Лабораторная работа №1
Отбор образцов, проб ивыборок для исследования свойств текстильных материалов, методыоценки неровности текстильных материалов
Цель работы
1.Изучить принципы и методыотбора образцов, проб и выборок при исследовании свойств текстильныхматериалов.
2.Изучить способы вычисленияосновных статистических характеристик.
Содержание работы
1.Изучить принципы отбора образцов, проб и выборок. Основныепонятия и определения.
2.Результаты исследования свойств текстильныхматериалов.
3.Расчет статистических характеристик результатовизмерений классическим способом.
4.Расчет статистических характеристикупрощенными способами.
5.Анализ результатов работы, формулировкавыводов.
Пособия и инструменты: образцы текстильных материалов, микрокалькулятор.
Общие сведения
Контроль качества продукции осуществляютсплошным и выборочным способами. В легкой промышленности и бытовом обслуживании наиболеечасто применяется выборочный контроль качества продукции. При этом партиюпродукции рассматривают как генеральную совокупность единиц любой продукции, а ее исследуемую часть называют одинаково –выборкой.
Чтобы выборка отражала свойства партии продукции и позволялапрогнозировать их, выборку необходимо отбирать по определенным правилам.
Объем выборки определяется неравномерностью продукции и величиной доверительных границ илиинтервала, в пределах которых должно находиться искомое значение показателясвойств всей партии продукции. Чем больше неравномерность материала(неоднородность) и чем больше задаваемая величина доверительного интервала, тембольшим должен быть объем выборки. По возможностиобъем выборки принимают минимальным для ускорения испытаний. Выборочныезначения характеристик распределения вероятностей в генеральной совокупностиназывают оценками или статистиками. К основным статистикам относятся среднее,дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Выборочнойсовокупностью илипросто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральнойсовокупностью называютсовокупность объектов, из которых производится выборка.
Образец –часть объекта испытания, который непосредственно подвергается испытанию.
Методы отборапроб:
На практике применяются различные методы отбора проб.Принципиально их можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности начасти:
а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается начасти:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одномуиз всей генеральной совокупности.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всейгенеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность«механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку,а из каждой группы отбирают один объект.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупностине по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.
Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированныйотбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
Выполнение работы
1. Результаты измерений испытания даннойвыборки и результатырасчета статистик, заносятся в табл. 1.
Таблица 1
№
п.п. Первичные результаты измерений Xi, г/м² Отклонение первичного результата от среднего (Xi- X)
Квадратическое отклонение (Хi – Х)2 1 552,8 6,7 44,89 2 548,7 2,6 6,76 3 537,3 -8,8 77,44 4 545,0 -1,1 1,21 5 542,4 -3,7 13,69 6 550,2 4,1 16,81
∑Xi
∑(Xi-X)
∑(Xi-X)2 3276,4 -0,2 160,8
2. Обрабатывает полученные результаты классическим способом.
2.1. Средний результат наблюдаемого признакаопределяют по формуле:
/>
2.2. Отклонение каждого наблюдения в опытеот среднего:
/>
2.3. Определяут дисперсию теоретическогораспределения:
/>
2.4.Выборочное среднеквадратическое отклонение определяют по формуле:
/>
3.5.Выборочное значение коэффициента вариации СВ(%), являющейся мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины,вычисляют по формуле:
/>
При большом числе испытаний используют упрощенные способывычислений статистик (произведений, сумм).
3.Вычисление статистических характеристик способом произведений.
Результатыизмерений толщины кожи в мм:1.23 1.23 1.28 1.26 1.22 1.25 1.24 1.24 1.26 1.24 1.21 1.22 1.20 1.25 1.23 1.25 1.21 1.27 1.25 1.21 1.25 1.24 1.24 1.27 1.28 1.22 1.20 1.24 1.24 1.23 1.24 1.26 1.26 1.24 1.27 1.24 1.24 1.26 1.25 1.24
Причисле испытаний n=40 применяем упрощённый способподсчёта среднего арифметического, среднего арифметического отклонения и коэффициентавариации, результаты первичных наблюдений разбиваем на разряды с определённыминтервалом и определяем частоту встречаемости результатов наблюдений в каждомразделе.
Потаблице 2 определяем кол-во классов, т.к. n=40,то выбираем 10 классов.
Таблица2Число испытаний 25 50 100 200 500 более 500 Количество классов 7…11 8…13 9…14 10…16 12…18 14…20
Определяемразмах результатов испытаний R. Дляэтого из всей совокупности результатов выбирает наибольшую Хmaxи наименьшую Хmin величины и определяем разницу междуними:
/>
Далееопределяем интервал класса (разряда):
/>
После определенияинтервала класса первичные результаты группируют по разрядам и определяютчастоту ni (табл.3).
