Содержание
Введение
1. Теория перколяции
2. Область применения теории перколяции
2.1 Процессы гелеобразования
2.2 Применение теории перколяции для описания магнитных фазовых переходов
2.3 Применение теории перколяции к исследованию газочувствительныхдатчиков с перколяционной структурой
Заключение
Список литературы
Введение
Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на западепубликуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции,так и ее приложениям.
Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов внеупорядоченных средах. С точки зрения математика, теорию перколяции следуетотнести к теории вероятности в графах. С точки зрения физика – перколяция – этогеометрический фазовый переход. С точки зрения программиста – широчайшее поледля разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика – простой, но мощныйинструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненныезадачи.
Данная работа будет посвящена основным положениям теории перколяции. Ярассмотрю теоретические основы перколяции, приведу примеры, поясняющие явлениеперколяции. Также будет рассмотрены основные приложения теории перколяции.
1. Теория перколяции
Теория перколяции (протекания) — теория, описывающая возникновениебесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов.Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два простейших типазадач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки,считая долю крашенных узлов основным независимым параметром и полагая двакрашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединитьнепрерывной цепочкой соседних крашенных узлов.
Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределениекластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в негокрашенных узлов, составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочнокрасить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластерупринадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самыевопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачисвязей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является модельюизолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлыможет идти ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении/> произойдет перколяционныйпереход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор.
Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали отперехода достаточно аппроксимации эффективной среды перколяционный переходаналогичен фазовому переходу второго рода.
Явление перколяции (или протекания среды) определяется:
— Средой, в которой наблюдается это явление;
— Внешним источником, который обеспечивает протекание в этой среде;
— Способом протекания среды, который зависит от внешнего источника.
В качестве простейшего примера можно рассмотреть модель протекания(например электрического пробоя) в двумерной квадратной решетке, состоящей изузлов, которые могут быть проводящими или непроводящими. В начальный моментвремени все узлы сетки являются непроводящими. Со временем источник заменяетнепроводящие узлы на проводящие, и число проводящих узлов постепенно растет.При этом узлы замещаются случайным образом, то есть выбор любого из узлов длязамещения является равновероятным для всей поверхности решетки.
Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, прикотором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлыот одного до противоположного края. Очевидно, что с ростом числа проводящихузлов, этот момент наступит раньше, чем вся поверхность решетки будет состоятьисключительно из проводящих узлов.
Обозначим непроводящее и проводящее состояние узлов нулями и единицамисоответственно. В двумерном случае среде будет соответствовать бинарнаяматрица. Последовательность замены нулей матрицы на единицы будетсоответствовать источнику протекания.
В начальный момент времени матрица состоит полностью из непроводящихэлементов:
перколяция гелеобразованиегазочувствительный кластер
При воздействии внешнего источника в матрице начинают добавлятьсяпроводящие элементы, однако поначалу их недостаточно для перколяции:
1 1 1 1
По мере увеличения числа проводящих узлов наступает такой критическиймомент, когда происходит перколяция, как показано ниже: 1 1 1 1 1 1 1
Видно, что от левой к правой границе последней матрицы имеется цепочкаэлементов, которая обеспечивает протекание тока по проводящим узлам (единицам),непрерывно следующим друг за другом.
Перколяция может наблюдаться как в решетках, так и другихгеометрических конструкциях, в том числе непрерывных, состоящих из большогочисла подобных элементов или непрерывных областей соответственно, которые могутнаходиться в одном из двух состояний. Соответствующие математические моделиназываются решеточными или континуальными.
В качестве примера перколяции в непрерывной среде может выступатьпрохождение жидкости через объемный пористый образец (например, воды черезгубку из пеноообразующего материала), в котором происходит постепенноенадувание пузырьков до тех пор, пока их размеров не станет достаточно дляпросачивания жидкости от одного края образца до другого.
Индуктивно, понятие перколяции переносится на любые конструкции илиматериалы, которые называются перколяционной средой, для которой должен бытьопределен внешний источник протекания, способ протекания и элементы (фрагменты)которой могут находиться в разных состояниях, одно из которых (первичное) неудовлетворяет данному способу прохождения, а другое удовлетворяет. Способпротекания также подразумевает собой определенную последовательностьвозникновения элементов или изменение фрагментов среды в нужное для протеканиясостояние, которое обеспечивается источником. Источник же переводит постепенноэлементы или фрагменты образца из одного состояния к другому, пока не наступитмомент перколяции.
