«СовременнаяНТД на статистические методы анализа прямых,
косвенных,совместных, однократных и многократных измерений»
План
1. Обеспечение единства измерений
2. Характеристики погрешности измерений
3. Методы обработки результатов прямыходнократных измерений
4. Метод обработки результатов прямых измерений смногократным наблюдением
5. Методы обработки результатов косвенныхизмерений.
6. Обработка данных косвенных измеренийвыборочным методом
Список использованной литературы
1. Обеспечениеединства измерений
Метрология – отрасльфизики, изучающая единицы измерения, устанавливающая эталоны и разрабатывающаяметоды и средства точных измерений, а также способы достижения требуемойточности.
Практическая метрологиязанимается изучением вопросов практического применения в различных сферахдеятельности разработок теоретической метрологии с обязательным применениемположений законодательной метрологии. Таким образом, сущность практическойметрологии сводится к измерению любой заданной величины любого объектаизмерения и получение результата измерения с максимально возможной точностью.
Следовательно,непосредственной целью измерения (по определению МИ 1317 – 2004) являетсяопределение истинных значений постоянной или изменяющейся измеряемой величины.Результат измерений является реализацией случайной величины, равной суммеистинного значения измеряемой величины и погрешности измерения. В качествеизмеряемых величин принимают параметры модели объекта измерений.
С целью исключенияразночтений различных методик проведения измерений, самодеятельности вобработке результатов измерений, и их статистического анализа созданазаконодательная база, устраняющая все вышеперечисленные недостатки и нагосударственном уровне создавшая систему обеспечения единства измерений.
По данному разделу работыможно указать следующую НТД:
РМГ 29 – 99 Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины иопределения.
ГОСТ Р 8. 563 – 96 Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Методика выполнения измерений.
ГОСТ 8. 009 – 84 Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Нормируемые метрологическиехарактеристики средств измерения.
МИ 1317 – 2004 Рекомендация.Результаты и характеристики погрешностей измерений. Формы представления.Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле ихпараметров.
РД 50 – 453 – 84 Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Характеристики погрешностей средствизмерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета.
Несмотря на то, что рядНТД носит рекомендательный характер, положения, изложенные в них, являютсяобязательными для исполнения и распространяются на нормативные, методические итехнические документы, техническую литературу, в которой указывают требования кизмерениям или описывают измерения, проводимые в научных исследованиях и др.
Для удобства работы счисловыми значениями результатов измерений и погрешностей измерений, МИ 1317 –2004 рекомендует наименьшие разряды числовых значений результатов измеренийпринимать такими же, как и наименьшие разряды числовых значений среднегоквадратического отклонения абсолютной погрешности измерений или числовыхзначений границ, в которых находится абсолютная погрешность измерений (илистатистических оценок этих характеристик погрешности).
В качестве функцииплотности распределения вероятностей погрешности измерения принимают закон,близкий к нормальному усеченному, если имеются основания предполагать, чтореальная функция распределения−функция симметричная, одномодальная,отличная от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информацияо плотности распределения отсутствует.
В качестве функцииплотности распределения вероятностей составляющих погрешности измерений, длякоторых известны только пределы допускаемых значений, т.е. границы интервала, вкоторых находится соответствующая составляющая погрешности измерений свероятностью 1, при расчетах характеристик погрешности измерений принимаютзакон равномерной плотности, если отсутствует информация об ином видераспределения.
2. Характеристикипогрешности измерений
Рекомендация МИ 1317 –2004 устанавливает следующие группы характеристик погрешности измерений:
1. Задаваемые в качестве требуемых илидопускаемых – нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностиизмерений).
2. Приписываемые любому результату измеренийиз совокупности результатов измерений, выполняемых по одной и той жеаттестованной МВИ– приписанные погрешности измерений.
3. Отражающие близость отдельного,экспериментально полученного результата измерений к истинному значениюизмеряемой величины – статистические оценки характеристик погрешности измерений(статистические оценки погрешности измерений).
Нормы погрешностиизмерений, а также приписанные характеристики – представляют собой вероятныехарактеристики (характеристики генеральной совокупности) случайной величины –погрешности измерений. Эти нормы применяют преимущественно при массовыхтехнических измерениях, выполняемых, например, при технологической подготовкепроизводства, в процессе разработки, испытаний и эксплуатации продукции и т.п.