Таблица3Номер разрядов Границы разрядов Частота Условное отклонение
Сумма S1
Сумма S2 1 1.20…1.208 2 -5 -10 50 2 1.208…1.216 3 -4 -12 48 3 1.216…1.224 3 -3 -9 27 4 1.224…1.232 4 -2 -8 16 5 1.232…1.240 4 -1 -4 4 6 1.240…1.248 8 7 1.248…1.256 6 +1 6 6 8 1.256…1.264 5 +2 10 20 9 1.264…1.272 3 +3 9 27 10 1.272…1.280 2 +4 8 32 10 40 10 230
Определяем условное среднее значение x0как полусумму значений нижней границы класса:
/>
Среднееарифметическое результатов испытаний:
/>
Определяем сумму квадратов отклонений/>:
/>
Вычисляемсреднеквадратическое отклонение:
/>
Далееопределяем коэффициент вариации:
/>
Выводы:в процессе выполнения лабораторной работы были изучены принципы и методы отбора образцов, проб и выборок при исследовании свойств текстильных материалов, способывычисления основных статистических характеристик.
Были определены структурные характеристики,поверхностная плотность и толщина кожи классическим и упрощённым методом. Приоценке толщины кожи упрощённым методом получили высокий показатель коэффициентавариации СВ. Это можно объяснить тем, что при измерении толщины былбольшой размах результатов испытаний R. При этом в процессестатистической обработки были удалены случайные и грубые ошибки, которые моглипоявиться в результате невнимательного снятия и записи показаний толщиномера,наличия погрешности в измерении прибора, неровноты толщины кожи.
Лабораторная работа №2.
Тема: Однофакторный эксперимент. Определениелинейного уравнения регрессии первого порядка
Цель работы
Освоение методов математической обработкирезультатов исследования свойств текстильных материалов; определениеуравнения регрессии по данным однофакторного эксперимента.
Пособия и инструменты: таблицы значенийкритериев Кочрена, Стьюдента, Фишера; микрокалькулятор.
Содержание работы
1. Статистическая обработка первичных результатовэксперимента.
2. Расчет критерия Кочрена и проверкаоднородности дисперсии в опытах матрицы.
3. Определение средней дисперсии выходногопараметра в опытах матрицы.
4. Определение коэффициентов регрессии исоставление уравнения регрессии.
5. Определение адекватности уравнениярегрессии. Расчет критерия Фишера.
6. Оценка значимости коэффициентов регрессии.
7. Определение доверительных интерваловсредних и индивидуальных значений выходного параметра.
8. Построение графика полученного уравнениярегрессии.
9. Анализ результатов работы. Формулировкавыводов.
Общие сведения
В настоящее время при исследовании свойствтекстильных материалов и других видов продукции широкое применение получилиматематико-статистические методы планирования экспериментов.
В задачу планирования эксперимента входят:выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицыпланирования, выбор методов математической обработки результатов эксперимента.
Существует два вида планирования активного эксперимента:традиционное (классическое) однофакторное и многофакторное (факторное).
В традиционном однофакторном планировании изучается влияние навыходной параметр одного входного параметра (фактора).
В результате обработки экспериментальных данных определяютвзаимосвязь между выходным параметром (Y) и варьируемым нанескольких уровнях фактором (X). Математическая модель в общем виде описывается функцией отклика:
y= f(x) (1)
При существовании линейной связи между входными и выходнымипараметрами уравнение регрессии имеет следующий вид:
y = do+d1(x-x̃), (2)
где d0,d1 – коэффициенты уравнения регрессии.
Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера[1,4]. Если расчетное значение критерия Фишера (Fp) меньше табличного (Fm),то гипотеза об адекватности линейной модели не отвергается.
Выполнение работы
1. Статистическая обработка первичныхрезультатов эксперимента
Полученные значениястатистических характеристик заносим в соответствующие графы табл.1.
