–PAGE_BREAK–Много различных рекомендаций по построению систем (блоков) задач содержится в трудах Э. Г. Готмана, Т. М. Калинкиной, В. И. Мишина, Г. В. Токмазова, П. М. Эрдниева и др. Принципам построения систем задач посвящены работы Л. В. Виноградовой, М. И. Денисовой, В. А. Далингера. О. Б. Епишевой, В. И. Крупича, Е. Ю. Мигановой, Г. И. Саранцева, А. А. Папышева и др.
Обобщая результаты исследований, можем выделить следующие принципы построения системы задач,ориентированных на усвоение содержания элективного курса:
1. Принцип преемственности. Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, таккак уже в самом содержании задачи имплицитно «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т. д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса. Решение задач содействует лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, умению учащихся применять на практике общие теории. Все это показывает, что задачам должно придаваться не меньшее значение, чем теоретическим знаниям.
2. Принцип связи теории с практикой. В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи «должны не только заключать изучение теорем, понятий, но и предшествовать, и сопутствовать ему, то есть, выступать в качестве средства усвоения знаний» (Г. И. Саранцев).
З. Принцип полноты, то есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т. д.), установить межпредметные связи. Последние, в свою очередь, рассматриваются как средство внесения элементов творчества в мыслительную деятельность каждого учащегося (И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин и др.) и являются необходимым условием формирования мировоззрения учащихся.
4. Принцип контрастности ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (И. Я. Грудёнов, Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами. Из требования контрастности заданий непосредственно следует необходимость уже на самых первых этапах изучения темы предлагать учащимся нестандартные упражнения, не ограничиваясь однообразными типовыми задачами.
5. Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приемам. Эвристические приемы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на факультативных занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приемам.
В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приемов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, прием элементарных задач, прием моделирования и т. д. В литературе также выделяются и другие эвристические приемы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т. д. При этом одни приемы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие — отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы). Системы задач, соответствующие каждой теме нашего элективного курса, охватывают практически все типы способов их решения.
6. Принцип формирования исследовательских умений. В методической и научной литературе нет единого и точного определения этого понятия. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем. Доказательство или опровержение гипотезы обычно сводится к доказательству соответствующей гипотезы математического факта. Основная же эвристическая деятельность учащихся связана с выдвижением гипотез. Создание гипотезы в учебных исследованиях основывается на аналогии, сравнении, исследовании предельных случаев, наблюдении, интуиции, опыте и суждениях.
1.1.4 Некоторые методы обучения на элективных курсах
Методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся. Ведущее место в обучении на элективном курсе следует отвести методам поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся. К ним относят:
· проблемный рассказ, когда учитель в ходе изложения учебного материала доказывает, анализирует и обобщает факты, помогая учащимся активизировать свою мыслительную деятельность;
· эвристическая и проблемно-поисковая беседа, когда учитель ставит перед учащимися ряд последовательных и взаимосвязанных между собой вопросов, отвечая на которые они должны высказать некоторые предположения и попытаться их доказать;
· исследовательские лабораторные работы. Они проводятся до изучения теории и ставят учеников перед необходимостью сделать некоторые учебные «открытия»;
· проблемно-поисковые упражнения чаще применяются в том случае, когда ученики могут самостоятельно по заданию учителя выполнять определенные виды действий. В процессе решения практических задач ученики не применяют, а именно усваивают новые элементы знаний, которые потом осмысливают и применяют на практике и др. методы.
Значительной должна быть доля самостоятельной работы с различными источниками учебной информации.
При определении форм учебных занятий следует исходить, прежде всего, из специфических целей курса. Поскольку в принципе не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты изучения, как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах.
В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, то следует оговорить минимальную численность учебной группы.
Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем.
Л.В. Федяева предлагает применять активные методы работы, что позволяет повысить у учащихся интерес к предмету, улучшить взаимодействие между учащимися на занятии и, следовательно, сделать проведение элективного курса наиболее эффективным [36]. Л. В. Федяева предлагает использовать следующие методы.
Метод проектов
В методической литературе под проектом подразумевают «специально организованный учителем и самостоятельно выполненный учащимися комплекс действий по решению значимой для учащегося проблемы, завершающийся созданием продукта», а под методом проектов — «технологию организации образовательных ситуаций, в которых учащийся ставит и решает собственные проблемы, и технологию сопровождения самостоятельной деятельности учащегося» [10].
В настоящее время метод проектов — это способ организации самостоятельной деятельности учащихся, интегрирующий проблемный подход, групповые методы, рефлексивные, исследовательские, поисковые и прочие методики.
Метод проектов предусматривает использование разнообразных методов и средств обучения конкретному предмету и необходимость интегрирования знаний и умений из различных областей. Итогом выполненной работы является конкретный продукт: если перед учеником была поставлена теоретическая проблема, ее решение должно быть оформлено в виде информационного продукта, если чисто практическая — итогом должен стать конкретный продукт, готовый к потреблению.
При этом установлено, что метод проектов позволяет наименее ресурсозатратными способами создать условия деятельности, максимально приближенные к реальным. По своей сути проектирование — вид деятельности, который характеризуется как способ планирования и осуществления запланированного.
Проектная деятельность включает следующие этапы:
• разработка проектного замысла (анализ ситуации, анализ проблемы, целеполагание, планирование);
• реализация проектного замысла (выполнение запланированных действий);
• оценка результатов проекта.
Метод проектов — это педагогическая технология и поэтому требует следования логике и принципам проектной деятельности. Работу над проектом можно разбить на пять этапов, соответствующим этапам продуктивной познавательной деятельности:
1) проблемная ситуация;
2) проблема, заключенная в ней и осознанная человеком;
3) поиск способов разрешения проблемы;
4) решение;
5) оценка.
Метод реферативно-исследовательской деятельности
Реферативно-исследовательская деятельность учащихся под руководством высококвалифицированных специалистов считается индивидуальным методом обучения, то есть, определяется как метод обучения, связанный с решением творческих исследовательских задач с заранее неизвестным решением.
Организация деятельности учащихся в соответствии с этим методом предполагает наличие следующих этапов работы:
• постановка проблемы (задачи);
• изучение теории и методики исследования;
• сбор, самостоятельный анализ и обобщение материала;
• собственные выводы и оформление реферата.
Тематика и содержание рефератов определяется исходя из предметного материала конкретных математических дисциплин и предполагает обобщение известных результатов, решение математических задач, доказательство утверждений, изучение новых методов решения уравнений и неравенств, разработку и использование математических, алгоритмических, графических моделей реальных объектов и явлений.
Метод использования информационных и коммуникационных технологий
Использование компьютера в обучении открывает широкие возможности для внедрения новых учебных технологий и позволяет достигать лучших результатов с наименьшей затратой сил и времени. Подобная технология отвечает как интересам школы, так и интересам учащихся.
Использование информационных технологий позволяет учителю экономить время, широко использовать дифференциацию в работе с учащимися, оперативно контролировать и оценивать результаты обучения, а ученику — работать в комфортном для него темпе. Применение образовательных информационных технологий способно значительно повысить эффективность и качество обучения за счет активизации деятельности учащихся, реальной индивидуализации учебного процесса, гуманизации его построения [36].
Конечно, это лишь некоторые методы, которые можно использовать в процессе проведения занятий элективных курсов. Выбор методов предоставляется учителю и будет зависеть от содержания курса.
Таким образом, элективные занятия позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, математическую культуру, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки.
Кроме того, они способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Элективные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учетом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся. Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы [20].
1.2 Межпредметные связи в курсе начал анализа в старших классах гуманитарного профиля
1.2.1 Понятие, функции и типы межпредметных связей
В настоящее время, пожалуй, нет необходимости доказывать важность межпредметных связей в процессе преподавания. Современный этап развития науки характеризуется взаимопроникновением наук друг в друга, и особенно проникновением математики и ее методов в другие отрасли знания.
