Задача1
Провестиструктурно-аналитическую группировку 20 регионов страны (см. табл.3) по двумпризнакам-факторам, положив в основание группировки нижеуказанный дляконкретного варианта признак. Рассчитайте среднее значение группировочногопризнака по каждой группе. Результаты отобразить в статистической таблице,оформленной в соответствии с установленными правилами.
Постройте графическиполученный ряд распределения признака в виде гистограммы.
По результатамгруппировки определите:
— показатели центрараспределения: средние арифметическое значение группировочного признака моду имедиану;
— показатели вариациипризнака:
— абсолютные показатели:размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическоеотклонение, дисперсия.
— относительныепоказатели: коэффициенты осцилляции, вариации и линейной вариации;
— сделайте вывод о формераспределения на основании расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса.
По результатам расчетовсделать вывод.
Таблица 1Вариант Регион 3 с 10 по 29
Выбор группировочногопризнака осуществляется по следующей схеме, представленной в таблице 2.
Таблица 2Вариант Группировочный признак с 1 по 4 «ВРП» ИсходныеданныеТаблица3Регион ВВП, млн.руб. Потребительские расходы, млн.руб. Государственные расходы, млн.руб. Валовые инвестиции, млн.руб. Экспорт, млн.руб. Средняя зп, руб. 10 36,6 18,3 3,7 6,6 8,4 2150 11 39,2 19,6 3,9 7,1 9,0 2300 12 41,8 20,9 4,2 7,5 9,6 2450 13 44,4 22,2 4,4 8,0 10,2 2600 14 66,0 33,0 6,6 11,9 15,2 2750 15 68,6 34,3 6,9 12,3 15,8 2900 16 71,2 35,6 7,1 12,8 16,4 3050 17 73,8 36,9 7,4 13,3 17,0 1900 18 35,0 17,5 3,5 6,3 8,1 2050 19 37,6 18,8 3,8 6,8 8,6 2200 20 40,2 20,1 4,0 7,2 9,2 2350 21 42,8 21,4 4,3 7,7 9,8 2500 22 55,0 27,5 5,5 9,9 12,7 2650 23 57,6 28,8 5,8 10,4 13,2 2360 24 60,2 30,1 6,0 10,8 13,8 2510 25 60,0 30,0 6,0 10,8 13,8 2660 26 62,6 31,3 6,3 11,3 14,4 2810 27 65,2 32,6 6,5 11,7 15,0 2960 28 67,8 33,9 6,8 12,2 15,6 2000 29 70,4 35,2 7,0 12,7 16,2 2150
РЕШЕНИЕ
Группировка — эторазбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. Методгруппировок основывается на 2-х категориях: группировочный признак и интервал.Группировочный признак — это признак, по которому происходит объединениеотдельных единиц совокупности в однородные группы. Интервал — очерчиваетколичественные границы групп.
Величину интервала вданной задаче можно определить следующим образом:
/> (1)
х max, x min — максимальное и минимальное значение варьирующегопризнака. Для нахождения числа групп служит формула Стерджесса:
/> (2)
1. Сначала определимколичество групп (2):
где N — количествоэлементов совокупности. N =20
/>=5,32, значит групп 5
1. Определим длинуинтервала по формуле (1):
/>=7,76 млн.руб.
Величина интервала 7,76 млн.руб.
35,0 – 42,76;42,76-50,52; 50,52 – 58,28; 58,28 – 66,04; 66,04 – 73,8
Таблица 4
№ группы Группировка по ВВП № региона ВВП, млн.руб. I 35,0 – 42,76 18 35,0 10 36,6 19 37,6 11 39,2 20 40,2 12 41,8 II 42,76-50,52 21 42,8 13 44,4 III 50,52 – 58,28 22 55,0 23 57,6 IV 58,28 – 66,04 14 66,0 27 65,2 25 60,0 24 60,2 26 62,6 28 67,8 15 68,6 V 66,04 – 73,8 16 71,2 17 73,8 29 70,4
При построениивариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.