Таблица 1
Расчёты статистических характеристик№ опыта Фактор Х Значение параметра,Y Ỹ
S2 S
Св 1 2 1. 1 4 9.93 9.47 9.70 0.106 0.325 3.353 2. 2 12 9.81 9.32 9.56 0.120 0.346 3.622 3. 3 20 9.76 9.21 9.48 0.151 0.389 4.1 4. 4 27 9.74 9.16 9.45 0.168 0.41 4.34 5. 35 9.73 9.12 9.42 0.186 0.431 4.577 6. 43 9.68 9.10 9.39 0.168 0.41 4.368 7. 50 9.67 9.07 9.37 0.180 0.424 4.528 8. 58 9.64 9.04 9.34 0.180 0.424 4.542 9. 66 9.63 9.01 9.32 0.192 0.438 4.704 10. 73 9.62 9.00 9.32 0.192 0.438 4.709 11. 81 9.61 8.99 9.30 0.192 0.438 4.714 12. 88 9.62 8.97 9.29 0.212 0.46 4.945 13. 96 9.60 8.95 9.27 0.212 0.46 4.955 14. 104 9.58 8.94 9.26 0.205 0.453 4.887 15. 111 9.57 8.92 9.24 0.212 0.46 4.972 16. 119 9.54 8.92 9.23 0.192 0.438 4.75 17. 126 9.55 8.93 9.22 0.192 0.438 4.745 18. 134 9.53 8.90 9.21 0.198 0.445 4.834 19. 141 9.53 8.89 9.21 0.205 0.453 4.914 20. 149 9.52 8.88 9.20 0.205 0.453 4.919 21. 156 9.51 8.86 9.18 0.212 0.46 5.004 22. 164 9.49 8.88 9.18 0.186 0.431 4.696 23. 171 9.49 8.85 9.17 0.205 0.453 4.935 24. 179 9.49 8.82 9.15 0.225 0.474 5.175 25. 186 9.47 8.82 9.14 0.212 0.46 5.026 26. 194 9.46 8.82 9.14 0.205 0.453 4.951 27. 201 9.45 8.82 9.13 0.225 0.474 5.175 28. 209 9.47 8.80 9.13 0.212 0.46 5.026 29. 216 9.46 8.80 9.13 0.218 0.467 5.112 30. 224 9.45 8.79 9.12 0.218 0.467 5.117
2. Расчёт критерия Кочрена и проверка однородности дисперсии в опытах матрицы
Для проверки однородности дисперсии ивоспроизводимости эксперимента при одинаковой повторности (m) всех опытов рассчитываем значение критерия КочренаGp по формуле
/> (3)
где /> – максимальнаядисперсия из всех опытов;
/> – суммавсех дисперсий эксперимента.
Далее расчётное значение Gp сравниваем с табличным значением GT. Дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково,т.к. Gp GT(0.039
3. Определение средней дисперсии выходногопараметра в опытах матрицы
Т.к. в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытоводинаково, то среднюю дисперсию определяютпо формуле
/> (4)
После этого определяем число степенейсвободы средней дисперсии;
F(S2(1){y})=N(m-1)=30 (5)
Средняя дисперсия характеризует среднийразброс значений выходного параметра относительно его среднихзначений, т.е. ошибку опытов в эксперименте.
4. Определение коэффициентов регрессии исоставление уравнения регрессии
Дисперсии выходного параметра для каждогоуровня фактора однородны, следлвательно, применяем методнаименьших квадратов.
Коэффициенты уравнения регрессии определяем по формулам:
/> (6)
/> (7)
где /> – среднее значение результата эксперимента;
xu — значение фактора наопределенном u-уровне;
/> – среднее значение фактора.
Для удобства все промежуточные расчеты сводят в табл. 2.
Таблица 2
Расчет коэффициентов уравнения регрессии№ опыта u
Фактор xu
xu — x̃
(xu — x̃)2
Ỹu
(xu — x̃) Ỹu 1. 4 -110.567 12225.06 9.70 -1072.49 2. 12 -102.567 10519.99 9.56 -980.54 3. 20 -94.567 8942.91 9.48 -896.49 4. 27 -87.567 7667.98 9.45 -827.51 5. 35 -79.567 6331.38 9.42 -749.52 6. 43 -71.567 5121.84 9.39 -672.01 7. 50 -64.567 4168.89 9.37 -604.99 8. 58 -56.567 3199.83 9.34 -528.34 9. 66 -48.567 2358.75 9.32 -452.64 10. 73 -41.567 1727.82 9.32 -387.40 11. 81 -33.567 1126.74 9.30 -312.17 12. 88 -26.567 705.81 9.29 -246.81 13. 96 -18.567 344.73 9.27 -172.12 14. 104 -10.567 111.66 9.26 -97.85 15. 111 -3.567 12.72 9.24 -32.96 16. 119 4.433 19.65 9.23 40.92 17. 126 11.433 130.71 9.22 105.41 18. 134 19.433 377.64 9.21 178.98 19. 141 26.433 698.70 9.21 243.45 20. 149 34.433 1185.63 9.20 316.78 21. 156 41.433 1716.69 9.18 380.35 22. 164 49.433 2443.62 9.18 453.79 23. 171 56.433 3184.68 9.17 517.49 24. 179 64.433 4151.61 9.15 589.56 25. 186 71.433 5102.67 9.14 652.89 26. 194 79.433 6309.60 9.14 726.60 27. 201 86.433 7470.66 9.13 489.13 28. 209 94.433 8917.59 9.13 862.17 29. 216 101.433 10288.65 9.13 926.08 30. 224 109.433 11975.58 9.12 998.02
После определения коэффициентов составляют искомое уравнение регрессии:
yR = do+d1(x-x̃).(8)
5. Определение адекватности уравнениярегрессии. Расчеты критерия Фишера. Для определения адекватностиполученного уравнения (8) используют критерий Фишера, расчетноезначение которого определяем по формуле
/> (9)
где S2(1) – средняядисперсия или дисперсия воспроизводимости, определяемая но формуле(4);
S2(2) –дисперсия, характеризующая рассеивание средних экспериментальныхзначений уu относительно прямойлинии, определяемой по формуле (8) (дисперсия адекватности).