Необходимость связи между учебными предметами диктуется также дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, связью обучения с жизнью, подготовкой учащихся к практической деятельности. Осуществление межпредметных связей помогает формированию у учащихся цельного представления о явлениях природы и взаимосвязи между ними.
Часто учебные программы рассчитаны на абстрактно-способного ученика, которому все интересно и который изучает предметы для своего удовольствия. Для остальных учеников изучение одних предметов будет удовольствием, других – безразлично.
Реализация межпредметных связей дает возможность экономнее во времени определить структуру учебного плана. Все отрасли современной науки связаны между собой, поэтому и школьные учебные предметы не могут быть изолированы друг от друга. Межпредметные связи являются условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создает благоприятные условия формирования общеучебных умений и навыков, установление таких связей повышает эффективность практической направленности обучения [22].
В педагогической литературе имеется более 30 определений понятия «межпредметные связи». Впервые понятие это понятие было использовано Ю.А. Самариным в книге «Очерки психологии ума» [32].
Многообразие научных позиций, существующих по данным вопросам, обосновано сложностью и многоаспектностью проблемы межпредметных связей. Выделим некоторые подходы к определению этого понятия, встречающиеся в педагогической и методической литературе.
В работах В. Н. Максимовой межпредметные связи составляют необходимое условие организации учебно — воспитательного процесса как целенаправленной системы. Они выступают как средство комплексного подхода к обучению. В учебной деятельности учащихся реализация межпредметных связей служит дидактическим условием ее активизации, систематизации знаний, формирования самостоятельности мышления и познавательного процесса [25].
В. Н. Федорова дает следующее определение: межпредметные связи — это дидактическое условие, обеспечивающее последовательное отражение в содержании школьных предметов взаимосвязей, действующих в природе [35].
Н. А. Лошкарева рассматривает межпредметные связи, как самостоятельный дидактический принцип, который призван соединить в себе ряд требований, предъявляемых к содержанию образования, к знаниям, умениям и навыкам учащихся, а также к методам и приемам обучения [23].
Г. И. Вергелес в своих работах писал о том, что межпредметные связи могут выступать как один из путей формирования учебной деятельности, потому, что реализация межпредметных связей создает благоприятные условия для формирования в единстве содержательных, операционных и мотивационных компонентов учебной деятельности [5].
В. Н. Максимова пишет об осуществлении межпредметных связей на разных уровнях: на уровне предметов, принадлежащих к разным циклам, на уровне предметов одного цикла, принадлежащих одной группе или разным группам предметов и на внутрипредметном [25]. Все эти связи подвижны, переходят одна в другую.
В данной работе нас будут интересовать взаимосвязи на межцикловом уровне, а именно связь математики с гуманитарными дисциплинами. На первый взгляд сложно говорить о такой взаимосвязи, но на самом деле этот вопрос очень важен. Например, можно понимать язык математических формул, как особый способ записи информации любого характера. Кроме того, некоторые методы математики используются в смежных, а иногда, как в нашем случае, и в отдаленных областях знаний. Например, математические методы применяются даже в лингвистике (математическая лингвистика), не говоря уже об экономике, где математическое моделирование выступает важнейшим методом изучения материала. В гуманитарных дисциплинах часто многие процессы описываются графиками и схемами, то есть широко используется графические методы математики. Не стоит забывать и о том, что математика, в особенности математика старших классов (начала анализа) формируют умения логического характера: анализ, синтез, конкретизация, сравнение, аналогия. Формировать эти умения необходимо и у учащихся гуманитарных классов, и именно математика в большей степени способствует этому.
продолжение
–PAGE_BREAK–Гуманитарная ориентация обучения математике создает новый для обучения аспект межпредметных связей – взаимосвязей между обучением математике и языку, как родному, так и иностранному. Нет особой необходимости доказывать важность владения реальным математическим языком для развития логического мышления учащихся – этот тезис общепризнан, но следует заметить, что логика относится не только к математике, но и к языку и мышлению в целом. Грамотный математический язык является свидетельством четкого и организованного мышления и владение этим языком распространяется и на владение естественным языком.
Связи между естественным и математическим языком очевидны, при этом существенное значение имеют две «противоположные» особенности математического языка: его точность и строгость, как искусственного языка, особенно в части терминологии и символики, и определенная неоднозначность, свойственная математическому языку именно как средству коммуникации. В последнем отношении математический язык обладает всеми свойствами естественного языка. Реальному математическому языку свойственны многие особенности естественных языков — метафоричность, зависимость значений символов от контекста. Как и для естественных языков, для математического существенными являются взаимосвязь между синтаксисом и семантикой. В этом плане особенно важны взаимосвязи между изучением всех трех предметов – сопоставление соответствующих явлений в математическом, родном и иностранном языках может способствовать и совершенствованию обучения школьников по всем трем предметам.
Таким образом, важность и возможность осуществления межпредметных связей, казалось бы несовместимых предметов – математики и языков – понятна.
На уроках математики, особенно в старших классах, нужно показывать учащимся, что математика, отражая формы и отношения материального мира, является наукой о математических моделях реальной действительности. Понятия числа, фигуры, функции, производной, интеграла, вектора отражают многообразие процессов реальной действительности и только поэтому применяются для решения прикладных задач и задач других школьных предметов. Преподавая новую теорию, всегда необходимо показывать ученикам применение ее в других дисциплинах. В результате этого учащиеся будут глубже и сознательнее усваивать изученное, лучше ориентироваться в самой математике. Для учащихся огромное значение имеет действительный показ использования математических понятий в других науках. Математика тем и полезна, что ее формулы, методы, алгоритмы могут использовать физики, химики, биологи и представители других наук.
Конечно, желательно реализовывать межпредметные связи на каждом уроке, но когда мы говорим о классах гуманитарного профиля, то наиболее благоприятной формой работы будут элективные курсы.
1.2.2 Особенности содержания и методические рекомендации по преподаванию математики в старших классах гуманитарного профиля
В 10-11 классах дифференциация образования приобретает систематический характер. Математика входит в число обязательных учебных предметов, однако она может иметь разный удельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимого на ее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала.
В соответствии с общими целями обучения математике выделяются разделы, общие для всех профилей обучения: числа, уравнения, функции и их графики, геометрические величины и их измерения, начала теории вероятностей и статистики [15].
Говоря о содержании любого курса математики, независимо от особенностей школы, можно выделить три основных аспекта: логический, «образный» и технический [8]. Для гуманитарной школы наиболее важен первый из них. Уметь работать с понятиями, строить классификации, отделяя существенные признаки от несущественных, проводить строгие рассуждения – вот главное, чему должен научиться в курсе математики ученик гуманитарного класса. Но математика не только школа логического мышления; это еще и источник образов. Ее образный аспект, безусловно, очень важен для людей с гуманитарными интересами. Уметь видеть разнообразные формы в их пространственном и плоскостном изображении, распознавать конфигурации, представлять себе вид графика функции, зная ее свойства, — все это способствует развитию воображения и эстетического чувства. И речь идет не только о зрительных, геометрических образах. Например, с понятием производной связывается образное представление о скорости протекания процесса, с тождественными преобразованиями — представление о сложности выражения. Технический («вычислительный») аспект математики в гуманитарной школе не играет первостепенной роли. Но ее выпускнику, как всякому современному человеку, придется время от времени производить разнообразные вычислительные операции, не говоря уже о том, что идея числа как одного из основных элементов культуры должна войти в сознание будущего гуманитария.
Курс математики в классах гуманитарного профиля должен обеспечить усвоение учениками минимума знаний. Акцент в содержании математического образования делается на раскрытии роли математики как элемента человеческой культуры, развитии у учащихся образного представления о математических явлениях и закономерностях.
