–PAGE_BREAK–Представление последовательности платежей в виде финансовой ренты существенно упрощает количественный анализ, в частности при оценке недвижимости, и дает возможность использовать набор стандартных формул и табличные значения ряда коэффициентов, содержащихся в них.
В практике применяются разнообразные по условиям формирования ренты:
Таблица 2.1.1 – Признаки классификации и виды ренты
Признак классификации
Виды ренты
Продолжительность срока ренты
Дискретные, срочные
Непрерывные, бессрочные
Момент выплат членов ренты
Обычные (постнумерандо) – платежи осуществляются в конце соответствующих периодов
Авансовые (пренумерандо) — платежи осуществляются в начале соответствующих периодов
Число начислений процентов
Один раз в год
m раз в год
Непрерывно
Соотношение начала срока ренты и фиксированного момента начала действия контракта, оценки ренты и т.д.
Немедленные, когда указанные моменты совпадают
Отложенные, когда начало срока ренты запаздывает относительно начала действия контракта
Финансовая рента описывается следующими основными параметрами:
· член ренты «PMT» — величина каждого отдельного платежа k-го периода;
· срок ренты – это время, измеренное от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
· период ренты — временной интервал между двумя платежами;
· процентная ставка (r) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента, требуемая норма доходности.
В подавляющем большинстве практических случаев количественный анализ потоков платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих эти потоки характеристик:
§ наращенной суммы ренты -FVа, т.е. суммы всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты (3-я схема);
§ современной или текущей величины ренты PVа или суммы всех периодических платежей, дисконтированных на начало срока ренты (4-я схема).
Наряду с определением обобщающих характеристик ренты, возникают обратные задачи определения размера платежа (члена ренты) по наращенной или современной обобщающим характеристикам ренты.
Схема 3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ СТОИМОСТИ АННУИТЕТА, т.е. преобразование равномерной серии платежей в одноразовый платеж через n-периодов.
PMT PMT PMT PMT PMT
t t t … t
Рисунок – Определение будущей наращенной стоимости обычного аннуитета
где: FVa — наращенная (будущая) стоимость обычного аннуитета, определяемая по формуле:
FV= = = PMT*FM3 (r; n) (3.1)
Где
FM3(r,n) = — фактор будущей стоимости обычного аннуитета, коэффициент наращения ренты, который показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Табличные значения приведены в Таблице 3 Приложения.
Математическое выражение будущей стоимости авансового аннуитета:
FV= *PMT = PMT*[FM3 (r; n+1) – 1] (3.1.1)
ПРИМЕР. Для погашения пакета облигаций, выпущенных на 5 лет, создается погасительный фонд при ежегодных платежах по 20 млн. тенге, на которые начисляются проценты по ставке 10%. Определить итоговую наращенную сумму при условии, что проценты начисляются один раз в конце года:
Решение.
1) Определим итоговую сумму погасительного фонда по формуле 3.1
FV= = 122,1 млн.тенге
Или, в Таблице 3 на пересечении строки, соответствующей процентной ставке 10%, и колонки, соответствующей периоду дисконтирования (5 лет), находим фактор будущей стоимости обычного аннуитета FM3(10%,5) = 6,105 и далее определяем искомую величину погасительного фонда
FV= PMT*FM3 (10%,5 лет) = 206,105 = 122,1 млн.тенге
Используя ту же схему 3, мы можем определить величину члена обычной ренты по ее будущей наращенной стоимости:
PMT = (3.2)
1/FM3 – фактор фонда возмещения
ПРИМЕР. При эксплуатации одного горного предприятия следует ожидать ущерб для окружающей среды, для возмещения которого по предварительным оценкам потребуется через 3 года уплата 25 миллионов тенге. Какой ежегодный платеж для создания резерва будущего покрытия ущерба должно осуществлять предприятие при ставке 5 %.
Решение
PMT = = = 7 930 000 тенге
Схема 4: Определение ТЕКУЩЕЙ, современной стоимости аннуитета или преобразование будущей равномерной серии платежей в одноразовый платеж в данный момент
PV=?
PMT PMT PMT PMT PMT
t t t … t
Рисунок – Определение текущей, современной стоимости обычного аннуитета
Где: PV-текущая, современная стоимость обычного аннуитета
PV= PMT * = PMT *FM4 (r;n) , (4.1)
где FM4 (r; n) – фактор текущей стоимости аннуитета (фактор Инвуда), коэффициент дисконтирования ренты, который показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярным денежным поступлением в размере одной денежной единицы, продолжающегося «n» равных периодов с заданной процентной ставкой «r». Табличные значения приведены в Таблице 4 Приложения.
Функция текущей стоимости аннуитета также имеет особое значение для оценки имущества доходным методом. Связано это с тем, что в процессе выполнения оценки анализируются будущие потоки доходов с точки зрения их сегодняшней стоимости.
Математическое выражение для расчета текущей стоимости авансового аннуитета имеет следующий вид:
PV= PMT *= PMT *[FM4(r;n-1) + 1] (4.1.1)
Пример. Компания должна принять решение: сдавать ли в аренду имущество сроком на 5 лет, при условии, что арендная плата составляет 50 000 тенге в год с условием выкупа, если сегодня за данное имущество предлагают 160 000 тенге. Платеж осуществляется в конце года. Коэффициент рентабельности ( r ) равен 20% — справедливая норма прибыли по аналогичным сделкам.