При измерениях, которыевыполняются при проведении научно – исследовательских и метрологических работ(определение физических констант; свойств и состава стандартных образцов ит.п.) преимущественно применяют статистические оценки погрешности измерений. Онипредставляют собой статистические (выборочные) характеристики случайнойвеличины – погрешности измерения.
В тоже время Рекомендацияустанавливает следующие альтернативные вероятностные и статистическиехарактеристики погрешности измерений:
1. среднее квадратическое отклонениепогрешности измерений;
2. границы, в пределах которыхпогрешность измерений находится с заданной вероятностью;
3. характеристики случайной исистематической составляющих погрешности измерений.
Характеристикипогрешности измерений и их статистическая оценка приведены в таблице 1.
Таблица 1.Характеристики погрешности измерений Статистические оценки (по2.1.3) Среднее квадратическое отклонение погрешности измерений
Оценка />[Д] и (в случае необходимости) нижняя у1 [Д] и верхняя уh [Д] границы доверительного интервала, доверительная вероятность Pдов Д Границы, в которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью
Оценка нижней /> и верхней /> границ интервала, вероятность Р Характеристики случайной составляющей погрешности измерений: Среднее квадратическое отклонение нормализованная автокорреляционная функция Характеристики нормализованной автокорреляционной функции (например, интервал корреляции)
Оценка />[/>] и (в случае необходимости) нижняя у1 [/>] и верхняя уh [/>] границы доверительного интервала, доверительная вероятность Pдов Д
Оценка функции />(ф)
Оценка характеристики Характеристики неисключенной систематической составляющей погрешности измерений: среднее квадратическое отклонение неисключенной систематической составляющей границы, в которых неисключенная систематическая составляющая находится с заданной вероятностью
Оценка />[Дs] и (в случае необходимости) нижняя у1 [Дs] и верхняя уh [Дs] границы доверительного интервала, доверительная вероятность Pдов s
Оценка нижней /> и верхней /> границ интервала, вероятность Рs
В таблице 1 приведеныобозначения для характеристик абсолютной погрешности измерений. Для обозначенияхарактеристик относительной погрешности букву ∆ заменяют на д.
Рекомендуемое значениевероятности (доверительной вероятности) Р = 0,95 .
В особых случаях,например при измерениях, которые нельзя повторить, допускается указыватьдоверительные границы или расширенную неопределенность для уровня доверия Р иболее высоких вероятностей.
Статистические оценкихарактеристик погрешности измерений представляют одной или при необходимостинесколькими характеристиками и указывают их в единицах измерения (абсолютные)или процентах (долях) от результата измерения (относительные).
3. Методы обработки результатовпрямых однократных измерений
В практическойдеятельности большинство проводимых измерений являются прямыми и однократными,в обычных условиях их точность вполне приемлема.
Прямые однократныеизмерения – процесс, при котором искомое значение величины находятнепосредственно из опытных данных, причем сам процесс измерения выполняетсятолько один раз.
За результат однократногоизмерения А принимается значение величины, полученное при измерении.
Выполнение однократныхизмерений обосновывают следующими факторами:
− производственнойнеобходимостью (невозможность повторения измерения, экономическаяцелесообразность и т. д.);
− возможностьюпренебрежения случайными погрешностями;
− случайныепогрешности существенны, но доверительная граница погрешности результатаизмерения не превышает допускаемой погрешности измерения.
Метрологический анализоднократного измерения выявляет одно в нем следующие особенности:
1. Из множества возможных значенийотсчета получается и используется только одно.
2. Представление о законе распределениявероятностей отсчета и его среднем квадратическом отклонении формируется наоснове информации и опыта ранее проведенных аналогичных измерений.
При использовании этойинформации уточняется:
− физическаясущность изучаемого явления;
− уточняется егомодель;
− определяютсяфакторы, влияющие на точность измерения, и меры, направленные на уменьшениевлияния этих факторов (экранирование, компенсация электрических и магнитныхполей и др.);
− значенияпоправок;
− выбор решения впользу той или иной методики измерения;
− выбираетсясредство измерения, изучаются его метрологические характеристики и опытпроведения подобных измерений, проводимых ранее.
Итогом этойпредварительной работы должна стать твердая уверенность в том, что точностьоднократного измерения достаточна для решения поставленной задачи.
Если это условиевыполняется, то производится процесс измерения с целью получения одногозначения отсчета.
