ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Теоретические основы формирования представления офункциональной зависимости у младших школьников
1.1 Понятие «функциональная зависимость» в психолого-педагогическойлитературе
1.2 Педагогические идеи преподавания функциональной зависимости вначальной школе
1.3 Виды упражнений, направленных на формирование представлений офункциональной зависимости у младших школьников
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированиюпредставлений о функциональной зависимости у младших школьников с применениемкомплекса упражнений
2.1. Диагностика уровней сформированности представлений младшихшкольников о функциональной зависимости
2.2. Реализация комплекса упражнений, направленных на формированиепредставлений о функциональной зависимости у младших школьников
Заключение
Библиография
Приложения
Введение
Понятиефункциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке,поэтому сформированность представлений понятия у младших школьниковпредставляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитиюматематического мышления и творческой активности детей. Развитиефункционального мышления предполагает, прежде всего, развитие способности кобнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.
Формированиепредставления о функциональной зависимости способствует формированиюмыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности.Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемыхучащимся. Материал начального математического курса содержит достаточноеколичество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины отдругой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решениеуравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами,находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц,числовой оси и координатной плоскости.
Все это иобусловило актуальность темы исследования.
Приизучении психолого-педагогической литературы нами было выявлено противоречие междунеобходимостью формирования представлений младших школьников о функциональнойзависимости и малым количеством разработок по технологии педагогическойорганизации этого процесса в начальной школе.
Выявленноепротиворечие позволило обозначить проблему исследования: изучение возможностей комплексаупражнений, направленных на формирование представлений о функциональнойзависимости у младших школьников.
Даннаяпроблема позволила сформулировать тему исследования: «Комплекс упражнений,направленных на формирование представлений о функциональной зависимости умладших школьников».
Объектисследования: процесс формирования представлений о функциональной зависимости умладших школьников.
Предметисследования: комплекс упражнений, направленных на формирование представлений офункциональной зависимости у младших школьников.
Цель исследования: теоретически выявить и путемопытно-экспериментальной работы проверить эффективность комплекса упражнений,направленных на формирование представлений о функциональной зависимости умладших школьников.
Изучениепсихолого-педагогической литературы по теме исследования позволило выдвинутьследующую гипотезу: предполагается, что формирование представлений офункциональной зависимости у младших школьников будет успешнее прииспользовании специально подобранного комплекса упражнений.
Всоответствии с целью и гипотезой исследования были определены следующие задачи:
1. Проанализировать методическую литературу по проблемеисследования.
2. Рассмотреть понятие «функциональная зависимость» впсихолого-педагогической литературе.
3. Исследовать педагогические идеи преподавания функциональнойзависимости в начальной школе.
4. Экспериментальным путем проверить эффективность комплекса упражнений,направленных на формирование представлений о функциональной зависимости умладших школьников.
Теоретико-методологическаяоснова исследования: методические и научные исследования формирования функциональнойзависимости в трудах М.А. Бантовой, Л.Г. Петерсон, Е.Д. Цыдыповой, системныйподход, принцип ведущей роли обучения в развитии, теория поэтапногоформирования умственных действий П.Я. Гальперинп, Н.Ф.Талызиной, теория оструктуре учебной деятельности Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова, методическаяконцепция развивающего обучения математике в 1-4 классах Н.Б.Истоминой идругих.
– Для решения поставленных задач и проверки гипотезы былииспользованы следующие методы исследования:
– теоретические: анализ психолого-педагогической, дидактической,методической, научно-методическойлитературы и документов по проблемам формирования представления функциональнойзависимости; анализ изучения функционального материала в теории и практикеобучения математике в начальной школе.
– экспериментальные: анкетирование, тестирование, наблюдение, беседыс учителями и учащимися, констатирующий, формирующий и сравнительныйэксперименты, экспериментальное преподавание (организация учебной деятельностиучащихся 3 классов, направленной на подготовку к формированию представленийфункциональной зависимости посредством комплекса упражнения), статистическиеметоды интерпретации данных эксперимента.
Опытно-экспериментальнаябаза исследования: МОУ СОШ №31 города Ишима. В эксперименте участвовалиучащиеся 3 «А» и 3 «Б» классов.
Исследованиепроводилось в три этапа.
Первый этап– постановочный (01.02.10 – 01.03.10) – выбор и осмысление темы. Изучениепсихолого-педагогической литературы, постановка проблемы, формулировка цели,предмета, объекта, задач исследования, постановка гипотезы.
Второй этап– собственно-исследовательский (02.03.10 – 02.04.10) – разработка комплексамероприятий и их систематическое проведение, обработка полученных результатов,проверка гипотезы.
Третий этап– интерпретационно-оформительский (03.04.10 – 03.05.10) – обработка исистематизация материала.
Научнаяновизна исследования: исследования состоит в том, что представления офункциональной зависимости младших школьников впервые рассматривается каксамостоятельная исследовательская проблема; экспериментально проверенаэффективность комплекса упражнений, направленных на формирование представленийо функциональной зависимости у младших школьников.
Практическаязначимость заключается в том, что выводы и результаты курсовой работы могутбыть использованы в учебно-воспитательном процессе общеобразовательныхучреждений.
Структура иобъем работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографическогосписка, включающего 37 наименований, приложения. Работа включает таблицы (6),иллюстрирована рисункам (3). Общий объем работы 50 страниц компьютерноготекста.
Глава 1. Теоретические основы формирования представления офункциональной зависимости у младших школьников
1.1 Понятие «функциональная зависимость» впсихолого-педагогической литературе
Начиная сXVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло ипоныне играет большую роль в познании реального мира.
Идеяфункциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первыхматематически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилахдействий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех илииных фигур.
Тевавилонские ученые, которые 4-5 тысяч летназад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную),тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга являетсяфункцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиесявавилонянами, представляют собой задания функции [13, с.117].
Однакоявное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическоеизучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи спроникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работахФерма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивныйхарактер и было связано либо с геометрическими, либо с механическимипредставлениями: ординаты точек кривых — функции от абсцисс (х); путь и скорость — функции от времени (t) и тому подобное [13, с.117].
Четкогопредставления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такомуопределению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей“Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощьюуравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функциистало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения — формулы.
Слово“функция” (от латинского functio — совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смыслероли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смыслевыражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли;начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа”(постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернуллиприменял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлеробозначал через f: х, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x),f (x + y). Наряду с j Эйлерпредлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими.Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасываяэйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s)[2, с.109].
Явноеопределение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудниковЛейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функциейпеременной величины называют количество, образованное каким угодно способом изэтой переменной величины и постоянных” [21, с.44].
ЛеонардЭйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определению своегоучителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит:“Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленноекаким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Такпонимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другиевидные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этогоопределения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию всоответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведенияхЛ. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую,начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л. Эйлера нафункцию между ним и его современниками, в первую очередь его постояннымсоперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большаяполемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольнойкривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считатьболее широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебанийструны [19, с.123].
