Содержание
1.Составление дифференциального уравнения движения механической системы
2.Определение реакций внешних и внутренних связей
3.Определение закона движения системы
4.Результаты расчетов
5.Анализ результатов вычислений
6.Результаты анализа
Выводы
Цели изадачи
Наличие упругих связей в механической системе в сочетании свнешним периодическим воздействием может привести к дополнительным колебательнымдвижениям ее элементов. Поэтому теория колебаний и, в частности, раздел,посвященный малым линейным колебаниям, имеет много важных приложений вразличных областях науки и техники.
Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:
• с помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений,происходящих в различных механических системах;
• интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиявляется, с математической точки зрения, элементарной задачей.
Поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описатьповедение системы с помощью линейной модели для облегчения процедуры анализа еедвижения.
При проектировании механических систем обычно используюткритические режимы внешних воздействий на них. В этом случае внешние факторы: />– коэффициентдемпфирования,/>– амплитудаи частота возмущающей силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметрымеханических систем (их геометрические размеры) определяются условиями ихфункционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне.Актуальной становится такая задача исследования механической системы, прикоторой могут изменяться массовые параметры системы и жесткость упругогоэлемента.
Поэтому целью курсовой работы является исследование и анализдинамического поведения механической системы с упругими связями с помощьюосновных теорем и принципов теоретической механики.
Для достижения этой цели, необходимо решить поставленные задачи:
1. составить дифференциальное уравнение движения системы;
2. сформировать систему уравнений для определения динамических реакцийвнешних и внутренних связей;
3. Найти закон движения системы, т. е. проинтегрироватьдифференциальное уравнение движения при заданных начальных условиях;
4. провести численный анализ полученного решения с использованиемЭВМ.
Груз 1 один подвешен на нити к центру невесомого блока 2. Меньшаяступень блока 2 прикреплена нитью к горизонтальной поверхности, а нить,намотанная на большую ступень – навита на закрепленный в центре блок 3. Далеенить с блока 3 наматывается на меньшую ступень катка 4, который катится пошероховатой горизонтальной поверхности, касаясь ее большей ступенью. Центркатка связан с пружиной, другой конец которой закреплен неподвижно. Нити ипружина, которые являются невесомыми, параллельны соответствующим плоскостям.Нити являются нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Сопротивление, возникающее вподшипниках блока, пропорционально первой степени угловой скорости блока: />. Качение катка происходитбез скольжения, сопротивление качению отсутствует. Центр масс блока расположенна оси его вращения. К грузу приложена возмущающая сила />. При движении системы нитивсегда натянуты. Схема механической системы представлена ниже:
Исследовать движение механической системы. Определить реакции внешнихи внутренних связей, если
/>–массы груза, блока и катка,
c – коэффициент жесткости пружины,
/> – коэффициентдемпфирования,
/> -радиусы ступеней невесомого блока 2,
/> – радиус блока 3,
/>–радиусы ступеней катка 4 и радиус инерции относительно оси, проходящей черезцентр масс,
/> – предельное значениекоэффициента сцепления катка 4 и опорной плоскости,
/> – предельное значениеудлинения пружины;
/> — начальная координата иначальная скорость груза.
Исходные данные:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1.Составление дифференциального уравнения движения механической системы
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы:это обеспечивается условиями, принятыми при формулировке задания, — телаявляются абсолютно твердыми, нити — нерастяжимыми и всегда натянутыми,проскальзывание при движении катка отсутствует. Следовательно, для заданияположения системы нужен один параметр. Будем определять положение системы спомощью координаты S, задающей положение центра масс груза (рис.2).Начало отсчета координаты Sсовместим с положением центра масс груза приравновесии системы. Углы поворота блока /> и катка /> отсчитываем по ходучасовой стрелки. Положение центра масс катка /> определяем координатой
/>,отсчитываемой от положения центра масс катка при равновесии системы:
если />,то />, />, /> и /> и наоборот, причем нулевому значению координаты Sсоответствуют нулевые значения координат />, />, />и />.