Но поскольку отсчет (поосновному постулату метрологи) является случайным числом, а одно единственноезначение отсчета xi и полученияодного единственного значения показаний Xi средства измерения, имеющего туже размерность, что и измеряемаявеличина, это приводит к выводу – необходимо определить погрешность, котораядопущена при измерении, и провести оценивание этой погрешности.
Существует две методикиоценивания погрешностей и неопределенности результата измерений, которыепредставлены в НТД Р 50. 038 – 2004 «Измерения прямые однократные» иподразделяются на два типа: тип А и тип В согласно требованиям РМГ 43 – 2001 (Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражениюнеопределенности измерений»).
Оценивание погрешности инеопределенности результата измерения по методике типа А соответствует методикевыражения неопределенности измерений, принятых в основополагающих документах(НД) по метрологии, применяемых в странах – участниках Соглашения.
При оцениваниипогрешности и неопределенности результата измерения по методике типа В,принятой «Руководством», учитывается, что составляющими погрешности результатаизмерения являются погрешности СИ (средство измерения), метода измерения, оператора,а также погрешности, обусловленные изменением условий измерения. Погрешностьрезультата однократного измерения чаще всего представлена НСП (неисключеннаясистематическая погрешность) и случайными погрешностями.
Характеристики НСП в этомслучае могут быть представлены границами ±и и доверительными границами ±и(Р), ахарактеристикой случайных погрешностей могут быть – СКО S и доверительные границы ±е(Р).
Погрешности СИ определяютна основании их метрологических характеристик, которые указываются в нормативныхи технических документах; погрешности метода измерения и оператора должны бытьопределены при разработке и аттестации конкретной МВИ.
Оценивание случайнойпогрешности и стандартной неопределенности, оцениваемой по типу А, результатаизмерения
Доверительные границыслучайной погрешности и стандартную неопределенность результата измерениявычисляют в следующем порядке.
Если случайныепогрешности представлены несколькими СКО Si/>, то СКО результата однократногоизмерения S(A) вычисляют по формуле:
/>
1. Учитывая то, что погрешностипредставлены несколькими СКО, тогда стандартную неопределенность результатаоднократного измерения UAвычисляют по формуле:
/>/>
Где m — число составляющих случайных погрешностей;
UiA = Si.
Доверительную границуслучайной погрешности измерения е(P) вычисляют по формуле
/>
где ZP/2 – P/2 точка нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятностиP.При доверительной вероятности P = 0,95 Z095/2принимают равным 2, при P=0,99Z0,99/2=2,6 .
Если случайныепогрешности представлены доверительными границами еi(P),соответствующими одной и той же вероятности, доверительную границу случайнойпогрешности результата однократного измерения вычисляют по формуле:
/>
1.4. Если случайныепогрешности представлены доверительными границами, соответствующими разнымвероятностям, сначала определяют СКО измерения по формуле:
/>
А затем вычисляютдоверительные границы случайной погрешности результата измерения по формуле
/>
Оценивание неисключеннойсистематической погрешности и стандартной неопределенности, оцениваемой по типуВ, результата измерения.
При условии, когданеисключенная систематическая погрешность (НСП) выражена границами этойпогрешности и если среди составляющих погрешности результата измерения вналичии одна НСП, то стандартную неопределенность UB, обусловленную неисключенной систематической погрешностью,заданной своими границами ± И оценивают по формуле:
/>
Доверительные границы НСПрезультата измерения вычисляют следующим образом:
1.5. Доверительнуюграницу НСП результата измерения (без учета знака) при наличии нескольких НСП,заданных своими границами />, доверительную границу НСПрезультата измерения (без учета знака) вычисляют по формуле
/>
где k – поправочный коэффициент,определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих
При доверительнойвероятности Р =0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1.
При доверительнойвероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент k принимают равным 1,45, если число суммируемых составляющих m
Если число составляющихравно четырем (m = 4), топоправочный коэффициент k ≈ 1,4; при m = 3 k ≈ 1,3; при m = 2 k ≈ 1,2.
Суммарную стандартнуюнеопределенность Uc,B (при условии, указанном выше в п. 1.1) вычисляют по формуле
/>
1. 6. При наличии нескольких НСП, заданныхдоверительными границами рассчитанными по формуле п.1,1. доверительную границуНСП результата однократного измерения вычисляют по формуле
/>
Суммарную стандартнуюнеопределенность с учетом условий, указанных выше, вычисляют по формуле
/>
где />− доверительнаяграница j − й НСП, соответствующаядоверительной вероятности Рi;
k и ki − коэффициенты, соответствующие доверительнойвероятности Р и Рi
Оценивание погрешности ирасширенной неопределенности результата измерения.