В“Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общееопределение функции: “Когда некоторые количества зависят от других такимобразом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, топервые называются функциями вторых”. “Это наименование, — продолжает далее Эйлер, — имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы,какими одно количество определяется с помощью других”. На основе этогоопределения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате подифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в 1797 г., смогзаписать следующее: “Всякое количество, значение которого зависит от одного илимногих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того,известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них кпервому” [2, с.112].
Как видноиз этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось саналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вXIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
Большойвклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в.по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математикЖан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математическойфизикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг.,работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первыепримеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическимивыражениями.
Из трудовФурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и какихразнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единогоаналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемыеаналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”,опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводыФурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики сталоясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которыхочень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическимаппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознаниемрасширение понятия функции [21, с.47].
В 1834 г. вработе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развиваявышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятиетребует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х ивместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано илианалитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать всечисла и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать иоставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существованиезависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, приниматькак бы данными вместе” [20, с.110].
Еще доЛобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешскимматематиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле таксформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х(на отрезке a £ х £ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствуетсовершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образомустановлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами” [14, с.332].
Такимобразом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятиефункции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластияматематической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функцииделается на идею соответствия.
Во второйполовине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеисоответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своемобъеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: есликаждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенныйэлемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х),или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы хмножества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В — значениями функции; во втором случае х — прообразы, у — образы. Всовременном смысле рассматривают функции, определенные для множества значенийх, которые, возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, окотором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, нафункцию-факториал y = n, заданную на множестве натуральных чисел. Общеепонятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и кдругим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любомгеометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
Общееопределение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый векдискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII ипервой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалосьна этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. этоопределение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Ещеважнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие болееширокого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятияфункции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основыквантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного изоснователя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию,которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи сэтим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являютсяне функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физическойсущности явлений [16, с.113].
В общемвиде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первымрассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, иприменил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важныйвклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца — И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и другие.
Прослеживаяисторический путь развития понятия функции, невольно приходишь к мысли о том,что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, какникогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросыестествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции идругих математических понятий. Математика — незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий,развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
Обоснованиефункциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно изкрупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положенияможет быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызванофундаментальностью самого понятия функции.
Для тогочтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резкоразличающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической,а вторую — логической.
Генетическаятрактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоенииосновных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существеннымипонятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональныхпредставлений, служат переменная величина, функциональная зависимостьпеременных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторуюкомбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.
Генетическоеразвертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается«динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляетсямодельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такаятрактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры,поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически илитаблично.
Генетическаятрактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматриватькак ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, чтопеременная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагаетсяпробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степенипонятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента(определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя иразвивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы егопервоначального описания [18, с.234].
Логическаятрактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучениефункциональным представлениям следует на основе методического анализа понятияфункции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходевыступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющегоусловию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становитсявывод его из понятия отношения.
Реализациялогического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции припомощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается.Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками,перечислением пар, использование не только числового, но и геометрическогоматериала; геометрическое преобразование при таком подходе оказываетсявозможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия ивытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обученииматематике — основные достоинства такой трактовки.
Однаковыработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связаннымглавным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с тойобластью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.
Такимобразом, если генетический подход оказывается недостаточным для формированияфункции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определеннуюизбыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются снаибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучениифункциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается вкурсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретнозаданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачахестествознания и общественного производства.
Всовременном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков вкачестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции.Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода.Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов всоставе функциональной линии система обучения строится так, чтобы вниманиеучащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четкоразграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установленииих взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, вобучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установленасвязь между ними. В эту систему входят такие компоненты:
— представление о функциональной зависимости переменных величин в реальныхпроцессах и в математике;
— представление о функции как о соответствии;
— построение и использование графиков функций, исследование функций;
— вычисление значений функций, определенных различными способами.
В процессеобучения математике все указанные компоненты присутствуют при любом подходе кпонятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мыотметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятияфункции. На этой основе при организации работы над определением вводятся идругие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональнойзависимости и ее графического представления [1, с.215].
Функциональнаязависимость — форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями илиотражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызываетопределенное количественное изменение др. Объективно функциональная зависимостьпроявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью.Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих данныевеличины или явления как функцию и аргумент. Функциональная зависимость можетхарактеризовать связь:
1) междусвойствами и состояниями материальных объектов и явлений;
2) междусамими объектами, явлениями или же материальными системами в рамках целостнойсистемы более высокого порядка;
3) междуобъективными количественными законами, находящимися в отношении субординации, взависимости от их общности и сферы действия;
4) между абстрактнымиматематическими величинами множествами, функциями или структурами,безотносительно к тому, что они выражают. Функциональная зависимость предполагает,что явления, подчиняющиеся ей, характеризуются через определенные параметры,константы, конкретные условия, количественные законы. Функциональнаязависимость не тождественна причинной связи. Наряду с явлениями, в которыхпричинная связь выражается через объективные функциональные отношения,существуют и функциональная зависимость между свойствами тел илиматематическими величинами, не являющиеся причинными связями [2, с.113].
Такимобразом, понятие функции выступает в курсе математики как определённаяматематическая модель, что и является мотивировкой для его углублённогоизучения. Функциональная зависимость – это зависимости одной переменной отдругой. Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменныхсостоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одноопределенное значение другой переменной.
В следующемпараграфе мы рассмотрим особенности представлений о функциональной зависимостиу младших школьников.
1.2 Педагогические идеи преподаванияфункциональной зависимости в начальной школе
В течениенескольких столетий понятие функции изменялось и совершенствовалось.Необходимость изучения функциональной зависимости в школьном курсе математикиначальной школы была в центре внимания педагогической печати уже со второйполовины XIX века. Большое внимание этому вопросу уделили в своих работах такиеизвестные методисты, как М. В. Остроградский, В. Н. Шкларевич, С. И.Шохор-Троцкий, В. Е. Сердобинский, В. П. Шереметевский.
Первый этап- этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) вшкольный курс математики. Например, в учебнике Н. Ш Фусса «Начальныеоснования чистой математики» в разделе «Основания дифференциального иинтегрального исчислений» приводилось следующее определение:«Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сейпеременной, соединенной с постоянными величинами» [7, с.220].
На собраниикомиссии преподавания математики отдела обучения Московского Обществараспространения технических знаний В.П. Шереметевский и В.Я. Сердобинскийпредставили радикальное решение проблемы введения функциональной зависимости вшкольную математику в виде рекомендации «построения курса школьнойматематики на основе идеи функциональной зависимости». Математическаякомиссия, функционировавшая в 1900 г. в Министерстве Народного Образования,предусмотрела идею включения в программу функциональной зависимости в связи сизучением элементов аналитической геометрии. Эти предложения началиосуществляться с 1903 г. при обучении математике в Кадетском корпусе, а с 1907г. — в выпускных классах реальной школы.
