ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИН.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО
КАФЕДРАМАТЕМАТИКИ И
МЕТОДИКИЕЁ ПРЕПОДОВАНИЯ
АКСИОМАТИЧЕСКИЙМЕТОД
КУРСОВАЯРАБОТА
научныйруководитель
г.Саратов 2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
I.Основные понятия аксиоматической теории.
1.1.Основныеэтапы развития аксиоматического метода в науке
1.2.Понятиеаксиоматической теории
1.3.Каквозникают аксиоматические теории.
II.Примерыаксиоматических теорий.
Заключение.
Списокиспользуемых источников.
ВВЕДЕНИЕ
Аксиоматический метод – фундаментальнейший методорганизации и умножения научного знания в самых разных его областях –сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать,что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётсяпользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характераксиоматической теории. Более того, развитие науки в двадцатом столетиипоказало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, посуществу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко,и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективностьматематики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия нанего.
Целью данной курсовой работы является изучение примененияаксиоматического метода к решению математических задач.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав,заключения и списка используемых источников.
Во введении описана актуальность темы,сформулирована цель, дана структура курсовой работы.
В первой главе даны основные этапы развитияаксиоматического метода и основные понятия аксиоматической теории. Намечен курсдальнейшего исследования.
Во второй главе описывается построение евклидовойгеометрии на основе системы аксиом Вейля.
В заключении сформулированы основные выводы кработе.
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
1.1 Основные этапы развития аксиоматического методав науке.
Формирование современного понимания существааксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетнейистории развития науки.
Истинное начало науки о геометрических фигурах ителах, конечно же, теряется в глубине тысячелетий. Начальное оформление первыхгеометрических представлений обычно связывают с древнейшими культурами Вавилонаи Египта (3-2 тысячелетия до н.э.). С VII века до н.э. начинается пириодразвития геометрии трудами греческих учёных. Пифагорейская школа в VI-V векахдо н.э. продолжила геометрические исследования. Её основоположник Пифагор(560-470 или 580-500 г.г. до н.э.) в молодости около двадцати лет училсямудрости в Египте, ещё десяти – в Вавилоне. Несомненно, что в школе Пифагорагеометрия сделала первые шаги от узкопрактических утилитарных задач, отгеометрии измерения участков земли к обобщениям, абстракциям и рассуждениям.
Величайший философ античности Платон (428-348 г.г.до н.э.) создатель Академии, по-видимому, первым отчётливо поставил задачупостроения всего научного знания вообще и геометрии в частности дедуктивнымобразом. Трактаты и учебники по геометрии появились ещё до Платона – известныруководства Гиппократа Хиосского, Демокрита, Февдия. но лишь Платон потребовал,чтобы во главу всякой отрасли знания были поставлены понятия и положения, изкоторых всё остальные, что к этой отрасли относятся должно вытекать кА их следствия.Но эта постановка у Платона всё же весьма расплывчата и контуры её лишьугадываются из всего его учения, построенного на полумистической базе.
Гениальный ученик Платона великий Аристотель(384-322 г.г. до н.э.), перешагнул через мистические догмы Платона, выявил егорациональные требования научного обоснования всякого знания всякой научнойдеятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания,стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю,представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторойобласти. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны,что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны бытьвыведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принятакак руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примернополстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в егоструктуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля.
Более 2000 лет «Начала» служили единственнымруководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада ивостока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в нейгеометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из техпринципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону.
Наибольший интерес исследователей евклидовой системыобоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат. И чтобывсякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует сними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, этипрямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых.Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобыдоказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключитьего из числа постулатов.
Такие исследования велись в элленическую эпоху(Посидоний, I в до н.э., Санкери, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Это была эпохаЕвклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей иусовершенствователей, период наивно-аксиоматического построения геометрии. Вначале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата онаподходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание основанийгеометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода.
11 февраля 1826 г. в заседанииФизико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И.Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытие: V постулат Евклида лежит в основетеории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо великодля геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую передгеометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальныхаксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, Vпостулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду сгеометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая«воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В-третьих,открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода,который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидныеистины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые бездоказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшиеутверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логическидоказано (выведено) из принятых аксиом. И, в-четвёртых, открытие новой, как еёобычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё доЛобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представляласьединственно мыслимым учением о пространстве.
К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевскогобыли уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к ихдальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построениягеометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на этутему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д.Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильбертпривёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основныхпредложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказанылогическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимостьнекоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книгивопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того,были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют сутьаксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматическогометода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и накакие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью,полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом.Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий,строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после еёвыхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершёнвторой этап развития аксиоматического обоснования геометрииабстрактно-аксиоматическое построение геометрии.