1. 7. Если погрешности метода измеренияи оператора пренебрежимо малы по сравнению с погрешностью используемых СИ (непревышает 15% погрешности СИ), то за погрешность результата измерения принимаютпогрешность используемых СИ.
1.8. Если /> то НСП или стандартнойнеопределенностью, оцениваемой по типу В, пренебрегают и принимают в качествепогрешности или неопределенности результата измерения доверительные границыслучайной погрешности или расширенную неопределенность для уровня доверия Р,вычисляемую по формуле />
Если /> то случайнымипогрешностями или стандартной неопределенностью, оцениваемой по типу А,пренебрегают и принимают в качестве погрешности или неопределенности результатаизмерения границы НСП или расширенную неопределенность для уровня доверия Р,вычисляемую по формуле />
1.9. Если /> то доверительнуюграницу погрешности результата измерений ∆Р вычисляют по формуле
/>
где К – коэффициент,значение которого для доверительной вероятности 0,95 равно 0,76; длядоверительной вероятности 0,99 значение коэффициента К равно 0,83.
Расширеннуюнеопределенность для уровня доверия Р вычисляют по формуле
/>
где к0 коэффициент охвата(коэффициент, используемый как множитель суммарной неопределенности дляполучения расширенной неопределенности). Значения коэффициента охвата длядоверительной вероятности Р = 0,95 считают равным 2, для доверительнойвероятности Р = 0,99 − равным 3.
1.10. Форма представлениярезультатов однократных измерений должна соответствовать МИ1317.
1.11. При симметричнойдоверительной погрешности результата однократного измерения представляют вформе A;± ∆(P); P или A± ∆(P), или A; U(P).
4. Метод обработкирезультатов прямых измерений с многократным наблюдением
Метод обработкирезультатов прямых измерений с многократным наблюдениями заключается в следующем. В основе любогоизмерения лежат прямые измерения, в ходе которых находят некоторое числовоезначение физической величины. С математической точки зрения прямое измерениеможно выразить уравнением, которое имеет вид:
y = cx
где y – значение исследуемой величины;
с – цена деления шкалыприбора в единицах измеряемой величины;
x – отсчет по индикаторному устройствув делениях шкалы.
Каждая измерительнаяоперация (отсчет, замер) называется наблюдением.
Теоретически, длядостижения более точных значений погрешностей измерений, необходимо провести бесконечноечисло наблюдений, что нереально. На практике ограничиваются конечным числомнаблюдений (от единицы до нескольких десятков или сотен). Полученный при этомряд значений физической величины x1, x2, x3…xi называют выборкой, а
R = xmax – xmin −размахом выборки.
Методы обработкирезультатов прямых измерений с многократными
После проведенияизмерений и получения результатов этих измерений необходимо:
Устранить из выборкиочевидные промахи, т. е. вид грубой погрешности, зависящий от оператора исвязанный с неправильным обращением со средством измерения: неверными отсчетамипоказаний приборов, описками при записи результатов, невнимательностьюэкспериментатора и т. п.
Промахи обнаруживаютнестатистическими методами; и результаты наблюдений, содержащие промахи, какзаведомо неправильные исключают из рассмотрения.
Исключить из результатовнаблюдений систематические погрешности, являющиеся составляющими погрешностиизмерения и остающимися постоянной или закономерно меняющимися при повторных измерениях.
Упорядочить выборку впорядке возрастания ее элементов x↑I
/>
Провести проверку выборкина наличие грубых погрешностей и ее связанность по размаху выборки
/> при i=1……………n-1
и проверить, содержит ликрайний элемент грубую погрешность.
Грубые погрешностикрайних элементов из рассмотрения исключить.
Если выборка не являетсясвязной – эксперимент необходимо повторить.
Результат измерения иоценка его среднего квадратического отклонения.
После исключения грубыхпогрешностей из результатов измерений вычисляется среднеарифметическое исправленныхрезультатов наблюдений. Эта величина принимается за результат измерения.
/>
где n – число исправленных наблюдений.
Если во всех результатахнаблюдений содержится постоянная систематическая погрешность, допускается ееисключать, но после вычисления среднего арифметического исправленныхрезультатов измерений.