Второй этапвведения понятия функции в курс начальной школы характеризуется в основномпереходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширениемкруга изучаемых функций.
НаМеждународном конгрессе в Риме в 1908 г. Ф. Клейн изложил основные принципы врешении вопроса о месте и роли понятия функции в школьной математике:«Мы…, стремимся положить в основу преподавания понятие функции, ибо этоесть то понятие, которое в течение последних двухсот лет заняло центральноеместо всюду, где только мы встречаем математическую мысль. Это понятие мыжелаем выработать при преподавании столь рано, как это только возможно,постоянно применяя графический метод изображения каждого закона в системекоординат (хОу), которая теперь употребляется при всяком практическомприменении математики». Истинное значение имеет предложение Ф. Клейна овведении общего понятия функции не в форме абстрактного понятия, а наконкретных примерах, которые «… сделали бы это понятие живым достояниемученика, но непременно это понятие, как фермент, должно проникнуть во всепреподавание математики в средней школе» [19, с.124].
Активноеучастие в борьбе за реформу математического образования приняли передовыерусские преподаватели математики. Функциональная зависимость нашла своеотражение в новых программах по математике. Большое внимание вопросам,связанным с идеей функциональной зависимости, уделили два Всероссийских съездапреподавателей математики, созванных в 1911 г. (г. Санкт-Петербург) и 1913 г.(г. Москва).
Послесъездов в 1911-1916 гг. вышло большое количество учебных пособий, которыеотражали смешение вопросов о трактовке понятия функции и способов ее задания,т.е. содержали рассмотрение способов задания функции (аналитического,графического, табличного) в контексте понятия функции.
Третий этапразвития русской школы начался в 20-е гг. двадцатого столетия. Анализметодической литературы советского периода показал, что введение понятияфункции в школьный курс математики сопровождалось бурными дискуссиями, ипозволил нам выделить четыре основных проблемы, вокруг которых существовалирасхождения во мнениях методистов, а именно: 1) цель и значение изученияпонятия функции учащимися; 2) подходы к определению функции; 3) вопросфункциональной пропедевтики; 4) место и объем функционального материала в курсешкольной математики начальной школы.
Первыепослереволюционные программы, составленные в 1918-1921гг., отражали стремлениеих авторов к коренному преобразованию школьного курса математики начальнойшколы. При их разработке были учтены основные достижения передовойпедагогической мысли того времени: курс математики строился на основе понятияфункции. Авторы программ считали, что все включенное в программу «должнобыть проработано основательно, главным образом, в направлении развитияфункционального мышления, при этом идейной и практической стороне должно отдатьпредпочтение перед формальной» [11, с.380].
Анализпрограмм позволил выделить их положительные и отрицательные стороны. Главноедостоинство, на наш взгляд, — это разделение вопросов о трактовке понятия функциональнойзависимости и способах задания функции. Общим недостатком была перегруженностьих в той’ или иной степени учебным материалом, который, к тому же, былраспределен по годам обучения без учета возрастных особенностей учащихся. Какследствие, на практике не удалось в полном объеме выполнить предъявленныеданными программами требования.
Неисправили положение программы на основе «комплексного» метода, сутькоторого состояла в том, что взамен систематического изложения школьного курсаматематики начальной школы, опирающегося на внутреннюю логику предмета,преподавание строилось в соответствии с последовательностью, содержанием иосновными идеями комплексных схем. Известный советский методист Н.Н. Никитинуказывал на утилитарность комплексных программ и методических указаний к ним,приведшую к снижению уровня математической подготовки учащихся. «Учащиесяполучали поверхностное, случайное знакомство со многими вопросами изматематики, но по-настоящему прочно и сознательно знать ничего не могли» [37,с.115].
Итак,данный этап, полностью обусловленный политической и экономической нестабильнойситуацией в России 20-х гг., характеризуется разногласием в действияхметодистов, их стремлением к отказу от достижений в области отечественнойметодики преподавания математики. Разногласия методистов в решении проблем,связанных с определением цели и значения изучения функции учащимися, места иобъема функционального материала в курсе школьной математики, а такжеотсутствие единого мнения по вопросу функциональной пропедевтики привели кухудшению качества знаний учащихся.
Кризиснаяситуация в области преподавания математики вызвала необходимость пересмотра ипроверки методов школьной работы.
Четвертыйэтап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу.
В 1931-34годы была предпринята попытка перехода школьного образования на позициисистематического и прочного усвоения наук. В данный период срок обучения вшколе был увеличен до десяти лет, основной формой работы в школе был утвержденурок, была восстановлена роль учебника как основного руководства для ученика, ссистематическим изложением основ наук и полным охватом содержания программы попредмету.
Формированиепредставления о функции, прежде всего как об аналитическом выражении, ученыерасценивают как проявление формализма в преподавании, для которого«характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихсяпривычного внешнего (словесного, символического или образного) выраженияматематического факта над содержанием этого факта» [21, с.46].
Они считали,что в начальной школе понятие функции необходимо изучать на основе понятиясоответствия. Для нашего исследования важным является подход А.Я. Хинчина кразработке системы упражнений, способствующих усвоению понятия функции. Онуказывал, что традиционные примеры, рассматриваемые непосредственно послевведения понятия функции, способны разрушить положительный эффект определения ипривить учащимся мысль, что формальное определение само по себе, а вдействительности функция есть просто формула. По его мнению, уже среди первыхпримеров функциональной зависимости наряду с традиционными алгебраическими игеометрическими соотношениями необходимо рассматривать и функции, заданные безиспользования формулы.
Данныйпериод характеризуется недостаточностью времени на изучение функций,непродуманностью систем упражнений, непониманием учащимися истинной сущностипонятия функции, низким уровнем функциональных и графических навыковвыпускников школ.
Такимобразом, вновь возникла потребность в реформировании преподавания математики вначальной школе. Перестройка всей школьной математики на основетеоретико-множественного подхода ознаменовала пятый этап развития идеифункциональной зависимости. Идея, теоретико-множественного подхода былапредпринята группой французских ученых, объединившихся под псевдонимом НиколяБурбаки. В г. Роймоне (Франция, 1959 г.) состоялось международное совещание, накотором было провозглашено свержение всех обычных курсов. В центре вниманияоказались структуры и объединения всей школьной математики на базе теориимножеств [25, с.174].
Важную рольв развитии идей реформы сыграли статьи В.Л. Гончарова, в которых автор указывална важность ранней и длительной функциональной пропедевтики, предлагалиспользовать упражнения, заключающиеся в выполнении ряда заранее указанныхчисловых подстановок в одном и том же заданном буквенном выражении. Этиупражнения, наряду с совершенствованием вычислительных навыков, могли быслужить и идеям функциональной пропедевтики. Ученый особое внимание отводилпостроению графика функции, заданной использованным для вычислений буквеннымвыражением. Особую целесообразность он видел в том, «чтобы две капитальнойважности и высокой трудоемкости проблемы — сообщения учащимся прочных навыковарифметических вычислений и пропедевтическое ознакомление их с идеей функциимогли быть разрешаемы совместно» [22, с.153].