Решение
Определим текущую стоимость арендной платы, используя формулу 4.1 и Таблицу 4:
PV= 50*FM4(20%, 5 лет) = 502,991 = 149,55 (тыс. тенге)
Таким образом, получили, что текущая стоимость арендной платы составляет 149,55 тыс. тенге, а нам предложили больше – 160 тыс. тенге, значит, стоит продавать имущество.
Используя схему 4 и формулу (4.1) можно определить величину члена ренты по ее текущей стоимости:
PMT = (4.2)
1/FM4 – фактор амортизации капитала, определяет размер стабильного равновеликого периодического платежа, погашающего за определенный период при установленной ставке процента основную сумму кредита и процент за не возмещенную сумму кредита (см. пример поэтапного погашения долга равными срочными уплатами).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ БЕССРОЧНОГО АННУИТЕТА
Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются долгое время. Определение в этом случае будущей стоимости аннуитета не имеет смысла, а приведенная текущая стоимость аннуитета постнумерандо может быть получена по следующей формуле:
PVа = (4.3)
Планирование погашения ДОЛГОСРОЧНОЙ задолженности Важным практическим приложением теории аннуитетов является составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана погашения задолженности интерес представляют размеры периодических платежей заемщика, так называемые срочные уплаты или суммы по обслуживанию долга, которые представляют собой сумму:
Iг + Pг,
где — срочная уплата;
Iг – годовая сумма процентов;
Pг – годовые выплаты по погашению основного долга.
Методы определения размера срочных уплат зависят от условий контракта которые предусматривают:
¨ срок займа;
¨ продолжительность льготного периода, в течение которого основная сумма долга не погашается, проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа, но иногда начисляются и присоединяются к основной сумме долга;
¨ уровень процентной ставки;
¨ метод погашения и уплаты процентов и основной суммы долга.
На практике существуют различные варианты погашения долгосрочной задолженности. Рассмотрим основные из них:
Введем обозначения:
Д — основная сумма долга;
Дt – остаток задолженности на начало t-ого года;
r– ставка процента по займу;
g – процентная ставка, по которой начисляются проценты на взносы в погасительный фонд;
R – размер взноса в погасительный фонд;
n – срок предоставления займа.
I — годовые проценты по займу;
Р — годовая сумма погашения основного долга.
Вариант 1 Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты (вечный аннуитет)
Y = Д
Вариант 2. Погашение суммы долга единовременным платежом:
2.1 без создания погасительного фонда, тогда в конце срока займа заемщик должен вернуть сумму долга, равную:
· либо основной сумме долга Д, если проценты начисляются и выплачиваются по годам;
· либо наращенной основной сумме долга Д, если проценты начисляются, но не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга
Д= Д0FМ(r; n)
2.2 при условии создания погасительного фонда. Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, то в контракте для снижения риска невозврата долга может быть оговорена необходимость создания погасительного фонда. На периодические взносы в этот фонд начисляются проценты по ставке g. Создание погасительного фонда для заемщика выгодно только при условии g>r, в противном случае выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.
При этом возможны следующие ситуации:
· проценты начисляются и выплачиваются, тогда на конец срока займа должен быть создан погасительный фонд, равный основной сумме долга Д. Для определения в этом случае ежегодных взносов в погасительный фонд R воспользуемся схемой 3 и формулой 3.2:
R =
В этом случае Iг + R,
– когда проценты начисляются, но не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, тогда в конце срока займа заемщик должен создать погасительный фонд, равный наращенной сумме основного долга Дn, ежегодно внося в погасительный фонд сумму:
R = =
В этом случае R
Вариант 3. Поэтапное погашение долга равными суммами основного долга. Годовые проценты и срочная уплата в этом случае всегда уменьшаются во времени. Если платежи производятся раз в конце года, тогда срочная уплата равна
Iг + Pг = Д,
Pг – const; , Iг – постоянно уменьшаются.
ПРИМЕР Пусть долг, равный 100 тыс. тг. необходимо погасить равными суммами основного долга за 5 лет. Платежи осуществляются в конце года. За заем выплачиваются проценты 9%.
Решение: Ежегодная сумма погашения долга составит Pг = 100 / 5 = 20 тыс. тг. Процентные выплаты по годам составят: I= 100= 9 тыс. тг.; I= 80= 7,2 тыс. тг. и т.д.
План погашения долга можно представить в таблице:
Тыс. тенге
Заем может предусматривать льготный период с выплатой процентов или с соответствующим наращением основной суммы долга. Тогда сумма долга на конец льготного периода наращивается до величины: Д, где L – продолжительность льготного периода.
Вариант 4. Поэтапное погашение долга равными срочными уплатами (= const) широко применяется в международных сделках, при ссудах под производство и недвижимость. Для кредитора эта операция представляет собой аннуитет – отток денег в начальный момент, а потом ежегодный равномерный приток в сумме = Iг + Pг, причем, со временем составляющая Iг будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности, а составляющая Pг будет увеличиваться.
Величину срочной уплаты определим по схеме 4, по формуле 4.2.