Вычисляется оценкасреднего квадратического отклонения результатов измерения по формуле
/>
Эта величина позволяетпроверить, не являются ли некоторые сомнительные результаты наблюденийошибочными.
Если окажется, чтосомнительные значения отличаются от вычисленной величины /> больше, чем на три, тоих следует исключить.
Вычисляется и оцениваетсясреднее квадратическое отклонение /> результата измерения по формуле
/>
где />− оценка среднего квадратическогоотклонения результатов измерения.
Определение доверительныхграниц случайной погрешности результата измерения.
Доверительные границы случайнойпогрешности результата измерения в соответствии с требованиями ГОСТ 8. 207 – 76устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальномураспределению.
Если это условие невыполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешностидолжны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.
Проверку гипотезы о том,что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следуетпроводить с уровнем значимости q от 10 о 2%.Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретнойметодике выполнения измерений.
Для определениядоверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятностьР принимают равной 0,95.
В тех случаях, когдаизмерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительнойвероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для доверительнойвероятности Р = 0,99.
При числе результатовнаблюдений /> для проверки принадлежности их кнормальному распределению используется один из критериев/>К. Пирсона или щ2 Мизеса– Смирнова.
При числе результатовнаблюдений 50 > n >16 дляпроверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительнымявляется составной критерий.
При числе результатовнаблюдений n
Критерий 1. Вычисляют отношение/>
/>
где /> − смещеннаяоценка среднего квадратического отклонения, вычисленного по формуле
/>
Результаты наблюденийгруппы можно считать распределенными нормально, если
/>
где квантелираспределения, которые берутся из таблицы 1 (ГОСТ 8. 207 – 76, приложение 1)по n, /> и />
q1 − заранее выбранный уровеньзначимости критерия.
Критерий 2. Можносчитать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, еслине более m разностей />превзошли значение
/>
где S − оценка среднего квадратического отклонения,вычисляемая по формуле
/>
где />− верхняя квантильраспределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности /> .
Значения Р определяютсяиз таблицы 2 (ГОСТ 8. 207 – 76 приложение 1) и числу результатов наблюдений n.
При разных принимаемых уровняхзначимости q для критериев 1 и 2, то уровеньзначимости составного критерия равен сумме частных уровней значимости.
В случае, если хотя быодин из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатовнаблюдений группы не соответствует нормальному.
При числе результатовнаблюдений n ≤ 15 принадлежность их кнормальному распределению не проверяют.
Доверительные границы е (безучета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле
/>
где t − коэффициент Стьюдента, который в зависимости отдоверительной вероятности Р и числа наблюдений n находят по таблице справочного приложения 2 ГОСТ 8. 207 – 76.
Определение доверительныхграниц неисключенной систематической погрешности результата измерения.
Неисключеннаясистематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качествекорторых могут быть неисключенные систематические погрешности: метода измерения;средства измерения; вызванные другими источниками.
В качестве границсоставляющих неисключенной систематической погрешности принимают пределыдопускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, еслислучайные составляющие погрешности пренебрежительно малы.
При суммированиисоставляющих неисключенной систематической погрешности результата измерениянеисключенные систематические погрешности средств измерения каждого типа ипогрешности поправок рассматривают как случайные величины. При отсутствииданных о виде распределения случайных величин их распределение принимают заравномерное.
Границы неисключеннойсистематической погрешности И результата измерения вычисляют путем построениякомпозиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, методаи погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределениинеисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можновычислить по формуле
/>
где Иi − граница i – й неисключенной систематической погрешности;
k − коэффициент, определяемыйпринятой доверительной вероятностью. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р = 0,95.
Доверительную вероятностьдля вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают тойже, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результатаизмерения.
Определение границпогрешности результата измерения.
В случае />, то неисключеннымисистематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают ипринимают, что граница погрешности результата ∆=е. Если />, то случайнойпогрешностью по сравнению с систематическими пренебрегают и принимают, чтограница погрешности результата ∆=И.
В случае, еслинеравенства, указанные в п. 2.7.1. не выполняются, границу погрешностирезультата измерения находят путем построения композиции распределенияслучайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых какслучайные величины в соответствии с
Если доверительныеграницы случайных погрешностей найдены в соответствии с п. 2.4. допускаетсяграницы погрешности результата измерения ∆ (без учета знака) вычислять поформуле
/>
где К − коэффициент,зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематическойпогрешностей;
SУ − оценка суммарного среднегоквадратического отклонения результата измерения.