Такимобразом, стабилизация программ и учебников создала почву для возникновенияположительных сдвигов в качестве функциональных знаний учащихся. В концешестидесятых — начале семидесятых, наряду с отрицательными отзывами, в печатистали появляться и такие, в которых отмечалось определенное улучшение знанийшкольников о функциях и графиках. Однако общий уровень математического развитияучащихся в целом оставался недостаточным. В школьном курсе математикипо-прежнему неоправданно много времени отводится формальной подготовке и неуделяется должного внимания формированию представлений младших школьников офункциональной зависимости.
Видыупражнений, направленных на формирование представлений о функциональнойзависимости у младших школьников мы рассмотрим в следующем параграфе.
1.3 Виды упражнений, направленных наформирование представлений о функциональной зависимости у младших школьников
Дляорганизации учебной деятельности учащихся начальных классов, направленной наэффективную подготовку к формированию представлений о функциональнойзависимости должны выполняться следующие дидактические условия: наличие в курсематематики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями,таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие всодержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоенияпонятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программногосодержания; систематическое использование различных моделей (предметной,вербальной, символической, схематической и графической); использование учебныхзаданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования иконструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа иобобщения в процессе выполнения учебных заданий [4, с.110].
Дляорганизации деятельности учащихся, направленной на формирование функциональныхпредставлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия«функция», целесообразно использовать учебные задания следующих видов: заданияна тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смыслаарифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовымвыражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символическоймоделей; на выявление закономерности; на установление соответствия междусимволическими моделями; на конструирование графической модели по заданнойграфической модели; на конструирование символической модели по заданнойвербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальноймодели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; наустановление соответствия между символической и графической моделью; на выборграфической модели соответствующей символической модели; на преобразование наплоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символическоймодели и т.д. [5, с.23].
Учебныезадания, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимыхдля осознанного усвоения понятия функции, должны характеризоваться:
1)вариативностью;
2)неоднозначностью решений;
3)нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, каканализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение);
4)отображением разнообразных закономерностей и зависимостей;
5)включенностью их в содержательную линию курса математики начальных классов [17,с.81].
На основефункциональных представлений разработаны учебные задания, направленные на ихформирование:
1. Задания на формирование представлений об изменении и зависимости:на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения егокомпонентов; на использование основного свойства дроби; на классификациючисловых выражений (равенств) на основе их результата арифметического действия;тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смыслаарифметического действия; на преобразование числовых выражений; напреобразование дробных выражений; на конструирование символической модели позаданной вербальной модели и др.).
Например,«Чем похожи все пары выражений? Найди их значения:
а) 89 + 47 б)57+29 в) 76+57
90 + 47 57+3076+60
Сравниравенства в каждой паре и сделай вывод».
2. Задания на формирование представления о закономерности, какправила, по которому записаны ряды чисел: на выявление закономерности.
Например,«Найди правила, по которым составлены ряды чисел:
а) 0,5;0,05; 0,005; 0,0005; …;
б) 0,2;0,4; 0,6; 0,8; …;
в) 0,12;2,14; 4,16; 6,18; ….
Запиши вкаждом ряду еще три числа по тому же правилу».
3. Задания на формирование представления о соответствии: насоотнесение предметной, графической и символической моделей; на установлениесоответствия между символическими моделями.
Например,«Соедини с числом 5 те выражения, значения которых делятся на 5, если а делитсяна 5».
/>
Эти учебныезадания формулируются в основном на числовом материале, причем они усложняютсяи варьируются как по форме, так и по содержанию.
Решениезадач на прямую и обратную пропорциональные зависимости посвящен решениютекстовых задач на прямую и обратную пропорциональные зависимостиарифметическим способом. Среди таких задач выделяются задачи, в которыхчисловые данные находятся в некотором отношении, что предполагает ещё одинспособ решения, представляющий интерес с точки зрения функциональнойпропедевтики [36, с.105].
Кроме того,придать функциональный характер текстовым задачам можно с помощьюдополнительных вопросов, направленных на изменение данных задачи, условия,вопроса, на соотнесение условия с различными выражениями и равенствами. Этиприемы помогают учащимся представить величины, рассматриваемые в задаче вдвижении, изменении, что позволяет формировать у учащихся функциональный стильмышления.
Напрограммном содержании курса математики начальных классов используются такжеучебные задания следующих видов:
1) задания на соотнесение предметной модели с числовым выражением(равенством);
2) задания на установление соответствия между символическимимоделями;
3) задания на конструирование графической модели по заданнойграфической модели;
4) задания на конструирование символической модели по заданнойвербальной модели;
5) задания на выбор символической модели, соответствующей вербальноймодели;
6) задания на конструирование числовых равенств по заданным условиям;
7) задания на установление соответствия между символической играфической моделью;
8) задания на выбор графической модели, соответствующей символическоймодели;
9) задания на преобразование на плоскости;
10) задания на конструирование графической модели, соответствующейсимволической модели и т.д. [20, с.110].
Приведемпримеры заданий:
1. Задание на конструирование числовых равенств по заданным условиям:
Выбери дваотношения, из которых можно составить верное равенство. Запиши это равенство:
1,5: 2; 3: 6; 4,5: 8; 6: 8; 15: 10.
2. Задание на конструирование графической модели, соответствующейсимволической модели:
Проверь,будут ли величины х и у прямо пропорциональными при данных значениях:х 1 4 16 64 256 у 0,6 2,4 9,6 38,4 153,6
Есливозникнут трудности при выполнении задания, то:
представьданную таблицу в таком виде:
/>
и найдиотношения соответствующих значений величин х и у.
3. Задание на преобразование на плоскости:
Впишипропущенные слова и числа, чтобы получились верные высказывания:
1) точка А (3; 4) при перемещении вправо на 2 единичных отрезкаперешла в точку В (…;…);
2) точка L (5; -2) при перемещении______________на___единичных отрезковперешла в точку M (5; 2);
3) точка Х (1; 1) при перемещении вверх на 3 и вправо на 6 единичныхотрезков перешла в точку У (…;…);
4) точка V (2; 3) при перемещении__________на___и___________ на___ единичныхотрезков перешла в точку W (7; -2).
4. Заданиена конструирование графической модели, соответствующей символической модели:
а) Выбериединичный отрезок и построй точки в координатной плоскости:
А (0,6; 0),В (0; />), С(0,1; 0,7), D />, E />, К />.
б) Выбериединичный отрезок и построй точки в координатной плоскости:
А(600; 0), B(0; -300), C(100; 700), E(-500; -600), K(900; -400).
Все учебныезадания, обладают следующими характеристиками: вариативностью; неоднозначностьюрешений; нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких,как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение);отображением разнообразных закономерностей и зависимостей; включенностью их всодержательную линию курса математики начальных классов [10, с.95].
