Решение задач линейной оптимизации симплекс методом

Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом.
Курсовая работа по дисциплине «Численные методы оптимизации»
Выполнил: ст.гр.4408 Калинкин А.А.
Казанский Государственный Университет им. А.Н. Туполева.
г. Казань 2001г.
1. Постановка задачи
1.1. Физическая (техническая) постановка задачи
Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:
400 тыс. л. алкилата;
250 тыс. л. крекинг-бензина;
350 тыс. л. бензина прямой перегонки;
250 тыс. л. изопентона;
В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:
Бензин А – 2: 3: 5: 2 ;
Бензин В – 3: 1: 2: 1 ;
Бензин С – 2: 2: 1: 3 ;
Стоимость 1 тыс.л. указанных сортов бензина:
Бензин А – 120 руб.
Бензин Б – 100 руб.
Бензин С – 150 руб.
Необходимо определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость все продукции. При следующих условиях:
Бензина каждого сорта должно быть произведено не менее 300 тыс… л.
Неиспользованного крекинг бензина должно остаться не более 50 тыс.л.
Сводная таблица условий задачи:

Компоненты, используемые для производства трёх видов бензина.
Сорта производимого бензина
Объем ресурсов
(тыс. л)

А
В
С

Алкилат
/>
/>
/>
400
Крекинг-бензин
/>
/>
/>
250
Бензин прямой перегонки
/>
/>
/>
300
Изопентат
/>
/>
/>
250
Цена бензина (рублей за 1 тыс.л.)
120
100
150

1.2. Математическая постановка задачи
Исходя из условий задачи, необходимо максимизировать следующую целевую функцию:
/>(1.2.1)
при ограничениях
/>(1.2.2)
/>, где />
В этих выражениях:
/> — объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.
Тогда
/>объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине А.
/>объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине В.
/>объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине С.
и т.д.
Целевая функция />выражает стоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждого сорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимо максимизировать целевую функцию />(1.2.1) с соблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на />.
2. Приведение задачи к канонической форме
Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.
Требуется найти вектор />, доставляющий максимум линейной форме
/>(2.1)
при условиях
/>(2.2)
/>(2.3)
где />
Перепишем исходную задачу (1.2.1) — (1.2.2):
/>(2.4)
при ограничениях
/>(2.5)
/>, где />(2.6)
В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).
Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям (2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) — (2.6) к канонической форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от старых переменных />перейдем к новым переменным/>, где />:
/>, />.
Выразим теперь старые переменные через новые
/>, />(2.7)
и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим
/>
/>
/>, где />.
Раскрывая скобки и учитывая, что
/> (2.8),
можем окончательно записать:
/>(2.9)
/>(2.10)
/>, где />(2.11)
Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) — (2.11) с меньшим числом ограничений.
Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем неотрицательные дополнительные переменные />, и задача (2.9) — (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:
/> (2.12)
/>(2.13)
/>, где />
Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму. –PAGE_BREAK–3. Нахождение начального опорного плана с помощью L-задачи
Начальный опорный план задачи (2.1) — (2.3), записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощью вспомогательной задачи (L-задачи):
/>(3.1)
/>(3.2)
/>(3.3)
Начальный опорный план задачи (3.1) — (3.3) известен. Он состоит из компонент
/>
и имеет единичный базис Б = />= E.
Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы />сверху на множестве своих планов (/>) получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.
Пусть />— оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда />является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные />. Значит, />удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) — (2.13). По построению план />является также опорным.
3.1. Постановка L-задачи
Вспомогательная задача для нахождения начального опорного плана задачи (2.12) — (2.13) в канонической форме состоит в следующем.
Требуется обратить в максимум
/>
при условиях
/>
/>, где />.
/>рассматривая в качестве исходного опорного плана план
Здесь добавление только одной дополнительной переменной />(вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4, А5, А6, А7.
3.2. Решение L-задачи
Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).
Т.к. Б= />— базис, соответствующий известному опорному плану/>, является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов Аjпо базису Б
/>.
Значение линейной формы />и оценки />для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:
/>,
/>.
Отсюда получим:
/>;
/>;
/>;
…
/>.
Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.
Заполняем таблицу 0-й итерации.
Среди оценок />имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А1с наименьшей оценкой />. Значения tвычисляются для всех позиций столбца t(т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент />достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А9подлежит исключению из базиса.
Составим таблицу, отвечающую первой итерации.
В столбце Бх, в пятой позиции базиса место вектора А9занимает вектор А1. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С41= 0 помещаем в столбец Сх. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все />, то опорный план />является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно />.
Таблица 3.2.1
/>
    продолжение
–PAGE_BREAK–3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи
Поскольку />, где />/>— оптимальный опорный план L-задачи, то />/>является начальным опорным планом исходной задачи (2.12) — (2.13).
4. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода
Описание I алгоритма
Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторого исходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечное число итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждой итерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица, отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.
Таблица 4.1