Оценку суммарногосреднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле
/>
Коэффициент К вычисляютпо эмпирической формуле
/>
Форма записи результатовизмерений.
Оформление результатовизмерений производится в соответствии с МИ 1317 – 2001.
При симметричнойдоверительной погрешности результаты измерений представляют в форме
/>
где /> − результатизмерения.
Числовое значениерезультата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значениепогрешности ∆ .
При отсутствии данных овиде функций распределений составляющих погрешности результата и необходимостидальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измеренийпредставляют в форме
/>
5. Методы обработки результатовкосвенных измерений
Косвенные измерения −это измерения, результат которых определяют на основании прямых измеренийвеличины, связанной с измеряемой величиной известной зависимостью (известнымиматематическими формулами).
Уравнение косвенныхизмерений имеет вид
y=f(x1, x2, …xn)
где y − искомая величина, являющаяся функцией величин x1, x2 … xn, полученныхметодом прямых измерений.
На практике дляопределения искомой величины зачастую необходимо иметь результаты несколькихнезависимых наблюдений величин x, y, z, которые образуют функцию f = f(x, y, z).
Функция f предполагается дифференцируемой по всем переменным, а такжепредполагается, что на интервалах, куда попадают значения x, y, z функции f не имеет нулей частных производных.
Обозначение функции fi = f(xi, yi, zi)
Существуют два методаобработки результатов косвенных измерений:
− метод переносапогрешностей;
− выборочный метод.
Обработка результатовизмерений методом переноса погрешностей.
Этот метод используется вслучае, когда каждая из величин x, y, z, представляющих собой аргументы функций, измеряетсянезависимо от остальных в своей серии опытов, и эти величины организуют выборку(или они близки друг к другу). Число опытов в сериях не обязательно должно бытьодинаково, но обязательным условием остается неизменность условий для прямогоизмерения величин в своей серии, неизменность условий для f во всех сериях и взаимная независимость всех опытов.
Обработка полученныхданных измерений каждого опыта производится по алгоритму прямых измерений смногократным наблюдением.
Рассчитать значениефункции /> = f(/>,/>, />)
Вычислить частныепроизводные от функций
/>, />, />
Или, для легкологарифмируемой функции f, отее логарифма
/>
Вычислить полнуюпогрешность функции
/>
(формула переносапогрешностей) или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции
/>
Результаты измеренийпредставляются в форме
/> P %, n
6. Обработка данныхкосвенных измерений выборочным методом
Этот метод применяется втом случае, если совместно измеренные значения аргумента функции xi, yi, zi не образуют выборок, но можно создатьвыборку значений функции {f}.
По каждому наборусовместно измеренных значений аргументов рассчитать значения функции fi = f(xi, yi, zi).
Провести обработкуполученной выборки {fi} согласноалгоритму обработки данных прямых измерений, находя среднее значение /> и случайнуюпогрешность ∆f функции.
Произвести выводвыражений для частных производных от функции
/>
или для легкологарифмируемой функции f − от еелогарифма
/>
По каждому наборусовместно измеренных значений аргументов и погрешности СИ рассчитатьпогрешность СИ функции
/>
Предполагается, чтопогрешности СИ измеряемых величин могут быть разными в разных опытах или, если функцияимеет удобный для логарифмирования вид, по эквивалентной формуле
/>
где fi − соответствующее данному набору аргументов значениефункции.
Вычислить среднююпогрешность СИ функции
/>
Если погрешности СИаргументов одинаковы во всех опытах или при нахождении максимальных по всейсерии опытов значений погрешностей СИ Иx = maxИxi, Иy = maxИyi, Иz = maxИzi, для определения погрешности СИвеличины f можно использовать выражение
/>
где />, />, />.
Вычислить полнуюпогрешность функции />
Результаты измеренийпредставляются в форме
/> /> P %, n
Методы обработкирезультатов совместных измерений.
Совместными называютпроизводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величиндля нахождения зависимости между ними. Уравнение совместных измерений имеет вид
yi = f (x1i, x2i, …, xni; a, b, c, …), i = 1, 2, …, n,
где yi,x1i, x2i, …, xni – значения величин,измеренных одновременно (прямо или косвенно) в i-йизмерительной операции; а, b, с,… – неизвестныеискомые величины. Если число уравнений превышает число неизвестных, то этиуравнения в отличие от обычной системы уравнений называют условными. Длярешения полученной системы используют метод наименьших квадратов.
