Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускнаяквалификационная работа
Обобщениеклассических средних величин
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Лялин АндрейВасильевич
Научный руководитель:  
кандидат физ.-мат. наук,доцент
кафедры прикладной математики
С.И. Калинин
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математическогоанализа и МПМ  В.И. Варанкина
Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии
«___» __________2005 г.     Зав.кафедрой                           М.В. Крутихина
«___»___________2005 г.     Декан факультета                     В.И.Варанкина
Киров
2005
Отзыв на выпускную квалификационную работу
А.В. Лялина «Обобщение классических средних величин»
 
Выпускнаяквалификационная работа студента Лялина А.В. представляет собой систематическоеизложение  вопросов, касающихся теории средних величин, а также их соответствующихобобщений. Отметим при этом, что её значительная часть является результатомсамостоятельной научно-исследовательской деятельности.
Автор обозначенную темурассматривает весьма полно: им приводятся все необходимые понятия иопределения, формулировки и доказательства утверждений.
Затронутый в работематериал излагается индуктивно, на основе частных фактов, это облегчаетчитателю понимание текста работы.
Наибольший практическийинтерес представляет исследование неравенств для рассматриваемых средних. Авторустанавливает новый аналог неравенства Иенсена, им выводятся классическиенеравенства для средних степенных и их аналоги как приложение общих неравенств.
Полученные и усвоенныезнания преподнесены грамотно (без стилистических ошибок, за редкимисключением), правильно (без математических ошибок), чётко, логично и связно.Важно отметить, что автор умеет пользоваться научной литературой, в том числеиностранными статьями, согласовывать собственные исследования с фактами излитературных источников.
Подчеркнем, что по темеработы  А.В. Лялин работал на протяжении трех лет, он неоднократно выступал снаучными сообщениями на студенческом научно-исследовательском семинаре поматематическому анализу, познакомился с несколькими статьями из зарубежныхматематических журналов.
Считаю, что работа ЛялинаА.В. отвечает требованиям, предъявляемым к ВКР, и заслуживает допуска к защите.
Калинин С.И..
Содержание
Введение… 3
Глава 1. Квази-средние как обобщениеклассических средних величин… 4
Глава 2. Квази-средние и функциональныеуравнения… 8
1.  Решение некоторых функциональныхуравнений… 8
2.  Характеристическое свойствоквази-средних… 12
3.  Тождественные квази-средние… 15
4.  Однородные квази-средние… 17
5.  Аддитивные квази-средние… 18
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции… 19
1.  Некоторые вопросы теории выпуклыхфункций… 20
2.  Обобщение неравенства Коши и его аналог… 24
3.  Обобщение неравенства Гёльдера и егоаналог… 28
Заключение… 30
Библиографический список… 31

Введение
Вопросы данной работыотносятся к области математического анализа, конкретнее  к теории среднихвеличин, которая  рассматривает свойства средних и неравенства с нимисвязанные. 
Нашей целью будетизучение так называемых  квази-средних, обобщающих известные среднееарифметическое, геометрическое и степенное.
 В главе 1 мыскажем вначале о том, что вообще понимается  под средними, а затем введём новыевеличины и проверим, в какой мере они удовлетворяют  этому определению.
В главе 2  от прямого, конструктивного заданияквази-средних, перейдём к аксиоматическому  определению, то есть предпишем имнекоторые характеристические свойства, а также выделим их основные классы. Здесьв основе будут лежать функциональные уравнения, которые мы  отдельнорассмотрим. 
В главе 3  укажем  неравенства дляквази-средних, из которых как частные случаи получим основные неравенства длясредних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднемгеометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности среднихстепенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера)и их аналоги.Теперь  будем опираться на теорию выпуклых функций, и поэтому вновь предварительнообсудим некоторые её вопросы.
Методы доказательств,которые мы применяем в этой работе,  не выходят за рамки классического анализа:используем свойства непрерывных, монотонных, выпуклых функций, обращаемся кфункциональным уравнениям, при этом  доказываем все необходимые факты.
Многие утвержденияизвестны из литературы (где иногда просто сформулированы), некоторыеутверждения являются новыми. Мы  приводим их полное доказательство, уточняем,детализируем.

