдущих. У Демокрита все математические объекты тела,плоскости, линии, точки выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости,линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процеду рой математическогоатомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики плоскости , плоскостей – на тончайшие нитки линии , линий – на мельчайшие зернышки атомы . Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далеенеделим. Теперь длина линии оп ределяется как сумма содержащихся в нейнеделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те ле.
Число атомов вконечном объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, чтонедоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от рассмотренныхранее является отрицание им беско нечной делимости. Таким образом, он решаетпроблему правомерности те оретических построений математики, не сводя их кчувственно воспри нимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассужденияПрота гора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием
Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, темменьше участок касания в действительнос ти же этот участок настолько мал, чтоне поддается чувственному ана лизу, а относится к области истинного познания. Руководствуясь положениями математическогоатомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований идостигает вы дающихся результатов например, теория математической перспективы и проекции . Кроме того, онсыграл, по свидетельству
Архимеда, немало важную роль в доказательстве Эвдоксомтеорем об объеме конуса и пи рамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовалсяли он при решении этой задачи методами анализа бесконечно малых.А.О.Маковельский пи шет Демокрит вступил на путь, по которому дальшепошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечномалого, Де мокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безг раничногоувеличения числа слагаемых, образующих всвоей сумме дан ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающеесяис числению вследствие своей огромности число этих слагаемых . Выдающимсядостижением Демокрита в математике явилась также его идея о построениитеоретической математики как системы. В зародыше вой форме она представляетсобой идею аксиоматического построения математики, которая затем быларазвита в методологическом плане
Платоном и получила логически развернутоеположение у Аристотеля.