Для составления дифференциального уравнения движения системыиспользуем теорему об изменении кинетической энергии механической системы вдифференциальной форме:
/> (1)
где: T— кинетическая энергия системы,/>— сумма мощностей внешних
сил, /> — сумма мощностейвнутренних сил.
Пусть в произвольный момент система занимает положение, в котором
S>0, а скорость груза /> направлена вдоль опорной плоскости в положительном направлениикоординаты S.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетическихэнергий тел, образующих механическую систему.
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическаяэнергия:
/>
Блок 2 невесом и его кинетическая энергия равна 0.
Блок 3 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Егокинетическая энергия:
/>
где /> — момент инерции блока 3относительно оси вращения, /> —
модуль угловой скорости.
Каток 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому егокинетическая энергия равна:
/>
Тогда кинетическая энергия всего механизма имеет вид:
/> (2)
Так как механическая система (мс) имеет 1 степень свободы, товеличины />легко выражаются через />. Связи между этимивеличинами будут иметь вид:
/> (3)
Блок 3 – сплошной однородный цилиндр, для катка 4 известен радиусинерции, поэтому моменты инерции этих тел относительно осей, проходящих черезих центры масс и перпендикулярных плоскости чертежа, будут вычисляться:
/>
/>
Подставляя моменты инерции и выражения (3) в формулу (2), получимполную кинетическую энергию системы:
/> (4)
где величина /> называетсяприведенной массой. /> кг
Теперь вычислим правую часть уравнения (1) – сумму мощностейвнешних и внутренних сил, при этом учтем, что мощность силы равна скалярномупроизведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность парысил – скалярному произведению вектора пары на угловую скорость твердого тела, ккоторому приложена пара:
/>
Или
/>
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой,так как входящие в систему тела абсолютно твердые, а нити — абсолютно гибкие инерастяжимые. Следовательно, скорости их точек относительно друг друга равнынулю и сумма мощностей внутренних сил также будет равна нулю
/> (6)
С учетом кинематических соотношений (3) сумму мощностей внешних
сил преобразуем к виду:
/> (7)
Где
/> — приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полноеудлинение пружины /> равно сумме статического /> и динамического /> удлинений />
Тогда
/>
Приведенная сила в развернутом виде примет вид:
/> (8)
Где /> -приведенная жесткость,
/> – приведенныйкоэффициент сопротивления.
Подставляя выражения (4), (6) и (7) в (1), получаем послесокращения на /> дифференциальноеуравнение движения системы:
/> (9)
Учтем, что при равновесии системы (возмущающая сила отсутствует)скорость и ускорение груза равны нулю по определению />, а координата груза равна нулю в силу постановки задачи(начало отсчета совпадает с положением равновесия груза 1 S=0). В этом случаеуравнение (9) приводится к виду />, и условием равновесия системы будет служитьуравнение
/>
Откуда
/> (10)
Подставляя (10) в уравнение (9) и учитывая формулу (8) дляприведенной силы, получаем дифференциальное уравнение движения системы
/>
Представим данное уравнение в виде:
/> (11)
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
/> -частота собственных колебаний,
/> -показатель степени затухания колебаний.
/> -относительная амплитуда возмущающей силы.
Начальные условия:
/> (12)
Уравнения (11), (12) представляют математическую модель длярешения второй задачи динамики.2.Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части ипостроим расчетные схемы для каждого тела (рис.3). На расчетных схемах, помиморанее введенных сил, показаны реакции (силы натяжения) нитей, связывающих грузи блок 2, блок 2 и горизонтальную поверхность, блоки 2 и 3, блок 3 и каток 4: />.
К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3),применим
две основные теоремы механики материальной системы:
теорему об изменении количества движения
/> (13)
и теорему об изменении кинетического момента относительно оси z,проходящей через центр масс твердого тела
/> (14)
Для каждого тела данные уравнения запишем в проекциях на осикоординат соответственно схемам рис. 3:
тело 1:
/>
тело 2:
/>
тело 3:
/>
тело 4:
/>
Из этих уравнений можно получить формулы для реакций связей:
/> (15)
Для проверки выражений реакций связей, подставим их в оставшеесянеиспользованное уравнение:
/>
После подстановки и упрощений получаем уравнение, совпадающее суравнением (11).