=
План погашения долга равными срочными уплатами, исходя из условия предыдущего примера, можно представить в таблице:
Тыс. тенге
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
(облигаций, акций и других производных ценных бумаг)
Оценка активов является одним из фундаментальных понятий и занимает ключевое место в финансовом менеджменте. Менеджеру необходимо уметь оценивать финансовые активы, чтобы:
1. понять степень целесообразности их приобретения;
2. знать, каким образом инвесторы оценивают ценные бумаги фирмы, для того, чтобы с помощью альтернативных вариантов деятельности обеспечить благоприятную динамику цен на ценные бумаги.
Финансовый актив, выступающий товаром на рынке капитала, может быть охарактеризован по четырем признакам:
1. Цена Pm, т.е. объявленная текущая рыночная цена;
2. Стоимость Vo, внутренняя теоретическая стоимость актива;
3. Доходность «k»;
4. Риск.
продолжение
–PAGE_BREAK–Любой инвестор, принимая решения о целесообразности приобретения того или иного финансового актива, пытается оценить экономическую эффективность планируемой операции, ориентируясь либо на абсолютные (1, 2), либо на относительные (3) показатели.
По сравнению с ценой, которая реально существует и объективна (объявлена и товар по ней равнодоступен любому участнику рынка капитала), внутренняя стоимость гораздо более неопределенна и субъективна. Каждый инвестор имеет свой взгляд на внутреннюю стоимость актива, полагаясь в ее оценке на результаты собственного субъективного анализа.
Возможны три ситуации:
Pm > Vo, то с позиции конкретного инвестора данный актив продается в настоящий момент по завышенной цене и нет смысла в его приобретении.
Pm
Pm = Vo, то смысл в проведении спекулятивных операций на рынке отсутствует, поскольку цена полностью отражает внутреннюю стоимость финансового актива.
Вследствие этого, целесообразно провести различия между ценой и стоимостью финансового актива.
Стоимость — это расчетный показатель, а цена — это декларированный или объявленный в прейскурантах, котировках показатель.
В любой конкретный момент цена однозначна, а стоимость многозначна. Число оценок стоимости зависит от числа профессиональных участников рынка.
С известной долей условности можно утверждать, что стоимость первична, а цена вторична, поскольку в условиях равновесного рынка цена количественно выражает внутреннюю стоимость актива и устанавливается стихийно, как средняя из оценок стоимостей, рассчитываемых инвесторами.
Существуют три основные теории оценки внутренней стоимости финансового актива:
1 Фундаменталистская теория является наиболее распространенной, согласно ей внутренняя стоимость любой ценной бумаги может быть оценена как дисконтированная стоимость будущих поступлений, генерируемых этой бумагой.
V0 = (Б)
где Vo – текущая или приведенная стоимость активов;
CFt- ожидаемый денежный поток в периоде t;
r- приемлемая (ожидаемая или требуемая) доходность в периоде «t»
n- число периодов, в течении которых ожидается поступление денежных средств.
Как видно из формулы, теоретическая стоимость зависит от трех параметров:
Первые два параметра привязаны к базовому активу и поэтому более объективны. Последний параметр наиболее существенный, т.к. отражает доходность альтернативных вариантов вложения капитала, доступных данному инвестору, что предопределяет вариабельность этого параметра. Приемлемая норма доходности может устанавливаться инвестором следующим образом:
· в размере процентной ставки по банковским депозитам;
· исходя из процентной ставки по депозитам и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив;
· исходя из процентов, уплачиваемых по государственным облигациям и надбавки за риск.
Базовую модель оценки финансовых активов (DCF-модель) можно представить в виде следующей схемы:
Текущую приведенную стоимость актива (PV0) можно определить как:
PV0 = + +… +… += ,
где CFt — ожидаемые денежные поступления в момент t;
rt — требуемая доходность в момент t;
n — число периодов, в течение которых ожидается поступление денежных средств.
2 Технократическая. Предполагает определение текущей внутренней стоимости ценной бумаги на основании анализа динамики ее цены в прошлом, базируясь на статистике цен, данных о котировках и т.п.
3 Теория «Ходьбы наугад». В ее основе лежит гипотеза эффективных рынков, предполагающая, что текущие цены финансовых активов гибко отражают всю релевантную информацию, в том числе и относительно будущего ценной бумаги.
Оценка долговых ценных бумаг Облигации могут выпускаться в обращение государством или корпорациями. Облигации приносят их вкладчикам доход в виде фиксированного процента к номинальной стоимости, но бывают и облигации с плавающей ставкой, меняющейся по некоторому алгоритму. Они могут быть охарактеризованы различными стоимостными показателями:
♦ Нарицательная стоимость;
♦ Конверсионная стоимость;
♦ Выкупная цена — отзывная цена, по которой производится выкуп облигаций эмитента до момента погашения;
♦ Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой рынка; значение рыночной цены в процентах к номиналу называется курсом облигации.
1. Оценка облигации с нулевым купоном.
Поскольку денежные поступления по годам, кроме последнего, равны нулю, стоимость облигации с позиции инвестора равна:
V= Рн*FM(r,n), (Б.1)
где Рн — номинальная стоимость, выплачиваемая при погашении;
n — число лет, через которое происходит погашение облигаций;
r — ожидаемая или требуемая доходность.