Задача нахождениянаилучшей аппроксимилирующей кривой в общем случае является достаточно сложнойи наиболее просто решается, если функциональная зависимость имеет вид прямойлинии y = ax + b. Поэтомуна практике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят клинейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кривой сводитсяк решению следующих задач:
− линеаризациянелинейных зависимостей, которая производится путем соответствующей заменыпеременных с целью получения новой функции,
− нахождениенаилучших значений коэффициентов a и b в линейной зависимости y = ax + b или коэффициента a влинейной зависимости
y = ax согласно методу наименьших квадратов (МНК),
− нахождениеслучайных погрешностей и погрешностей СИ этих коэффициентов,
− нахождение понайденным значениям коэффициентов a и b физических констант, содержащихся вэтих коэффициентах. Последняя задача решается стандартным приемом методапереноса погрешностей при косвенных измерениях.
Метод обработкирезультатов измерений по методу наименьших квадратов (МНК) для уравнения y = ax + b
Все данные результатовзамеров свести в таблицу и произвести обработку этих данных по МНК дляуравнения y = ax + b.
Вычислить средние значенияx и y
/> , />
Определить средниезначения … …
/>, />
Рассчитать дисперсии иСКО
/>, />, />,/>
Определить случайныепогрешности a и b. Для расчета необходимо брать коэффициент Стьюдента tp,n – 1, в отличие от прямых измерений, где использовался tp,n :
/>, />
Вычислить погрешность СИкоэффициента b (погрешность СИ коэффициента a равна нулю)
/>
Определить полныепогрешности a и b
/> и />
Результаты измеренийпредставляются в форме
/>, P
Метод обработкирезультатов измерений по методу наименьших квадратов (МНК) для уравнения y = ax.
Все данные результатовзамеров свести в таблицу и провести обработку этих данных по МНК для уравнения y = ax
Вычислить среднеезначение a
/>
Вычислить дисперсию и СКО
/>, />
Вычислить случайнуюпогрешность коэффициента a
/>
Вычислить погрешность СИкоэффициента a
/>
Вычислить полнуюпогрешность коэффициента a
/>
Результат измеренияпредставляется по форме
/>, Р
Список использованнойлитературы
1. ГОСТ Р 8. 563 – 96 Государственная системаобеспечения единства измерений. Методика выполнения измерений.
2. МИ 1317 – 2001 Государственная системаобеспечения единств измерений. При
Результаты и характеристика погрешностейизмерений.
3. РМГ 43 – 2001 Государственная системаобеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражениюнеопределенности измерений».
4. Р 50. 2. 038 – 2004 Государственная системаобеспечения единства измерений. Измерения прямые однократные. Оцениваниепогрешности и неопределенности результата измерения.
5 МИ 1552 – 86 Методика выполнения прямых однократныхизмерений.
6. ГОСТ 8. 207 – 76 Государственная системаобеспечения единства измерений.
Прямые измерения с многократными наблюдениями,методы обработки результатов наблюдений.
7. ГОСТ ИСО 5479 – 2002 Государственная системаобеспечения единства измерений. Проверка отклонения распределения вероятностейот нормального распределения.
8. МИ 199 – 70 Государственная системаобеспечения единства измерений. Методика установления вида математическоймодели распределения погрешностей.
9. МИ 2083 – 90 СИ Измерения косвенные.Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.
10. ГОСТ Р ИСО 5725 – 4 – 2002 Точность(правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4.Основные методы определения правильности стандартного метода измерений.
11. А.Г.Сергеев, В.Г.Крохин. Метрология: Учеб.пособие для студентов вузов. М.: Логос, 2001. 408 с.
12. И.Ф.Шишкин. Теоретическая метрология. М.:Издательство стандартов, 1991.472 с.
13. И.Ф.Шишкин, В.Н.Яншин. Прикладная метрология.М.: РИЦ «Татьянин день», 1993. 150 с.
14. Артемьев Б.Г., Лукашов Ю.Е. Справочноепособие для специалистов метрологических служб. – М.: ИПК Издательствостандартов, 2004.
15. И.Ф.Шишкин. Основы метрологии, стандартизациии контроля качества. М.: Стандарты, 1988.