Еще несколько лет назад существовало мнение, согласно которому преподаванию математики в нематематических классах должна отводиться лишь второстепенная роль. Сейчас же наоборот, значение математического образования в этих классах не только не меньше, но даже и больше, чем в классах математических. Ведь учащиеся гуманитарных классов завершают в средней школе свое математическое образование. Они не смогут в будущем осознать философию математики, увидеть историю, как это сделает другая часть молодежи, изучая математику в вузах. В программах по математике для гуманитарных классов больше места должны занять вопросы мировоззренческого характера, факты из истории математики, описания ее приложений в различных областях ее деятельности. Ведь математика по своей сути является гуманитарным предметом, призванным всесторонне развивать личность ученика, отшлифовывать логику его рассуждений и научить правильно ориентироваться в окружающей обстановке. Использование гуманитарного потенциала математики, ее межпредметных связей с профильными предметами позволит школьникам глубже уяснить содержание последних, а тем самым превратить ее из второстепенного в существенно важный и полезный предмет. При составлении программ по математике для гуманитариев нельзя руководствоваться принципом «урезания» более сложной программы, сокращения ее объема и «облегчения». Следует изменить номенклатуру изучаемых вопросов курса, форму подачи учебного материала [14].
Учащихся старших классов, выбравших гуманитарный профиль, отличает от учащихся других профилей не только уровень интереса к математике, но и психолого-педагогические особенности восприятия предмета:
1. У учащихся гуманитарных классов преобладает нагладно-образное мышление, а математических – абстрактно-логическое.
2. Восприятие красоты математики у учащихся гуманитарных классов направлено на ее проявление в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных математических объектах. Учащиеся математических классов красоту математики видят в необычных, неожиданных решениях задач.
3. На уроке в гуманитарном классе внимание устойчиво в среднем не более 12 минут. В математических классах этот показатель колеблется от 20 до 25 минут.
4. У гуманитариев наибольшим интересом пользуются вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал. Математики предпочитают решение нестандартных задач, исследовательских проблем.
5. Из форм работы на уроке гуманитарии предпочитают следующие: объяснение учителем нового материала, лабораторные работы, деловые игры, выполнение индивидуальных заданий. Математики – решение проблемных, исследовательских задач.
6. Из методов самостоятельной работы гуманитарии выбирают коллективные, математики чаще действуют совершенно индивидуально.
7. У гуманитариев богаче воображение, чем у математиков [33].
Рассмотренные психолого-педагогические особенности, беседы с учащимися-гуманитариями и учителями математики, посещение уроков математики в гуманитарных и общеобразовательных классах, а также изучение методической литературы свидетельствуют о необходимости выделения методических рекомендаций по преподаванию математики в гуманитарных классах [16]. Укажем их.
1. Этап мотивации изучения отдельных элементов математического содержания является в классах этого профиля наиболее важным. Поскольку дальнейшая деятельность учащихся классов этих профилей в основном никак не связана с математикой, вопрос зачем? со стороны учеников при изучении того или иного математического факта ставит в тупик многих учителей.
2. Учащиеся гуманитарного профиля более других нуждаются в том, чтобы теоретический материал получал подкрепление на примерах, доступных моделях и т. д. Например, при изучении темы «Многогранники» обязательна демонстрация моделей выпуклых, правильных, полуправильных многогранников, так же приведение примеров из окружающей среды.
3. Необходимо обращать внимание на выполнение перехода с обычного языка на математический, который применяется при решении текстовых задач на составление уравнений, их систем, при записи условия теоремы и в других случаях. Так, учащиеся гуманитарных классов часто делают ошибки, когда содержание математического термина отличается от употребления этого же слова в повседневной жизни. Например, если требуется сформулировать высказывание, обратное данной теореме, то учащиеся часто формулируют не обратное, а противоположное утверждение. Причина этого кроется в том, что под математическим термином «обратное утверждение» понимается повседневное значение «наоборот», т. е. некоторое отрицание.
4. Учащиеся гуманитарных классов в основном оперируют готовыми формулами, теоремами и т.д. Поэтому затрудняются, когда способ решения не виден сразу или приходиться комбинировать несколько различных приёмов. В процессе работы в гуманитарном классе надо помогать учащимся за деталями увидеть сущность приема или метод решения, расчленять задачу на подзадачи.
5. При работе над задачей или теоремой ориентировать учащихся на необходимость рассмотрения всех возможных случаев расположения фигур, комбинации объектов, удовлетворяющих условию.
6. Давать самостоятельно проводить классификации понятий приведением контрпримеров. Раскрывать взаимосвязь между родственными понятиями, их свойствами и признаками. Нацеливать школьников на их самостоятельное выделение, показывая при этом необходимость и пользу такой проработки.
7. Учить школьников отличать признаки и свойства понятий, необходимые и достаточные условия, правильно использовать их. Например, предлагать задание выбрать из общего списка признаки данного понятия, его свойства, необходимые и достаточные условия. Учить устанавливать взаимосвязь между свойствами и признаками родственных понятий.
8. Обратить внимание учащихся на то, что сочетания «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда» и «если, то» не являются тождественными. Объяснять суть встречающихся логических операций. Тщательно вскрывать взаимосвязь между прямым и обратным действиями, взаимно обратными понятиями, учить обратную операцию использовать как для самопроверки, так и для уменьшения нагрузки на память. Обратное действие (понятие) формировать уже с опорой на сформированное прямое действие.
9. Подбирать задачи, содержательная сторона которых соответствует реальной действительности. По возможности использовать для них материал, отвечающий интересам учащихся, имеющий положительную эмоциональную окраску.
10.Формы проведения уроков должны быть более разнообразными. Это может быть урок-лекция, урок-семинар, урок-диспут, урок-диалог (между двумя учителями или между учителем и кем-то из учеников), урок-детектив, на котором решаются разнообразные логические задачи с занимательным сюжетом, урок лабораторная работа, урок-зачёт, практикум по решению прикладных задач, бинарные уроки по темам, имеющим межпредметные связи с другими предметами и другие. На уроках-диалогах полезны диалоги между учителями математики и гуманитарных предметов, в которые вовлекаются и ребята. На таких уроках учащиеся овладеют культурой диалога — важнейшей формой общения. Подобные уроки предъявляют высокие требования к уровню математической и гуманитарной подготовки учителей.
На факультативных занятиях могут подробно обсуждаться приложения математики к различным гуманитарным дисциплинам, используемые в них математические модели.
11.Лекции учителя дополнять сообщениями, докладами, рефератами учащихся с историческими экскурсами, занимательными материалами, личными рисунками, рассказами, стихами и т. д.
12.Эффективности усвоения предмета способствует эстетическая направленность математического образования. Она может быть представлена в содержании обучения, а именно, в математических основах законов красоты в искусстве и природе (пропорция, периодичность, симметрия и др.), в красоте математического доказательства, в красивом решении задач.
13.В содержание курса математики гуманитарного профиля обязательно должны включаться богатые в эмоциональном отношении эпизоды истории развития алгебры, геометрии, математического анализа и других дисциплин, знакомящие школьника с трудной борьбой идей, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, их творчеством и биографией. Связывать вводимые константы, понятия, формулы, теоремы, где возможно с историческими фактами. Например, иррациональное число е, равное 2,718281828… имеет такую особенность, что в его записи присутствует число 1828, являющееся годом рождения Л.Н. Толстого. Введение элементов истории математики в процесс обучения можно осуществить, включая в основной текст новой темы краткие биографические очерки о жизни тех выдающихся личностей, у которых большое математическое дарование сочеталось с проявлением творческого интереса к живописи, скульптуре, поэзии и другим видам искусства (Леонардо да Винчи, Софья Ковалевская и др.). При введении нового математического термина или символа целесообразно объяснять истоки их возникновения, а при изучении новой темы стараться показать, как исторически возникла необходимость ее рассмотрения.
14.Не забывать о роли наглядности в обучении математики. Выделим некоторые особенности использования наглядности в гуманитарных классах:
1. При рассмотрении вопросов математики в гуманитарном классе основной акцент целесообразно сделать на использование геометрических знаний в живописи, архитектуре и т.п.; — при доказательстве теорем наглядность может выступать как основа доказательства.