Таблица 5Инвестиции в основные фонды
Число регионов, />
Середина интервала, />
/>
/>
/> 35,0 – 42,76 6 38,88 233,28 251241,53 5024830,6 42,76-50,52 2 46,64 93,28 243522,51 4870450,2 50,52 – 58,28 2 54,4 108,8 235923,91 4718478,2 58,28 – 66,04 7 62,16 435,12 228445,76 4568915,2 66,04 – 73,8 3 69,92 209,76 221088,04 4421760,8 Итого 20 272 1080,24 1180222 23604435
Средняявеличина — выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
— средняя арифметическая взвешенная
/>
— средняя арифметическая простая
/>
где Xi — варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала,в котором измеряется варианта;
n- число наблюдение;
fi — частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
/>
Показателивариации:
— размах вариации:
/>,
где хmax — максимальное значениепризнака,
х min – минимальное значениепризнака;
R=73,8-35,0=38,8
– среднее линейное отклонение:
– /> ,
где /> –индивидуальные значения признака,
/> –средняя величина,
f– частота;
d=272-540,12=268,12
— дисперсия:
/>;
/>
— среднее квадратическое отклонение:
/>;
/>
— коэффициент вариации:
/>.
/>
Коэффициентвариации показывает степень однородности совокупности. Так как V > 33% — совокупность неоднородна.
— коэффициент осцилляции:
/>
V=38,8/540,12*100%=7,18
— линейный коэффициент вариации:
/>
V=268,12/540,12*100%=49,64
2. Производим группировкупо второму признаку: Валовыеинвестиции, млн.руб.
Величина интервала:
h= у max — у min/число групп
у max, у min — максимальное и минимальное значение варьирующегопризнака
Для нахождения числагрупп служит формула Стерджесса
/>
1. Сначала определимколичество групп:
где N — количествоэлементов совокупности. N =20
/>=5,32,
значит групп 5
1. Определим длинуинтервала по формуле (1):
h=13,3-6,3/5=1,4 млн.руб.
Величина интервала 1,4 млн.руб.
6,3 – 7,7; 7,7-9,1; 9,1 –10,5; 10,5 – 11,9; 11,9 – 13,3
Таблица 6№ группы Группировка по Валовым инвестициям, млн.руб № региона Валовые инвестиции, млн.руб I 6,3 – 7,7 12 7,5 18 6,3 10 6,6 19 6,8 11 7,1 20 7,2 II 7,7-9,1 21 7,7 13 8,0 III 9,1 – 10,5 22 9,9 23 10,4 IV 10,5 – 11,9 14 11,9 27 11,7 25 10,8 24 10,8 26 11,3 V 11,9 – 13,3 28 12,2 16 12,8 17 13,3 29 12,7 15 12,3
При построениивариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.
Таблица 7Валовые инвестиции, млн.руб
Число регионов, />
Середина интервала, />
/>
/>
/> 6,3 – 7,7 6 7,0 43 8,5264 51 7,7-9,1 2 8,4 16,8 2,31 4,62 9,1 – 10,5 2 8,8 19,6 1,2544 2,5 10,5 – 11,9 5 11,2 56 1,6384 8,2 11,9 – 13,3 5 12,6 63 7,1824 35,9 Итого 20 60,6 198,4 20,9116 102,22
Средняявеличина — выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
— средняя арифметическая взвешенная
/>
— средняя арифметическая простая
/>
где Уi — варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала,в котором измеряется варианта;
n- число наблюдение;
fi — частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
/>
Показателивариации:
— размах вариации:
R=ymax-ymin
где уmax — максимальное значениепризнака,
у min – минимальное значение признака;
R=13,3-6,3=7,0
— среднее линейное отклонение:
/> ,
где у –индивидуальные значения признака,
у –средняя величина,
f– частота;
d=9,86-9,92=0,06
— дисперсия:
/>;
/>
— среднее квадратическое отклонение:
/>;
/>
— коэффициент вариации:
/>.
/>
Коэффициентвариации показывает степень однородности совокупности. Так как V
— коэффициент осцилляции:
/>
V=7,0/9,92*100%=70,56
— линейный коэффициент вариации:
/>
V=0,06/9,92*100%=0,06%
Задача2
Разделив первые 30регионов (см. данные из Задания 1) на 2 группы по величине признака,соответствующего вашему варианту, проверьте правило сложения дисперсий.
По результатам расчетовсделать вывод.
Методика решения
Межгрупповаядисперсия /> характеризуетсистематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влияниемпризнака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднемуквадрату отклонений групповых (частных) средних />, от общей средней />:
/>,
где f — численность единиц в группе.
Внутригрупповая(частная) дисперсия /> отражает случайную вариацию, т.е.часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую отпризнака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднемуквадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от среднейарифметической этой группы />, (групповой средней) и может бытьисчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам,соответственно:
/> ;
/> .
