Министерствообразования и науки Украины
Одесскийнациональный политехнический университет
Кафедра«Философии и методологии»
Дисциплина«Методология и организация научных исследований»
Реферат
Тема
Математизациянауки: философско-методологические проблемы
Одесса 2011 г.
Содержание
Введение
Экскурс в историю
Математизация наук
Математическая модель
Заключение
Список литературы
Введение
математизациянаучное знание
Математика (от др.-греч.μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах,порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операцийподсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объектысоздаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектови записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится кестественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировкиих содержания, так и для получения новых результатов. Математика этофундаментальная наука, она является языком для других наук, которыйобеспечивает их взаимосвязь.
Математизация научногознания – процесс применения понятий и методов математики в естественных,технических и социально-экономических науках для количественного анализаисследуемых ими явлений. Математизацию науки мы будем понимать как применениематематики для теоретического представления научного знания. При этом речьпойдет не только о вспомогательном, чисто вычислительном аспекте, сколько отаком понимании роли математики, когда она является «главным источникомпредставлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории» [1].
«Если… то..»- если это не математика, то это шантаж.
Хенрик Ягодзинский
Приведенной выше цитатойв полной мере исчерпывается объяснение того, что во всем, что нас окружает,можно найти определенные зависимости и закономерности. А эти две вещи и естьматематика. И ничего странного нет в применении математических аппаратовпрактически к любой науке, даже к самым «гуманитарным» из них, ведь каждому математическомузакону соответствует определенная природная система, либо материальная модель,созданная человеком. И наоборот, все происходящее вокруг нас может бытьпредставлено в виде математической модели.
Математика в определенномсмысле является языком общения, таким необходимым и незаменимым особенно в нашевремя стремительного развития информационных технологий. В настоящее время мывидим бурный рост числа математических приложений, связанный прежде всего сразвитием компьютерных технологий, появлением глобальной сети Интернет. Тематематические идеи, которые раньше не покидали области академической науки,сейчас являются привычными в обиходе программистов, прикладников, экономистов.
Экскурс в историю
Первую математическуюконцепцию природы создали пифагорейцы («все вещи суть числа»). Местами учениеПифагора носит мистический характер, далекий от реального положения вещей.Например, обожествление некоторых чисел: 1 — мать богов, всеобщее первоначало(видимо аналогия с началом натурального ряда), 2 — принцип противоположности вприроде (так как противоположности всегда встречаются парами), 3 — природа кактриединство первоначала и его противоречивых сторон (3=1+2), и т.д. Интересны(хотя и абсолютно не соответствующие действительности) его рассуждения о связинекоторых арифметических свойств чисел и общественными явлениями. Например, пифагорейцывыделяют так называемые совершенные числа: 6, 28, и т.д. — числа, равные суммесвоих собственных (т.е. кроме самого числа) делителей: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14.Эти числа, по Пифагору, отражают совершенство. Пары чисел, сумма собственныхделителей одного из котрых равна другому и наоборот, как например, 284 и 220,называются дружественными и отражают явление дружбы в обществе. Пифагорейцы проверную дружбу говорили: “Они дружны, как 220 и 284”. Несмотря на эти наивные представления, такие числа до сих пор представляют интерес для теориичисел — области математики, занимающейся арифметическими свойствами целыхчисел. Например, до сих пор не известно, бесконечно ли множество совершенныхчисел, или существуют ли нечетные совершенные числа? Также Пифагором и егошколой были выявлены интересные числовые закономерности в музыке (высота тонаколебания струны зависит от ее длины). Его учение дает первый примерцеленаправленного применения математики в объяснении явлений природы, обществаи мироздания в целом.
Платон продолжилпифагорейскую традицию, выдвинув на первый план геометрию («Бог всегда являетсягеометром»). Теория материи Платона – это теория правильных многогранников.Аристотель не отрицал значения математики в познании природы, но полагалнаучные понятия извлеченными из реального мира абстракциями, которые могут бытьполезными при описании явлений. Позже, в эллинистический период Евклид создалпервую аксиоматико-дедуктивную систему геометрии, ставшую основой математизацииантичных оптики, статики и гидростатики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей).Впрочем, геометрия «Начал» Евклида и сама по себе была физической теорией, таккак рассматривалась ее создателями как результат изучения реальногопространства. Но уже в трудах Архимеда по теории рычага и плаванию телгеометрия используется как готовая математическая структура. По существу, сАрхимеда пифагорейская максима «все есть число» заменяется на таковую «все естьгеометрия» [2]. Античное наследие было сохранено и преумножено (в планематематизации научного знания) арабскими учеными и средневековыми мыслителями.Р. Бэкон, например, считал, что в основе всех наук должна лежать математика.Наиболее впечатляющим достижением математического подхода к астрономии сталагелиоцентрическая система Н. Коперника. В Новое время и корифеи точногоестествознания (И. Кеплер, Г. Галилей, Х. Гюйгенс, И. Ньютон), и философы (Ф. Бэкон,Р. Декарт, Г.В. Лейбниц) считали математику (геометрию) «прообразом мира» (ср.с лейбницевским: “Cum Deus calculat, fit Mundus”, т.е. «Как Бог вычисляет, так мири делает»). Однако, развитие механики и гидростатики в XVI в. (особенноС.Стевином) и в XVII в. (Г. Галилеем и Б. Паскалем) демонстрирует сохранениеархимедовского типа математизации: евклидова геометрия продолжает оставатьсяопределяющей математической структурой.