Таким образом, рассмотрев теоретические основы формированияпредставлений о функциональной зависимости у младших школьников, мы пришли квыводу, что функциональная зависимость является однойиз тех математических идей, которые способны объединить в единое целое всеразделы математики, включенные в школьный курс. Функциональная зависимостьотражает практическую направленность курса математики, взаимосвязь величин вестественнонаучных дисциплинах, а также формирует функциональное мышление школьников.Исходя из опыта обучения, известно, что понятие функции является абстрактным идовольно сложным для восприятия учащимися. Поэтому в процессе реализации даннойлинии необходимо усилить наглядность изучаемых объектов и понятий в рамкахотведенного времени, предоставить учащимся возможность увидеть зависимость нетолько в виде статичной модели, но и в динамике, дать возможность учащимсянепосредственно задавать, изменять и изучать функции при помощи интерактивныхмоделей, расширить систему задач при помощи упражнений, содержащих анимацию иэлементы управления и т.д. Такому «живому» изучению функциональной зависимостиможет способствовать применение комплекса упражнений, направленных наформирование представлений о функциональной зависимости.
Следующая глава будет посвящена экспериментальной работе поформированию представлений младших школьников о функциональной зависимости.
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированиюпредставлений о функциональной зависимости у младших школьников с применениемкомплекса упражнений
2.1 Диагностика уровней сформированности представлений младшихшкольников о функциональной зависимости
Дляформирования представлений у младших школьников о функциональной зависимости набазе МОУ СОШ №31 города Ишима был проведен эксперимент.
Вэксперименте приняли участие учащиеся 3 «А» (экспериментальная группа) и 3 «Б» (контрольнаягруппа) классов в количестве по 20 человек в каждом классе. Список детей,участвующих в исследовании приведен в приложении 1.
Экспериментсостоял из трех этапов:
1 этап –констатирующий этап — диагностика уровня сформированности представлений офункциональной зависимости у младших школьников.
2 этап –формирующий этап — разработан и реализован комплекс упражнений, направленных наформирование представлений о функциональной зависимости у младших школьников.
3 этап –контрольный этап — проведен анализ эффективности занятий с применениемкомплекса упражнений, направленных на формирование представлений офункциональной зависимости у младших школьников.
Длявыявления уровня сформированности представлений о функциональной зависимости умладших школьников были выделены следующие функциональные умения:
1) строитьграфик функции;
2)записывать координаты точек;
3) находитьнаибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке;
4)оперировать функциональной символикой.
На основе выделенныхумений, а также для аналитической обработки результатов исследования иполучения количественных показателей были выделены три уровня сформированностипредставлений о функциональной зависимости у младших школьников: низкий,средний и высокий.
С цельюопределения уровня сформированности представлений о функциональной зависимостиу младших школьников в ходе констатирующего эксперимента организовывалисьбеседы с учащимися 3-х классов, проводились контрольные работы, по результатамвыполнения которых выявлялись трудности, возникающие у учащихся при усвоениипонятия функции, функциональной зависимости.
Чтобыоценить способность учащихся применять функциональные умения для решенияпрактических задач им были предложены ситуационные задачи. В силу своеймежпредметности, интегративности ситуационные задачи способствуютсистематизации предметных знаний на деятельностной практико-ориентированнойоснове, когда ученики, осваивая универсальные способы деятельности, решаютличностно-значимые проблемы с использованием предметных знаний. Следуетотметить, что в процессе обучения математике учащиеся ни экспериментального, никонтрольного классов с такими задачами не встречались.
Приведем пример одной из ситуационных задач, которые предлагалисьучащимся:
Задача. «Эти простые – непростые зависимости»
Каждыйслышал поговорку: «Как аукнется, так и откликнется». А ты замечал на себепроявление такой закономерности?
Текст 1.Маша и Миша решили посадить одновременно цветы, чтобы подарить их маме к 8марта. В течение 12 недель Маша поливала цветок регулярно, а Миша иногдазабывал. Высота цветка Маши в конце каждой недели представлена в таблице 1:
Неделя, t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Высота
цветка, h (см) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Текст 2.Существуют различные шкалы для измерения температуры. Для перевода температуры,измеренной в градусах Цельсия, в градусы Фаренгейта пользуются формулой />, где С – числоградусов по шкале Цельсия, а F – число градусов по шкале Фаренгейта. Для каждого значениятемпературы по Цельсию с помощью этой формулы можно найти соответствующеезначение температуры по шкале Фаренгейта.
Задания.
1. Пользуясь таблицей роста цветка Маши, составь таблицу роста цветкаМиши, учитывая, что его цветок рос в два раза медленнее (из-за забывчивостиМиши).
2. Найди высоту цветка Миши через 3,5 недели. Опиши процесснахождения ответа на вопрос.
3. Составь таблицу перевода значений температуры из градусов поЦельсию в градусы по Фаренгейту (для значений от 0° С до 30° С).
4. Выяви зависимости, описанные в тексте 1 и тексте 2. Сравни их.
5. Предложи жизненные ситуации, в которых проявляются закономерности,выявленные тобой из анализа текста 1 и 2.
Проанализировав результаты работ учащихся по четырем умениям,можно прийти к следующим выводам:
– учащиеся как 3 «А», так и 3 «Б» классов понимают представленнуюинформацию, предлагают способы решения проблемы, но при обосновании способарешения учащиеся 3 «А» класса в меньшей степени оперируют функциональнымипредставлениями;
– учащиеся 3 «А класса при выполнении задания, где нужно былопривести примеры зависимостей, аналогичных тем, что были предложены в задаче,приводят примеры таких зависимостей, т.е. зависимостей, которые являютсяфункциональными, в то время как учащиеся 3 «Б» класса предлагают зависимости,исходя из своего представления о них.
Такимобразом, большее количество учащихся 3 «А» класса слабо оперируетфункциональными представлениями и не способно применить сформированныефункциональные умения для решения новых практических задач.
Данныеконстатирующего этапа эксперимента приведены в таблице 2.
Таблица 2
Показатели уровня сформированностипредставлений о функциональной зависимости у младших школьников по критериям наконстатирующем этапе экспериментаКласс Функциональные умения младших школьников строить график функции записывать координаты точек находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке оперировать функциональной символикой Низкий уровень Средний уровень Высокий уровень Низкий уровень Средний уровень Высокий уровень Низкий уровень Средний уровень Высокий уровень Низкий уровень Средний уровень Высокий уровень 3 «А» класс 5 14 1 4 15 1 4 14 2 3 16 1 3 «Б» класс 1 16 3 – 13 7 1 14 5 2 15 3
В результатепроведенной работы на констатирующем этапе эксперимента было установлено, что30% всех испытуемых имеют низкий уровень сформированности представлений офункциональной зависимости, исходя из четырех критериев, определенных в началеэксперимента, 57 % испытуемых показали средний уровень и лишь 13% младшихшкольников имеют высокий уровень сформированности представлений офункциональной зависимости.
Анализ полученных результатов позволил сделать вывод о том, чтобольшая часть младших школьников имеет средний и низкий уровеньсформированности представлений о функциональной зависимости и нуждается вкоррекции. Следовательно, результаты констатирующего этапа исследования требуютпроведения формирующего этапа эксперимента в соответствии с предложеннойгипотезой.