3.Определение закона движения системы
Найдем решение дифференциального уравнения движения механическойсистемы (11). Данное дифференциальное уравнение относится к классу линейныхнеоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решениетаких уравнений можно найти аналитически. Общее решение неоднородногодифференциального уравнения (11) складывается из общего решения однородногоуравнения />
/> (16)
соответствующего данному неоднородному уравнению, и какого-либочастного решения /> уравнения (11), т.е.
/> (17)
Решение однородного уравнения (16) ищем в виде функции
/> (18)
Подставив (18) в (16), получим:
/>
Так как мы ищем нетривиальное решение, то />. Следовательно, должно выполняться условие
/>
Данное уравнение называется характеристическим уравнениемдифференциального уравнения (16). Это уравнение имеет два корня:
/>
Вид общего решения уравнения (16) зависит от типа корней егохарактеристического уравнения. Возможны следующие случаи:
1) n– корни характеристического уравнения комплексныесопряженные:
/>
и общее решение однородного уравнения имеет вид
/> (19)
Здесь /> -постоянные интегрирования.
2) n>k– корни характеристического уравнениядействительные и различные
/>
и общее решение однородного уравнения имеет вид
/>
3) n=k — корни характеристического уравнения кратные: /> и общее решениеоднородного уравнения имеет вид
/>
В рассматриваемом случае />, />. Поскольку n, то общее решениеоднородного уравнения (16) имеет вид:
/> или /> (20)
Здесь />,а коэффициенты />связанымежду собой соотношениями:
/>
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения(11). Данное решение ищем в виде правой части
/> (21)
где коэффициенты /> связаны между собой соотношениями
/>
Подставляя (21) в уравнение (11), после несложных преобразованийполучим
/>
Приравнивая коэффициенты при функциях sin(pt) и cos(pt) в правой и левой частяхпоследнего равенства, получаем систему алгебраических уравнений для определенияпостоянных />:
/>
Решая данную систему, найдем выражения для коэффициентов:
/>
/>
/>
/>
Таким образом, решение (21) найдено. Складывая (20) и (21),получаем общее решение неоднородного уравнения (11):
/> (22)
Константы />и /> определяются из начальных условий (12). Для этого найдемпроизводную по времени от перемещения груза
/>(23)
Подчинив (22) и (23) начальным условиям, получим систему уравнений
относительно искомых констант
/>
Решая систему, получим:
/> (24)
Таким образом, закон движения имеет вид:
/>
Из последней формулы следует, что движение системы представляетсобой наложение двух движений:
1) собственного движения (первое слагаемое справа), котороепредставляет собой затухающие колебания частоты />, так как множитель />при />;
2) вынужденных колебаний постоянной амплитуды /> (второе слагаемое справа), происходящих счастотой возмущающей силы />, причем фаза вынужденных колебаний отстает от фазывозмущающей силы на величину />
Поскольку по истечении некоторого промежутка времени собственноедвижение затухает, то определяющим движением системы являются вынужденныеколебания.4.Результаты расчетов
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализованапроцедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а такжединамических реакций внешних и внутренних связей.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Результаты расчетов:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 5. Анализ результатоввычислений
Математическая модель, описывающая поведение исследуемоймеханической системы, построена при следующих основных допущениях:
1) каток4 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления /> подчинен следующему ограничению:
/>
где /> – предельное значениесилы сцепления; в нашем случае />
2) кинематическиесвязи, наложенные систему, являются голономными (интегрируемыми), поэтому нитипри движении системы всегда натянуты, т.е. реакции нитей всегда должны бытьположительными.
3) колебаниясистемы являются линейными, то есть предполагается, что удлинение пружины(перемещение центра масс катка 4) не превышает своего предельного значения: />
Анализ результатов расчета (в свете перечисленных требований кповедению механической системы) приводит к логическому выводу:
так как в некоторые моменты времени силы натяжения (реакции) нитейстановятся отрицательными, а сила сцепленияпревышает своепредельное значение, то математическая модель системы не соответствует еереальному поведению, — нити провисают, тела движутся рывками, а каток – спроскальзыванием.