2. Оценка бессрочных облигаций представляет собой неопределенно долгую выплату дохода в установленном размере. Воспользуюсь формулой вечного аннуитета, найдем теоретическую бессрочной облигации:
V= (Б.2)
3. Оценка безотзывных облигаций с постоянным доходом. Денежный поток в этом случае складывается из одинаковых по годам денежных поступлений «С» и нарицательной стоимости облигации «Р», выплачиваемой в момент погашения.
V= С*FM(r,n) + Р*FM(r,n) (Б.3)
В экономически развитых странах распространенными являются облигации с полугодовой выплатой процентов. Они более привлекательны, так как инвесторы при этом более защищены от инфляции, имеют возможность получения дополнительного дохода от реинвестирования получаемых процентов. Внутренняя стоимость облигации с выплатой процентов каждые полгода:
V= *FM(,2n) + Р*FM(,2n) (Б.4)
Выводы относительно поведения цены облигации на рынке ценных бумаг:
♦ Если рыночная норма доходности превосходит фиксированную купонную ставку, облигация продается со скидкой (дисконтом), т.е. по цене ниже номинала;
♦ Если рыночная норма доходности меньше фиксированной купонной ставки, то облигация продается с премией, т.е. по цене выше номинала;
♦ Если рыночная норма доходности совпадает с фиксированной купонной ставкой, облигация продается по нарицательной стоимости;
♦ Рыночная норма доходности и текущая цена облигации с фиксированным купоном находятся в пропорциональной зависимости.
4. Оценка отзывных облигаций с постоянным купоном
Любое привлечение заемных средств сопряжено с затратами по обслуживанию долга – в виде уплачиваемых процентов. Если в результате изменения экономической ситуации рыночная норма доходности значительно упала и ее повышение в обозримом будущем не предвидится, то компания-эмитент несет относительно большие расходы, чем могла бы и ей выгодно досрочно погасить старый заем и затем разместить новый с более низкой процентной ставкой. Поэтому некоторые займы могут выпускаться с условием их досрочного погашения. Для облигаций таких займов в условиях эмиссии устанавливается выкупная цена (P), по которым облигации могут быть отозваны с рынка и, как правило, равная сумме нарицательной стоимости и годовых процентов:
P= Р+ годовые проценты
Инвесторы тоже хотят подстраховаться, чтобы долгосрочный заем не превратился в краткосрочный. Поэтому условия досрочного погашения облигаций включают:
· продолжительность периода защиты, в течение которого отзыв запрещен;
· объем отзываемых облигаций;
· график погашения и т.д.
Оценка отзывных облигаций также может осуществляться по формулам (Б.3, Б.4), в которых нарицательная стоимость может быть заменена выкупной ценой.
Оценка долевых ценных бумаг Как и для облигаций, различают несколько количественных характеристик, используемых для оценки акций:
♦ Внутренняя стоимость (расчетный показатель по формуле Б);
♦ Номинальная цена (указана на бланке акции);
♦ Балансовая стоимость может быть рассчитана по балансу как отношение стоимости акционерного капитала (АК) к общему числу выпущенных акций;
♦ Конверсионная стоимость определяется для привилегированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена возможность их конвертации;
♦ Ликвидационная стоимость определяется в момент ликвидации общества;
♦ Эмиссионная стоимость, по которой акции продаются на первичном рынке;
♦ Курсовая цена — рыночная текущая цена, имеющая для учета и анализа наибольшее значение, т.к. по ней акции котируются на вторичном рынке.
Оценка целесообразности приобретения акций также предполагает расчет теоретической стоимости акций и сравнение ее с текущей рыночной ценой. Теоретическая стоимость акций может быть рассчитана по формуле Б, исходя из оценки будущих поступлений. В зависимости от предполагаемой динамики дивидендов конкретное представление формулы может меняться:
1. Дивиденды не меняются, тогда теоретическая стоимость определяется аналогично бессрочным облигациям (Б.2):
Vt =
2. Дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста, тогда теоретическую стоимость акции можно определить по модели Гордона:
Vt = , (Б.5)
где D –базовая величина дивиденда;
g – ежегодный темп прироста дивиденда;
r – требуемая (ожидаемая) норма доходности.
Дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста, тогда в расчете теоретической стоимости пытаются разбить интервал прогнозирования на подинтервалы, каждый из которых характеризуется собственным темпом прироста.
В теории и практики оценки акций описана и получила широкое распространение ситуация, когда темпы прироста дивидендов в течение нескольких лет прогнозного периода меняются бессистемно, а начиная с k+1 темп прироста дивидендов становится постоянным. Считается, что такое развитие событий характерно для компаний, находящихся в стадии становления, либо уже зрелых компаний, осваивающих новые виды продукции или рынки сбыта. Наиболее общая постановка задачи в этом случае такова:
D D… D D D D D … D
0 1 2 … k-1 k k+1 k+2 k+3 …
Продолжительность фазы непостоянного роста составляет «k» лет. Дивиденды в этот период по годам равны D,D…D,D.
D — первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом «g»
r – приемлемая норма доходности.