2.2 Реализация комплекса упражнений, направленных на формированиепредставлений о функциональной зависимости у младших школьников
С цельюформирования у младших школьников представлений о функциональной зависимостинами был проведен формирующий этап эксперимента, в котором приняли участиетолько учащиеся экспериментального 3 «А» класса. Для этого нами применялсякомплекс подобранных для этой цели упражнений, направленных на формированиефункциональной зависимости у младших школьников. Изучение проводилось по темешкольного курса математики «Зависимость между результатами и компонентамиарифметических действий». По теме проводилось пробное и основное исследование.
Зависимостьмежду элементами арифметических действий изучалась каждым из испытуемых виндивидуальном порядке под руководством экспериментатора один раз, затемвторой, третий, — так до полного овладения ею. В конце исследования-обучениядавалась в индивидуальном порядке контрольная работа.
Изучениезависимости между элементами геометрических фигур проводилось в течениенескольких уроков. Сначала учащиеся знакомились с простейшими случаямизависимости между площадью и стороной прямоугольника при постоянной величинесмежной стороны. Затем — с зависимостью между сторонами и площадью квадрата. И,наконец, со школьниками велись занятия-исследования по обучению их пониманию иусвоению зависимости между основанием, высотой и площадью прямоугольника,параллелограмма и треугольника при постоянной величине суммы их основания ивысоты.
Все занятияпроводились в индивидуальном порядке. В конце исследования-обучения виндивидуальном же порядке давалась контрольная работа.
По теме«Зависимость между компонентами и результатами действий» работа проводиласьследующим образом.
Группаизучала материал в таком порядке изменение суммы, затем — изменениепроизведения, далее — изменение разности и, наконец, — изменение частного.
Затемгруппа изучала материал в том же порядке, но в одновременном противопоставленииизменению компонентов изменения результатов действий.
И, наконец,группа изучала материал в следующем порядке: изменение суммы, затем — изменениеразности, далее — изменение произведения и, наконец, — изменение частного.
Дляизучения зависимости между изменением площади и изменением входящих и еевыражение компонентов были созданы группы, работавшие:
Перваягруппа — с графиками.
Втораягруппа — с графиками + наглядное изображение образа меняющейся фигуры в тетради
Третьягруппа — с диаграммами.
Четвертаягруппа — с наглядным изображением образа меняющейся фигуры в тетради
В изучениизависимости между элементами действии ученик пользуется конкретным примером. Онпостепенно переходит от использования данного единичного примера, какнеобходимого в выражении зависимости, к использованию его, как возможного длявыражения разбираемой зависимости.
В активнойдеятельности с вариативным использованием примеров ученик в процессе обучениядоходит до понимания и усвоения обобщенного характера изменения зависимыхвеличин, от «живого созерцания» он поднимается к «абстрактному мышлению» изатем конкретизирует обобщенные знания в практическом применении. Все это связанос совершенствованием анализа и синтеза в совместной деятельности первой ивторой сигнальных систем при ведущей роли второй, словесной системы мозговойкоры.
При решениизадач в первое время ученики не осмысливали их на базе заключенной в нихфункциональной зависимости, за внешним оформлением не вскрывали сущностиизученной уже в принципе ими зависимости. Обобщающая и конкретизирующаядеятельность реализовалась лишь применительно к заданиям — примерам. Она непереносилась на решение задач. Развитие умения переосмысливать решение примеровна основе функциональной зависимости в дальнейшей работе ученика, в связи ссовершенствованием избирательной иррадиации и развитием подвижности мозговыхпроцессов, переносилось и на решение задач.
Висследовании обнаружилось смешение школьниками разностных и кратных изменений,происходящих в зависимых величинах. Это обусловливалось там, что на предыдущихэтапах обучения изучение этих изменений проводилось без надлежащегоиспользования сравнения, особенно сравнения в виде противопоставления.
Приизучении обратной зависимости изменения ученики обычно на первых занятияхобратную зависимость подменяли прямою, а количественное изменение устанавливалиподбором. Выработанный стереотип понимания отношения между величинами прямогоизменения переносился на выполнение задания с обратным изменением. В процесседальнейшей систематической работы понимание обратной зависимости ученикамисовершалось от частичного привнесения обратного изменения в прямую зависимостьк полной замене прямой зависимости обратной.
Формированиепонимания зависимости происходило только в непосредственной деятельности сзаданием. Часто первичное восприятие задания приводило к ошибочному еговыполнению. Дальнейшая работа над заданием раскрывала перед учеником существенныесвязи, сначала им незамеченные.
Пониманиезависимости между изменением одного компонента и изменением результата действиясовершается сначала в динамике качественного изменения. Количественнаяотдифференцированность изменения происходит позднее, причем в измененииразности и частного она носит более сложный характер и требует для пониманиябольше усилий, чем в изменении суммы и произведения. Это первая ступень впонимании зависимости между компонентами и результатами действия.
Затемшкольники поднимаются к пониманию и усвоению зависимости между изменением обоихкомпонентов и изменением результата действия. На этой второй ступени впонимании зависимости школьники проходят несколько этапов.
На первомэтапе работы все задание по установлению зависимости между тремя элементамивыполнялось школьниками обычно неверно. Они не могли еще осмыслить полностьюодновременное изменение трех величин.
Пониманиезависимости начиналось с выяснения качественного характера изменения величин.
Пониманиеизменений в сложении и умножении наступало раньше, чем в вычитании и делении.
Обратнаязависимость на этом этапе работы не понималась.
На второмэтапе этой ступени в отличие от первого этапа заданные изменения понималисьучеником как проявление функциональной зависимости. Выполнялись всепредложенные изменения не как арифметические действия над заданными числами, акак результативные изменения величин, зависимых от заданных изменений другихвеличин.
Однако наэтом этапе работы обнаружился ряд трудностей, специфичных для пониманиясложного характера изменения элементов вычитания и деления, в силу чегокачественное и количественное изменения элементов этих действий нередкоопределялось неверно.
Наследующем этапе наступало понимание вариативности изменения между качественнымхарактером поведения зависимых величин и их количественным выражением. Длядействий сложения и вычитания расхождений не обнаруживалось.
Приизучении вариативных изменений в действиях умножении и делении характеризменения иногда отрывался учеником от количественного выражения, и, обычноуменьшение выполнялось вычитанием, а увеличение — сложением.
В действияхвычитания и деления обнаружился отрицательный перенос изменения последнегокомпонента на изменение результата действия. Старые связи, отношения, образовавшиестереотипную систему изменений в сложении и умножении, тормозили пониманиеновых отношений и формирование новых связей.
Наконец, натретьей ступени школьники начинали понимать обратный характер зависимости междуэлементами арифметических действий. Понимание обратной зависимости для каждогодействия шло через использование прямого характера изменения. Пониманиеобратной зависимости для всех арифметических действий при решении примеров изадач происходила медленнее, чем понимание прямой зависимости.