Геометрические исследования, начатые Лобачевским,привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшеепонятие современной математики – понятие (математического или геометрического)пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы(точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которымиудовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволилогеометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть вомногие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометриястала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, аграницы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всёменее чёткими. Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связямиоснования всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. Сеё помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем изаксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие идостиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точнымиматематическими объектами, названными формальными системами, и стали изучатьсяматематическими методами, стала строиться теория также математических теорий(теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начатов работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснованияматематики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость,категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовойгеометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX векесостоялся третий этап развития аксиоматического метода.
1.2 Понятие аксиоматической теории.
Исторический процесс развития взглядов на существоматематики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматическогометода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем.Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используютсябез объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будутиспользоваться, должны быть строго определены через первоначальныенеопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше.Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называетсяопределением, а само понятие, смысл которого определён, носит названиеопределяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить всепервоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенноясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в своюочередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процессбесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории неопределяются.
Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями опервоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинныеутверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться накакие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, — наследующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторыеутверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые бездоказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупностьаксиом обозначается буквой . Вопрос о том, какие утверждения опервоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специальногорассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее,на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения,которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.
Итак, после того, как система аксиом аксиоматическойтеории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого,исходя из выбранной системы аксиом, пользуясь правилами логическогоумозаключения, выводятся новые утверждения о первоначальных понятиях, а такжеоб определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами даннойаксиоматической теории.
Можно более точно сформировать понятие теоремыаксиоматической теории и её доказательства. Доказательством утверждения С,сформулированного в терминах данной теории, называется конечнаяпоследовательность В1, В2, …, В5 высказываний теории, в которой каждоевысказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или болеепредыдущих высказываний данной последовательности по логическим правиламвывода, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. При этом, С называетсятеоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: |- С.Каждая аксиома аксиоматической теории является её теоремой доказательствоаксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из неё самой.
Важным является следующее обобщение понятия теоремы.Пусть Г – конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории.Утверждение С теории, называется выводами из Г (обозначается Г |-), если существуетконечная последовательность высказываний В1, В2, …, В5, называемая выводом С изГ, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г,либо получено из одного или более предыдущих высказываний этойпоследовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, апоследнее высказывание В5 есть утверждение С. Утверждение из множества Гназываются гипотезами. В частном случае, когда Г=, вывод С из Гпревращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремойаксиоматической теории.
Итак, под аксиоматической теории, построенной наоснове системы аксиом , понимается совокупность всех теорем,доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теоремобозначают Тh ().
Изложенный метод построения математической теорииносит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиоместь дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если онотак выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлёнпо-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился егоизначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойныйпризнания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике,при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойныпризнания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому чтона их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборесистемы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы –это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы.
Суть аксиоматического построения математическойтеории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий,который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее,формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях,которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец,исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения опервоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессеразвития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называютсятеоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из даннойсистемы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этойсистемы аксиом.
1.3. Как возникают аксиоматические теории.
Можно указать два пути, по которым происходилостановление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.
Первый путь состоит в том, что та или инаяматематическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимаетхарактер аксиоматической теории. Именно таким путём были аксиоматизированыследующие математические теории: арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пиано),геометрия (на основе разнообразных систем аксиом, в частности, Д. Гильберта, Г.Вейля, М. Пиери и т.д.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н. Колмогорова) идругие.
Второй путь возникновения аксиоматических теорийсостоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основнымичертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данноеобстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими,построить аксиоматическую теорию. На этом пути возникли, по-видимому, всеаксиоматические теории и, прежде всего, теории групп, колец, полей и другихалгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Здесь появляетсяпрекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук вдругие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия иаксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы приложенийтаких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математикикак науки вообще.
II. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ.
Приведём примеры аксиоматических теорий возникшихразными путями.
Пример1. Теория групп – одна из теорий, возникших навтором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общимичертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначныхотображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операциейсуперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместес операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости,рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольникаили параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую изопераций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, чтовсе три указанные объекта обладают следующими свойствами:
G0. Для любых а и в из G композиция а весть однозначно определённый элемент из G.
G1. Для любых а и в и с из G (а в) с = а (в с).
G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а изG а е = е а = а.
G3. Для любого а из G имеется такой а’ из G, что а а’ = а’ а = е.