Значит, в первые «k» лет прогнозируется бессистемное изменение величины годового дивиденда, а начиная с момента k+1, его величина равномерно увеличивается:
Dk+1 = Dk(1+g), Dk+2 = D(1+g) = D(1+g)2…
Тогда на основании формулы Гордона можно определить второе слагаемое формулы (Б.6), т.е. текущую стоимость акции на конец периода «k»:
Vtk = =
Поскольку мы пытаемся сделать оценку на начало первого года, то значение Vtk нужно дисконтировать и тогда формула (Б.6), позволяющая рассчитать теоретическую стоимость акций на коней нулевого года может быть представлена:
Vt = + (Б.6)
Пример. В течение последующих четырех лет компания планирует выплачивать дивиденды соответственно 1,5 д.е., 2 д.е., 2,2 д.е и 2,6 д.е. на акцию. Ожидается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличиваться равномерно темпом 4% в год. Рассчитать теоретическую стоимость акции, если рыночная норма доходности равна 12%.
Vt = + + + + * = 27,6 д.е.
Таким образом, в условиях эффективного равновесного рынка ценных бумаг акции данной компании должны продаваться приблизительно по цене 27,6 д.е.
Доходность финансовых активов: виды и оценка
При принятии решения о целесообразности приобретения акций или облигаций важными критериями наряду с абсолютными показателями (), являются показатели доходности, которые входят в число показателей эффективности. Доходностью является относительный показатель, рассчитываемый соотношением дохода (Д), генерируемого данным финансовым активом, и величины инвестиций в этот актив (CI); в общем виде может быть рассчитан следующим образом:
kt=
В зависимости от вида финансового актива в качестве дохода выступают:
– дивиденды; проценты;
– прирост капитальной стоимости.
В анализе речь может идти о двух видах доходности: фактической и ожидаемой, причем последняя представляет больший интерес для принятия решения о целесообразности приобретения тех или иных финансовых активов..
Приобретая финансовый актив (облигации или акции), инвестор рассчитывает на два вида потенциальных доходов:
– дивиденд;
– доход от прироста капитала.
продолжение
–PAGE_BREAK–Оба поступления не являются безусловными и могут состояться, как правило, в случае эффективной работы компании, чьи акции приобретены, хотя дивиденды предпочитают выплачивать и в неблагоприятные годы (финансовое сигнализирование).
P0 P1
D0 D1
t0 t1
где D0 – известный дивиденд;
D1 – ожидаемый дивиденд;
P0 – известная цена;
P1 – ожидаемая цена актива – целевой расчетный показатель.
Тогда общий доход,, генерируемый ценой бумагой за период t0 — t1, складывается из дохода от прироста капитала (доход от капитализации (P1 — P0) и дивидендов, а общая доходность kt определяется по формуле:
kt = = kd + k
где kd – текущая доходность или дивидендная;
kc- капитализированная доходность.
В зависимости от вида финансового актива и абсолютных показателей, выбранных для его характеристики, можно исчислить несколько характеристик доходности. Поскольку их значения могут существенно различаться, нельзя говорить о некой абстрактной доходности, необходимо обязательно уточнять о чем идет речь и какой алгоритм используется для расчета.
1 Доходность облигации без права досрочного погашения (доходность к погашению YTM) определяется по формуле:
YTM = ,
где P– номинальная цена облигации;
P– текущая цена на момент оценки;
D – купонный доход;
m – число лет до погашения облигации.
Достоинством показателя доходности к погашению YTM, как и любого другого показателя эффективности, является возможность использования его в сравнительном анализе при выборе вариантов инвестирования в те или иные облигации.
Пример: Рассчитать доходность облигации номинальной стоимостью 1000 д.ед. с годовой купонной ставкой 9%, имеющей текущую рыночную цену 840 д.ед. Облигация будет приниматься к погашению через 8 лет.
YTM = , или 12%
2 Доходность бессрочной привилегированной акции, а также обыкновенной с неизменным дивидендом, если инвестор не предполагает продавать ее в будущем, поэтому общая доходность совпадает с текущей дивидендной доходностью и определяется по формуле:
kt = ,
где D – ожидаемый дивиденд.
P — текущая рыночная цена акции.
3 Если инвестор приобретает акцию в спекулятивных целях, намереваясь продавать ее через некоторое время, то он может определить общую доходность (дивидендную + капитализированную), воспользовавшись следующей формулой:
kt = + ,
где P1 – ожидаемая цена акции на момент предполагаемой ее продажи;
P0 — рыночная цена акции на момент принятия решения о ее покупке;
n – ожидаемое число лет владения акцией.
Для оценки значений ожидаемой общей доходности простых акций с равномерно возрастающими дивидендами можно воспользоваться формулой модели Гордона, тогда общая доходность будет равна:
kt = + g = k+ kc,
где: D1 – ожидаемый дивиденд;
P0 – цена акции на момент оценки;
g – темп прироста дивиденда.