2. При выполнении лабораторных работ по математике задания должны быть в большей степени ориентированы на практические построения, вычисления, преобразования.
3. Для облегчения запоминания гуманитариями изучаемого материала, его систематизации целесообразно в большей степени использовать опорные сигналы, конспекты и т.п.
Среди всех перечисленных особенностей преподавания математики в классах гуманитарного профиля особо выделим необходимость осуществления межпредметных связей. Ведь именно в гуманитарных классах математика должна преподаваться не ради предмета, а быть средством познавательной деятельности. Нужно отметить, что в большей степени межпредметные связи математики и гуманитарных дисциплин будут осуществляться в содержании занятий элективного курса, но также возможно было бы реализовать эти связи и через методы наук. Примеры таких межпредметных связей будут рассмотрены во II главе.
Многие выделенные методические рекомендации полезны не только гуманитариям, но гуманитариям особенно.
Таким образом, мы рассмотрели теоретические основы проведения элективных курсов, а также понятие межпредметных связей. Можно сделать следующие выводы:
1. Элективные курсы являются неотъемлемой частью профильной школы.
2. Между математикой и гуманитарным дисциплинами просматриваются достаточно тесные взаимосвязи.
3. Одним из условий успешной реализации межпредметных связей является применение математического аппарата для решения прикладных задач.
продолжение
–PAGE_BREAK–
продолжение
–PAGE_BREAK–Номер Клетки
1
2
3
4
5
6
Количество Зерен
1
7
8
9
10
11
…
63
64
Из этой таблицы следует, что на клеточку номер n нужно положить зерен, например, на клеточку номер 11 нужно положить зерен, а на клеточку номер 21 — зерен и т. д. Для того, чтобы подсчитать величину награды, мы должны сложить зерна, лежащие на всех клеточках шахматной доски:
Заметим, что есть 64 числа , которые образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, последний — и знаменатель q = 2. Сумма членов такой последовательности вычисляется по формуле:
Применим к нашему случаю и получим:
Читается это гигантское число так: восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать. Такую награду должен дать царь Шерам изобретателю шахмат Сете. Представим себе тот объем, который занимает такое количество зерна. Известно, что 15000000 зерен пшеницы вмещается в 1 кубический метр. Разделив S на 15000000, мы получим, что награда должна занять 12 000000000000 м3 — двенадцать триллионов кубических метров. Для того, чтобы поместить такое количество зерна, достаточно, например, построить амбар, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами 8 м и 10 м, а высота равна 150000000000 м = 15000000 км, что совпадает с расстоянием от Земли до Солнца! Совершенно ясно, что такого количества зерен нет ни у какого царя и выполнить просьбу Сете невозможно!
После того, как была рассказана эта легенда, можно переходить непосредственно к самой показательной функции.
Вернемся к количеству зерен, который нужно положить в клетку номер n шахматной доски. Обозначим это число через .Тогда
Таким образом, мы определили на множестве натуральных чисел функцию f , значения которой находятся по формуле: .
Заметим, что если некоторая величина на каждом шагу увеличивается вдвое, то она очень быстро возрастает. Такой рост характерен и для живых существ, если у них нет естественных врагов и достаточно ресурсов(пищи, воды, территории и т. д.). Например, когда однажды в Австралии оказалось на воле пара кроликов, то они размножались настолько быстро, что превратились в угрозу всему сельскому хозяйству страны.[6]
Такие несложные примеры из различных областей знаний, которых можно привести множество, помогают учащимся осознать естественную необходимость существования и изучения понятия показательной функции.
Что касается второго способа, то есть показа применения изучаемого понятия в области предмета, являющегося профильным, то возможен такой вариант. После того, как будет введено число е, на занятии элективного курса нужно установить связь числа е с формулой сложных процентов.
Еще в Древнем мире было широко распространено ростовщичество — дача денег в долг под процент. В Древнем Вавилоне Лихва составляла до 20% в год. При этом, если должник не возвращал вовремя долг, на следующий год проценты начислялись уже не только на основную сумму долга, но и на наросшие проценты и т. д. Во многих случаях это приводило к тому, что должник оказывался несостоятельным и попадал в рабство.
Рассмотрим задачу:
Взята в долг сумма а рублей. Какую сумму надо отдать через n лет, если деньги взяты под р % в год?
Ясно, что за первый год нарастает сумма равна и общая сумма долга равна (рублей). На второй год проценты начисляются уже на сумму и составляют сумму , а потому общая сумма долга равна: . Аналогично, к концу третьего года долг будет составлять , четвертого: . Вообще через n лет сумма долга составит: .
Полученное равенство называют формулой сложных процентов.
Эту формулу применяют для вычисления суммы и в том случае, когда число протекших лет не является целым. Именно, через х лет надо выплатить сумму рублей.
При а=1 эта формула принимает вид: и задает показательную функцию с основанием: .
При р=100 имеем .
Предположим теперь, что начисление процентов происходит не ежегодно, а ежемесячно, но зато процентная ставка в 12 раз меньше. Тогда через х лет сумма долга будет выражаться формулой .Вычисления показывают, что Если начисление процентов будет производиться ежедневно, но процентная ставка будет в 365 раз меньше (29 февраля начисления не производятся), то через х лет сумма долга будет выражаться формулой: . Вычисления показывают, что: .
Это значение весьма близко к значению числа е. Можно показать, что по увеличению n значение числа приближается к е.
Другие примеры применения показательной и логарифмической функции в различных областях знаний представлены в приложении 1.
Использование таких примеров полезно при введении понятия показательной и логарифмической функции и их свойств.
Учащиеся отвлекаются от сухого изложения материала, формул, которые просто заучивают наизусть, не понимая зачем. Такие примеры позволяют осмысленно применять знания и, пожалуй, самое главное, делают изучение математики интереснее и легче.
Третий способ осуществления межпредметных связей может быть реализован с помощью задач, содержание которых связано профилирующим предметом. Отбирать задачный материал для данного элективного курса необходимо, учитывая принципы, выделенные в I главе.
После того как была установлена связь числа е с формулой сложных процентов можно предложить учащимся следующие задачи:
1. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод. Порфирий Владимирович сидит в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила их в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей. Предполагается, что Порфирию в момент счета было 53 года. Попробуйте установить, по скольку процентов платил в год ломбард.
2. На покупку новой техники фермер взял в банке 20000 рублей. Вычислите сумму долга, если деньги были взяты 6,5 лет тому назад и процентная ставка равна 4%.
3. В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 сроком на 5 лет по 15% годовых. Какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока?
4. В магазине «Обувь для Вас» цену на весь товар сначала повысили на 10 %, а через месяц снизили на 10 %. Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой?
5. За 3 года работы количество читателей в библиотеке увеличилось со 100 человек до 1080. Найдите средний годовой процент увеличения количества читателей.
6. Участник лотереи выиграл 5000 рублей и положил их на хранение в банк. За хранение денег Сбербанк начисляет 8% годовых. В течении 5лет вкладчик не снимал деньги со счета. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет? Запишите формулу для вычисления количества денег на счете через n лет.
7. В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивается на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличилось число автомобилей за 5 лет?
Соответствие предложенных задач с выделенными в I главе принципами достигается за счет:
·связи задач с материалом, изученным на уроке: формула сложных процентов уже известна учащимся;
·сюжета задач;
·используемых методов работы с задачей. Главным образом применяются эвристические приемы: беседа, поиск сходной задачи среди ранее решеных, переформулировка задачи и др.
·формулирования вопросов задачи, то есть использования задач просто на нахождение какой-то величины, на оценку величины, на вывод закономерности.