Овладениезависимостью между компонентами и результатами действий выразилось в развитии ушкольников тесной связи абстрагирующей и конкретизирующей мыслительной работы.Сформировавшиеся обобщенные, понятийные знания о зависимости между элементамидействий школьники начинали умело применять к решению новых примеров и задач, ксамостоятельному составлению примеров и задач на заданную зависимость.Школьники начинали понимать рациональное значение применения понятийного знаниязависимости к решению конкретных арифметических задач.
Приизучении зависимости между элементами геометрических фигур ученик стремилсяпредставить себе наглядный образ изменяющейся фигуры. Но ввиду ограниченностигеометрических знаний образ фигуры оказывается у него неподвижным, статическим,лишенным изменений.
Наначальных этапах изучения зависимости между величинами геометрической фигурыпонимание ее происходило не через соотношение элементов конкретного,разбираемого образа. Сначала зависимость в ее понятийном содержании понималасьчерез известный и более простой математический материал, через активизациюзнаний и пришлого опыта. Затем полученное понятийное знание зависимостисоответственно выражалось в наглядных образах.
Привлечениенаглядного образа играет двоякую роль: оно может и помогать, облегчатьустановление заключенной в задаче зависимости, а может мешать, заслонять ее.Отрицательная роль наглядных образов проявляется тогда, когда они говорятученику лишь об отдельных частных случаях разбираемой зависимости.
Дляпроверки эффективности реализованного комплекса упражнений, направленных наформирование представлений о функциональной зависимости у младших школьников,нами была проведена повторная диагностика уровней сформированностипредставлений о функциональной зависимости школьников экспериментальной иконтрольной групп.
Методикаконтрольного обследования совпадала с методикой констатирующего обследованияуровня сформированности представлений о функциональной зависимости. Данныеконтрольного этапа эксперимента по проведенной диагностике в экспериментальнойи контрольной группах испытуемых приведены в таблице 3. Результатыанализировались с привлечением данных констатирующего обследования уровнясформированности представлений о функциональной зависимости.
Таблица 3
Показатели уровнясформированности представлений о функциональной зависимости в экспериментальнойгруппе на контрольном этапе экспериментаУровень сформированности представлений о функциональной зависимости Количество наблюдений % Низкий Средний 7 70 Высокий 3 30
/>Рис.1Уровень сформированности представлений о функциональной зависимости вэкспериментальной группе на контрольном этапе
Для наглядностипоказатели уровня сформированности представлений о функциональной зависимости вэкспериментальной группе на контрольном этапе эксперимента представлены нарисунке 1.
Таблица 4
Показателиуровня сформированности представлений о функциональной зависимости вконтрольной группе на контрольном этапе экспериментаУровень сформированности представлений о функциональной зависимости Количество наблюдений % Низкий 2 20 Средний 5 50 Высокий 3 30
/>Для наглядности показатели уровня сформированности представлений офункциональной зависимости в контрольной группе на контрольном этапеэксперимента представлены на рисунке 2.Рис.2 Уровеньсформированности представлений о функциональной зависимости в контрольнойгруппе на контрольном этапе
Оценкадинамики изменения уровня сформированности представлений о функциональнойзависимости в экспериментальной группе на констатирующем и контрольном этапахэксперимента представлена в таблице 5.
Таблица 5
Показатели уровнясформированности представлений о функциональной зависимости в экспериментальнойгруппе на констатирующем и контрольном этапах экспериментаУровень сформированности представлений о функциональной зависимости Констатирующий этап (%) Контрольный этап (%) Низкий 20 Средний 60 70 Высокий 20 30
Для наглядностипредставим сравнительный анализ уровня сформированности представлений офункциональной зависимости в экспериментальной группе на констатирующем иконтрольном этапе на рисунке 3.
/>
Рис.3 Сравнительныйанализ уровня сформированности представлений о функциональной зависимости вэкспериментальной группе на констатирующем и контрольном этапе
Сравнение данныхконстатирующего этапа с данными, полученными на контрольном этапе показывает,что количество школьников с низким уровнем сформированности представлений офункциональной зависимости уменьшилось до 0, на 10 % увеличилось количествошкольников, имевших средний уровень сформированности представлений о функциональнойзависимости. За счет уменьшения количества низкого уровня сформированностипредставлений о функциональной зависимости на 10% увеличилось количествошкольников, показавших высокий уровень сформированности представлений офункциональной зависимости. В целом, это доказывает, что содержание и приемыформирующего этапа эксперимента были выбраны правильно и оказались эффективнымидля повышения уровня сформированности представлений о функциональнойзависимости у младших школьников.
Незначительные измененияуровня сформированности представлений о функциональной зависимости контрольнойгруппы, выявленные на контрольном этапе: уменьшение на 10% школьников с высокими увеличение на 10% с низким уровнем сформированности представлений офункциональной зависимости, средний уровень сформированности представлений офункциональной зависимости без изменений подтверждает предположения, что безприменения упражнений достижение существенного изменения сформированностипредставлений о функциональной зависимости у младших школьников весьмазатруднительно.
Сравнительный анализуровня сформированности представлений о функциональной зависимостиэкспериментальной и контрольной групп на контрольном этапе экспериментапредставлен в таблице 6.
Таблица 6
Показатели уровня сформированностипредставлений о функциональной зависимости экспериментальной и контрольнойгрупп на контрольном этапе экспериментаУровень сформированности представлений о функциональной зависимости Экспериментальная группа (%) Контрольная группа (%) Низкий 20 Средний 70 50 Высокий 30 30
Такимобразом, контрольный этап эксперимента позволил прийти к выводу о том, что дляформирования представлений о функциональной зависимости у младших школьниковнеобходимо разрабатывать и применять упражнения, направленные на формированиепредставлений о функциональной зависимости.
Заключение
Одним извидов объективно существующих связей является математическая функциональнаязависимость.
Понятиефункциональной зависимости является одним из основных понятий всей математики,в том числе и элементарной. Если одна величина стоит в зависимости от другой,то при изменении последней (независимого переменного), первая (т. е. функция)будет изменяться по известному закону; таким образом, каждое частное значениенезависимого переменного вполне определяет соответствующее значение функции.
Школьные программыдолжны быть построены так, чтобы идеи переменной величины и функциональнойзависимости, являющиеся прямым математическим выражением основных чертдиалектического миропонимания, как можно ранее усваивались учащимися и какможно ранее становились основным стержнем всего школьного курса математики.
В нашемисследовании мы рассмотрели понятие «функциональная зависимость» в методическойлитературе, выявили педагогические идеи преподавания функциональной зависимостив начальной школе, изучили виды упражнений, направленных на формированиепредставлений о функциональной зависимости у младших школьников.