Отсюда видно, что ожидаемая капитализированная доходность обыкновенных акций с равномерно возрастающим дивидендом совпадают с темпом прироста дивиденда g или с темпом прироста цены акции, т.е. показатель g имеет несколько интерпретаций:
– капитализированная доходность;
– темп прироста дивидендов;
– темп прироста цены акции.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1: Функция накопления капитала
годы
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
1,010
1,020
1,030
1,041
1,051
1,062
1,072
1,083
1,094
1,105
1,116
1,127
1,138
1,149
2
1,020
1,040
1,061
1,082
1,104
1,126
1,149
1,172
1,195
1,219
1,243
1,268
1,294
1,319
3
1,030
1,061
1,093
1,126
1,159
1,194
1,230
1,267
1,305
1,344
1,384
1,426
1,469
1,513
4
1,040
1,082
1,125
1,170
1,217
1,265
1,316
1,369
1,423
1,480
1,539
1,601
1,665
1,732
5
1,050
1,103
1,158
1,216
1,276
1,340
1,407
1,477
1,551
1,629
1,710
1,796
1,886
1,980
6
1,060
1,124
1,191
1,262
1,338
1,419
1,504
1,594
1,689
1,791
1,898
2,012
2,133
2,261
7
1,070
1,145
1,225
1,311
1,403
1,501
1,606
1,718
1,838
1,967
2,105
2,252
2,410
2,579
8
1,080
1,166
1,260
1,360
1,469
1,587
1,714
1,851
1,999
2,159
2,332
2,518
2,720
2,937
9
1,090
1,188
1,295
1,412
1,539
1,677
1,828
1,993
2,172
2,367
2,580
2,813
3,066
3,342
10
1,100
1,210
1,331
1,464
1,611
1,772
1,949
2,144
2,358
2,594
2,853
3,138
3,452
3,797
11
1,110
1,232
1,368
1,518
1,685
1,870
2,076
2,305
2,558
2,839
3,152
3,498
3,883
4,310
12
1,120
1,254
1,405
1,574
1,762
1,974
2,211
2,476
2,773
3,106
3,479
3,896
4,363
4,887
13
1,130
1,277
1,443
1,630
1,842
2,082
2,353
2,658
3,004
3,395
3,836
4,335
4,898
5,535
14
1,140
1,300
1,482
1,689
1,925
2,195
2,502
2,853
3,252
3,707
4,226
4,818
5,492
6,261
15
1,150
1,323
1,521
1,749
2,011
2,313
2,660
3,059
3,518
4,046
4,652
5,350
6,153
7,076
16
1,160
1,346
1,561
1,811
2,100
2,436
2,826
3,278
3,803
4,411
5,117
5,936
6,886
7,988
17
1,170
1,369
1,602
1,874
2,192
2,565
3,001
3,511
4,108
4,807
5,624
6,580
7,699
9,007
18
1,180
1,392
1,643
1,939
2,288
2,700
3,185
3,759
4,435
5,234
6,176
7,288
8,599
10,147
19
1,190
1,416
1,685
2,005
2,386
2,840
3,379
4,021
4,785
5,695
6,777
8,064
9,596
11,420
20
1,200
1,440
1,728
2,074
2,488
2,986
3,583
4,300
5,160
6,192
7,430
8,916
10,699
12,839
21
1,210
1,464
1,772
2,144
2,594
3,138
3,797
4,595
5,560
6,727
8,140
9,850
11,918
14,421
22
1,220
1,488
1,816
2,215
2,703
3,297
4,023
4,908
5,987
7,305
8,912
10,872
13,264
16,182
23
1,230
1,513
1,861
2,289
2,815
3,463
4,259
5,239
6,444
7,926
9,749
11,991
14,749
18,141
24
1,240
1,538
1,907
2,364
2,932
3,635
4,508
5,590
6,931
8,594
10,657
13,215
16,386
20,319
25
1,250
1,563
1,953
2,441
3,052
3,815
4,768
5,960
7,451
9,313
11,642
14,552
18,190
22,737
26
1,260
1,588
2,000
2,520
3,176
4,002
5,042
6,353
8,005
10,086
12,708
16,012
20,175
25,421
27
1,270
1,613
2,048
2,601
3,304
4,196
5,329
6,768
8,595
10,915
13,862
17,605
22,359
28,396
28
1,280
1,638
2,097
2,684
3,436
4,398
5,629
7,206
9,223
11,806
15,112
19,343
24,759
31,691
29
1,290
1,664
2,147
2,769
3,572
4,608
5,945
7,669
9,893
12,761
16,462
21,236
27,395
35,339
30
1,300
1,690
2,197
2,856
3,713
4,827
6,275
8,157
10,604
13,786
17,922
23,298
30,288
39,374
31
1,310
1,716
2,248
2,945
3,858
5,054
6,621
8,673
11,362
14,884
19,498
25,542
33,460
43,833
32
1,320
1,742
2,300
3,036
4,007
5,290
6,983
9,217
12,166
16,060
21,199
27,983
36,937
48,757
33
1,330
1,769
2,353
3,129
4,162
5,535
7,361
9,791
13,022
17,319
23,034
30,635
40,745
54,190
34
1,340
1,796
2,406
3,224
4,320
5,789
7,758
10,395
13,930
18,666
25,012