Порог протекания
Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называетсяперколяционным кластером. Будучи по своей природе связным случайным графом, взависимости от конкретной реализации он может иметь различную форму. Поэтомупринято характеризовать его общий размер. Порогом протекания называетсяколичество элементов перколяционного кластера, отнесенное к общему количествуэлементов рассматриваемой среды.
Ввиду случайного характера переключений состояний элементов среды, вконечной системе чётко определенного порога (размера критического кластера) несуществует, а имеется так называемая критическая область значений, в которуюпопадают значения порога перколяции, полученные в результате различныхслучайных реализаций. С увеличением размеров системы область сужается в точку.
2. Область применения теории перколяции
Применения теории перколяции обширны и разнообразны. Трудно назватьобласть, в которой бы не применялась теория перколяции. Образование гелей,прыжковая проводимость в полупроводниках, распространение эпидемий, ядерныереакции, образование галактических структур, свойства пористых материалов – вотдалеко не полный перечень разнообразных приложений теории перколяции. Непредставляется возможным дать сколь-нибудь полный обзор работ по приложениямтеории перколяции, поэтому остановимся на некоторых из них.2.1 Процессыгелеобразования
Хотя именно процессы гелеобразования были первыми задачами, где былприменен перколяционный подход, эта область еще далеко не исчерпана. Процессгелеобразования заключается в слиянии молекул. Когда в системе возникаютагрегаты, простирающиеся сквозь всю системы, говорят, что произошел переходзоль-гель. Обычно считают, что система описывается тремя параметрами –концентрацией молекул, вероятностью образования связей между молекулами итемпературой. Последний параметр влияет на вероятность образования связей.Таким образом, процесс гелеобразования можно рассматривать как смешанную задачутеории перколяции. Весьма примечательно, что этот подход используется и дляописания магнитных систем. Имеется любопытное направление для развитие этогоподхода. Задача гелеобразования белка альбумина имеет важное значение длямедицинской диагностики.
Имеется любопытное направление для развитие этого подхода. Задачагелеобразования белка альбумина имеет важное значение для медицинскойдиагностики. Известно, что молекулы белка имеют вытянутую форму. При переходераствора белка в фазу геля существенное влияние оказывает не толькотемпература, но и наличие примесей в растворе или на поверхности самого белка.Таким образом, в смешенной задаче теории перколяции необходимо дополнительноучесть анизотропию молекул. В определенном смысле это сближает рассматриваемуюзадачу с задачей «иголок» и задачей Накамуры. Определение порогаперколяции в смешанной задаче для анизотропных объектов – новая задача теорииперколяции. Хотя для целей медицинской диагностики достаточно решить задачу дляобъектов одного типа, представляет интерес исследовать задачу для случаевобъектов разной анизотропии и даже разной формы.2.2 Применениетеории перколяции для описания магнитных фазовых переходов
Одной из особенностей соединений на основе /> и/> является переход изантиферромагнитного в парамагнитное состояние уже при незначительном отклоненииот стехиометрии. Исчезновение дальнего порядка происходит при избыточнойконцентрации дырок />в плоскости />, в то же время ближнийантиферромагнитный порядок сохраняется в широкой области концентраций х вплотьдо сверхпроводящей фазы.
На качественном уровне явление объясняется следующим образом. Придопировании дырки появляются на атомах кислорода, что приводит к возникновениюконкурирующего ферромагнитного взаимодействия между спинами и подавлениюантиферромагнетизма. Резкому снижению температуры Нееля также способствуетдвижение дырки, приводящее к разрушению антиферромагнитного порядка.
С другой стороны, количественные результаты резко расходятся созначениями порога протекания для квадратной решетки, в рамках которой удаетсяописать фазовый переход в изоструктурных материалах. Встает задача видоизменитьтеорию протекания таким образом, чтобы в рамках описать фазовый переход в слое />.