Наосновании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании /> можноопределить среднюю из внутригрупповых дисперсий:
/>
Согласноправилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней извнутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
/>
Ходрасчета дисперсий:
1)определяемзначения дисперсий по каждой группе (внутригрупповые дисперсии);
/> у2=У(y-yi)2f/ Уf
у12=5024830,6/6=837471,76 у1 2=51/6=8,5
у22=4870450,2/2=2435225,1 у2 2=4,62/2=2,31
у32=4718478,2/2=2359239,1 у3 2=2,5/2=1,25
у42=4568915,2/7=652702,17 у4 2=8,2/5=1,64
у52=4421760,8/3=1473920,2 у5 2=35,9/5=7,18
2)среднее значение дисперсии по двум группам;
/>
у122=1180222\20=5901,1 у12 2=102,22\20=5,11
3)общую дисперсию по правилу сложения.
/>
у2=5906,211/20=295,31
Дляпроверки результатов расчета рассчитываем общую дисперсию, без учета делениярегионов на группы.
Задача3
По группе регионов (см.исходные данные Задания №1) необходимо:
1) найти линейное уравнение парнойрегрессии между результативным (ВРП) и факторным признаком (хi), оценить полученныерезультаты;
х1 –потребительские расходы;
х2 –государственные расходы
х3 – валовыеинвестиции
х4 – экспорт
х5 – средняязаработная плата
2) количественно оценить тесноту связимежду результативным признаком и факторами.
3) по исходным данным постройтеэмпирическую и теоретическую линии регрессии.
4) проверить адекватность модели наоснове критерия Фишера и значимость коэффициентов регрессии на основе критерияСтьюдента.
По результатам расчетовсделать вывод.
Таблица 7 Варианты заданийНомер варианта Регион
xi Номер варианта Регион
xi Номер варианта Регион
xi 1 с 1 по 20
Х1 11 с 50 по 69
Х1 21 с 32 по 51
Х1 2 с 5 по 24
Х2 12 с 55 по 74
Х2 22 с 28 по 47
Х2 3 с 10 по 29
Х3 13 с 60 по 79
Х3 23 с 81 по 100
Х3 4 с 15 по 34
Х4 14 с 65 по 84
Х4 24 с 76 по 95
Х4 5 с 20 по 39
Х5 15 с 70 по 89
Х5 25 с 61 по 80
Х5 6 с 25 по 44
Х1 16 с 75 по 94
Х1 26 с 51 по 70
Х1 7 с 30 по 49
Х2 17 с 80 по 99
Х2 27 с 41 по 60
Х2 8 с 35 по 54
Х3 18 с 14 по 33
Х3 28 с 21 по 40
Х3 9 с 40 по 59
Х4 19 с 17 по 36
Х4 29 с 3 по 22
Х4 10 с 45 по 64
Х5 20 с 23 по 42
Х5 30 с 54 по 73
Х5
РЕШЕНИЕ
Параметры уравнения парной линейнойзависимости а и b
/> могут быть определены методомнаименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:
/>
Параметр b — это линейный коэффициент регрессии, характеризующийнаправление (+b — связь прямая; — b — связьобратная) и силу связи.
Он может быть рассчитан по формуле:
/>
b=60,6 272
b=16483,2 — 332,6/295,31=54,69
Коэффициент регрессииприменяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, насколько процентов изменится величина результативного признака у при изменениипризнака-фактора х на один процент. Для определения коэффициента эластичностииспользуется формула:
/>
Э=54,69*272/60,6=245,47
Подставляя эмпирические значенияпризнака фактора х в уравнение регрессии, определим теоретические значениярезультативного признака уx.попуществляется по формулеа, а значимостькоэффициентов регрессии на основе критерия Стьюдента
Тесноту связи так женеобходимо охарактеризовать линейным коэффициентом корреляции.
/> или
/>
/>
Задача4
По предприятию имеютсяследующие данные о реализованной продукции, определите:
— индивидуальные индексыцены, физического объема и товарооборота;
— агрегатный индекстоварооборота, цен и физического объема (показать их взаимосвязь)
— абсолютное изменениетоварооборота за счет изменения ассортимента продукции и цены продажи;
— индекс структурныхсдвигов, индексы фиксированного и переменного состава, показать их взаимосвязь.
По результатам расчетовсделать вывод.
