Реферат
Целью данной курсовой работы является изучение особых свойствГамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основныесвойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритмбыл написан на языке высокого уровня — Си. Результат работы программы сверен стабличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.
Пояснительная записка ккурсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значенийгамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ длявычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.
Для написания курсовойработы было использовано 7 источников.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в видесобственого либо несобственого интеграла, который зависит не только отформальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами зависящими отпараметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера первогорода:
/>
Гамма функция представляется интегралом Эйлера второгорода:
/>
Гамма-функция относится кчислу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которойнеобходимо для изучения многих других специальных функций, например,цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря её введениюзначительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже вслучаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных,получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы впромежуточных выкладках.
Эйлеровы интегралыпредставляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считаетсярешённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
1. Бэта-функция Эйлера
Бэта – функцииопределяются интегралом Эйлера первого рода:
/>=/>/>/>(1.1)
Он представляет функциюот двух переменных параметров /> и />: функцию B. Если эти параметры удовлетворяютусловиям /> и />, то интеграл (1.1) будетнесобственным интегралом, зависящим от параметров /> и/>, причём особыми точкамиэтого интеграла будут точки /> и />
Интеграл (1.1) сходятсяпри />.Полагая /> получим:
/>= -/> =/>
т.e. аргумент /> и /> входят в /> симметрично. Принимая вовнимание тождество
/>
по формуле интегрированияпочестям имеем/>
Откуда получаем
/>=/>
(1.2)
При целом b = nпоследовательно применяя (1.2)
Получим
/>
(1.3)
при целых />= m,/>= n, имеем
/>
но B(1,1) =1, следовательно:
/>
/>/>
Положим в(1.1) /> .Так как график функции />симметрична относительнопрямой />, то
/>
и в результатеподстановки />, получаем
/>
полагая в(1.1) />, откуда />, получим
/>
(1.4)
разделяя интеграл на двав пределах от 0 до 1 и от 1 до /> иприменение ко второму интегралу подстановки />, получим
2. Гамма-функция/>2.1 ОпределениеВосклицательныйзнак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либоцелого неотрицательного числа:
n! =1·2·3·…·n.
Функциюфакториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:
(n+1)! =(n+1)·n!.
Это соотношение можнорассматривать не только при целых значениях n.
Рассмотримразностное уравнение />
G(z+1)=zG(z).
(2.1)
Несмотря на простую формузаписи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называетсягамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла.Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральнымпредставлением.
2.2 Интегральноепредставление
Перейдем крешению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:
/>
В этом случае праваячасть уравнения (2.1) может быть записана в виде: />
/>
/>
Эта формула справедлива,если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известноповедение образа [(G)\tilde](p)при p® ±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, чтовнеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надобудет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначепридется искать G(z)как-нибудь по-другому.
Левая частьравенства (2.1) записывается следующим образом:
/>/>
Тогда уравнение (2.1) дляобраза гамма-функции имеет вид:
/>
Это уравнение легкорешить:
/>
(2.2)
Нетрудно заметить, чтонайденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный членв формуле (2.2) равен нулю.
Зная образгамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:
/>
Это неканоническаяформула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделатьзамену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:
/>
Постоянная C выбираетсятак, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1)= n!, тогда:
/>
следовательно C = 1.Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции: />
/>
(2.3)
Эта функцияочень часто встречается в математических текстах. При работе со специальнымифункциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.
Проверить,что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению(2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:
/>/>
/>2.3 Область определения и полюсы
Вподынтегральной функции интеграла (2.3) при /> экспонентаexp(-tz) при R(z) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическаяфункцияt(z-1). Особенность в нуле — интегрируемая, поэтомунесобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательнымдифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z) — голоморфная функция при R (z) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3)при R (z) /> 0 не означает, что там неопределена сама гамма-функция — решение уравнения (2.1).
Рассмотримповедение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:
/>
где /> – голоморфная функция вокрестности z = 0. Из формулы (2.1) следует:
/>
Тогда
/>
то есть Г(z) имеет полюспервого порядка при z = 0.
Также легкополучить:
/>
то есть в окрестноститочки />функция Г(z) такжеимеет полюс первого порядка.
Таким жеобразом можно получить формулу: />
/>
(2.4)
Из этой формулы следует,что точки z = 0,-1,-2,… — простые полюсы гамма-функции и других полюсов навещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n,n = 0,1,2,…:
/>
/>2.4 Представление Ганкеля черезинтеграл по петле
Выясним,имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию
/>
Полюсы этой функции иесть нули функции Г(z).