Рассмотрим, какие методы работы с учащимися лучше использовать во время проведения элективного курса. Учитывая особенности учащихся гуманитарных классов, лучше использовать активные методы, некоторые из которых были выделены в I главе: метод проектов, метод реферативно-исследовательской деятельности, метод использования информационных и коммуникационных технологий. Так, например, учащимся можно предложить проекты, касающиеся свойств показательной и логарифмической функции:
· Свойства показательной и логарифмической функций.
· Преобразование графиков показательной и логарифмической функций.
Такие проекты будут иметь своей целью систематизацию знаний и полное исследование данных функций, особенное внимание должно быть обращено исследованию методами математического анализа и вопросам преобразования графиков функций.
· Использование свойств показательной и логарифмической функции при решении уравнении и неравенств.
Цель такого проекта – выделить, какие типы уравнений и неравенств можно легко решить с помощью свойств функций.
Все проекты требуют серьезной подготовки, но привлечь внимание учащихся можно, используя для реализации таких проектов информационные технологии. С проектами учащиеся выступают на занятии.
Другие вопросы элективного курса будут с интересом восприниматься учащимися, если предложить им различные доклады, то есть использовать метод реферативно-исследовательской деятельности. Например:
· Применение логарифмов в природе.
· Применение логарифмов в технике.
· Применение логарифмов в музыке.
· Применение логарифмов в живописи.
· Логарифмы и звезды.
Такие доклады наилучшим образом способствуют установлению межпредметных связей.
Не стоит забывать о таких творческих заданиях, как составление кроссвордов и чайнвордов, которые можно предложить для решения учащимся на заключительных занятиях.
Метод использования информационных технологий может применяться во всех вышеперечисленных видах работ при выборе соответствующего материала, что позволит повысить интерес к предмету, освоить некоторые компьютерные технологии (создание публикаций, презентаций), сделать свои проекты и доклады наглядными и интересными.
Мы рассмотрели, как можно реализовывать межпредметные связи за счет содержания излагаемого материала. Выше было отмечено, что также возможно осуществление связей и через частичное использование на занятиях по математике методов профилирующей науки.
У каждой науки есть свои специфические методы. В математике, например, это векторный метод, метод геометрических преобразований, метод уравнений и неравенств и другие. Рассмотрим, как методы, специфические для других наук, могут быть использованы в обучении математики.
Специфическими методами изучения экономики являются методы анализа и математического моделирования. Построение математических моделей можно широко использовать и на элективных курсах по алгебре и началам анализа, например, построение моделей работы предприятия, спроса и предложения на товары. Построение всех этих моделей нуждается в хорошем знании показательной и логарифмической функций.
В исторических науках часто применяются сравнительные методы. При изучении математики эти методы также имеют место. Особенно полезны эти методы при сравнении показательной и логарифмической функций, их графиков и свойств.
В литературе часто применяется метод художественного перевода. На уроках иностранных языков также широко используется перевод с одного языка на другой. На уроках математики можно реализовывать этот метод, предлагая учащимся задания, где необходимо перевести задание с естественного языка на язык математики, то есть записать некоторое математическое предложение с помощью формул, и наоборот.
Например: 1) Имеется график функции , требуется описать все свойства этой функции; 2) Имеется словесное описание показательной функции:
· Область определения — множество действительных чисел – R;
· Множество значений – множество всех положительных действительных чисел — ;
· Функция возрастает на всей числовой прямой;
· Известно, что .
Требуется записать функцию формулой и схематично построить ее график.
Конечно, при проведении элективных курсов в гуманитарных классах желательно использовать разнообразные, нестандартные формы, приемы и средства проведения занятий. В качестве формы проведения занятия можно использовать урок-путешествие (особенно при рассмотрении некоторых исторических фактов), урок-диспут (можно использовать такую форму на обобщающем занятии при сравнении показательной и логарифмической функции), различные лабораторные работы. На каждом таком уроке межпредметные связи будут в большей части осуществляться за счет содержания.
Выбирая формы работы с учащимися, не стоит говорить о том, какие из них предпочтительнее для реализации межпредметных связей, так как на различных уроках используются различные формы: индивидуальная, групповая и фронтальная. Выбор формы будет существенно зависеть от особенностей класса и излагаемого материала.
Таким образом, мы кратко охарактеризовали элективный курс по теме «Показательная и логарифмическая функции» с точки зрения реализации межпредметных связей. Было показано, как осуществить эти связи на основе содержания материала и методов профилирующих наук, приведены примеры задач, которые могут быть использованы на элективном курсе, даны некоторые методические рекомендации.
2.2.2 Производная и ее приложения
Для начала предложим примерный план занятий элективного курса по данной теме
№
Тема
Краткое содержание
Часы
1
Понятие производной, ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали.
1. Повторить основные понятия, связанные с производной.
2. Геометрический смысл производной.
3. Механический смысл производной.
4. Показать, как решаются задачи с использованием уравнения касательной.
2
2
Вычисление производной. Правила дифференцирования.
1. Показать несколько способов вычисления производной (по определению через предел, с помощью таблицы производных).
2. Решение заданий с применением правил дифференцирования.
2
3
Как появилась производная? (Урок-экскурсия в прошлое)
1. Интересные исторические факты, связанные с возникновением и развитием понятия производная.
2. Доклады учащихся.
1
4
Исследование функций
1. Показать, как применять производную для исследования функций (исследование на максимум и минимум; нахождение второй производной и исследование функции на выпуклость, построение схематических графиков функций)
2
5
Применение производной
1. Показать учащимся возможность применения производной в других науках и повседневной жизни
2
6
Метод математического моделирования
1. Дать понятие математического моделирования
2. Привести простейшие примеры использования математического моделирования
2
7
Задачи на оптимизацию
1. Определить класс задач на оптимизацию и показать преимущества решение таких задач с помощью производной
2
Производная — одно из фундаментальных понятий математики. Основной целью проведения занятий элективного курса является показать широкое применение производной в различных науках (математике, физике и технике, естествознании и химии, сельском хозяйстве и военном деле, экономике).
продолжение
–PAGE_BREAK–В математике производная применяется для вычисления производной, исследования функций, в практических задачах оптимизации.·В физике с помощью производной находится сила, мощность, масса тонкого стержня, сила тока, скорость и ускорение, теплоёмкость.·В химии и естествознании – для нахождения дозы лекарства, при которой побочный эффект будет минимальным, а реакция максимальной.·В экономике – для анализа производственных функций, широко используемых в современных экономических исследованиях.
Кратко охарактеризуем этот курс. Элективный курс является предметным с практической направленностью, цель которого – повторение, углубление и обобщение материала, расширение кругозора учащихся, более подробное рассмотрение вопросов, связанных с применением производной в других науках, использования производной для исследования функций и решения задач на оптимизацию. Но так как курс рассчитан для проведения в гуманитарных классах, то в нем достаточно большую часть занимает материал прикладного характера, то есть, обращение к историческим фактам, решение практических, занимательных задач. Вернемся к главному вопросу — реализации межпредметных связей в рамках этого курса.
Рассмотрим применение выделенных в Главе II §2, п. 2.1 трех способов.
На занятии об истории возникновения понятия производной можно привести следующий материал. Одной из важных предпосылок появления дифференциального исчисления стали практические задачи нахождения кратчайшего пути. Первые задачи на максимум и минимум были поставлены в V веке до н.э. Эти задачи решали Евклид, Архимед, Кеплер, Герон, Ферма. Общие методы не были разработаны, каждая задача решалась индивидуально. Ферма установил, что свет в неоднородной среде движется вдоль такой траектории, чтобы время прохождения пути было наименьшим. В XVII веке были разработаны общие методы решения задач на экстремум Ньютоном и Лейбницем.
Подробный материал об этих открытиях могут подготовить и сами учащиеся.
Важным моментом является показ практического применения производной.
Подробнее можно рассмотреть следующие примеры.
Бумажный змей
Бумажному змею, имеющему форму кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре р = 80 см наибольшую площадь. Каковы должны быть размеры бумажного змея?