Дляисследования и проверки эффективности комплекса подобранных нами упражнений дляформирования представлений о функциональной зависимости нами было проведенаопытно-экспериментальная работа. На констатирующем этапе исследования нами былопределен уровень сформированности представлений о функциональной зависимости умладших школьников. Было установлено, что большинство учащихся 3 классов имеютнизкий уровень сформированности представлений о функциональной зависимости. Дляформирования представлений нами был проведен формирующий этап эксперимента, накотором нами были использованы упражнения, направленные на формированиепредставлений о функциональной зависимости. Контрольный этап экспериментальногоисследования показал, что в результате формирующего этапа уровеньсформированности представлений о функциональной зависимости у младших школьниковэкспериментальной группы значительно изменился.
Такимобразом, задачи, поставленные в начале работы, нами были решены, цельисследования достигнута, гипотеза подтверждена.
Библиография
1. Аматова, Г.И. Математика [Текст]/Г.И. Аматова, М.А. Аматов. -М.:Московский психолого-социальный институт, 1999. – 337 с.
2. Аммосова, Н.В. Понятие функциональной зависимости в начальнойшколе [Текст] / Аммосова Н.В. // Начальная школа. — 2000. — №5.- С.109-114.
3. Байрамукова, П.У. Внеклассная работа по математике [Текст] / П.У.Байрамукова. – М.: Издат-школа «Райл», 1997. – С.214.
4. Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальныхклассах [Текст] /М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – М.: Просвещение, 1984. – 335с.
5. Боцманова, М.Э. Психологические вопросы применения графическихсхем учащимися начальной школы [Текст]/М.Э. Боцманова// Вопросы психологии. –1960. – №5.
6. Виленкин, Н.Я. Задачник практикумом по математике [Текст] / Н.Я.Виленкин,Н.Н.Лаврова, В.Б.Рождественская, Л.П. Стойлова. – М.: Просвещение, 1985. –С.142.
7. Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]/Н.Я. Виленкин, Л.М. Пышкало,В.Б. Рождественская, Л.И. Стойлова. – М.: Просвещение, 1977. – С.220.
8. Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышлениядетей [Текст] /А.З. Зак. — Ярославль: Академия развития, 1998. – 175 с.
9. Истомина, Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики вначальных классах: Пособие для учителя [Текст]/Н.Б. Истомина.– М.: Просвещение,1985. –– 64 с.
10. Истомина, Н.Б. и др. Практикум по методике преподавания математикив начальных классах [Текст]/ Н.Б. Истомина, Л.Г. Латохина, Г.Г. Шмырева. – М.:Просвещение, 1986. – 176 с.
11. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальныхклассах [Текст] /Н.Б. Истомина. — М.: ACADEMA, 2000. – 453 с.
12. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальныхклассах [Текст] /Н.Б. Истомина. – М.: Издательский центр «Академия», 1998. –288 с.
13. Котов, А.Я. Вечера занимательной математики [Текст]/А.Я.Котов.– М.: Просвещение, 1967. – С.117.
14. Крутецкий, В.А. Психология математических способностейшкольников [Текст] /В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение,1968. – 432 с.
15. Кульневич, С.В. Нетрадиционные уроки в начальной школе [Текст]/ С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценина. — Ростов н/Д: ТЦ «Учитель», 2002. – 375 с.
16. Марушенко, Л.Ю. Арифметическая задача как средствоформирования первых функциональных представлений у учащихся [Текст] / Л.Ю.Марушенко // Новые технологии в обучении физике, математике и информатике:материалы региональной научно-практической конференции, посвященной памятичл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук А.А. Пинского. –Благовещенск: Издательство БГПУ, 2007. – С. 107 — 115.
17. Марушенко, Л.Ю. К вопросу об изучении функций в школе[Текст]/Л.Ю. Марушенко//Новые технологии в обучении физике, математике иинформатике: материалы региональной научно-практической конференции,посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук А.А.Пинского. – Благовещенск: Издательство БГПУ, 2005. — С. 81-83.
18. Марушенко, Л.Ю. К проблеме изучения понятия функции в школьномкурсе математики [Текст] /Л.Ю. Марушенко// Актуальные вопросы методикипреподавания математики и информатики в свете модернизации Российскогообразования: сборник научных трудов Всероссийской научно-практическойконференции, 17 апреля 2006 г. – Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2006. – 263 с.
19. Марушенко, Л.Ю. Об оценке качества усвоения понятия функцииучащимися старших классов [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Новые технологии вобучении физике, математике и информатике: материалы региональнойнаучно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф.,доктора педагогических наук А.А. Пинского. – Благовещенск: Издательство БГПУ,2008. — С. 121-125.
20. Марушенко, Л.Ю. Пропедевтика функциональной зависимости вкурсе математики средней школы [Текст] / Л.Ю. Марушенко// Новые технологии вобучении физике, математике и информатике: материалы региональнойнаучно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф.,доктора педагогических наук А.А. Пинского. – Благовещенск: Издательство БГПУ,2006. — С. 110-111.
21. Марушенко, Л.Ю. Функциональный подход к решению текстовыхзадач на прямо пропорциональную зависимость [Текст]/Л.Ю. Марушенко// Начальнаяшкола. — 2007. — №7. – С. 44-51.
22. Методика начального обучения математике / под ред. Л.Н.Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. – 320 с.
23. Методика начального обучения математике. Под общей редакцией А.А.Столяра и В.Л. Дрозда. Минск: Вышэйшая школа, 1988. – 234 с.
24. Методика начального обучения математике: Учеб. пособие дляпед. ин-тов / В.Л. Дрозд, А.Т. Касатонова, Л.А. Латотин и др.; Под общ. ред.А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Мн.: Выш. шк., 1988. – 254 с.
25. Моро, М.И. Методика обучения математике I-III классах [Текст] / М.И. Моро,А.М. Пышкало. — М.: Просвещение, 1978. – 321 с.
26. Остер, Г.Б. Задачник [Текст]/Г.Б.Остер. – М.: Спарк-М, 1995. –116с.
27. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст]/Д.Пойа. – М.: Учпедгиз,1959. – 216 с.
28. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы(1-4). Часть I. — М.: Просвещение, 2001. – 432 с.
29. Сорокин, П.И. Занимательные задачи по математике [Текст] / П.И.Сорокин.– М.: Просвещение, 1967. – 229 с.
30. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]/Л.П. Стойлова.- М.: Академия,2000. – С.226.
31. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики [Текст] / Л.П.Стойлова, А.М. Пышкало. – М.: Просвещение, 1988.– 320 с.
32. Труднев, В.П. Внеклассная работа по математике в начальнойшколе [Текст] /В.П. Труднев. – М.: Просвещение, 1975. – 335 с.
33. Труднев, В.П. Считай, смекай, отгадывай! [Текст]/В.П. Труднев.– М.: Просвещение, 2004. – С.128.
34. Учебное пособие по математике для педагогических факультетов.Под редакцией Мерзона- М.: Московский псих.-соц. институт, 1999. – С.28.
35. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников/ под редакцией А.А. Столяра. – М.: Просвещение, 1988. – 303 с.
36. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи [Текст]/Л.М. Фридман,Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.
37. Эрдниев, П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математикев начальной школе [Текст]/П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. – М.: Педагогика, 1988. –208 с.