Разностноеуравнение для I(z) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z):
/>
Выражение длярешения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как былополучено интегральное выражение для гамма-функции — через преобразованиеЛапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, каки в п.1).ии теграла будут точки____________________________________________________________________________
/>
или
/>
После разделенияпеременных получим:
/>
Проинтегрировав получаем:
/> или />
Переход к прообразуЛапласа дает:
/>
В полученном интегралесделаем замену переменной интегрирования:
/> тогда />
Здесь важно заметить, чтоподынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвленияt = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательнойвещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интегралапо верхнему берегу этого разреза от /> до 0 иинтеграла от 0 до /> по нижнемуберегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроимвокруг нее петлю.
/>/>
Рис1: Петля винтегральном представлении Ганкеля.
В результате получим:
/>
Чтобы выяснить значениепостоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:
/>
Интегральноепредставление />
/>
(2.5)
называется представлениемГанкеля по петле.
Легко видеть, что функция1/Г(z) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно,гамма-функция не имеет нулей.
С помощью этого интегральногопредставления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этогов интеграле сделаем замену переменной />,тогда:
/>
/>
то есть
/>2.5 Предельная форма Эйлера
Гамма-функцию можнопредставить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если винтеграле (2.3) представить
/>
Тогда интегральноепредставление гамма-функции:
/>
В этой формуле мы можем поменятьпределы — предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при /> внутри интеграла. Приведемрезультат:
/>
Возьмем по частям этотинтеграл:
/>
/>
/>
Если провести этупроцедуру n раз, получим:
/>
Переходя к пределу,получим предельную форму Эйлера для гамма-функции: />
/>
(2.6)2.6 Формула для произведения
Нижепонадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляетсячерез одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральноепредставление гамма-функций.
/>
Повторный интегралпредставим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать,воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:
/>/>
Несобственный интегралравномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл потреугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R/>. В двойном интегралесделаем замену переменных:
/> />
Якобиан этой замены
/>
Пределы интегрирования: uменяется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результатеполучим:
/>
Перепишем опять этотинтеграл как повторный, в результате получим:
/>
где Rp > 0, Rv > 0.2. Производнаягамма функции
Интеграл
/>
сходится при каждом />, поскольку />, и интеграл />/> при/>сходится.
В области />, где /> — произвольноеположительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как/> и можно применить признакВейрштраса. Сходящимся при всех значениях /> являетсяи весь интеграл /> так как и второеслагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом/>.Легко видеть что интегралсходится по/>в любой области /> где /> произвольно. Действительнодля всех указанных значений />и длявсех /> />, и так как />сходится, то выполнены условияпризнака Вейерштрасса. Таким образом, в области />интеграл/>сходится равномерно./>
Отсюда вытекаетнепрерывность гамма функции при/>.Докажемдифференцируемость этой функции при />.Заметимчто функция /> непрерывна при /> и/>, и покажем, что интеграл :
/>
сходится равномерно накаждом сегменте /> , /> . Выберем число/> так, чтобы />; тогда /> при />.Поэтому существует число /> такое, что /> и /> на/>.Но тогда на /> справедливо неравенство
/>
и так как интеграл /> сходится, то интеграл /> сходится равномерноотносительно /> на />. Аналогично для /> существует такое число />, что для всех /> выполняется неравенство />. При таких /> и всех /> получим />, откуда в силу признакасравнения следует, что интеграл /> сходитсяравномерно относительно /> на />. Наконец, интеграл
/>
в котором подынтегральнаяфункция непрерывна в области
/>, очевидно, сходится равномерноотносительно />на />. Таким образом, на /> интеграл
/>
сходится равномерно, а,следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом /> и справедливо равенство
/>/>.
Относительно интеграла />можно повторить те жерассуждения и заключить, что
/>
По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при/>идля ее я />-ой производной справедливоравенство
/>
Изучим теперь поведение /> — функции и построим эскизее графика. (см. Приложение 1)
Из выражения для второйпроизводной />-функции видно, что /> для всех />. Следовательно, /> возрастает. Поскольку />, то по теореме Роля насегменте [1,2]производная /> при /> и/> при />, т. е. Монотонно убываетна />и монотонно возрастает на />. Далее, поскольку />, то />при />. При /> из формулы />следует, что /> при />.
Равенство />, справедливое при />, можно использовать прираспространении /> — функции наотрицательное значение />.
Положим для/>, что />. Правая часть этого равенстваопределена для /> из (-1,0).Получаем, что так продолженная функция /> принимаетна (-1,0) отрицательные значения и при />,а также при /> функция />.
Определив такимобразом />на />, мы можем по той же формулепродолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением /> окажется функция,принимающая положительные значения и такая, что />/>/>при /> и />. Продолжая этот процесс,определим функцию />, имеющею разрывыв целочисленных точках />(см.Приложение 1.)