C
/>
…
/>
…
/>
…
/>

N
/>
/>
B
/>
…
/>
…
/>
…
/>
t
1
/>
/>
/>
/>
…
/>
…
/>
…
/>

/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

l
/>
/>
/>    продолжение
–PAGE_BREAK–
/>
…
/>
…
/>
…
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

m
/>
/>
/>
/>
…
/>
…
/>
…
/>

m+1
–
–
/>
/>
…
/>
…
/>
…
/>
–
Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть />некоторый опорный план задачи (2.1) — (2.3) с базисом />.Тогда />– базисные компоненты, а />– небазисные компоненты.
Вычисляем коэффициенты разложения векторов Аjпо базису Б
/> (в случае, если Бявляется единичной матрицей, />)
и находим оценки />. Далее определяем значение линейной формы
/>
Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.
В первом столбце N таблицы указываются номера строк. Номера первых mстрок совпадают с номерами позиций базиса. Во втором столбце Схзаписываются коэффициенты />линейной формы при базисных переменных. Столбец Бхсодержит векторы базиса />. В столбце В записываются базисные переменные />опорного плана. Столбцы />содержат коэффициенты />разложения соответствующих векторов условий />по векторам базиса. Все вышесказанное относится только к первым mстрокам таблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательно значением линейной формы Fи оценками />. Позиции таблицы, которые не должны заполняться, прочеркиваются.
В результате заполнена таблица 0-й итерации кроме столбца t.
Столбцы В, А1,…, An(все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.
Порядок вычислений в отдельной итерации. Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица νза исключением последнего столбца t.
Каждая итерация состоит из двух этапов.
Iэтап: проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.
Просматривается (m+1)-я строка таблицы ν. Если все />, то опорный план, полученный после ν-йитерации, является оптимальным (случай 1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки. Проверяем знаки элементов />столбцов />с />. Наличие по крайней мере одного столбца />, для которого />и все />, свидетельствует о неразрешимости задачи (случай 2). Установив это, прекращаем вычисления.
Если в каждом столбце />, для которого />, содержится хотя бы один положительный коэффициент />, то опорный план является неоптимальным (случай 3). Переходим ко IIэтапу.
IIэтап: построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.
Определяется вектор Ak, который должен быть введен в базис, из следующего условия
/>.
После этого заполняется последний столбец таблицы ν– столбец t. В него записываются отношения базисных переменных />(элементы столбца В) к соответствующим составляющим />(элементы столбца Ak).Т.о. заполняются только те позиции, для которых />. Если />, то в позиции iстолбца tзаписывается />. Вектор базиса />, на котором достигается t,
/>,
подлежит исключению из базиса (если tдостигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).
Столбец Ak, отвечающий вектору, вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору />, исключаемому из базиса, называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент />, расположенный на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим элементом.
После выделения разрешающего элемента заполняется (ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Бх, Схвносятся соответственно Ак, Ск,которые в (ν+1)-йтаблице обозначаются как />, />. В остальные позиции столбцов Бх, Схвносятся те же параметры, что и в таблице ν.
Далее заполняется главная часть (ν+1)-йтаблицы. Прежде всего происходит заполнение ее l-йстроки в соответствии с рекуррентной формулой
/>.
Рекуррентная формула для заполнения i-йстроки (ν+1)-йтаблицы имеет вид
/>.
Здесь
/>.
Заполнение главной части (ν+1)-йтаблицы завершает (ν+1)-юитерацию. Последующие итерации проводятся аналогично. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либо будет установлено, что исследуемая задача неразрешима.
    продолжение
–PAGE_BREAK–Решение исходной задачи
Весь процесс решения исходной задачи (2.12) — (2.13) приведен в табл. 4.2.
Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации, происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главная часть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-й строки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачи без столбца А9. Также без изменений остается столбец базисных векторов Бх. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи и столбец Схкоэффициентов при базисных переменных заполняются исходя из (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейной формы Fи оценки />.