При описании слоя /> считается,что на каждый атом меди приходится одна локализованная дырка, то есть полагают,что все атомы меди магнитные. Однако, результаты зонных и кластерных расчетовпоказывают, что в недопированном состоянии числа заполнения меди составляют 0,5– 0,6, а для кислорода – 0,1-0,2. На качественном уровне этот результат легкопонять, анализируя результат точной диагонализации гамильтониана для кластера /> с периодическимиграничными условиями. Основное состояние кластера представляет собойсуперпозицию антиферромагнитного состояния /> исостояний без антиферромагнитного упорядочения на атомах меди.
Можно считать, что примерно на половине атомов меди имеется по однойдырке, а на остальных атомах имеется либо ни одной, либо две дырки.Альтернативная интерпретация: лишь половину времени дырка проводит на атомахмеди. Антиферромагнитное упорядочение возникает в том случае, когда наближайших атомах меди имеется по одной дырке. Кроме того, необходимо, чтобы наатоме кислорода между этими атомами меди либо не было дырки, либо было дведырки, чтобы исключить возникновение ферромагнитного взаимодействия. При этомне имеет значения, рассматриваем мы мгновенную конфигурацию дырок или одну илисоставляющих волновой функции основного состояния.
Используя терминологию теорию протекания, будем называть атомы меди содной дыркой неблокированными узлами, а атомы кислорода с одной дыркойразорванными связями. Переход дальний ферромагнитный порядок – ближнийферромагнитный порядок в этом случае будет соответствовать порогу протекания,то есть появлению стягивающего кластера – бесконечной цепочки неблокированныхузлов, соединенных неразорванными связями.
По крайней мере два момента резко отличают задачу от стандартнойтеории протекания: во-первых, стандартная теория предполагает наличие атомовдвух сортов, магнитных и немагнитных, мы же имеем только атомы одного сорта(меди), свойства которых меняются в зависимости от локализации дырки;во-вторых, стандартная теория считает два узла связанными, если оба они неблокированы (магнитные) – задача узлов, либо, если связь между ними неразорвана – задача связей; в нашем же случае происходит как блокирование узлов,так и разрыв связей.
Таким образом, задача сводится к отысканию порога протекания наквадратной решетке для комбинирования задачи узлов и связей. 2.3 Применение теории перколяции кисследованию газочувствительных датчиков с перколяционной структурой
В последние годы широкое применение в нанотехнологии находят золь-гельпроцессы, не являющиеся термодинамически равновесными. На всех этапах золь-гельпроцессов протекают многообразные реакции, влияющие на конечный состав иструктуру ксерогеля. На этапе синтеза и созревания золя возникают фрактальныеагрегаты, эволюция которых зависит от состава прекурсоров, их концентрации,порядка смешивания, значения pH среды, температуры и времени реакции, составаатмосферы и т. п. Продуктами золь-гель технологии в микроэлектронике, какправило, являются слои, к которым предъявляются требования гладкости,сплошности и однородности по составу. Для газочувствительных сенсоров новогопоколения больший интерес представляют технологические приемы полученияпористых нанокомпозитных слоев с управляемыми и воспроизводимыми размерами пор.При этом нанокомпозиты должны содержать фазу для улучшения адгезии и одну илиболее фаз полупроводниковых металлооксидов n-типа электропроводности дляобеспечения газочувствительности. Принцип действия полупроводниковых газовыхсенсоров на основе перколяционных структур металлооксидных слоев (например,диоксида олова) заключается в изменении электрофизических свойств при адсорбциизаряженных форм кислорода и десорбции продуктов их реакций с молекуламивосстанавливающих газов. Из представлений физики полупроводников следует, чтоесли поперечные размеры проводящих ветвей перколяционных нанокомпозитов будутсоизмеримы со значением характеристической длины дебаевского экранирования,газочувствительность электронных датчиков возрастет на несколько порядков.Однако накопленный авторами экспериментальный материал свидетельствует о болеесложной природе возникновения эффекта резкого повышения газочувствительности.Резкий рост газочувствительности может происходить на сетчатых структурах сгеометрическими размерами ветвей, в несколько раз превосходящими значения длиныэкранирования, и зависеть от условий фракталообразования.
