Частица вращается по окружности />, и уравнение движения />. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент />.
Найдем угловую скорость
/>:
/>;
Линейная скорость находиться по формуле
/>
/>
Тангенциальное ускорение
/>:
/>, />/>
Нормальное ускорение
/>:
/>, />/>
Полное ускорение
/>:
/>, />/>
Ответ: тангенциальное ускорение />/>, нормальное ускорение />/>, полное ускорение />/>.
Тело движется вдоль прямой, замедляясь при />. В начальной точке скорость была />. Какой путь пройдет тело до остановки.
Мгновенная скорость />, следовательно/>
Мгновенное ускорение />, следовательно/>
Получаем равенство />
Проинтегрируем равенство />
/>
Ответ: тело пройдет путь равный />
На брусок массой />, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действует сила />. При прямолинейном движении угол между силой и горизонтом изменяется по закону />, где />— постоянная. Найти скорость бруска как функцию от />.
Уравнение движения в проекции /> имеет вид
/>
Заменим в уравнении />, тогда
/>
Ответ: скорость бруска равна />
Конькобежец массой /> кг, стоя на коньках на льду, толкает камень /> кг под углом 30° к горизонту со скоростью />/>. Найти начальную скорость движения конькобежца.
Импульс и закон сохранения импульса
/>; />;
Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них был равен 0, равнялась 0 и их векторная сумма
/>
В конце броска импульс груза равен />, конькобежца — />
В проекции на ось Ox импульс груза равен />, конькобежца — />.
т.к. />, то />
/>/>.
Ответ: />/>;
Тело массой /> начинает двигаться вдоль оси /> со скоростью />, где /> — перемещение. Найти выражение для работы и вычислить работу при /> кг за 3с движения.
Найдем ускорение как производную от скорости
/>; />/>;–PAGE_BREAK–
Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимость скорости от времени.
/>
Через 3с скорость будет:
/>/>
Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале тело находилось в состоянии покоя:
/>; />кДж
Ответ: />/>, />/>;
Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметрии под действием момента сил М = 1,8t2. Найти угловую скорость колеса через 3 с после начала движения.
Момент инерции диска вычисляется по формуле
/>; />/>
Основной закон динамики вращательного движения
/>
Проинтегрируем выражение по />:
/>
Т.к. />, то />
Через 3с угловая скорость будет
/>/>
Ответ: />/>
Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p0(1-r/l), где l — длина, r — расстояние до оси вращения, проходящей черев конец стержня. Вычислить при р = 7800 кг/м3, S = 2 см2 и I= 80 см.
Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной />. Его момент инерции:
/>,
где /> — масса участка.
Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции всех его участков.
/>
/>
/>
Ответ: />
На скамье Жуковского I = 50 кг-м2 стоит человек и держит в руках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м2 и скорость вращения 25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращения скамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.
Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальной оси сохранился. То есть
/>,
где /> — момент инерции колеса, /> — угловая скорость скамьи, /> — угловая скорость колеса.
Скамья начала вращаться с угловой скоростью
/>, />
Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешних сил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:
/>, />
Ответ: />, />.
Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с и ускорение а = — 80 см/с2. Найти амплитуду А. циклическую частоту w, период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.
Запишем закон движения и его производные:
/>(1),
/>(2),
/>(3).
Подставив /> и />в (3), найдем />:
/>, />
Преобразуем формулу (2) следующим образом:
/>(2’).
Возведем в квадрат (1) и (2’) и сложим:
/>
/>см
Период колебаний />с.
Найдем фазу: />, />
Что соответствует точке на окружности с углом — />
Ответ: />см, />, />с, />.
Уравнение колебаний частицы массой 1.6-10 -2 кг имеет вид х = 0,lsin(p t/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей на частицу. Найти значение максимальной силы.
Найдем ускорение как вторую производную />по />:
/> продолжение
–PAGE_BREAK–
Произведение ускорения на массу даст силу:
/>,
/>
Значение максимальной силы при />
/>
/>
График – синусоида с периодом 16 и смещенная на 2 влево.
Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.
Пусть диск повернулся на малый угол />, тогда возвращающий момент сил:
/>, где /> — плечо силы.
Момент инерции диска относительно центра:
/>
относительно оси вращения:
/>
Тогда уравнение движения имеет вид:
/>или />
Это уравнение колебаний с частотой:
/>
У математического маятника />
Значит приведенная длина:
/>, />м.
Период колебаний:
/>
Ответ: />, />.
Определить скорость, если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на D x = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.
Отношение разности фаз к расстоянию между точками есть волновое число />
/>, />/> — длина волны.
Выразим частоту:
/>,
где /> — скорость распространения.
/>
Ответ: />.
При изменении давления газа на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па, объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газа сохраняется постоянной.
Используем, что при />. Тогда
/>
/>.
Аналогично для (2)
/>
Выразим из (1) />и подставим в (2).
/>
/>, отсюда />.
При />и /> положительных мы не знаем, когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величины отрицательными.
Тогда />л. Подставив в формулу для />, получим />Па.
В обоих случаях газ сжимали.
Ответ: />, />Па.
Найти с помощью распределения Максвелла среднее значение квадрата проекции скорости молекулы газа при температуре Т.
Распределение Максвелла по проекциям:
/>
Среднее значение квадрата проекции ищем по формуле:
/>
Введем новую переменную />
/>, />, />
/>
/>— табличный интеграл.
/>
Ответ: />.
Найти работу, совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, при температуре 290°К. при увеличении объема газа в три раза.
Количество водорода />моль.
/>
/>
/>— при расширении от /> до />.
/>кДж.
Ответ: />кДж.
Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t1 = 300°К до T 2 = 380 К при температуре холодильника T2 = 200°К?
КПД находим по формуле
/>,
где /> — температура нагревателя, а /> — температура холодильника.
/>
/>
/>
/>— во столько раз увеличивается КПД.
Ответ: 1,42.