Заполнение таблиц, отвечающих последующим итерациям, происходит в соответствии с описанным выше первым алгоритмом.
Таблица 4.2
/>
Решение исходной задачи (2.12) — (2.13) получено за 3 итерации. Оптимальный план ее равен />и />.
Найденное решение />задачи в канонической форме (2.12) — (2.13) соответствует решению />(4.1) общей задачи линейного программирования (2.9) — (2.11), записанной для новых переменных />. Для общей задачи из (2.9) следует, что />(4.2).
Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старыми переменными />. Учитывая (4.1) и (4.2) из (2.7) и (2.8) получим
/>(4.3)
и
/>. (4.4)
Таким образом, для получения максимальной цены (142750 руб.) всей продукции необходимо произвести:
450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующих количествах:
Алкитата />тыс.л.
Крекинг-бензина />тыс.л.
Бензина прямой перегонки />тыс.л.
Изопентона />тыс.л.
/> тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:
Алкитата />тыс.л.
Крекинг-бензина />тыс.л.
Бензина прямой перегонки />тыс.л.
Изопентона />тыс.л.
300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:
Алкитата />тыс.л.
Крекинг-бензина />тыс.л.
Бензина прямой перегонки />тыс.л.
Изопентона />тыс.л.
5. Формирование М-задачи
Далеко не всегда имеет смысл разделять решение задачи линейного программирования на два этапа – вычисление начального опорного плана и определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача (М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать), но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.
Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) — (2.3) в канонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):
/>(5.1)
/>(5.2)
/>. (5.3)
Здесь М>0 – достаточно большое число.
Начальный опорный план задачи (5.1) — (5.3) имеет вид
/>
Переменные />называются искусственными переменными.
Таким образом, исходная задача линейного программирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится к М-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этой расширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) — (2.3), либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.
В соответствии с вышеизложенным имеем: требуется решить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введем искусственную неотрицательную переменную х9и рассмотрим расширенную М-задачу
/>(5.4)
при условиях
/>(5.5)
/>, где />.
где М – сколь угодно большая положительная величина.
Как и в L-задаче, добавление только одной искусственной переменной />(вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4, А5, А6, А7.
    продолжение
–PAGE_BREAK–6. Решение М-задачи II алгоритмом симплекс-метода
Описание IIалгоритма
Второй алгоритм (или метод обратной матрицы) симплекс метода основан на ином способе вычисления оценок />векторов условий Аj, чем в первом алгоритме.
Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме (2.1) — (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом />.Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы />.
Действительно, зная обратную матрицу />, можно получить базисные составляющие опорного плана:
/>
и вычислить оценки векторов условий относительно текущего базиса
/>, (6.1)
предварительно определив вектор-строку />по формуле
/>
или
/>. (6.2)
Здесь />— вектор-строка из коэффициентов линейной формы, отвечающих базисным переменным.
Оценки />позволяют установить оптимальность рассматриваемого опорного плана и определить вектор Ак, вводимый в базис. Коэффициенты />разложения вектора Акпо текущему базису вычисляются по формуле
/>.
Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению из базиса, определяется величиной
/>.
Таким образом при втором алгоритме на каждом шаге запоминаются базисные компоненты />, обратная матрица />, значение линейной формы F(X) и вектор Y, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементы столбцов матрицы />удобно рассматривать как коэффициенты />разложения единичных векторов />по векторам базиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательных итераций
/>; (6.3)
/>. (6.3)
Здесь
/>.
Результаты вычислений сводятся в основные таблицы (вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е1, …, еmосновных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этих таблиц. Столбец Аk– разрешающий столбец, строка l – разрешающая строка.
Таблица 6.1 Таблица 6.2
N
/>
/>
B
/>
…
/>
/>
t