33,516
44,912
60,182
35
1,350
1,823
2,460
3,322
4,484
6,053
8,172
11,032
14,894
20,107
27,144
36,644
49,470
66,784
36
1,360
1,850
2,515
3,421
4,653
6,328
8,605
11,703
15,917
21,647
29,439
40,037
54,451
74,053
37
1,370
1,877
2,571
3,523
4,826
6,612
9,058
12,410
17,001
23,292
31,910
43,717
59,892
82,052
38
1,380
1,904
2,628
3,627
5,005
6,907
9,531
13,153
18,151
25,049
34,568
47,703
65,831
90,846
39
1,390
1,932
2,686
3,733
5,189
7,213
10,025
13,935
19,370
26,925
37,425
52,021
72,309
100,510
40
1,400
1,960
2,744
3,842
5,378
7,530
10,541
14,758
20,661
28,925
40,496
56,694
79,371
111,120
41
1,410
1,988
2,803
3,953
5,573
7,858
11,080
15,623
22,028
31,059
43,794
61,749
87,066
122,763
42
1,420
2,016
2,863
4,066
5,774
8,198
11,642
16,531
23,474
33,334
47,334
67,214
95,444
135,530
43
1,430
2,045
2,924
4,182
5,980
8,551
12,228
17,486
25,005
35,757
51,132
73,119
104,561
149,522
44
1,440
2,074
2,986
4,300
6,192
8,916
12,839
18,488
26,623
38,338
55,206
79,497
114,475
164,845
45
1,450
2,103
3,049
4,421
6,410
9,294
13,476
19,541
28,334
41,085
59,573
86,381
125,252
181,615
46
1,460
2,132
3,112
4,544
6,634
9,685
14,141
20,645
30,142
44,008
64,251
93,807
136,958
199,959
47
1,470
2,161
3,177
4,669
6,864
10,090
14,833
21,804
32,052
47,117
69,261
101,814
149,667
220,010
48
1,480
2,190
3,242
4,798
7,101
10,509
15,554
23,019
34,069
50,422
74,624
110,444
163,457
241,916
49
1,490
2,220
3,308
4,929
7,344
10,943
16,304
24,294
36,197
53,934
80,362
119,739
178,411
265,832
50
1,500
2,250
3,375
5,063
7,594
11,391
17,086
25,629
38,443
57,665
86,498
129,746
194,620
291,929
Таблица 2: Коэффициент дисконтирования
годы
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
0,990
0,980
0,971
0,961
0,951
0,942
0,933
0,923
0,914
0,905
0,896
0,887
0,879
0,870
0,861
0,853
0,844
2
0,980
0,961
0,942
0,924
0,906
0,888
0,871
0,853
0,837
0,820
0,804
0,788
0,773
0,758
0,743
0,728
0,714
3
0,971
0,943
0,915
0,888
0,863
0,837
0,813
0,789
0,766
0,744
0,722
0,701
0,681
0,661
0,642
0,623
0,605
4
0,962
0,925
0,889
0,855
0,822
0,790
0,760
0,731
0,703
0,676
0,650
0,625
0,601
0,577
0,555
0,534
0,513
5
0,952
0,907
0,864
0,823
0,784
0,746
0,711
0,677
0,645
0,614
0,585
0,557
0,530
0,505
0,481
0,458
0,436
6
0,943
0,890
0,840
0,792
0,747
0,705
0,665
0,627
0,592
0,558
0,527
0,497
0,469
0,442
0,417
0,394
0,371
7
0,935
0,873
0,816
0,763
0,713
0,666
0,623
0,582
0,544
0,508
0,475
0,444
0,415
0,388
0,362
0,339
0,317
8
0,926
0,857
0,794
0,735
0,681
0,630
0,583
0,540
0,500
0,463
0,429
0,397
0,368
0,340
0,315
0,292
0,270
9
0,917
0,842
0,772
0,708
0,650
0,596
0,547
0,502
0,460
0,422
0,388
0,356
0,326
0,299
0,275
0,252
0,231
10
0,909
0,826
0,751
0,683
0,621
0,564
0,513
0,467
0,424
0,386
0,350
0,319
0,290
0,263
0,239
0,218
0,198
11
0,901
0,812
0,731
0,659
0,593
0,535
0,482
0,434
0,391
0,352
0,317
0,286
0,258
0,232
0,209
0,188
0,170
12
0,893
0,797
0,712
0,636
0,567
0,507
0,452
0,404
0,361
0,322
0,287
0,257
0,229
0,205
0,183
0,163
0,146
13
0,885
0,783
0,693
0,613
0,543
0,480
0,425
0,376
0,333
0,295
0,261
0,231
0,204
0,181
0,160
0,141
0,125
14
0,877
0,769
0,675
0,592
0,519
0,456
0,400
0,351
0,308
0,270
0,237
0,208
0,182
0,160
0,140
0,123
0,108
15
0,870
0,756
0,658
0,572
0,497
0,432
0,376
0,327
0,284
0,247
0,215
0,187
0,163
0,141
0,123
0,107
0,093
16
0,862
0,743
0,641
0,552
0,476
0,410
0,354
0,305
0,263
0,227
0,195
0,168
0,145
0,125
0,108
0,093
0,080
17
0,855
0,731
0,624
0,534
0,456
0,390
0,333
0,285
0,243
0,208
0,178
0,152
0,130
0,111
0,095
0,081
0,069
18
0,847
0,718
0,609
0,516
