Шпаргалка по математике скачать бесплатно на Диплом IQ

Шпаргалка по
математике

Формулы сокр.
умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+…+an-1)

ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1
и x2 — корни
уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни
:

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap×bp
= abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pÖa =b
=> bp=a

pÖapÖb = pÖab

Öa ; a = 0

____

/ __
_

pÖ gÖa = pgÖa

___ __

pkÖagk
= pÖag

p ____

/ a pÖa

/ ¾¾ = ¾¾¾¾

Ö b pÖb

a 1/p = pÖa

pÖag
= ag/p

Квадратное
уравнение

ax²+bx+c=0;
(a¹0)

x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac

D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2

D ab = x;
a>0,a¹0

a loga x = x, logaa =1; loga
1 = 0

loga
x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga
y

loga x/y = loga x – loga
y

loga xk =k loga x (x
>0)

logak x =1/k loga
x

loga x = (logc x)/( logca);
c>0,c¹1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn =
((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1 × q

b2n = bn-1× bn+1

bn = b1×qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) =
sin a

tg (a + pk) = tg
a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы
сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x – tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x – y ¹ p/2 + pn

Формулы
двойного аргумента.

sin 2a = 2sin
a cos a

cos 2a = cos² a – sin² a = 2
cos² a – 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2
tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2
cos² a/2

1-cosa = 2
sin² a/2

tga = (2
tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 – cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 =
sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы
преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x – sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x – cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x – y)

tg x – tgy =
—————

cos x cos y

Формулы преобр.
произв. в сумму

sin x sin y = ½(cos
(x-y) – cos (x+y))

cos x cos y = ½(cos
(x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½(sin
(x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между
ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+
tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)

cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)

ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a

cos3a = 4cos³a-3 cosa=

= cos³a-3cosasin²a

tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)

ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a – 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p – a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a -pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a²)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/Ö(1-a²)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a²)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a²)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические
уравнения

sin x = m ; |m|
= 1

x = (-1)n arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1
sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos
m + 2pk

cos x = 1
cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2); t – tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные
уравнения.

Неравенства:
Если af(x)>(1, то
знак не меняеться.

2) a(1, то : f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 00

f(x) 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение
на множители:

sin 2x – Ö3 cos x
= 0

2sin x cos x -Ö3 cos x
= 0

cos x(2 sin x – Ö3) = 0

….

2. Решения
заменой ….

sin² x –
sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x – 2
sin x cos x + 3 cos ² x = 2
sin² x + cos² x

Дальше пишеться
если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое
невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические
нер-ва :

sin a ³ m

2pk+a1 = a = a2+ 2pk

2pk+a2 = a= (a1+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x)

pk+ 5p/6

2pk+ 17p/24

II sin a = 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a ³(=) m

2pk + a1

2pk+a2

cos a ³ – Ö2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a³(=) m

pk+
arctg m =a= arctg
m + pk

ctg ³(=) m

pk+arcctg
m

Производная:

(xn)’
= n× xn-1

(ax)’ =
ax× ln a

(lg ax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = –
1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’ = – 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = – 1/ Ö(1+x²)

Св-ва:

(u × v)’ =
u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v – uv’)/ v²

Уравнение
касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к
касательной к графику в точке x

1. Найти
производную

2. Угловой
коофициент k =

= производная в
данной точке x

3. Подставим X0,
f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

ò xn dx = xn+1/(n+1)
+ c

ò ax
dx = ax/ln a + c

ò ex
dx = ex + c

ò cos x
dx = sin x + cos

ò sin x
dx = – cos x + c

ò 1/x dx
= ln|x| + c

ò 1/cos² x =
tg x + c

ò 1/sin² x = – ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx =
arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx =
– arccos x +c

ò 1/1+ x² dx =
arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = – arcctg x + c

Площадь
криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² –
2bc cos a

b² = a²+c² – 2ac
cos b

c² = a² + b² – 2ab
cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих.
Медиана делит

противопол.
сторону напополам.

Биссектриса –
угол.

Высота падает
на пр. сторону

под прямым
углом.

Формула Герона
:

p=½(a+b+c)

_____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ½ab sin a

Sравн.=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= pR²

Sсектора=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.×H

Sполн.=
Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S1+S2+ÖS1S2)

S1 и
S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 pR²H

Sбок.
=pRl

Sбок.=
pR(R+1)

Усеченный

Sбок.=
pl(R1+R2)

V=1/3pH(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.×H

прямая: Sбок.=Pосн.×H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс×a

V = Sпс×a, а
-бок. ребро.

Pпс —
периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; Sбок.=
2pRH

Sполн.=2pR(H+R)

Sбок.=
2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ –
шар

S = 4pR³ –
сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H – высота
сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

– ½

Ö2/2

Ö3/2

– ½

cosa

Ö3/2

Ö2/2

– ½

-Ö2/2

– Ö3/2

-1

tga

-Ö3

-1

-1/Ö3

1/Ö3

Ö3

-Ö3

-1

ctga

—

Ö3

1/Ö3

-1/Ö3

-1

—

125

216

343

512

729

256

625

1296

2401

4096

6561

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

729

4096

15625

46656

128

2181

256

6561

-a

p-a

p+a

p/2-a

p/2+a

3p/2 – a

3p/2+a

sin

-sina

sina

-sina

cosa

-cosa

cos

cosa

-cosa

sina

-sina

sina

-tga

tga

ctga

-ctga

ctga

-ctga

ctg

-ctga

ctga

tga

-tga

tga

-tga

Похожие работы