Рис.3
Решение.
Введем обозначения (рис.3):
Пусть радиус сектора – х, дугу обозначим за у, тогда периметр можно выразить так: и площадь равна: . Выразим и подставим в формулу площади: . Найдем производную функции S:
Исследуем функцию на интервале (0; 80). Получаем, что в точке функция принимает наибольшее значение, что нам и требовалось по условию задачи. Таким образом, мы нашли такие размеры кругового сектора и , при которых площадь бумажного змея наибольшая.
Ответ: 20, 40.
Примеров таких задач множество, особенно применительно к задачам экономического содержания. Приведем пример. Функция прибыли фирмы имеет вид: П(Q)=R(Q) – C(Q)=2/5 Q2 – 4Q+ 20, где R(Q) – выручка, C(Q) — издержки. Сколько следует фирме производить продукции, если ее производственные мощности ограничены объемом производства Q= 3.
Решение.
Задача сводиться к исследованию функции на наибольшее значение на промежутке [0;3].
П´(Q) = 4/5 Q– 4
П´(Q) = 0
Q= 5
Таким образом, Q= 5 – критическая точка. Проанализируем характер изменения производной (Рис. 4)
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис.4
При Q П´(Q) и прибыль убывает; при Q> 5 П´(Q) > 0 и прибыль возрастает. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным. Точка Q= 5 не принадлежит промежутку [0;3], и функция на нем убывает, следовательно, она принимает наибольшее значение при Q= 0. В этом случае при Q= 3, фирме выгодно ничего не производить (например, сдавать помещение в аренду) [7].
Рассмотрим, как возможно реализовать межпредметные связи на основе задачного материала. Здесь при составлении системы задач нужно учитывать принципы, выделенные в I главе. Особое значение имеют принципы преемственности, связи теории с практикой и принцип полноты. На отработку данной темы в классах гуманитарного профиля можно предложить различные прикладные задачи, в том числе социально-экономического содержания. Содержательная сторона задач должна соответствовать реальной действительности, отвечать интересам учеников, можно использовать историко-научный материал. Например:
· Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно оградить бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и оградила ремнем большой участок земли, примыкавший к морю. Считая берег моря прямолинейным, а огражденный участок прямоугольным, перед Дидоной встала задача: как оградить прямоугольный участок имеющимися ремешками длиной l, чтобы площадь была наибольшей? [9]
· База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу – 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? [18]
· Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону x(t)=1+9t+3t2-t3 , сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной? [29]
· Задача из истории математики, которую Евклид решал чисто геометрическим методом: доказать, что из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника [9].
Для решения задач на оптимизацию желательно вместе с учащимися составить алгоритм, который совмещал бы в себе схему решения задач методом математического моделирования и алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции. Действовать по алгоритму учащимся-гуманитариям проще, к тому же алгоритмы помогают свертывать рассуждения, избегать многословности.
Здесь важно подчеркнуть, что многие задачи на нахождение максимума или минимума можно решить и другими способами, но их, порой, очень сложно найти. А использование производной является универсальным способом для всех задач такого типа [37].
Перейдем к рассмотрению реализации межпредметных связей темы «Производная и ее приложения» с гуманитарными дисциплинами, учитывая методы самой науки, являющейся профильной.
Что касается реализации межпредметных связей на основе методов наук, то здесь нужно отметить, что особенно приложения производной используются при математическом моделировании, которое широко применяется во многих науках с целью прогнозирования и последующего принятия решений, поэтому при изучении приложений производной можно использовать и этот метод.
Также возможно использование метода наблюдения, сравнения, например, при исследовании функций.
Рассмотрим, какие методы обучения могут быть использованы в ходе данного элективного курса. Как уже отмечалось выше, лучше использовать активные методы работы с учащимися. Возможно предложить такой проект: «Производная и ее применение». Цель такого проекта — ответить на вопрос:«Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?» Можно выдвинуть гипотезу: «Дифференциальное исчисление — это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники». Результатом исследования могут быть презентация или буклет.
Что касается использования реферативно-исследовательской деятельности, то можно предложить такие темы докладов:
· Исследования Ньютона и Лейбница, их роль в развитии понятия производная.
· Производная в технике.
· Производная и сельское хозяйство.
Метод использования информационных технологий может быть использован во всех вышеперечисленных работах.
Таким образом, мы охарактеризовали элективный курс по теме «Производная и ее приложения» с точки зрения реализации межпредметных связей. Было показано, как осуществить эти связи на основе содержания материала и методов наук, приведены примеры задач, которые могут быть использованы на элективном курсе, даны некоторые методические рекомендации.
Не смотря на то, что на первый взгляд сложно говорить о связи математики и гуманитарных дисциплин, возможны достаточно разнообразные способы реализации таких взаимосвязей. Самый доступный из них и простой – использование в содержании занятий объектов, изучаемых гуманитарными дисциплинами.
2.3 Опытное преподавание
Я проходила педагогическую практику в МОУСОШ № 27 г. Кирова и провела два факультативных занятия в гуманитарном 10 классе по теме «Приложения производной» (разработка одного урока представлена в приложении). Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. Среди учителей математики, проводящих элективные курсы в старших классах, я провела небольшое анкетирование с целью выяснить, каким образом лучше организовать занятия. В анкетировании принимали участие двое учителей, преподающих элективные курсы по математике в старших классах. Учителям были предложены следующие вопросы:
1. Каково Ваше отношение к элективным курсам?
2. Нужны ли элективные курсы по математике в классах гуманитарного профиля? Почему?
3. Какие элективные курсы по математике, кроме тех, которые уже проводятся, Вы считаете полезным провести (тематика)?
4. Как, на Ваш взгляд, учащиеся относятся к элективным курсам, с интересом ли посещают их, как этот интерес проявляется?
5. Требуется ли Вам какая-то особая подготовка к организации и проведению элективного курса?
Анализируя анкеты, можно сделать несколько выводов.
По мнению учителей, элективные курсы необходимы в школах в силу того, что они помогают учащимся и реализовать свои интересы и способности, и целенаправленно подготовиться к дальнейшему обучению, и просто расширить свой кругозор. Что касается гуманитарных классов, то учителя отмечают необходимость элективных курсов по математике, хотя проводить занятия в таких классах сложнее и готовиться нужно более тщательно, подбирать интересный материал из истории математики, применять игровые приемы проведения занятий, предлагать интересные задания. Среди тем, которые учителям хотелось бы видеть в качестве элективных курсов в старших классах гуманитарного профиля были следующие: «Элементы теории множеств», «Элементы комбинаторики», «Старинные математические задачи», «Текстовые задачи», «Замечательные кривые в природе», «Симметрия в природе».
Учителя отмечают, что те учащиеся, которые приходят на занятие, проявляют порой даже больший интерес к материалу, чем учащиеся физических или математических классов, так как они выбрали элективный курс не по той причине, что математика необходима для дальнейшей учебы, а потому, что им действительно интересно.
С той же целью мною был проведен письменный опрос 15 учащихся гуманитарного класса, где были предложены следующие вопросы:
1. Посещаете ли Вы элективный курс по математике. Если да, то какой?
2. Нравится ли Вам данный элективный курс?
3. Интересно ли Вам на занятиях элективного курса, что интересно?
4. Вы ходите на занятия с желанием или нет?
5. Что больше всего нравится: решать задачи (какие задачи), выступать перед классом с докладами, выполнять индивидуальные задания?
6. Что считаете самым сложным в содержании данного элективного курса?
7. Что бы хотелось еще узнать на этом элективном курсе?
8. Какой другой элективный курс по математике хотелось бы посещать?
На основе этих анкет мною были сделаны следующие выводы. Что касается ответа на первый вопрос, то достаточно многие учащиеся посещают элективный курс по математике. Так как опрос проводился в 10 классах, то они посещают элективный курс «Производная и ее приложения». Во втором полугодии запланирован элективный курс «Уравнения, неравенства и их системы». Большинству учащихся нравится посещать этот курс, хотя есть и такие ответы, как «хожу, потому что просто заставляют родители».