Отметим еще раз, чтоинтеграл
/>
определяет Г-функциютолько при положительных значениях />, продолжениена отрицательные значения />осуществленонами формально с помощью формулы приведения />/>.
4. Вычисление некоторых интегралов.
ФормулаСтирлинга Применим гамма функцию к вычислениюинтеграла:
/>
где m > -1,n >-1.Полагая, что />, имеем
/>/>
и на основании (2.8)имеем
/>
(4.1)
В интеграле
/>
Где k > -1,n >0, достаточно положить />
/>/>
Интеграл
/>
Где s > 0, разложитьв ряд
/>/>/>
=/>
где />дзетта функция Римана
Рассмотрим неполныегамма функции (функции Прима)
/>
связанные неравенством
/>
/>
Разлагая,/> в ряд имеем
/>
/>
Переходя к выводуформулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при большихзначениях n, рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
/> (4.2)
Непрерывна наинтервале (-1,/>) монотонновозрастает от /> до/> при изменении /> от /> до/> и обращаются в 0 при u =0.Так как
/>
то />при u > 0 и при u
/>
И так производнаянепрерывна и положительна во всем интервале />, удовлетворяетусловию
/>
Из предыдущего следует,что существует обратная функция, /> определеннаяна интервале /> непрерывная и монотонновозрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0и удовлетворяющая условие
/>/>
(4.3)
Формулу Стирлингавыведем из равенства
/>
полагая />, имеем
/>
Положим далее />введенная выше обратнаяфункция, удовлетворяющая условиям u = -1при />, и/> при /> .Замечая что(см.4.2)
/>
имеем
/>,
полагая на конец ,/>, получим
/>
или
/>
в пределе при />т.е. при />(см 4.3)
/>
откуда вытекает формулаСтирлинга
/>
которую можно взять ввиде
/>
(4.4)
где /> , при />/>
для достаточно больших /> полагают
/>
(4.5)
вычисление жепроизводится при помощи логарифмов
/>
если /> целое положительное число,то /> и (4.5) превращается вприближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
/>
приведем без вывода болееточную формулу
/>
где в скобках стоит несходящийся ряд.
5. Примеры вычисления интегралов
Для вычисления необходимыформулы:
/>
/>
Г(/>)/>
Вычислить интегралы
/>
/>
/>/>
/>
/>
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Для вычислениягамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимациигамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (длякомплексных z):
Г(z+1)=(z+g+0.5)z+0.5exp(-(z+g+0.5))/>[a0+a1/(z+1)+a2/(z+2)+…+an/(z+n)+eps]
Эта формула похожа нааппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10-10.Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплекснойплоскости: z > 0.
Для получения(действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентнаяформула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можнозаметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции — логарифма,а не двух — экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма),во-вторых, гамма-функция — быстро растущая для больших x, и аппроксимация еелогарифмом снимает вопросы переполнения.
Для аппроксимации Ln(Г(х)- логарифма гамма-функции — получается формула:
log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+
log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+…+C7/(x+8))/x)
Значения коэффициентов Ck — табличные данные (см. в программе).
Сама гамма-функцияполучается из ее логарифма взятием экспоненты.
Заключение
Гамма функции являются удобным средством длявычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которыене представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в математике иее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современнойнауки.
Список литературы1. Специальные функции и их приложения:Лебедев И.И., М., Гостехтериоиздат,1953
2. Математический анализчасть 2:
Ильин О.А., СадовничийВ.А., Сендов Бл.Х., М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач поматематическому анализу:
Демидович Б.П., М., Наука,1966
4. Интегралы и рядыспециальные функции:
Прудников А.П., БрычковЮ.А., М., Наука,1983
5. Специальные функции:
Кузнецов, М.,”Высшаяшкола”,1965
6.Асимптотика испециальные функции
Ф.Олвер, М., Наука,1990.
7.Зоопарк чудовищ илизнакомство со спецмальными функциями
О.М.Киселёв,
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1 — Графикгамма-функции действительного переменного
Приложение 2 – ГрафикГамма-функции
Таблица – таблицазначений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.
Приложение 3 – листингпрограммы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значенияхаргумента.