0,437
0,370
0,314
0,266
0,225
0,191
0,162
0,137
0,116
0,099
0,084
0,071
0,060
19
0,840
0,706
0,593
0,499
0,419
0,352
0,296
0,249
0,209
0,176
0,148
0,124
0,104
0,088
0,074
0,062
0,052
20
0,833
0,694
0,579
0,482
0,402
0,335
0,279
0,233
0,194
0,162
0,135
0,112
0,093
0,078
0,065
0,054
0,045
21
0,826
0,683
0,564
0,467
0,386
0,319
0,263
0,218
0,180
0,149
0,123
0,102
0,084
0,069
0,057
0,047
0,039
22
0,820
0,672
0,551
0,451
0,370
0,303
0,249
0,204
0,167
0,137
0,112
0,092
0,075
0,062
0,051
0,042
0,034
23
0,813
0,661
0,537
0,437
0,355
0,289
0,235
0,191
0,155
0,126
0,103
0,083
0,068
0,055
0,045
0,036
0,030
24
0,806
0,650
0,524
0,423
0,341
0,275
0,222
0,179
0,144
0,116
0,094
0,076
0,061
0,049
0,040
0,032
0,026
25
0,800
0,640
0,512
0,410
0,328
0,262
0,210
0,168
0,134
0,107
0,086
0,069
0,055
0,044
0,035
0,028
0,023
26
0,794
0,630
0,500
0,397
0,315
0,250
0,198
0,157
0,125
0,099
0,079
0,062
0,050
0,039
0,031
0,025
0,020
27
0,787
0,620
0,488
0,384
0,303
0,238
0,188
0,148
0,116
0,092
0,072
0,057
0,045
0,035
0,028
0,022
0,017
28
0,781
0,610
0,477
0,373
0,291
0,227
0,178
0,139
0,108
0,085
0,066
0,052
0,040
0,032
0,025
0,019
0,015
29
0,775
0,601
0,466
0,361
0,280
0,217
0,168
0,130
0,101
0,078
0,061
0,047
0,037
0,028
0,022
0,017
0,013
30
0,769
0,592
0,455
0,350
0,269
0,207
0,159
0,123
0,094
0,073
0,056
0,043
0,033
0,025
0,020
0,015
0,012
31
0,763
0,583
0,445
0,340
0,259
0,198
0,151
0,115
0,088
0,067
0,051
0,039
0,030
0,023
0,017
0,013
0,010
32
0,758
0,574
0,435
0,329
0,250
0,189
0,143
0,108
0,082
0,062
0,047
0,036
0,027
0,021
0,016
0,012
0,009
33
0,752
0,565
0,425
0,320
0,240
0,181
0,136
0,102
0,077
0,058
0,043
0,033
0,025
0,018
0,014
0,010
0,008
34
0,746
0,557
0,416
0,310
0,231
0,173
0,129
0,096
0,072
0,054
0,040
0,030
0,022
0,017
0,012
0,009
0,007
35
0,741
0,549
0,406
0,301
0,223
0,165
0,122
0,091
0,067
0,050
0,037
0,027
0,020
0,015
0,011
0,008
0,006
36
0,735
0,541
0,398
0,292
0,215
0,158
0,116
0,085
0,063
0,046
0,034
0,025
0,018
0,014
0,010
0,007
0,005
37
0,730
0,533
0,389
0,284
0,207
0,151
0,110
0,081
0,059
0,043
0,031
0,023
0,017
0,012
0,009
0,006
0,005
38
0,725
0,525
0,381
0,276
0,200
0,145
0,105
0,076
0,055
0,040
0,029
0,021
0,015
0,011
0,008
0,006
0,004
39
0,719
0,518
0,372
0,268
0,193
0,139
0,100
0,072
0,052
0,037
0,027
0,019
0,014
0,010
0,007
0,005
0,004
40
0,714
0,510
0,364
0,260
0,186
0,133
0,095
0,068
0,048
0,035
0,025
0,018
0,013
0,009
0,006
0,005
0,003
41
0,709
0,503
0,357
0,253
0,179
0,127
0,090
0,064
0,045
0,032
0,023
0,016
0,011
0,008
0,006
0,004
0,003
42
0,704
0,496
0,349
0,246
0,173
0,122
0,086
0,060
0,043
0,030
0,021
0,015
0,010
0,007
0,005
0,004
0,003
43
0,699
0,489
0,342
0,239
0,167
0,117
0,082
0,057
0,040
0,028
0,020
0,014
0,010
0,007
0,005
0,003
0,002
44
0,694
0,482
0,335
0,233
0,162
0,112
0,078
0,054
0,038
0,026
0,018
0,013
0,009
0,006
0,004
0,003
0,002
45
0,690
0,476
0,328
0,226
0,156
0,108
0,074
0,051
0,035
0,024
0,017
0,012
0,008
0,006
0,004
0,003
0,002
46
0,685
0,469
0,321
0,220
0,151
0,103
0,071
0,048
0,033
0,023
0,016
0,011
0,007
0,005
0,003
0,002
0,002
47
0,680
0,463
0,315
0,214
0,146
0,099
0,067
0,046
0,031
0,021
0,014
0,010
0,007
0,005
0,003
0,002
0,001
48
0,676
0,457
0,308
0,208
0,141
0,095
0,064
0,043
0,029
0,020
0,013
0,009
0,006
0,004
0,003
0,002
0,001
49
0,671
0,450
0,302
0,203
0,136
0,091
0,061
0,041
0,028
0,019
0,012
0,008
0,006
0,004
0,003
0,002
0,001
50
0,667
0,444
0,296
0,198
0,132
0,088
0,059
0,039
0,026
0,017
0,012
0,008
0,005
0,003
0,002
0,002
0,001
продолжение
–PAGE_BREAK–