Значение N определяется по последней цифреномера зачетной книжки студента. N=3
Таблица 9 Исходные данныеПродукция Продано продукции, кг. Цена 1 кг. Базисный период Текущий период Базисный период Текущий период Кирпич 1000+10*N 800+10*N 45+N 50+N Шифер 900+10*N 960+10*N 51+N 48+N Черепица 800+10*N 830+10*N 52+N 54+N Металл листовой 300+10*N 520+10*N 58+N 60+N
РЕШЕНИЕ
Значение N определяется по последней цифреномера зачетной книжки студента. N=3
Таблица 10 Исходные данныеПродукция Продано продукции, кг. Цена 1 кг. Базисный период Текущий период Базисный период Текущий период Кирпич 1000+10*3 800+10*3 45+3 50+3 Шифер 900+10*3 960+10*3 51+3 48+3 Черепица 800+10*3 830+10*3 52+3 54+3 Металл листовой 300+10*3 520+10*3 58+3 60+3
Таблица 11 Исходные данныеПродукция Продано продукции, кг. Цена 1 кг. Базисный период Текущий период Базисный период Текущий период Кирпич 1030 830 48 53 Шифер 930 990 54 51 Черепица 830 860 55 57 Металл листовой 330 550 61 63
Схема расчетаиндивидуального индекса:
/>,
где к1 –индексируемый показатель в отчетном периоде,
ко–индексируемый показатель в базисном периоде.
Агрегатный индекстоварооборота:
/>
/>
Агрегатный индекс цены:
/>
/>
Агрегатный индексфизического объема:
/>
/>
Индекс переменногосостава =
/>
/>
Индекс постоянногосостава =
/>=0,047
Индекс структурныхсдвигов =
/>
/>
Задача5
Из общего количества рабочихпредприятия была проведена Х %-я случайная бесповторная выборка с цельюопределения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборкипредставлены в таблице 6 .
Таблица 10Затраты времени на проезд к месту работы, мин До 30 30-40 40-50 50-60 60-70 Число рабочих А 80 В 55 С
Определите:
— доверительный интервалсредних затрат времени на проезд к месту, гарантируя результат с вероятностью0,997;
— долю рабочихпредприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954
Таблица 11Вариант А В С Х Вариант А В С Х 1 70 200 45 30 16 90 222 47 10 2 80 210 45 15 17 75 225 49 20 3 90 222 46 10 18 77 230 50 35 4 75 225 47 20 19 79 214 51 5 5 77 230 49 35 20 73 263 52 30 6 79 214 50 5 21 70 210 45 15 7 73 263 51 25 22 80 199 43 10 8 71 210 52 30 23 90 250 46 20 9 70 199 45 15 24 75 231 47 35 10 80 250 43 10 25 77 222 49 5 11 90 231 40 20 26 79 233 50 25 12 75 222 45 35 27 73 200 51 30 13 77 233 45 5 28 90 250 52 15 14 70 200 45 30 29 75 231 45 10 15 80 210 46 15 30 77 222 43 20
РЕШЕНИЕ
Границы генеральнойсредней определяются как:
/> ,
где /> – генеральная средняя,
/> — выборочная средняя,
Д/> — предельная ошибкавыборочной средней:
— при случайнойбесповторной выборке:
/>,
где /> – коэффициент доверия,зависящий от того, с какой вероятностью определяется предельная ошибка:
при р=0,663 t=1,
при р=0,954 t=2,
при p= 0,997 t=3;
n – объем выборочной совокупности,
N – объем генеральной совокупности,
/> — дисперсия признака выборочнойсовокупности.
Дx=2/>
/>
Границы генеральной долинаходятся как:
/> ,
где р – генеральная доля,
/> — выборочная доля (доля рабочих,обладающих указанным признаком):
/>,
где /> – число единиц,обладающих данным признаком,
n — объем выборочной совокупности.
/>
/> — предельная ошибка доли:
/>.
/>=0,758
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., ПетроваЕ.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- 2-е изд. перераб. идоп.- М.: Финансы и статистика, 2003.-336с.
2. Елисеева И.И., Флуд Н.А., ЮзбашевМ.М. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- М.: Финансы истатистика,2008.- 512с.
3. Общая теория статистики: Учебник./Под.ред. И.И. Елисеевой. — 5-е изд.,перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2008.- 656с.
4. Практикум по теории статистики: Учеб.пособие/ Под.ред. Шмойловой Р.А. — 3-еизд..– М.: Финансы и статистика,2008.-416с.
5. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовкиспециалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы истатистика, 2007. – 480с.
6. Статистика: Учебник / И.И. Елисеева,И.И. Егорова и др.; Под ред. проф. И.И. Елисеевой. – М.: ТК Велби, Изд-воПроспект, 2004
7. Теория статистики: Учебник/ Под.ред.Шмойловой Р.А. — 5-е изд..– М.: Финансы истатистика,2008.- 656с.
8.Материалы сайта Государственного комитета РФ по статистике