Задание №1
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:
а) ни на два, ни на три;
б) на два или на три?
Решение:
Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)
В-событие, что натуральное число делится на 3
p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)
а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни надва, ни на три />
Вероятностьпроизведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Тогда вероятность события С:
/>
Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3
б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2или на 3 />.
Вероятностьсуммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Тогда вероятность события D:
/>.
Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3 Задание №2
В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовкатипа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле извинтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.
Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чемуравна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?
Решение:
А – событие, что поражена мишень
Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.
/> и />
А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа
А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа
/>
/>
Длянахождения вероятности />применяют формулу
/>
/>
2. Рn(k) – вероятность, что в n испытаниях событиенаступит k раз находится по формуле Бернулли />.
Вероятность события, что мишень окажетсяпоражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятойвинтовки.
/>
/>Задание №3
При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределилсяпо интервалам следующим образом:Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3 К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100
Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.
Решение:
Гистограмма –служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатуюфигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака />, и высотами, равнымичастотам />интервалов.
/>
Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой среднейарифметической.
Средней арифметической дискретного вариационного ряда />называется отношение суммыпроизведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:
/>
где /> — варианты дискретного рядаили середины интервалов вариационного ряда, />-соответствующие им частоты.
Для каждогоинтервала найдем середины по формуле />.Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3
/> 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 4 К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100
/>
/>
Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.
Задание №4
По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму:24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15,14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18,19, 20, 22, 28.
Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.
Решение:
1. Проранжируем[1] исходный ряд,подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд
2. Дляопределения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:
n = 1+3,322 * lgN
где n – число групп, N =45 – число единицсовокупности
Для данныхзадачи n= 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 =6б49 »6 групп
Величина интервалапредставляет собой разность между максимальным и минимальным значением признакав каждой группе.
/>
3. Выполнимпромежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значениячисловых характеристик:
Серединыинтервалов />
Средняяарифметическая /> где />-варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, /> — соответствующие им частоты.
Дисперсия />.
Среднееквадратическое отклонение />.
№
Значения № группы Интервалы Частота 1
1
нач
кон 2
2 1 1,0 5,5
3 3
5 2 5,5 10,0
5 4
7 3 10,0 14,5
15 5
9 4 14,5 19,0
17 6
10 5 19,0 23,5
2 7
10 6 23,5 28,0
3 8
10 9
11 10
11 11
11 12
12 13
12 14
13 15
13 16
14 17
14 18
14 19
14 20
14 21
14 22
14 23
14 24
15 25
15 26
15 27
15 28
15 29
15 30
15 31
16 32
16 33
16 34
17 35
17 36
17 37
18 38
18 39
19 40
19 41
20 42
22
x min
1 43
24
x max
28 44
26
h
4,5 45
28 № группы Интервалы Частота
Промежуточные вычисления
нач
кон
сер
ni
xcp*ni
(x-Xcp)
(x-Xcp)2
ni*(x-Xcp)2 1 1,0 5,5 3,25
3 9,75 -10,9 118,81 356,43 2 5,5 10,0 7,75
5 38,75 -6,4 40,96 204,80 3 10,0 14,5 12,25
15 183,75 -1,9 3,61 54,15 4 14,5 19,0 16,75
17 284,75 2,6 6,76 114,92 5 19,0 23,5 21,25
2 42,50 7,1 50,41 100,82 6 23,5 28,0 25,75
3 77,25 11,6 134,56 403,68
45 636,75
1234,80
/> 14,15
S2
27,44
5,24
/>
Среднеезначение />
Дисперсия />
Среднееквадратическое отклонение />
Ответ:/>, />, />
Задание №5
Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределенияс математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, чтоотдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.
Решение:
Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения
По условию />и />
Найти: />
Для нормального распределения СВ X
/>
/>
где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормальногозакона имеет вид />.
Значения Ф(Х) – табулированы
Ответ: />Задание №6
Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличаетсяот среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м,если стандартное отклонение 25 м.
Решение:
Пусть X – случайная величина расстояния, м
По условию /> /> /> />
Найти: />
/>
/>
Ответ: />Задание №7
При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показаниятак, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2.В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, еслипроизведено 11 измерений.
Решение:
По условию задана выборка объемом /> и дисперсия нормальнораспределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее />.Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математическогоожидания />, если доверительная вероятностьдолжна быть равна />
1. Доверительный интервал имеет общий вид/>
2. По условию /> /> /> />
/> находим из решенияуравнения
/> → /> → />
используя таблицу значений функции Лапласа />
3. Находим значения концов доверительногоинтервала
/>.
/>.
Т.о., искомый доверительный интервал />, т.е. />
Ответ: />
Задание №8
Приопределении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующиерезультаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определениимассы таблетки с вероятностью 80%.
Решение:xi 1 2 3 4 5 mi 0,148 0,149 0,151 0,153 0,155
Вычислимошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: /> — предельная ошибка малойвыборки.
Учитывая, что /> определим/>табулированные значения /> — критерия Стьюдента.
/>
/>
/>
/>.
Такимобразом,
/>.
Ответ: Ошибка в определениимассы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088Задание №9
При изменениискорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные:Xср = 100 мс, дисперсиясредних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.
Проверитьгипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений дляуровня значимости 0,02.
Решение:
Пусть /> — гипотеза, математическиеожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.
Придостаточно больших объемах выборки выборочные средние />и />имеют приближеннонормальный закон распределения с математическим ожиданием /> и дисперсией />.
Привыполнении гипотезы />статистика
/>имеет стандартное нормальное распределениеN (0; 1)
По даннымзадачи
/>
В случаеконкурирующей гипотезы /> выбираютодностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят изусловия />
Т.о. />
Табулированноезначение />
Еслифактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр,определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине),т.е. />, то гипотеза />отвергается, в противномслучае – гипотеза />не противоречитимеющимся наблюдениям.
Т.к.наблюдаемое значение статистики />, акритическое значение />, то в силуусловия />→/>делаем ввод, что гипотеза />отвергается, т.е.математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X иY не равны.
Задание №10
Оценитедостоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости0,10:
X 60 65 66 70 64 Y 72 71 80 78 69
Решение:
Пусть /> — гипотеза, достоверностьразличия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10
Вычислим />и />
/>
/>
Привыполнении гипотезы />статистика />.
где /> и />
X 60 65 66 70 64
/>
Y 72 71 80 78 69
/>
/> 25 1 25 1
52
/> 4 9 36 16 25
90
/>
13
/>
22,5
/>
Критическоезначение статистики находят из условия />.
Т.о. />.
Табулированноезначение />.
Т.к.наблюдаемое значение статистики />, акритическое значение /> то в силуусловия />делаем ввод, что гипотеза />отвергается, т.е. достоверностьразличия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости0,10 не подтверждается.Задание №11
По даннымнаблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числадождливых дней за вегетативный период:Ц/ га 10 15 6 20 9 Число дождливых дней 14 20 6 20 10
Коррелируютли данные величины?
Решение:
Для оценки тесноты корреляционной зависимостимежду величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель теснотылинейной связи.
/>
/> (/>)
/> (/>)
Свойства коэффициента корреляции:
1 0Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству />.
2 0В зависимости от близости r к единице различаютсвязь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную
Оценка тесноты линейной связи(шкала Чаддока)
Значение ½r½
0–0,1
0,1–0,3
0,3–0,5
0,5–0,7
0,7–0,9
0,9–0,99
1
Теснота
линейной
связи
Нет
связи Слабая Умеренная Заметная Высокая Очень высокая Функциональная
Значение R
Связь
Интерпретация связи R = 0 Отсутствует Отсутствует линейная связь между х и у 0Y
X
Y*X
Y2
X2
1 10 14 140 100 196
2 15 20 300 225 400
3 6 6 36 36 36
4 20 20 400 400 400
5 9 10 90 81 100
S 60 70 966 842 1132
Средние
12
14
193,2
168,4
226,4
Sx2
30,4
Sy2
24,4
Sx
5,51
Sy
4,94
r
0,925
Такимобразом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумяфакторами присутствует связь прямая и очень тесная.
Ответ: данные величиныкоррелируют.Задание №12
По даннымтаблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.X 4 2 3 7 5 6 3 Y 2 7 4 6 5 2 1
Решение:
1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимостимежду величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции />. Промежуточные вычисления Уравнение регрессии №
Y
X
Y*X
Y2
X2
/>
1 2 4 8 4 16 3,853
2 7 2 14 49 4 3,824
3 4 3 12 16 9 3,838
4 6 7 42 36 49 3,897
5 5 5 25 25 25 3,868
6 2 6 12 4 36 3,882
7 1 3 3 1 9 3,838
S
27
30
116
135
148
3,84
Средние
3,86
4,29
16,57
19,29
21,14
Sx
1,67
a
3,794
Sy
2,10
b
0,015
r
0,012
Коэффициенткорреляции r=0,012,следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, ноочень слабая (почти отсутствует).
Уравнениерегрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенноописывает зависимость между значениями x одного признака исоответствующими средними значениями другого признака />.
Наиболеепростой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Онаопределяется уравнением линейной регрессии.
Врассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессииприближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии можетбыть представлена уравнением вида: />иизображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называетсявыборочным, поскольку его параметры a и b находятся порезультатам выборки (хi, уi), i=1,2,… n,причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность методазаключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемыхзначений уiот соответствующих значений />, вычисленных по уравнениюрегрессии/>, то есть />
Для нахождения параметров а иbуравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим ирешим систему линейных уравнений:
/>→ />
Решив систему уравнений, получим следующиезначения параметров
a=3,794.
b=0,015.
Уравнение линейной регрессии />.
Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости
/>
Список литературы
1. Адрухаев Х.М. Сборникзадач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.:Высшая школа, 2005.
2. Горелова Г.В. Теориявероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой,И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.
3. Информатикаи математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева.– М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003
4. Ковбаса С.И.,Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.
5. Кремер Н.Ш. Теориявероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
6. Ниворожкина Л.И.,Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей дляэкономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика
7. Пехлецкий И.Д. Математика./ Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.
8. Пугачев В.С. Теориявероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2002.
9. Сборникзадач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайныхчисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство«Лань», 2007.