Учащимся больше нравиться решать задачи практического содержания, готовить доклады, выполнять творческие задания.
Многие учащиеся на последний вопрос ответили, что им бы хотелось узнать больше об исторических сведениях, последних открытиях в математике, биографии ученых.
После проведения анкетирования были разработаны и проведены факультативные занятия в 10 классе по темам:
1. Как появилась производная.
2. Применение производной для исследования функций.
Цель проведения занятий – проследить возможность реализации межпредметных связей математики, в частности, начал анализа, с гуманитарными дисциплинами, расширить и углубить знания учащихся по теме «Производная и ее приложения».
Данные занятия элективного курса составлены для проведения в 10 классе гуманитарного профиля после изучения темы «Производная».
Первый факультатив это урок – экскурс в историю, на котором учащиеся узнали, как появилась производная, с именами каких ученых связано это понятие. Такой исторический материал занятия позволил реализовать связи математики с гуманитарными науками.
Второй факультатив является завершающим и обобщающим занятием по теме «Применение производной к исследованию функций». Построен он в форме игры, что позволяет привлечь интерес к изучению данной темы, а значит и улучшить ее усвоение.
Первое факультативное занятие прошло успешно, учащиеся активно участвовали в его организации и проведении, готовили доклады, участвовали в беседе. Что касается второго занятия, то, несмотря на то, что тема «Применение производной к исследованию функций» уже была рассмотрена учащимися на уроках, предложенные задания вызвали интерес, позволяющий преодолеть затруднения.
Таким образом, при проведении данных факультативных занятий были реализованы межпредметные связи, с помощью выделенных выше способов, то есть: была использована нестандартная форма проведения занятия – игра, использованы задания с интересным практическим и литературным содержанием.
Заключение
В настоящей работе рассмотрена важная и актуальная тема, поскольку в современных условиях профилизации школ все большее значение приобретают межпредметные связи между различными дисциплинами, а в связи с внедрением в школы элективных курсов требует рассмотрения и вопрос о реализации межпредметных связей в рамках этих курсов. Осуществление межпредметных связей способствует систематизации, а, следовательно, глубине и прочности знаний, помогает дать учащимся целостную картину мира.
В результате анализа математической и методической литературы мы пришли к выводу, что межпредметные связи математики и гуманитарных предметов осуществляются за счет иллюстрации математических понятий на основе основных объектов того или иного предмета гуманитарного цикла.
Цель работы достигнута: были рассмотрены особенности содержания и методики преподавания начал математического анализа на элективных курсах в гуманитарных классах, разработаны методические рекомендации по проведению элективного курса с точки зрения реализации межпредметных связей.
продолжение
–PAGE_BREAK–В результате были решены следующие задачи:
1. Рассмотрено понятие элективного курса, типы элективных курсов, принципы построения системы задач на элективном курсе.
2. Рассмотрено понятие межпредметных связей, теоретические предпосылки их установления между математикой и гуманитарными дисциплинами.
3. Изучены и проанализированы учебники по математике для старших классов гуманитарного профиля, выделен материал этих учебников, на основе которого возможна реализация межпредметных связей.
4. Выявлены психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов.
5. Выделены методические рекомендации по проведению занятий в гуманитарных классах.
6. Выделены способы реализации межпредметных связей:
· Использование дополнительной информации: интересных фактов, исторических сведений, легенд, особенно при введении новых понятий.
· Показ применения изучаемого понятия в области предмета, являющегося профильным.
· Использование практико-ориентированных задач, содержание которых отражает факты предмета, являющегося профильным.
7. Разработаны некоторые методические рекомендации по двум элективным курсам: «Производная и ее приложения» и «Показательная и логарифмическая функции»
8. Было проведено опытное преподавание с целью применения разработанной методики.
Таким образом, проведенное теоретическое исследование и опытное преподавание подтвердило гипотезу работы.
Среди дальнейших перспектив работы над темой исследования может быть разработка на основе выделенных способов реализации межпредметных связей, методики проведения элективных курсов по математике в классах гуманитарного профиля на темы, не затронутые в данной работе;
Список библиографии
1. Бакиева, Ф. Г. Интегрированный урок по математике с информатикой по теме: «Правила дифференцирования. Применение производной» [Текст]: Ф. Г. Бакиева // 1 сентября: Математика. – 2003. — №4. – С. 23-31.
2. Башмаков, И. М. Математика 10-11 [Текст]: учебное пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля / М. И. Башмаков – М.: Просвещение. — 2004 г. – 336 с.
3. Бутузов, В. Ф. Математика 10 [Текст]: учебное пособие для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений/ В.Ф.Бутузов, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин. – М.: Просвещение. — 1995 г. – 236 с.
4. Бутузов, В. Ф. Математика 11 [Текст]: учебное пособие для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений/ В.Ф.Бутузов, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин. – М.: Просвещение. — 1995 г. – 254 с.
5. Вергелес, Г. И. Возможности межпредметных связей в формировании учебной деятельности современного школьника. [Текст]: Г. И. Вергелес / межвузовский сборник научных трудов. – Л: Ленинградский пед. Университет имени А. И. Герцена. – 1987. – С. 51-58.
6. Виленкин, Н. Я. Алгебра – 10: для классов с углубленным изучением гуманитарных дисциплин. Часть 2 [Текст] / Н. Я. Виленкин. – Абакан.: Редакционно-издательский отдел АГПИ имени Н.Ф.Катанова, 1993. – 165с.
7. Винокуров, Е. Ф. Экономика в задачах [Текст]: Е. Ф. Винокуров, Н. А. Винокурова. – М.: Начала-Пресс, 1995. – 202 с.
8. Гладкий, А. В. Математика в гуманитарной школе [Текст]: А. В. Гладкий // Математика в школе. – 1991. — № 6. – С. 6-9.
9. Глейзер, Г. И. История математики в школе. 9 – 10 кл. [Текст]: пособие для учителя / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
10. Голуб, Г.Б. Метод проектов — технология компетентностно-ориентированного образования. Методическое пособие для педагогов – руководителей проектов учащихся основной школы [ Текст]: / Г. Б. Голуб, Е. А. Перелыгина, О. В. Чуракова. – Самара: Учебная литература, 2006. – 224 с.
11. Груденов, Я, И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: книга для учителя / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение. – 1990. – 224 с.
12. Далингер, В. А. Курсы по выбору и элективные курсы по математике в системе предпрофильного и профильного обучения [Текст]: В. А. Далингер // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе: сборник научных трудов и методических работ. – Арзамас, АГПИ, 2004.-С. 214-222.
13. Далингер, В. А. Элективные курсы в системе профильного обучения [Текст]: В. А. Далингер, А. Н. Зубков. // Вестник Омского государственного университета. – 2006. — №6. – С. 26 – 31.
14. Дорофеев, Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс – основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе [Текст]: Г. В. Дорофеев // Математика в школе. – 1997. — № 4. — С. 59-67.
15. Дорофеев, Г. В. Дифференциация обучения математике [Текст]: Г. В. Дорофеев //Математика в школе. – 1990. — № 4. – С. 15-27.
16. Дорофеева, А. В. Гуманитарные аспекты преподавания математики [Текст]: А. В. Дорофеева // Математика в школе. – 1997. — № 4. – С. 36 – 39.
17. Епифанова, Т. Н. Отыскание экстремальных значений функции различными способами [Текст] / Т. Н. Епифанова // Математика в школе. – 2004. — №4. – С. 52-54.
18. Жак, Я. Е. Несколько простых прикладных задач [Текст]: Я.Е.Жак // 1 сентября: Математика. – 1977. — №6. – С. 12-17.