Ветви сетчатых структур представляют собой матрицу диоксида кремния(или смешанную матрицу диоксидов олова и кремния) с включенными в неекристаллитами диоксида олова (что подтверждается результатами моделирования),образующими проводящий стягивающий перколяционный кластер при содержании SnO2 более 50 %. Таким образом, можно качественнообъяснить повышение значения порога протекания за счет расхода части содержанияSnO2 в смешанную непроводящую фазу.Однако природа формирования сетчатых структур представляется более сложной.Многочисленные эксперименты по анализу структуры слоев методами АСМ вблизипредполагаемого значения порога перколяционного перехода не позволили получитьдостоверных документальных подтверждений эволюции системы с образованиемкрупных пор по закономерностям перколяционных моделей. Иными словами, моделироста фрактальных агрегатов в системе SnO2 –SnO2 качественно описывают тольконачальные стадии эволюции золя.
В структурах с иерархией пор протекают сложные процессыадсорбции-десорбции, перезарядки поверхностных состояний, релаксационныеявления на границах зерен и пор, катализ на поверхности слоев и в областиконтактов и др. Простые модельные представления в рамках моделей Ленгмюра иБрунауэра — Эммета — Теллера (БЭТ) применимы только для понимания преобладающейусредненной роли того или иного явления. Для углубления изучения физическихособенностей механизмов газочувствительности потребовалось создание специальнойлабораторной установки, обеспечивающей возможность регистрации временныхзависимостей изменения аналитического сигнала при разных температурах вприсутствии и отсутствии восстанавливающих газов заданной концентрации.Создание экспериментальной установки позволяло автоматически снимать иобрабатывать 120 измерений в минуту в рабочем диапазоне температур 20 – 400 ºС.
Для структур с сетчатым перколяционным строением были выявлены новыеэффекты, наблюдающиеся при экспонировании в атмосфере восстанавливающих газовпористых наноструктур на основе металлооксидов.
Из предложенной модели газочувствительных структур с иерархией порследует, что для увеличения чувствительности адсорбционных полупроводниковыхсенсорных слоев принципиально возможно обеспечить относительно высокоесопротивление образца на воздухе и относительно низкое сопротивление пленочныхнаноструктур в присутствии газа-реагента. Практическое техническое решениеможет быть реализовано путем создания в зернах системы наноразмерных порвысокой плотности распределения, обеспечивающей эффективную модуляцию процессовтокопротекания в перколяционных сетчатых структурах. Это было реализовано спомощью целенаправленного введения оксида индия в систему на основе диоксидоволова и кремния.
Заключение
Теория перколяции довольно новое и не до конца изученное явления.Каждый год в области теории перколяции делаются открытия, пишутся алгоритмы,публикуются работы.
Теория перколяции привлекает к себе внимание различных специалистов поряду причин:
— Легкие и элегантные формулировки задач теории перколяции сочетаютсяс трудностью их решения;
— Решение задач перколяции требует объединения новых идей изгеометрии, анализа и дискретной математики;
— Физическая интуиция бывает весьма плодотворна при решении задачперколяции;
— Техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленныеприложения в других задачах о случайных процессах;
— Теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов.
Список литературы
1. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. – М.: УРСС,2002.
2. Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфология биологических жидкостей человека.– М.: Хризостом, 2001. – 340 с.: ил.
3. Физические свойства высокотемпературных сверхпроводников/ Под. Ред. Д.М. Гинзберга.- М.: Мир, 1990.
4. Плакида Н. М. Высокотемпературные сверхпроводники. – М.: Международнаяпрограмма образования, 1996.
5. Физические свойства высокотемпературных сверхпроводников/ Под. Ред. Д.М. Гинзберга.- М.: Мир, 1990.
6. Просандеев С.А., Тарасевич Ю.Ю. Влияние корреляционных эффектов назонную структуру, низкоэнергетические электронные возбуждения и функцииоткликов в слоистых оксидах меди. // УФЖ 36(3), 434-440 (1991).
7. Ельсин В.Ф., Кашурников В.А., Опёнов Л.А. Подливаев А.И. Энергия связиэлектронов или дырок в кластерах Cu – O:точнаядиагонализация гамильтониана Эмери. // ЖЭТФ 99(1), 237-248 (1991).
8. Мошников В.А. Сетчатые газочувствительные нанокомпоненты на основедиоксидов олова и кремния. – Рязань, «Вестник РГГТУ», — 2007.