Ньютон в «Математическихначалах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законамматематики», и хотя он использовал язык геометрии, для формулировки законовмеханики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление.Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии какматематической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена,Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенныхдифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль ввозникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальныхуравнений сыграли задачи классической механики.
Ньютон в «Математическихначалах натуральной философии» говорил о «подчинении явлений законамматематики», и хотя он использовал язык геометрии, для формулировки законовмеханики ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление.Впервые был осуществлен прорыв за пределы евклидовой геометрии какматематической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена,Л. Эйлера классическая механика предстала как теория обыкновенныхдифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль ввозникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальныхуравнений сыграли задачи классической механики.
Математизация наук
В каждой естественнойнауке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.
И. Кант
Не вызывает сомнений тотфакт, что явление математизации современной науки — это явление сложное,многоаспектное и может быть рассмотрено и изучено с разных точек зрения.Очевидны, например, социальные и социально-психологические последствияматематизации. Она приводит к перестройке организационной структуры науки,меняет систему образования, разрушает иногда вековую обособленность отдельныхдисциплин, создает конфликты и противоречия между представителями разныхтрадиций и разных поколений… Математизация породила в науке, если не особуюпрофессию, то особую роль, особую фигуру, фигуру математизатора. Это человек,работающий на стыках наук, математик, ставший биологом, геологом илигуманитарием и в то же время сохранивший установки и принципы математическогомышления. Он призван как бы сидеть на двух стульях, согласуя то, что, вообщеговоря, трудно согласуется; нередко это роль конфликтная, требующая большойразносторонности и этической или аксиологической культуры
Часто возникающий вопрос— нужно ли математизировать гуманитарные науки? Однозначный ответ вряд ливозможен, ибо существует различное понимание задач и предмета гуманитарногопознания. Но очевидно, что вопрос содержит и существенную аксиологическуюсоставляющую. Как мы оцениваем воспитательную роль гуманитарного знания?Признаем ли мы, например, огромную роль биографий конкретных ученых в делеформирования и трансляции образцов определенных жизненных устремлений, мотивовнаучного творчества, образцов отношения к науке? Нам представляется, чторазвитие науки невозможно без сохранения и трансляции таких образцов. Нампредставляется, что обсуждение аксиологических аспектов математизации должнобыть тесно связано с преодолением часто встречающегося физико-математическогоснобизма, который приводит к недооценке и непониманию особенностей, традиций ифункций других представителей многообразного мира науки.
Но рассмотрим болеедетально, в чем может состоять принципиальная перестройка сложившихся ситуацийи как вообще возникает такая задача? Проблема математизации — это прекрасныйматериал для ответа на этот вопрос. Было бы наивно думать, что специалистукакой-либо конкретной науки вдруг сама собой придет в голову идея всекардинально переделать в его области. Для этого необходимы какие-то новыесоциальные запросы, новые требования, навязанные извне, необходимо столкновениес какими-то иными традициями работы. В случае математизации такую рольвыполняют науки-лидеры, которые в силу своего всеобщего социального признания ипрестижа диктуют нормативы и идеалы другим научным дисциплинам. В настоящеевремя таким лидером безусловно является, с одной стороны, физика, а с другой,вычислительная математика и кибернетика с их многочисленными приложениями вконкретных областях науки и техники. Они задают определенную моду, определеннуюаксиологическую атмосфера развития современной науки.
В какое же положениепопадает специалист еще не математизированной области? С одной стороны, онсвязан с традициями своей науки, с другой, — вынужден ориентироваться на новыедля него программы, которые не имеют прецедентов в его собственной сфере, нозато богато представлены в совершенно чуждом ему материале лидирующихдисциплин. Прямой, непосредственный перенос опыта здесь невозможен. Образновыражаясь, науки говорят как бы на разных языках, и термины одного языка могутпросто отсутствовать в другом. Необходим поиск, необходима кропотливая роботапереводчика с учетом к тому же невозможности вполне адекватного перевода. Всеэто и порождает, с одной стороны, методологическую проблему, а с другой, — особую фигуру ученого-методолога.