Дисперсия S2(2) характеризует точность аппроксимациизависимости ỹ=f(X)прямой линией, ее определяют по формуле
/> (10)
где /> и /> экспериментальное ирасчетное значения выходного параметра.
После этого определяют число степеней свободы дисперсииадекватности
F{S2(2)}=N-2=28 (11)
Далее подставляем в формулу (9) значения дисперсии S2(1){y}и S2(2){y} рассчитывают критерий Фишера. Fp сравниваем с табличным значением критерияФишера FT, которое определяютиз [1.4] при доверительной вероятности α=0,95 и число степеней свободы f {S2(2)} и f { S2(1)}
FT=2.38, а Fр = 0.029
Fр
Т.к. Fр
Расчет суммы в формуле (10) сводим в табл. 3.Расчетные значения выходного параметра /> определяемиз уравнения (8), подставляя значения Хu.
Таблица 3
Расчёт дисперсии адекватностиu
xu
d1xu
YRu
ỹu
ỹu — YRu
(ỹu — YRu)2 1. 4
-7.864×10-3 9.492 9.70 0.208 0.043 2. 12 -0.024 9.477 9.56 0.083
6.950×10-3 3. 20 -0.039 9.461 9.48 0.019
3.645×10-4 4. 27 -0.053 9.447 9.45
2.853× 10-3
8.140×10-6 5. 35 -0.069 9.431 9.42 -0.011
1.304×10-4 6. 43 -0.085 9.416 9.39 -0.026
6.601×10-4 7. 50 -0.098 9.402 9.37 -0.032
1.020×10-3 8. 58 -0.114 9.386 9.34 -0.046
2.135×10-3 9. 66 -0.130 9.370 9.32 -0.050
2.548×10-3 10. 73 -0.144 9.357 9.32 -0.037
1.348×10-3 11. 81 -0.159 9.341 9.30 -0.041
1.680×10-3 12. 88 -0.173 9.327 9.29 -0.037
1.386×10-3 13. 96 -0.189 9.312 9.27 -0.042
1.722×10-3 14. 104 -0.204 9.296 9.26 -0.036
1.280×10-3 15. 111 -0.218 9.282 9.24 -0.042
1.765×10-3 16. 119 -0.234 9.266 9.23 -0.036
1.317×10-3 17. 126 -0.248 9.253 9.22 -0.033
1.058×10-3 18. 134 -0.263 9.237 9.21 -0.027
7.180×10-4 19. 141 -0.277 9.223 9.21 -0.013
1.699×10-4 20. 149 -0.293 9.207 9.20
-7.308×10-3
5.340×10-5 21. 156 -0.307 9.194 9.18 -0.014
1.835×10-4 22. 164 -0.322 9.178 9.18
2.181×10-3
4.756×10-6 23. 171 -0.336 9.164 9.17
5.942×10-3
3.531×10-5 24. 179 -0.352 9.148 9.15
1.669×10-3
2.786×10-6 25. 186 -0.366 9.135 9.14
5.430×10-3
2.949×10-5 26. 194 -0.381 9.119 9.14 0.021
4.476×10-4 27. 201 -0.395 9.105 9.13 0.025
6.210×10-4 28. 209 -0.411 9.089 9.13 0.041
1.652×10-3 29. 216 -0.425 9.076 9.13 0.054
2.960×10-3 30. 224 -0.440 9.060 9.12 0.060
3.616×10-3
6. Оценка значимости коэффициентов регрессии
Дляопределения значимости полученных коэффициентов d0и d1 уравнения (8) используетсякритерийСтьюдента [1], расчетное значение которого определяемпо формуле
tp=|di|/S{di}=3,114 (12)
где S {di} — оценка среднеквадратического отклонениякоэффициента регрессии di.
Дисперсию коэффициентов регрессии S2{do} и S2{d1}рассчитываем по формулам:
/>(13)
/> (14)
В формулы (13) и (14) входит дисперсия S2{y},которая является сводной оценкой дисперсии случайной величины Yu выходного параметра при условии линейнойсвязи. Эту дисперсию определяем по формуле
/> (15)
далее определяют число степеней свободы этойдисперсии:
f{S2}=mN-2=58(16)
Сравниваем табличное и расчётное значениякритерия Стьюдента. Если tp>tт, то коэффициенты уравнения регрессиизначимы и, следовательно, связь между Y и Хзначима.