N
B
/>
/>
…
/>
1
/>
/>
/>
/>
…
/>
/>

1
/>
/>
/>
…
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

/>
/>
/>
/>
/>
/>
l
/>
/>
/>
/>
…
/>
/>
/>

m
/>
/>
/>
…
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

m+1
C
/>
/>
…
/>
M
/>
/>
/>
/>
…
/>
/>

/>
/>
/>
…
/>
m+1
–
–
/>
/>
…
/>
/>
–

1
/>
/>
/>
…
/>

2
/>
/>
/>
…
/>

…
…
…
…
…
…     продолжение
–PAGE_BREAK–
Краткое описание алгоритма.
1. Нулевая итерация:
а) составляется вспомогательная табл. 6.2, в которую вносятся параметры задачи; дополнительная строка таблицы с номером νзаполняется по мере выполнения ν-й итерации;
б) составляется основная табл. 6.1 с номером 0, в которой заполняются первые m строк, за исключением последних двух столбцов Аk и t.Элементы />и />определяются скалярными произведениями (Cx, ej) и (Cx, B) соответственно. Нулевая итерация заканчивается заполнением нулевой дополнительной строки вспомогательной таблицы с оценками />.
2. (ν+1)-я итерация.
Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена ν-яосновная таблица,за исключением двух последних столбцов, и ν-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. Просматривается эта строка. Если все />, то опорный план />— решение задачи. Если хотя бы одна />, то в базис вводится вектор Аkс />(обычно />). После этого заполняется столбец />основной таблицы. В позицию (m+1) этого столбца заносится оценка />вектора Аk. Остальные элементы этого столбца равны
/>.
Возможны два случая:
все />— задача неразрешима;
/> хотя бы для одного i. В этом случае, также как и в первом алгоритме, заполняется столбец (t) основной таблицы ν, определяется разрешающий элемент />. Главная часть заполняется по рекуррентной формуле (6.3). Заполняется (ν+1)-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. На этом заканчивается (ν+1)-я итерация.
Решение М-задачи
Таблица 6.3
/>
Таблица 6.4
/>
Задача (5.4), (5.5) имеет опорный план Х= (0, 0, 0, />, />, />, />, 0, />) с базисом />. Следовательно, />. Процесс решения М-задачи вторым алгоритмом приведен в основной табл. 6.3 и вспомогательной табл. 6.4.
Решение М-задачи получено за 5 шагов. Оптимальный план ее равен />и />. В оптимальном плане М-задачи искусственная переменная х9= 0, поэтому />— решение задачи (2.12), (2.13) и />.
Окончательное решение задачи определения плана смешения компонентов полностью повторяет решение, рассмотренное в завершающей части п.4 (см. стр.11-12).
7. Формирование двойственной задачи
Произвольной задаче линейного программирования определенным образом соответствует некоторая другая задача линейного программирования. Будем называть ее двойственной, а первоначальную задачу – исходной.
Обозначим
/>; />; />; />; />(7.1)
Теперь исходная задача (2.1) — (2.3) в канонической форме может быть записана в матричном виде следующим образом.
Требуется определить вектор />, обращающий в максимум
/>. (7.2)
при условиях
AX=B; (7.3)
/>. (7.4)
Тогда двойственная задача – определить вектор />, обращающий в минимум
f(Y)=YB(7.5)
при условиях
/>. (7.6)
Транспонируя обе части неравенства (7.6), записанного в виде строки, и учитывая />, получим
/>. (7.7)
Отметим, что в двойственной задаче переменные yiмогут быть и отрицательными.
Рассмотрим в качестве исходной задачу (2.12), (2.13). С учетом (7.1) и (7.7) запишем
С = (120, 100, 150, 0, 0, 0, 0, 0), B= (/>, />, />, />, />),
/>
/>.
Двойственная задача имеет вид
/>; (7.8)
/>(7.9)
    продолжение
–PAGE_BREAK–8. Формирование оптимального решения двойственной задачи на основе теоремы о двойственности
Оказывается, что для задач (7.2) — (7.4) и (7.5), (7.6), называемых двойственной парой, справедлива следующая теорема.