Математическая модель
В чем же заключается мощьи удивительная плодотворность применения математики в различных науках? Чтобыответить на этот вопрос, проанализируем важнейший, основной метод математизации– это математическое моделирование.
Он состоит в том, чтоисследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то естьвыделяет существенные для него свойства и количественные характеристикиявления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либопохожий объект в математике.
Существует множествозадач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придуматьосновную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализацийданной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложныхтел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартнаямеханическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностныехарактеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то деталиотбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются сизмерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологийматематического моделирования полезно разобрать этот процесс на основныесоставные элементы.
Традиционно выделяют дваосновных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.
Прямая задача: структурамодели и все её параметры считаются известными, главная задача — провестиисследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какуюстатическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическуюнагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различнойскорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он отфлаттера, — вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямойзадачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если незаданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построенахорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста,рассчитали его на 20 -кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, нозабыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.
В простейшем случае (одноуравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явномурешению этого уравнения.
Обратная задача: известномножество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основаниидополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, инеобходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительнаяинформация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или втребованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могутпоступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение)или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента(активное наблюдение).
Одним из первых примероввиртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованиемдоступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения понаблюдаемым затухающим колебаниям.
В качестве другогопримера можно привести математическую статистику. Задача этой науки —разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений иэкспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайныхявлений[3]. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностнымимоделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.
Например, изучаячисленности популяций сардин и рыб-хищников в Средиземном море, В. Вольтерравыделил следующие количественные характеристики:
— численность сардин(обозначив их за x);
— численность хищников(соответственно y).
Далее он выявил важныедля него отношения между ними:
1) в среднем все особиодинаковы;
2) популяция сардинувеличивается, если нет встреч с хищником;
3) скорость роста еечисленности пропорциональна самой численности (так как каждая особь можетпроизвести потомство);
4) число сардин, гибнущихот хищников пропорционально числу встреч с ними, а это число в среднемпропорционально xy;
5) популяция хищниковуменьшается при отсутствии сардин (гибнут от голода);
6) скорость этой убыли пропорциональначисленности хищников;
7) скорость приростачисла хищников пропорциональна числу их встреч с кормом-сардинами, то естьвеличине xy.
Являясь крупнымспециалистом в теории дифференциальных уравнений, Вольтерра рассматривает x и yкак фунции от времени и быстро находит необходимый объект в математике –систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
/>,
где A, B, C, D –некоторые положительные коэффициенты, зависящие от конкретных природныхусловий.
Изучая затем эту системуметодами, разработанными другими математиками задолго до него, Вольтерраполучает описание и объяснение многих явлений, замеченных за долгую историюрыболовства в Италии, таких например, как странные колебания величины уловасардин (а значит и их общей численности).
Этот пример показываетеще одну идею моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, ненужной информации. Здесь, это допущения одинаковости особей, равновероятностиих встреч, равновозможности производить потомство. Мы как-будто быабстрагируемся от конкретной сардины и выделяем только нужные для нас еесвойства. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления, нов данном случае нам это и требовалось. Важнейшим моментом является то, чтобыпри упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобыона перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны,модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическомуанализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметнорасширились, но некоторые задачи, например долгосрочное прогнозирование погоды,до сих пор являются недоступными.
Удивительным образомоказывается, что одна и та же математическая модель может описывать многоразнообразных явлений в различных областях. Например, одно дифференциальноеуравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, ицепную ядерную реакцию, и распростронение информации в социальной группе. В чемпричина такой всеприминимости математических моделей? Ответа на этот вопросматематика не дает. Вот что говорит академик В.И. Арнольд в лекции [4]:
Почему модель сеченияконуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет.Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательствосуществования Бога: ”Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет немогло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного ипремудрого существа…Сей управляет всем не как душа мира, а как властительВселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель”.
Заключение
Подобно тому как всеискусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.
Д. Сантаяна
Часто говорят, что цифрыуправляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, какон управляется.
И. Гете
В заключение можносказать, что практически любая наука, достигнув зрелости и подойдя к моментуопределенного застоя, или столкнувшись с серьезной проблемой, обращается запомощью к математике, ибо все окружающие нас вещи ей подвластны. И такойсимбиоз двух наук чаще всего приводит к серьезным прорывам, стремительнымрывкам вперед. И зачастую именно в таких ситуациях происходят открытия и в самойматематике.
Список литературы
1. Аронов Р.А. Пифагорейский синдромв науке и философии // Вопросы философии. 1996, №4. С.134–146.
2. Баженов Л.Б. и др. Философияестествознания. Вып.1. М.: Изд. полит. лит. 1966.
3. Вероятностные разделы математики /Под ред. Ю.Д. Максимова. — Спб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. —ISBN 5-81940-050-X
4. Арнольд В.И. Для чего мы изучаемматематику? Что об этом думают сами математики? // Квант №1, 1993