В нашем случае tр=3,114,а tt=2,0.Следовательно, связь между Y и Хзначима.
После этого определяем абсолютные ошибкикоэффициентов регрессии ε{di}:
ε {di}=S{di}·tT[α,f{S2}]. (17)
ε {d0}=2,314
ε {d1}=0,035
Тогда для истинных значений коэффициентоврегрессии δ0и δ1в линейном уравнении(8) доверительные интервалы определяются неравенством
di-ε{di}≤δi≤ds+ ε{di}. (18)
6,961≤ δ0≤5,289
-0,036967≤ δ1≤-0,033
7. Определение доверительных интерваловсредних и индивидуальных значений выходного параметра
Чтобы определить степень отклонения расчетныхзначений выходного параметра YRu отистинного его значения при каждом уровне фактора Xu, определяемдоверительные ошибки ε{YRu} расчетного значениявыходного параметра и доверительные интервалы средних ииндивидуальных значений выходного параметра.
Доверительные ошибки расчетных значенийвыходного параметра для каждого уровня фактора рассчитывают по формуле
εm{YRu}=Sm{yRu}·tT[α,f{S2}] (19)
где Sm{yRu} – оценка среднеквадратическогоотклонения расчетного значения выходного параметраYRu для каждого значения xu.
Оценку среднеквадратического отклонениярассчитывают по формуле
/> (20)
Расчеты εm{YRu} и Sm{YRu} заносим в табл.4.
Далее в таблицу заносят расчетные значения yRu, полученные по уравнению регрессии(8).
Зная ошибки расчетной величины, определяемдоверительные интервалы для испытанных средних значенийвыходного параметра.
Нижний доверительный интервал определяют:
Ym(н)=yRu — εm,(21)
верхний доверительный интервал :
Ym(в)=yRu+ εm,(22)
Значения верхних и нижних значений доверительных интервалов для каждого опытазаносим в табл. 4.
Таблица 4
Доверительные интервалы средних значенийu
xu
(xu — x̃)2
Sm2
Sm
εm
YRu
Ym(н)
Ym(в) 1. 4 12225.06 4.871e 0.070 8.096 9.492 1.397 17.588 2. 12 10519.99 4.192e 0.065 7.510 9.477 1.967 16.987 3. 20 8942.91 3.563e 0.060 6.924 9.461 2.537 16.385 4. 27 7667.98 3.055e 0.055 6.412 9.447 3.035 15.859 5. 35 6331.38 2.523e 0.050 5.826 9.431 3.605 15.258 6. 43 5121.84 2.041e 0.045 5.241 9.416 4.175 14.656 7. 50 4168.89 1.661e 0.041 4.728 9.402 4.674 14.130 8. 58 3199.83 1.275e 0.036 4.142 9.386 5.244 13.529 9. 66 2358.75 9.401e 0.031 3.557 9.370 5.814 12.927 10. 73 1727.82 6.888e 0.026 3.044 9.357 6.312 12.401 11. 81 1126.74 4.493e 0.021 2.459 9.341 6.882 11.800 12. 88 705.81 2.816e 0.017 1.947 9.327 7.381 11.274 13. 96 344.73 1.377e 0.012 1.361 9.312 7.950 10.673 14. 104 111.66 4.488e 0.0067 0.777 9.296 8.519 10.073 15. 111 12.72 5.467e 0.002338 0.271 9.282 9.011 9.553 16. 119 19.65 8.228e 0.002868 0.333 9.266 8.934 9.599 17. 126 130.71 5.247e 0.007244 0.840 9.253 8.412 10.093 18. 134 377.64 1.509e 0.012 1.425 9.237 7.812 10.662 19. 141 698.70 2.788e 0.017 1.937 9.223 7.286 11.160 20. 149 1185.63 4.728e 0.022 2.522 9.207 6.685 11.729 21. 156 1716.69 6.843e 0.026 3.035 9.194 6.159 12.228 22. 164 2443.62 9.739e 0.031 3.620 9.178 5.558 12.798 23. 171 3184.68 1.269e 0.036 4.133 9.164 5.031 13.297 24. 179 4151.61 1.654e 0.041 4.718 9.148 4.430 13.867 25. 186 5102.67 2.033e 0.045 5.231 9.135 3.904 14.365 26. 194 6309.60 2.514e 0.050 5.816 9.119 3.302 14.935 27. 201 7470.66 2.977e 0.055 6.329 9.105 2.776 15.434 28. 209 8917.59 3.553e 0.060 6.915 9.089 2.175 16.004 29. 216 10288.65 4.099e 0.064 7.427 9.076 1.648 16.503 30. 224 11975.58 4.771e 0.069 8.013 9.060 1.047 17.073
Далее определяем границы доверительногоинтервала для индивидуальных значений выходного параметра Y при каждом уровнефактора.