19. Колягин Ю. М. Профильная дифференциация обучения математике [Текст]: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова // Математика в школе. – 1990. — № 4. – С. 26-28.
20. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. – 1990. — №1. – С. 4-9.
21. Крутихина, М. В. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации /М. В. Крутихина, З.В.Шилова. – Киров.: Издательство ВятГГУ, 2006. – 40 с.
22. Кулагин, П. Г. Межпредметные связи в процессе обучения [Текст]: П. Г. Кулагин. – М.: Просвещение. – 1981. – 95 с.
23. Лошкарева, Н. А. О понятии и видах межпредметных связей [Текст]: Н. А. Лошкарева // Советская педагогика. – 1972. — №6. – С. 31-35.
24. Львов, В. Е. Применение производной в практической деятельности [Текст]: В. Е. Львов // Математика в школе. – 1980. — №6. – С. 26-31.
25. Максимова, В. Н. Межпредметные связи в процессе обучения [Текст]: В. Н. Максимова / М.: Просвещение. – 1988. – 190 с.
26. Мордкович, А. Г. Математика 10 класс [Текст]: учебник для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова. – М.: Мнемозина, 2004 г. – 379 с.
27. Мордкович, А. Г. Математика 11 класс [Текст]: учебник для учащихся 11 классов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова. – М.: Мнемозина, 2004 г. – 345 с.
28. Мордкович, А. Г. Методические проблемы изучения элементов математического анализа в общеобразовательной школе [Текст] / А. Г. Мордкович // Математика в школе. – 2002. — №9. – С. 2-12.
29. Нечаев, С. Н. Конспект урока «Применение производной для исследования функций» [Текст]: С. Н. Нечаев // 1 сентября: Математика. – 2005. — № 23. – С. 38-43.
30. Понтрягин, Л. С. Математический анализ для школьников [Текст]: Л. С. Понтрягин / М.: Наука. – 1988. – 96 с.
31. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5—11 класс. /Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. — 4-е изд., — М.: Дрофа, 2004. – 320 с.
32. Самарин, Ю. А. Очерки психологии ума [Текст]: Ю. А. Самарин / М.: Изд-во АПН РСФСР. – 1962. – 504 с.
33. Сергеев, В. Н. Нужно ли прививать любовь к математике учащимся с гуманитарными наклонностями [Текст]: В. Н. Сергеев // Воспитание учащихся при обучении математики: книга для учителя. – М.: Просвещение. – 1987. – С. 112-119.
34. Смирнова, И. М. Профильная модель обучения математике [Текст]: И. М. Смирнова // Математика в школе. – 1997. — № 1. – С. 32-36.
35. Федорова, В. Н. Межпредметные связи [Текст]: В. Н. Федорова, Д. М. Кирюшкин / М.: Педагогика. – 1972. – 152 с.
36. Федяева, Л. В. Элективный курс по философским проблемам математики [Текст]: Федяева. Л. В. // Вестник Омского государственного университета. – 2007. — №3. – С. 13 – 16.
37. Финько З. М. Эпизоды из жизни функций [Текст]: З. М. Финько //1 сентября: Математика. – 2004. — №23. – C. 45-48.
38. Хохлова, Т. Н. Прикладная направленность обучения математике. [Текст]: Т. Н. Хохлова // 1 сентября: Математика. – 2004. — № 3. – C 25-29.
39. Шестакова, Л. Г. Математика в гуманитарных классах [Текст]: /Л.Г. Шестакова // Математика в школе. – 1996. — № 1. – C. 10-13.
Приложение 1
Модели словаря
Казалось бы, несовместимые предметы математика и русский язык, но и здесь можно найти много интересных взаимосвязей. Рассмотрим пример «Модели словаря», который особенно подойдет для классов с углубленным изучением русского языка.
В результате постоянного расширения сферы деятельности человека лексика каждого языка, несмотря на выпадение некоторого количества слов, неуклонно растет. Так, например, в середине ХIХ века русским писателем П. Д. Боборыкиным был введен термин «интеллигенция», происходящий от латинского слова intelegens — понимающий, мыслящий, разумный. Вскоре из русского языка он перешел во многие языки мира. В 1924 году французский исследователь биосферы Э. Леруа предложил термин «ноосфера» — такое состояние биосферы, когда ее развитие под контролем разума происходит в интересах человечества и его будущего. В последнее время вошли в обиход такие слова, как спутник, перестройка и т. д. Характеристикой увеличения словаря служит k — коэффициент его прироста за определенный период времени (за год, десятилетие, тысячелетие и т. д.). Для определения этого коэффициента поступают следующим образом. Сначала вычисляется количество новых слов, появившихся, например, за десятилетие, и вычитается из него количество выпавших из употребления слов. Обозначим полученное число через I1. Если через Lобозначить объем словаря в данный момент, то и численность L(t)словаря через t лет определится соотношением
(1)
Конечно, нельзя говорить о высокой точности такого подсчета, ведь точно подсчитать количество слов новых и уже забытых невозможно. Такой лингвистический закон роста словаря носит лишь приближенный характер.
С течением времени словарный запас языка постоянно обновляется: часть слов устаревает и забывается (такие слова, как втуне, наущать, шолом и т. д.), для выражения новых понятий появляются новые слова и т. д. Этот процесс обновления словаря подчиняется закономерностям, подобным законам радиоактивности: подсчеты показали, что за 1000 лет различные языки утрачивают в среднем от 10 до 25 процентов своего словарного состава. Следовательно, за тысячу лет коэффициент сохранности языка колеблется от 0,75 до 0,9. Эти рассуждения позволяют получить ответ на следующий вопрос. Пусть в момент времени To из некоторого языка, численность которого равна L, выделились два новых языка, каждый из которых далее развивается самостоятельно. Если r1 — коэффициент сохранности первого языка, r2 — второго языка, то величина характеризует коэффициент потери общих слов в ходе расхождения появившихся новых языков. Число общих слов, сохранившихся в языках-потомках за время их самостоятельного развития определяется формулой
(2)
Это соотношение показывает, сколько слов из первоначального запаса, который имел язык-предок в момент времени To, доживет в обоих языках-потомках до определенного момента времени. [6]
Глаза и логарифмы
Зрительные рецепторы получают сигналы из внешнего мира. Они должны передать зрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигнала от глаза к мозгу осуществляется нейронами.
Возникает проблема. Освещенность в сумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при ярком солнечном свете примерно в миллиард раз. Максимальная частота, с которой может работать нейрон — 1000 импульсов в секунду. Было установлено, что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорционально освещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000 имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступать всего один раз в 15 минут. Но за это время он потеряет свою актуальность.
Итак, линейная зависимость между входным и выходным сигналами в случае глаза оказывается нецелесообразной. И в природе тогда используется другая функция.
Английский ученый Х. Харлайн регистрировал импульсы, идущие по одиночному нервному волокну от глаза к мозгу у мечехвоста (морского членистоногого). Результат эксперимента иллюстрируется графиком (Рис. 5).
Рис.5
На нем показана зависимость частоты импульсации от яркости света. На графике – прямая линия, но это не линейная функция.
На нашем графике: частота импульсации нейрона меняется на одну и ту же величину, когда воздействие меняется в одно и то же число раз. Значит, мы имеем дело с логарифмической функцией. Так что «умение логарифмировать» — это свойство зрительных рецепторов, выработавшееся в ходе эволюции, позволяет глазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошо воспринимать контраст. [9]
Приложение 2
«Детектив-шоу» в 10-м классе
Цели занятия:
Образовательная:
· систематизировать знания по теме;
· закрепить навыки дифференцирования;
· подготовиться к контрольной работе.
Развивающая цель: развитие устойчивости внимания, переключение внимания, математической речи.
Воспитательная цель: воспитание сотрудничества, уверенности в себе.
Оборудование: карточки-задания, сопроводительные рисунки к этапам урока (см. рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4).
продолжение
–PAGE_BREAK–