Например, элемент е, существование которогоутверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение Мна М, в случае Z – целое число 0, в случае V2 – нуль вектор. В свойстве G3элемент а’ есть обратное преобразование f-1, противоположное число –m,противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВсоответственно. Утверждения G0 — G3 и составляют систему аксиом теории групп.Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строитьаксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.
Теорема 1. В группе имеется точно один единичныйэлемент.
Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишьединственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента –е1 и е2, т.е.на основании G2, для любого ае1=а и ае2= а. Тогда, в частности,е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.
Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точноодин обратный.
Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь егоединственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратных а’ и а’’,т.е. таких элементов, что а’’ а = е и а а’ = е. Тогда, в силуG1 (а’’ а) а’ = а’’ и, следовательно, е а’ = а’’ е. Отсюда следует, согласно G2, что а’ = а’’.
В мультипликативной терминологии обратный элементдля а обозначается через а-1, так что а-1 а = а а-1= е, гдеединственный единичный элемент из G.
Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G иза * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.
Доказательство: Пусть а * в = а * с. Тогда а-1 * (а* в)=( а-1 * а) * в = е * в = в. С другой стороны, а-1 * (а * в)= а-1 * (а * с)= (а-1 * а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда(в * а) * а-1= в * (а * а-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а-1= с *(а * а-1) = с * е = в. Значит в = с.
Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства)отрезков. S множество всех отрезков и отношение, называемое отношениемконгруэнтности, так, что выражение х у читается так: отрезок хконгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения: К1. Длявсякого х из S х х.
К2. Для любых элементов х, у, z из S, если х z и у z, то х у.
Докажем теорему.
Теорема 1. Для любых элементов у и z из S, если у z, то z у.
Доказательство: По аксиоме К2, подставив z вместо х,получим, что если z z и у z, то z у. Поскольку членконъюнкции z z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции егоможно убрать. Получим, что если у z, то z у.
Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чиселпостроена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Еёпервоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение ‘и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:
(Р1) ( х) (х’ 1).
(Р2) ( х, у) (х = у х’ = у’)
(Р3) ( х, у) (х’ = у’ х = у)
(Р4) (Аксиома индукции) (1М ^ ( х)(хМх’М)) М=N.
Правилами вывода служат обычные логические правилаModus Ponens и правило подстановки.
Приведём доказательства двух теорем, непосредственновытекающих из этих аксиом.
Теорема 1. ( х) (х’ х)
Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х N: х’ х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.
А) 1М, так как 1’ 1 по аксиоме Р1.
Б) Пусть хМ, т.е. х’ х. Тогда, поаксиоме Р3, (х’) ‘ х’. Следовательно, по определению, х’ М.
Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4,М = N. Это и означает, что ( х) (х’ х).
Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской(«наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всегорассмотрим три системы аксиом.
Первоначальными понятиями теории Т, являютсябинарные операции , (пересечение и объединение), унарнаяоперация ‘ (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различныхэлемента – нулевой и единичный. Система аксиом 1 этой теориисимметрична относительно операций , , 0, 1.
(А1) х у = у х.
(А2) х у = у х.
(А3) х (у z) = (х у) (х z).
(А4) х (у z) = (х у) (х z).
(А5) х 1 = х.
(А6) х 0 = х.
(А7) х х’ = 0.
(А8) х х’ = 1.
Первоначальными понятиями второй теории Т2 являютсябинарная операция и унарная операция ‘. Система аксиом 2 этойтеории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции .
(В1) х у = у х.
(В2) (х у) z = х (у z).
(В3) х у’ = z z’ х у = х.
(В4) х у = х х у’ = z z’.
Наконец, в третий теории Т3, в которойпервоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции и , унарная операция ‘ и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3следующая:
(С1) х х.
(С2) х у ^ у z = х z.
(С3) х у z х z ^у z.
(С4) z х у z х ^z у.
(С5) х (у z) (х у) (х z).
(С6) х 1.
(С7) 0 х.
(С8) 1 х х’.
(С9) х х’ 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По результатам проведённого курсового исследованияпо теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы.
Аксиоматический метод – фундаментальнейший методорганизации и умножения научного знания в самых разных его областях –сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. Уистоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон,Аристотель, Евклид.
Особую роль аксиоматический метод играет вматематической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайнообширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взглядразобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука.Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод –аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигаетсовершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом,т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того,развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется всистеме наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующаяаксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мереобуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающегомира и преобразующего воздействия на него.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.БазылевВ.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат.факультетов пединститутов. — М., «Просвещение» 1975.
2.ИгошинВ.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004.
3.ИгошинВ.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005.
4.СтоллР. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968.
5.Методаксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия,1964.