Приложение 4 – листингпрограммы, рисующей график гамма-функции
СОДЕРЖАНИЕ
Реферат… ……………………………..3
Введение… ……………………………..4
Теоретическая часть…………………………………………………….5
Бета функция Эйлера…………………………………………….5
Гамма функция… ……………………………..8
2.1.Определение…………………………………………………8
2.2. Интегральноепредставление………………………………8
2.3. Область определения иполюсы…………………………..10
2.4. Представление Ганкеля черезинтеграл по петле………..10
2.5. Предельная формаЭйлера…………………………………12
2.6. Формула дляпроизведения………………………………..13
Производная гамма функции… …………………………….15
Вычисление интегралов. ФормулаСтирлинга………………………18
Примеры вычислений интегралов… …………………………….23
Практическаячасть…………………………………………………….24
Заключение… …………………………….25
Список литературы………………………………………………………..26
Приложения……………………………………………………………..27
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
/>
График гамма-функциидействительного переменного
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
/>
График Гамма-функции
ТАБЛИЦА
х g(x)
1.450
1.452
1.454
1.458
1.460
1.462
1.464
1.466
1.468
1.470
1.472
1.474
1.476
1.478
1.480
0.8856616058
0.8856432994
0.8856284520
0.8856170571
0.8856091082
0.8856045988
0.8856035228
0.8856058736
0.8856116452
0.8856208314
0.8856334260
0.8856494230
0.8856688165
0.8856916004
0.8857177690
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
#include
#include
#include
#include
#include
#define CN 8
static doublecof[CN]={
2.5066282746310005,
1.0000000000190015,
76.18009172947146,
-86.50532032941677,
24.01409824083091,
-1.231739572450155,
0.1208650973866179e-2,
-0.5395239384953e-5,
};
doubleGammLn(double x) {
doublelg,lg1;
lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);
lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;
return lg;
}
doubleGamma(double x) {
return(exp(GammLn(x)));
}
void main()
{
doublex[8],g[8];
int i,j;
clrscr();
cout
cin>>x[1];
printf(“\n\t\t\t_________________________________________”);
printf(“\n\t\t\t| x |Gamma(x) |”);
printf(“\n\t\t\t_________________________________________”);
for(i=1;i
{
x[i+1]=x[i]+0.5;
g[i]=Gamma(x[i]);
printf(“\n\t\t\t| %f | %f |”,x[i],g[i]);
}
printf(“\n\t\t\t_________________________________________”);
printf(“\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy”);
getch();
}
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
#include
#include
#include
#include
Doublegam(double x, double eps)
{
IntI, j, n, nb;
Doubledze[5]={1.6449340668422643647,
1.20205690315959428540,
1.08232323371113819152,
1.03692775514336992633,
1.01734306198444913971};
Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;
If(x
{
Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйтеснова\n”); return -1.0;
}
If(x
{
A=x+1.0;
Fc=1.0/x;
}
While(a>=2)
{
A=a-1.0;
Fc=fc*a;
}
A=a-1.0;
If(a==0)return fc;
B=a*a;
S=0;
For(i=0;i
{
S=s+b*dze[i]/(i+2.0);
B=-b*a;
}
Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;
For(n=1;n
{
B=a/n;
Si=0;
For(j=0;j
{
Si=si+b/(j+1.0);
B=-b*a/n;
}
S=s+si-log(1.0+a/n);
}
Y=exp(-ce*a+s);
Returny*fc;
}
Main()
}
Doubledx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;
Intn=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;
Initgraph(&gdriver,&gmode,“ ”);
X0=30;
YN0=getmaxy()-20;
Line(30, getmaxy()-10,30,30);
Line(20, getmaxy()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);
X=170;
Y=450;
Do{
Moveto(X,Y);
DO{
Y=Y-1;
Lineto(X,Y);
Y=Y-10;
Moveto(X,Y);
}while(Y>30);
X=X+150;
Y=450;
}while(X
X=30;
Y=366;
Do{
Moveto(X,Y);
Do{
X=X+1;
Lineto(X,Y);
X=X+10;
Moveto(X,Y);
}while(X
Y=Y-84;
X=30;
}while(y>=30);
X=30+150.0*0,1845;
Moveto(X,30);
For9i=1;i
{
Dx=(4.0*i)/n;
Dy=gam(dx,1e-3);
X=30+(600/0*i)/n;
Y=450-84*dy;
If(Y
Lineto(X,Y);
}
X=30+150.0*308523;
Lineto(X,30);
Line(30,30,30,10);
Line(620,450,640,450);
Line(30,10,25,15);
Line(30,10,25,15);
Line(640,450,635,445);
Line(640,450,635,455);
Line(170,445,170,455);
Line(320,445,320,455);
Line(470,445,470,455);
Line(620,445,620,455);
Line(25,366,35,366);
Line(25,282,35,282);
Line(25,114,35,114);
Line(25,30,35,30);
Outtexty(20,465,«0»);
Outtexty(165,465,«1»;
Outtexty(315,465,«2»;
Outtexty(465,465,«3»;
Outtexty(615,465,«4»;
Outtexty(630,465,«x»;
Outtexty(15,364,«1»;
Outtexty(15,280,«2»;
Outtexty(15,196,«3»;
Outtexty(15,112,«4»;
Outtexty(15,30,«5»;
Outtexty(15,10,«y»;
Getch()
}