МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н. ТуполеваФИЛИАЛ «ВОСТОК»
Расчетно-графическая работа
по дисциплине
«Разработка производственных иуправленческих решений»
Вариант 17
Выполнил: ст.гр. 21404
Овчинникова О.В.
Проверил: Гашева М.В.
Чистополь 2009
Решение задачи симплексным методом
Симплекс метод- это методупорядочивания перебора опорных планов, упорядочивание в данном случаеобеспечение последовательным перебором опорных планов с монотонным изменениемзначения целевой функции в сторону возрастания(убывания).
Исходные данные:
Предприятие занимается производством2 видов продукции 1 и 2, для их производства требуется 3 вида сырья. На изготовлениеединицы изделия 1 требуется сырья каждого вида />кг, а для изделия 2- />кг. Стоимость единицы изделия 1 -/>, а для 2- />т.р. Необходимо составить такой планпроизводства изделий, при котором прибыль от производства и реализации даннойпродукции будет максимальной. На предприятии имеется сырья в количестве />.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 606 802 840 9 15 15 27 15 3 5 6
Решение:
Составим экономико-математическуюмодель задачи. Для этого обозначим /> — количество изделий А. /> — количество изделий В. Эта задачаявляется задачей оптимального использования сырья, поэтому система организацииимеет вид:
/>/>+/>/>≤606
/>/>9/>+27/>≤606
15/>+15/>≤802 (1)
15/>+3/>≤840
Где справа стоит количество каждоговида сырья, которые не может быть превышено в процессе производства изделий.
/>≥0, />≥0 (2)
Целевая функция представляет собойобщую стоимость произведенной продукции.
С=5/>+6х2 => макс. (3)
Для решения задач симплекс методомприводят ее к каноническому виду, введя дополнительные балансовые переменные х3, х4, х5,которые означают остатки сырья соответственно 1,2, 3 типов, при этомнеравенство преобразуется в уравнение, т.е. левая часть сбалансирована справой.
9/>+27/>+ х3 ≤606
15/>+15/>+ х4 ≤802 (4)
15/>+3/>+х5 ≤840
х3, х4, х5-остатки 1,2,3 вида сырья.
х1, х2, х3, х4, х5≥ 0 (5)
С=5/>+6х2 +0х3+0х4+0х5=> макс. (6)
Систему (4) можно записать в другомвиде:
р1х1+р2х2+р3х3+р4х4+р5х5=р0
р1/> р2/> р3/> р4/> р5/> р0/>
Здесь векторы р3р4р5имеют предпочтительный вид, т.е являются единичными в одном изкомпонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Р0 — называетсястолбцом свободных членов системы ограничений, для решения системы (4)-(6)симплекс методом необходимо иметь опорный план, т.е. допускаются решениясистемы (4), для этого надо разделить на 2 группы- базисные и свободные.Сначала выбираем базисные, в качестве их выбирают векторы, имеющиепредпочтительный вид, т.е в данном случае р3р4р5.имсоответствуют базисные переменные х3, х4, х5системы(4). Остальные переменные х1, х2 — будут свободными, приполучении базисного решения все свободные переменные =0. Подставив в (4) х1=х2=0,получаем остальные компоненты опорного плана х3=606, х4=802, х5=840.В векторном виде этот опорный план выглядит так: х0=(0,0,606,802,840).Подставив компоненты х0в целевую функцию (6) получаем значениецелевой функции=0. С (х0)=0.
1 симплексная таблица( опорный план ввиде симплекс таблицы)Оценка базисных переменных Базисные переменные Свободные члены 5 6
С Х
Р0
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5
Х3 606 9 27 1
Х4 802 15 15 1
Х5 840 15 3 1 С -5 -6
Переход к новому опорному плану,выбор разрешающего столбца:
СК=мин{Сj(cj|
Выбор разрешающей строки:
bl/ alk=min {bi/ai2(ai2>0)}min{606/27;802/15;840/3}={22;53;280} =22=b1/a12=l=1
Генеральный элемент: alk=а12=27
Переход к новой симплексной таблице:
B1= b1/ а12=606/27=22
c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-6)*22=132
alj=alj/alk
/>9/27=1/3
/>27/27=1
/>=1/27
/>=0/27=0
/>0/27=0
/>
/>-5-(-6)*1/3=-3
/>-6-(-6)*1=0
/>0-(-6)*1/27=2/9
/>0-(-6)*0=0
/>0-(-6)*0=0
/>
/>=802-15*22=472
/>=840-3*22=774
/>
/>15-15*1/3=10
/>15-15*1=0
/>0-0*1/27=0
/>1-1*0=1
/>0-0*0=0
/>15-15*1/3=10
/>3-3*1=0
/>0-0*1/27=0
/>0-0*0=0
/>1-1*0=1
Вторая симплексная таблицаОценка базисных переменных Базисные переменные Свободные члены 5 6
С Х
Р0
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5 6
Х2 22 1/3 1 1/27
Х4 472 10 1
Х5 774 10 1 С 132 -3 -2/9
Переход к новому опорному плану,выбор разрешающего столбца:
СК=мин{Сj(cj|
Выбор разрешающей строки:
bl/ alk=min {bi/ai1(ai1>0)}min{22/1/3;472/10;774/10}={66;47;77}=47=b2/a21=l=2
Генеральный элемент: alk=а21=10
Переход к новой симплексной таблице:
B2= b1/ а21=472/10=47
c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-3)*47=148
alj=alj/alk
/>10/10=1
/>0/10=0
/>=0/10=0
/>=1/10
/>0/10=0
/>
/>-3-(-3)*1=0
/>0-(-3)*0=0
/>2/9-(-3)*0=2/9
/>0-(-3)*1/10=0+3/10=3/10
/>0-(-3)*0=0
/>
/>=6
/>=774-10*47=304
/>
/>1/3-1/3=0
/>1-1*0=1
/>1/27-1/27*0=1/27
/>0-0*1/10=0
/>0-0*0=0
/>10-10*1=0
/>0-0*0=0
/>0-0*0=0
/>0-0*1/10=0
/>1-1*0=1
Третья симплексная таблицаОценка базисных переменных Базисные переменные Свободные члены 5 6
С Х
Р0
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5 6
Х2 6 1 1/27 5
Х1 47 1 1/10
Х5 304 1 С 148 2/9 3/10
Проверка опорного плана наоптимальность:
СК=min{Сj(cj|
Полученный план оптимален.
В векторном виде опорный планвыглядит:
/>=(47;6;0;0;304)
С(/>)=148
Экономическая интерпретация задачи:
Объём производства будет оптимальнымпри достижении максимальной прибыли-148 д.ед., и при объёме производстватовара-6 шт. и 47 шт.