Верхняя граница интервала:
yl(в)=yRu+Sl·tт[α,f{S2}].(23)
Нижняя граница интервала:
yl(в)=yRu-Sl·tт[α,f{S2}].(23)
Предварительно определяем ошибку:
/> (25)
Используя значения Sm изтабл. 4 и ранее определенные по уравнению (15) значенияS2{у} и критерийСтьюдента, определяем верхние и нижние границы искомой зоны по формулам (23) и(24), сводя все расчеты в табл. 5,
Таблица 5u
xu
Sm2
Sl2
Sl
YRu
tт· Sl
Yl(н)
Yl(в) 1. 4 4.871e 0.107 0.328 9.492 0.656 8.837 10.148 2. 12 4.192e 0.107 0.327 9.477 0.653 8.823 10.130 3. 20 3.563e 0.106 0.326 9.461 0.652 8.809 10.112 4. 27 3.055e 0.106 0.325 9.447 0.650 8.797 10.097 5. 35 2.523e 0.105 0.324 9.431 0.648 8.783 10.080 6. 43 2.041e 0.105 0.323 9.416 0.647 8.769 10.063 7. 50 1.661e 0.104 0.323 9.402 0.646 8.756 10.048 8. 58 1.275e 0.104 0.322 9.386 0.644 8.742 10.031 9. 66 9.401e 0.103 0.322 9.370 0.643 8.727 10.014 10. 73 6.888e 0.103 0.321 9.357 0.643 8.714 9.999 11. 81 4.493e 0.103 0.321 9.341 0.642 8.699 9.983 12. 88 2.816e 0.103 0.321 9.327 0.641 8.686 9.969 13. 96 1.377e 0.103 0.320 9.312 0.641 8.671 9.952 14. 104 4.488e 0.103 0.320 9.296 0.641 8.655 9.936 15. 111 5.467e 0.103 0.320 9.282 0.640 8.642 9.923 16. 119 8.228e 0.103 0.320 9.266 0.640 8.626 9.907 17. 126 5.247e 0.103 0.320 9.253 0.641 8.612 9.893 18. 134 1.509e 0.103 0.320 9.237 0.641 8.596 9.878 19. 141 2.788e 0.103 0.321 9.223 0.641 8.582 9.864 20. 149 4.728e 0.103 0.321 9.207 0.642 8.565 9.849 21. 156 6.843e 0.103 0.321 9.194 0.643 8.551 9.836 22. 164 9.739e 0.104 0.322 9.178 0.644 8.534 9.821 23. 171 1.269e 0.104 0.322 9.164 0.644 8.520 9.808 24. 179 1.654e 0.104 0.323 9.148 0.646 8.503 9.794 25. 186 2.033e 0.105 0.323 9.135 0.647 8.488 9.781 26. 194 2.514e 0.105 0.324 9.119 0.648 8.471 9.767 27. 201 2.977e 0.106 0.325 9.105 0.650 8.455 9.755 28. 209 3.553e 0.106 0.326 9.089 0.651 8.438 9.741 29. 216 4.099e 0.107 0.327 9.076 0.653 8.422 9.729 30. 224 4.771e 0.107 0.328 9.060 0.655 8.405 9.715
Выводы:в процессе выполнения лабораторной работы были изучены методыматематической обработки результатов исследования свойств текстильныхматериалов, приведён расчёт критерия Кочрена и проверка однородности дисперсиив опытах матрицы, определена средняя дисперсия выходного параметра в опытахматрицы, коэффициенты регрессии, адекватность уравнения регрессии, расчёткритерия Фишера, определены уравнения регрессии по данным однофакторногоэксперимента, доверительные интервалы средних и индивидуальных значенийвыходного параметра, построен график полученного уравнения регрессии.
Лабораторная работа №3часть 1
Постановка полногофакторного эксперимента при исследовании качествашвейных изделий.Определение многофакторных регрессионных моделей Iи IIпорядков при исследовании качествашвейныхизделий
Цель работы:
Освоить математическиеметоды планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ); научиться определятьматематические модели I и IIпорядков при исследовании качества швейных изделий
Содержание работы
1.Планирование полногофакторного эксперимента и обработка результатов.
2. Определение линейноймодели ПФЭ.
3. Проверка адекватностиуравнения I порядка.
4. Планированиемногофакторного эксперимента II порядка.
5. Определение уравнениярегрессии II порядка.
6. Проверка адекватностиуравнения II порядка.
7. Анализ результатовработы. Формулировка выводов.
Пособия иинструменты:таблицы значений критериев Стьюдента, Фишера; микрокалькулятор.
Вариант №4
Определяливоздухопроницаемость тканей с различными значениями плотности нитей по основе(Х1)(П0=180), и коэффициентом уплотненности (Х2)(С0=0,7) с интерваламиизменения соответственно 50 и 0,2. Определить уровни варьирования факторов,построить рабочую матрицу планирования. Провести обработку ПФЭ, найти уравнениерегрессии, проверить его адекватность, результаты расчёта представитьграфически.
