«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V0= 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
Fx = -8cos(4t), Н
Определить:
Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).
Решение:
1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим />и />. Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:
/>
Далее находим:/>
Учитывая, что Vx = V:
/>или />
Выведем: />
/>
где g = 10 м/с.
Тогда:
/>
Разделяя переменные и интегрируя:
/>
По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:
/>;
Получим:
/>;
Откуда:
/>и />
В результате: />
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:
/>
2. Рассмотрим движение на BC.
Рассмотрим движение ВС (V0= V). Изобразим />, />, и />.
/>или />, где />
/>
/>
/>
/>
При t=0; V = V0= VB = 8.29 м/с:
С2 = VB = 8.29 м/с.
/>
/>
/>
К-3 Вариант 18
/>авр
/>/>А
/>/>/>aACv
/>авр
/>/>ac
ацс
/>/>EoaaцсC
aB
/>/>/>/>Woa
/>/>/>/>
/>aB О В
/>/>Y
/>aB
/>
X
/>/>/>/>/>
Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6
Найти: Ускорения во всех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
aAbp= Eoa*OA=60
aAцс=WOA2*OA=40
aBцс= WOA2*AB=80
aB=aAbp+aAцс+aABЦС+aABbp
X: 21/2/2*aB=aAцс+aABBP–PAGE_BREAK–
Y: 21/2/2*aB=aABP+aABЦС
aABBP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100
EAB=100/10=10
aB=aAвp+aAцс+aACЦС+aACвp
aACвp = EAB*АВ=50
aACЦС= WAВ2*АС=40
X: 21/2/2*ac=aAцс+aABBP
Y: 21/2/2*ac=aABP+aABЦС
aC=( acx2 +acy2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
/>
Решение:
Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
/>— траектория точки в координатной форме.
Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
/>
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
/>
Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле: />
/>-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при />означает, что движение точки ускоренное, направления />и />совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки: />; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения: />
Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: />
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
Координаты (см)
Скорость (см/с)
Ускорение (см/с2)
/>кривизны (см)
x
y
Vx
Vy
V
Wx
Wy
W
Wτ
Wn
/>
2.5
5.6
-5.4
3.2
6.3
-12
-8.3
14.6
5.5
13.5
2.922
Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени
Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.
Исходные данные:
/>
Решение:
Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:
/>— траектория точки в координатной форме.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
/>
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
/>
Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле: />
/>-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при />означает, что движение точки ускоренное, направления />и />совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки: />; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:
/>
Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: />
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
Координаты (см) продолжение
–PAGE_BREAK–
Скорость (см/с)
Ускорение (см/с2)
кривизны (см)
x
y
z
Vx
Vy
Vz
V
Wx
Wy
Wz
W
Wτ
Wn
/>
2.5
5.6
3.5
-5.4
3.2
3.5
7.2
-12
-8.3
14.6
5.3
15.5
3.6
«Определение реакций опор твердого тела».
Задание: Найти реакции опор конструкции.
Дано:
Q = 6, кН
G = 2, кН
a = 60, см
b = 40, см
c = 60, см
Определить:
Реакции опор конструкции.
Решение:
К раме ABCD приложены сила тяжести />, сила />, реакция />стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: />, а реакция петли В двумя: />.
Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
/>
Уравнения проекций сил на оси координат:
/>
Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.
Результаты вычислений заносим в таблицу:
Силы, кН
S
XA
YA
ZA
XB
ZB
1.15
-6.57
0.57
-1
-12.57
2
Проверка:
/>
Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.
/>
В 18. Д – 1.
Дано: VA = 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t.
Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1: />= G×sina — F, (F = f×N = fG×cosa) Þ />= g×sina — fg×cosa,
Дважды интегрируя уравнение, получаем:
/>= g×(sina — f×cosa)×t + C1, x1 = g×(sina — f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,
По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и />= VA = 0) находим С1 и С2: C1 = 0, C2 = 0, продолжение
–PAGE_BREAK–
Для определения VB и t используем условия: в т.B (при t = t), x1 = ℓ, />= VB. Решая систему уравнений находим:
/>x1 = ℓ = g×(sina — f×cosa)×t2/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×t2/2, Þ t = 0,99 c ,
/>= VB= g×(sina— f×cosa)×tVB = 9,81×(sin30°— 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с,
Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения
в проекции на оси X, Y: />= 0, /> = G ,
Дважды интегрируем уравнения: />= С3, />= gt + C4 ,
x = C3t + C5, y = gt2/2 + C4t + C6,
Для определения С3, C4, C5, C6, используем начальные условия (при t = 0): x0= 0, y0= 0, />= VB×cosa, />= VB×sina ,
Отсюда находим: />= С3, Þ C3 = VB×cosa, />= C4, Þ C4 = VB×sina
x0= C5, Þ C5 = 0, y0= C6, Þ C6 = 0
Получаем уравнения: />= VB×cosa, />= gt + VB×sina
x = VB×cosa×t, y = gt2/2 + VB×sina×t
Исключаем параметр t: y = gx2 + x×tga ,
2V2B×cos2a
В точке С x = d = 3 м, у = h. Подставляя в уравнение VB и d, находим h: h = 9,81×32 + 3×tg30° = 5,36 м ,
2×4,032×cos230°