Данное заключение позволяет сформулировать задачу исследования:
обеспечить соответствие математической модели реальному поведениюсистемы.
Иными словами, необходимо удовлетворить следующим условиям:
1) нити должны быть натянутыми при движении системы;
2) величина силы сцепления должна обеспечивать движение катка безпроскальзывания;
3) перемещение центра масс катка не должно превышать величиныпредельного значения удлинения пружины.
Данные условия представим в математическом виде
/>/> (25)
Для определения значений внутренних параметров механическойсистемы — масс тел /> икоэффициента жесткости пружины c, — обеспечивающих ее функционирование всоответствие с предложенной математической моделью, выберем в качествеанализируемых величин
1) реакциисил натяжения нитей;
2) силусцепления катка с опорной плоскостью;
3) перемещенияцентра масс катка 4;
Исследуем изменение этих функций, в зависимости от масс телвходящих в механическую систему, а также жесткости упругого элемента.
Ограничимся состоянием установившегося движения. В этом случаезакон движения груза, его скорость и ускорение имеют вид
/>
Функции сил натяжений нитей и сцепления катка представим в виде:
/> (26)
где коэффициенты, входящие в (26) равны:
/>/> /> />
/>/> />/>
/> />
/> />
/>/> />/>
/> />
/> />
Условия (25), обеспечивающие адекватность движения системыматематической модели (11), (12) можно теперь представить в виде
/>
Так как все коэффициенты, входящие в соотношения (27) являются
функциями внутренних параметров механической системы /> и с, то
вычисление зависимостей />представим в виде процедуры S(M1,M3,M4,W) пакета Mathcad. Выражениедля функции ΔS(M1,M3,M4,W), в силу несложности еепреобразования, получим позже.
В дальнейшем, ограничимся исследованием влияния масс /> и />. Установим интервалы их изменения. Дляэтого рассмотрим механическую систему в состоянии резонанса. Если />, то
/>
откуда следует: 1) если />, то />; 2) если />, то />. Процедура вычислений функций, входящих в (27):
/>
Рассмотрим теперь последнее неравенство в условиях (27) – ΔS > 0. Учитывая выражение дляамплитуды /> представим его в виде
/>
где /> – предельное значениеперемещения груза 1.
Подставляя вместо коэффициентов kи nих выражения,найдем, из уравнения ΔS = 0, предельные значения массы груза 1
/>
где />
Исследуем теперь зависимости (27). Для этого изобразим их наплоскости /> линиямиуровня. Отдельно для каждой функции линии уровня будут иметь вид:
Для />:
/>
Для />:
/>
Для />:
/>
Для />:
/>
Чтобы определить области допустимых значений для масс груза 1 икатка 4, нарисуем линии уровней всех функций на одном рисунке:
/>
Как видно из рисунка, в дорезонансном режиме нет области значениймасс, которые удовлетворяли бы условиям (25).
6.Результаты анализа
С целью подтверждения проведенных исследований произведем расчетмеханической системы в послерезонансном режиме:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Графики движения и скорости груза 1
/>
Графики сил натяжения нитей:
/>
График силы сцепления:
/>
Графики реакций опор блока 3:
/>
Выводы
В результате решения дифференциального уравнения движения системы(11) при начальных условиях (12) определен закон движения системы S=S(t), наосновании которого по разработанному алгоритму вычислены значения реакцийсвязей.
Анализ результатов расчета показал, что в некоторые моментывремени натяжения нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает своепредельное значение, и, следовательно, принятая математическая модель несоответствует поведению механической системы: нити провисают, тела движутсярывками, а каток 4 – с проскальзыванием.
Для устранения этой ситуации были сформулированы критерии,удовлетворение которых обеспечивает адекватность движения системы математическоймодели, т.е. выполнение условий (25).
Исследование влияний масс груза 1 и катка 4 на движение системыпозволило определить область значений масс для них, внутри которой выполняютсяуказанные условия.
Исследования показали, что такая область существует лишь впослерезонансном режиме.
Результаты расчетов скорректированной механической системыпредставлены в виде графиков изменения характерных параметров в зависимости отвремени.
Область допустимых значений для масс груза и катка представленаниже:
/>