Матрица эксперимента№ опыта Х0 Х1 Х2 Х1Х2 Y дм/м ·с
1
2
3
4
+
+
+
+
+
–
+
–
–
–
+
+
–
+
+
–
200
380
150
300
Общие сведения
Качество швейных изделийзависит от целого ряда факторов (свойства используемых материалов, швейныхниток, качество соединений и др.). Поэтому при исследовании качества швейныхизделий решают многофакторную задачу, в которой изучаемое свойство объекта (Y) зависит от нескольких факторов (Х1, Х2, Х3, Х4 и т.д.).
С той целью проводитсяполный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются все возможныекомбинации рассматриваемых уравнений факторов, а результаты оцениваются спомощью статистического анализа.
Планирование ПФЭ связанос построением линейных моделей вида
/>
где /> — значение критерия;
bi — линейные коэффициенты;
bij— коэффициенты двойного взаимодействияфакторов.
Многофакторныйэксперимент представляет собой сложную задачу, поэтому очень часто линейнаяматематическая модель является неадекватной реальному процессу.
В данном случае переходятк планированию второго и более высоких порядков. Уравнение регрессии при этомпредставляет полином второй или более высокой степени. Так, при планированиивторого порядка изучаемый процесс описывается уравнением второго порядка, общийвид которого представлен ниже
/>
Порядок статистическойобработки результатов эксперимента при многофакторном планированиисоответствует последовательности обработки при однофакторном планировании.
Выполнение работы
1.1. Определение коэффициентовуравнения регрессии.
1.1.1.Свободный членуравнения регрессии определяем по формуле:
/>
/>
где n — число опытов;
/> — средний результат вкаждом опыте.
1.1.2.Линейныекоэффициенты определяют по формуле:
/>
/>
/>
где хiu — кодированное значение i-го факторав каждом отдельном опыте.
1.1.3. Коэффициентыпарного взаимодействия.
/>
/>
1.2. Оценка значимостикоэффициентов уравнения регрессии.
1.2.1 Определениедисперсии результатов эксперимента:
/>
где /> – суммасреднеквадратических отклонений результатов эксперимента от среднего значения вкаждом определенном опыте;
N — повторность опытов.
/>
1.2.2 Определениедисперсии (ошибки) коэффициентов уравнения регрессии по формуле
/>
1.2.3. Определениедоверительного интервала для коэффициентов уравнения.
/>
где tT= 3,18-табличное значение критерияСтьюдента для n=4.
/>
/>
После определениядоверительного интервала сравниваем его величину с коэффициентами регрессии.Величина доверительного интервала меньше (по модулю) величины коэффициента,следовательно, данный коэффициент уравнения значим и не исключается изуравнения регрессии.
1.3. Составлениеуравнения регрессии
После оценки значимостикоэффициентов студенты составляют уравнение регрессии в виде.
/>
/>
где -/>
/>
/>
/>
1.4. Проверкаадекватности уравнения регрессии
Адекватность полученногоуравнения регрессии определяем с помощью критерия Фишера. Для этогорассчитывают значения критерия по уравнению регрессии, подставляя вместо хu кодированное значение каждогофактора в данном опыте. После этого определяют квадраты отклонений междурасчетными и экспериментальными значениями />.
Результаты заносим втаблицу 1.
Таблица 1.№ опыта
Результат эксперимента
/>
Расчётное значение
/>
/>
/>
1
2
3
4
200
380
150
300
142.5
307.5
142.5
307.5
-7.5
7.5
7.5
-7.5
56.25
56.25
56.25
56.25
После этого определяемдисперсию адекватности по формуле:
/>
где n– повторность опыта;
k — количество факторов.
Тогда расчётное значение критерияФишера:
/>
/>
Fт = 19,45
Fp > Fт
Определив расчётноезначение критерия Фишера и сравнивая его с табличным, определяют адекватностьуравнения регрессии изучаемому процессу. Если Fp>FT, то гипотеза об адекватностиотвергается, и уравнение регрессии не соответствует реальному процессу, т.е.связь между критерием и факторами нелинейная.
Вывод: В данной лабораторной работеосвоили математические методы планирования полного факторного эксперимента(ПФЭ), научились определять математические модели I порядка, при исследовании качества изделий.
Изучив алгоритмвыполнения работы и выполнив ее, определили, что адекватность отвергается (Fp>FT) и уравнение регрессии несоответствует реальному процессу, т.е. связь между критериями и фактораминелинейная. Следовательно, уравнение будет иметь степенную зависимость.Переходим к планированию эксперимента высшего порядка.