Теорема (первая теорема о двойственности). Если одна из задач двойственной пары (7.2) — (7.4) и (7.5), (7.6) имеет решение, то другая задача также разрешима. При этом для любых оптимальных планов /> и />(здесь Мх, Му – множества планов соответственно прямой и двойственной задач) задач (7.2) — (7.4) и (7.5), (7.6) имеет место равенство
/>.
Если линейная форма одной из задач не ограничена (для F(X) – сверху, для f(Y) — снизу), то другая задача не имеет ни одного плана.
Оптимальное решение двойственной задачи может быть найдено на основе следующего следствия из этой теоремы.
Следствие. Если вектор /> является оптимальным опорным планом задачи (7.2) — (7.4), то вектор /> (8.1), является оптимальным опорным планом задачи (7.5), (7.6).
Стоит отметить, что в ходе решения исходной задачи вторым алгоритмом, при каждом шаге вычисляется вектор />. И если Х – оптимальный опорный план задачи (7.2) — (7.4), то в (m+1)-й строке, соответствующей основной таблице, находится решение задачи (7.5), (7.6).
Пусть двойственная задача имеет вид (7.8), (7.9).
Так как исходная задача (2.12), (2.13) имеет решение, то на основании рассмотренной теоремы о двойственности двойственная задача также разрешима.
Оптимальным опорным планом исходной является /> (см. п.4, п.6). При этом
/>;
; />.
Вычислим
/>.
На основании следствия из теоремы о двойственности можно заключить, что /> является оптимальным планом двойственной задачи, при котором />. Анализируя (m+1)-ю строку основной таблицы (см. табл. 6.3, шаг 5), можно убедиться в том, что оптимальный план двойственной задачи, сформированный на основе теоремы о двойственности, совпадает с оптимальным планом, найденном при решении исходной задачи вторым алгоритмом симплекс-метода. Это говорит о том, что оптимальный план задачи (7.8) — (7.9) найден верно.
9. Анализ результатов и выводы
В данной работе рассматриваются два способа решения исходной задачи линейного программирования.
Первый заключается в том, что сначала решается вспомогательная задача (L-задача), позволяющая построить начальный опорный план, затем на основе этого найденного плана решается исходная задача (определяется ее оптимальный план). Второй способ является объединением двух этапов и состоит в решении расширенной задачи (M-задачи), также приводящей к нахождению оптимального плана исходной задачи.
Вычислительную основу этих двух способов решения составляют соответственно первый и второй алгоритмы симплекс-метода. Один из параметров, по которому может быть оценен любой итерационный алгоритм – количество шагов, приводящих к решению задачи или установлению ее неразрешимости. Для данной задачи наиболее эффективным методом оказался первый метод(L-задача + исходная задача), т.к. он привел к решению за 4 шага, а второй метод (M-задача) за 5 шагов. Разница в числе шагов, вероятно, обусловлена неоднозначность выбора разрешающего элемента в исходной таблице L-задачи (3.2.1).
Сравнение количества вычислений на каждой итерации приводит к следующим оценочным результатам рассматриваемых алгоритмов. Преимущественная часть вычислений на каждом шаге алгоритмов определяется размерностью главной части таблицы (в первом алгоритме) или основной таблицы (во втором алгоритме). В первом случае она имеет размерность (m+1)x(n+1), во втором — (m+1)x(m+1). Даже учитывая, что второй алгоритм требует построения вспомогательной таблицы, он оказывается более компактным.
Еще одно несомненное достоинство второго алгоритма заключается в возможности определения оптимального плана двойственной задачи из (m+1)-й строки основной таблицы, соответствующей последней итерации, без всяких дополнительных вычислений.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.monax.ru