Лабораторная работа №3 часть 2
Вариант №4
Определяливоздухопроницаемость тканей с различными значениями плотности нитей по основе(Х1)(П0=180), и коэффициентом уплотненности (Х2)(С0=0,7) с интерваламиизменения соответственно 50 и 0,2. Определить уровни варьирования факторов,построить рабочую матрицу планирования. Провести обработку ПФЭ, найти уравнениерегрессии, проверить его адекватность, результаты расчёта представитьграфически. № опыта Х0 Х1 Х2 Х1Х2 X²11 X²22 Y дм/м ·с
ядро
1
2
3
4
+
+
+
+
+
–
+
–
–
–
+
+
–
+
+
–
+
+
+
+
+
+
+
+
200
380
150
300
звёздные
5
6
7
8
+
+
+
+
-1,414
1,414
-1,414
1,414
2,0
2,0
2,0
2,0
270
340
180
330
центральные
9
10
11
12
13
+
+
+
+
+
190
200
230
180
220
2.1. Определениекоэффициентов уравнения регрессии
2.1.1 Свободный членуравнения определяем по формуле:
/>
/>
где yu- среднее экспериментальное значениев каждом u-том опыте;
x — кодированное значение уровня k-го фактора в u-том опыте;
k — количество факторов;
а1, а2 — числовые константы, берутся из таблицы.Число факторов (k) Число опытов Коэффициенты
а1
а2
а3
а4
а5
а6
а7 2 13 0,200 0,100 0,125 0,250 0,125 0,0187 0,100 3 20 0,1663 0,0568 0,0732 0,1250 0,0625 0,0069 0,0568 4 31 0,1428 0,0357 0,0417 0,0625 0,0312 0,0037 0,0357 5 32 0,1591 0,0341 0,0417 0,0625 0,0312 0,0028 0,0341
2.1.2 Линейныекоэффициенты определяем по формуле:
/>
/>
/>
2.1.3. Коэффициентыпарного взаимодействия:
/>
/>
где xiu, xju-кодированные значения уровней i-го и j-го факторов соответственно и в u-том опыте.
2.1.4 Коэффициенты приквадратичных членах уравнения регрессии определяют:
/>
/>
/>
После вычислениякоэффициентов уравнения регрессии переходят к оценке их значимости./>
2.2. Оценка значимостикоэффициентов уравнения регрессии.
2.2.1 Определяемдисперсию воспроизводимости S2{y} по формуле (дублирование опытов проводится только в нулевойточке).
/>
где n0 = 5 – число опытов в нулевой точке;
/>= 252 – средний результат в нулевойточке;
y0j — каждый отдельный результат в нулевой точке.
2.2.2 Дисперсию(среднеквадратическую ошибку) в определении коэффициентов определяют длясвободного члена:
/>
для линейныхкоэффициентов:
/>
/>
для коэффициентов парноговзаимодействия:
/>
/>
для квадратичныхкоэффициентов:
/>
/>/>
Формулы для подсчётапостоянных С, А, λ приведены ниже:
/>
/>
/>
где N – общее число опытов;
k – число факторов в эксперименте.
2.2.2 Определениедоверительных интервалов для оценки значимости коэффициентов уравнения.
Доверительные интервалыдля b0,bi,bji и biiсоответственно определяют по формулам:
/>
/>
/>
/>
Проверяем значимостькоэффициентов уравнения, сравниваем соответствующий доверительный интервал свеличиной коэффициента. |bi|
2.3. Составлениеуравнения регрессии.
Адекватность уравненияпроверяем по критерию Фишера:
/>
где дисперсиюадекватности определяем по формуле:
/>
где /> — среднее экспериментальноезначение критерия в каждом опыте;
/> — расчётное значение критерия;
y0j- значение критерия в каждой нулевой точке;
/> — среднее значение критерия в нулевойточке.№ опыта
Результат эксперимента
/>
Расчётное значение
/>
/>
/>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
200
380
150
300
270
340
180
330
240
255
260
245
260
204.497
311.743
225.021
332.267
217.547
369.192
228.874
257.895
252.062
252.062
252.062
252.062
252.062
-4.497
68.257
-75.021
-32.267
52.453
-29.192
-48.874
72.105
-12.062
2.938
7.938
-7.062
7.938
–
–
–
–
–
–
–
–
144
9
64
49
64
/>
/>
/>
Fp
Определив расчётноезначение критерия Фишера и сравнив его с табличным, определили адекватностьуравнения регрессии изучаемому процессу. Расчётноезначение критерия Фишера меньше табличного Fp
Вывод: В данной работе по результатамэкспериментальных данных, содержащихся в 1 части задания, мы достроили рабочуюматрицу эксперимента, и перешли к планированию многофакторного экспериментавторого порядка. Уравнение регрессии при этом представляет полином второй степени.Получили следующее уравнение регрессии:
/>
/>/>
/>/>
/>
/>