Глава 1. Квази-средние как обобщениеклассических средних величин
 
Так как предметом нашегоизучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средниеопределяются  в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий,состоит в следующем [6].
Определение. Непрерывная действительнаяфункция /> от nнеотрицательных переменныхназывается средним,  если  для любых /> выполняютсяусловия:
1.  />, то есть S“усредняет” любой набор из nнеотрицательных чисел  (свойствоусреднения);
2.  />, то есть “большему” наборусоответствует не меньшее значение S(свойство возрастания);
3.  при любой перестановке чисел /> Sне меняется (свойствосимметричности);
4.  /> (свойство однородности).
Но чаще используетсяболее слабое определение: средние выделяются среди других функцийпредписыванием им только свойства усреднения [2,3,5].
Так известные среднееарифметическое />, среднее геометрическое/>, и более общее среднеестепенное />для /> очевидно будут средними ипо сильному определению, а их весовые аналоги – взвешенные средние />, />, />, где />, />,  уже не обладаютсвойством симметричности.
 Теперь введём новыевеличины, обобщающие указанные классические средние – квази-средние [1], которые и будут предметом нашего изучения.
Легко заметить способпостроения взвешенного среднего степенного – это есть величина /> с функцией />, сюда включено ивзвешенное среднее арифметическое при />,и взвешенное среднее геометрическое – та же величина, но с функцией />.
Отказавшись от конкретноговида функции />, получаем  естественное обобщение  этих простейших средних [1,2] –/>,где />, />  стем лишь ограничением на />, чтоона должна быть непрерывной и строго монотонной на некотором промежутке,содержащем все />, тогда  обратнаяфункция /> существует, и мы можем строить/> для любых чисел из такого промежутка.
Определение.Квази-среднее есть величина вида />,где />, />,/> для чисел />  из некоторого промежутка, на котором функция /> непрерывна и строгомонотонна.
 Очевидно, квази-средниевключают и не взвешенные, обыкновенные  средние, если взять /> для всех номеров i и те же функции />,/>, />. Как мы сказали,эти частные случаи квази-средних удовлетворяют всем условиям сильногоопределения средней величины.  Естественно проверить, какие из условийостанутся верными и для построенного обобщения. Рассмотрим  условия по порядку.
1. Свойство усреднения.
При возрастании xот /> до/> /> возрастает или убывает от /> до />,  и  поэтому /> как среднее арифметическоележит между этими значениями, но тогда в силу непрерывности обратной функции точка/> обязана попасть в отрезок[/>;/>] = [/>;/>], то есть />,  и свойство выполняется.
2. Свойство возрастания.
Для возрастающей /> из /> следует /> и  />, а так как обратнаяфункция /> также возрастает, то />  или />.
В случае убывающей />получаем тот же результат. То есть /> влечёт/>, и свойство выполняется.
 3. Свойство симметричности.
 Мы знаем, чтосимметричны, например, обычные, невзвешанные среднее арифметическое игеометрическое. Но в общем случае квази-средние, конечно, не симметричны. Можновыделить самый широкий класс симметричных квази-средних – они представляются в виде/>.
Действительно, пусть Мсимметрична. Тогда для некоторого набора различных чисел /> и произвольной  ихперестановки  /> /> или />,  и поэтому />. Обозначив />, имеем />, где /> – набор, полученный  произвольнойперестановкой различных (в силу строгой монотонности функции />) чисел />. Покажем, что последнееравенство возможно,  только если />. Рассуждаемпо индукции.
Для n=2 получаем равенство _______________________________________________________________________________________________________________________________/> или />, откуда   />.
Предполагая теперь, что нашеутверждение верно для  какого-нибудь натурального />, покажем, что оно будет верным и для/>, то есть из равенства  />будет следовать  />.
В наборе /> фиксируем />, а остальные />чисел произвольнопереставляем, тогда  /> или />, и поэтому по предположению/>. Аналогично, зафиксировав />, получаем />. В результате />. Индукционный переходобоснован, и мы можем  заключить, что наше утверждение верно для любых n.     
А так как />, то  />.
4. Свойство однородности.
Также в общем случае,очевидно,  не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-среднимибудут только средние степенные.
Итак, по слабомуопределению квази-средние уже являются  средними, но  сильному определению ониудовлетворяют только наполовину.    Поэтому мы  и  назвали  такие  величины квази (“почти”)-средними.

Глава 2. Квази-средние  и функциональныеуравнения
Вышемы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можнодать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристическиесвойства. С этой целью отдельно рассмотрим  несколько функциональных уравнений,которые также будут использованы нами и для выделения основных классовквази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мыуже указали – это величины вида  />.
1. Решениенекоторых функциональных уравнений
Теорема1. Единственныминепрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих  уравнений   являются    соответственно  функции:
1.  />                                                  />;
2.  />        />; 
3.  />                       />;
4.  />                                                   />;   
5.  />                                                   />;   
6.  />                                                      />  и   />, x≠0;
7.  />           />, x>0
Доказательство. 1.Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решенияуравнения />, котороебудет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные  уравнения.   
Зафиксируемточку х0 из области определения – ту самую, в которой решениенепрерывно, и проверим верность равенства />длялюбого r/>R.
/>, что возможно только при />;
/>для любого r/>N;
/>для r=0;
/>,  но тогда /> и  /> для любого r/>N, то есть равенство верно для всех целых  r.
Далеепусть r/>Q или r=z/n, где p/>Zи q/>N.    /> и поэтому />, то есть равенство верно для всех рациональных  r.
Напоследнем шаге  используем непрерывность решения в точке х0итот факт, что любое действительное число  представляется как предел некоторойрациональной последовательности.
Если />, то/>  и/>,   а так как   />,  заключаем,  что />  для любого r/>R.
Теперь/>, p/>R (если обозначить не зависящий от хмножитель /> за  p).
2.Рассмотрим уравнение />.
/>, и поэтому функция />, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяетуравнению/>, то есть уравнению1, и поэтому  />.
Точнотак же />, …, />.   Но искомое решение /> />, pi/>R.
3. Решим уравнение  />.
/>,  откуда />,  и поэтому   функция/>, непрерывная  хотя бы в одной точке,  удовлетворяетуравнению/>
/>
/>, то есть />. 
Тогда  />.
4. Обратимсяк уравнению  />.
Преждевсего заметим, что если />  при каком-либо x, то для любого xможно заключить />, то есть/>.
Этоодно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращаетсяв нуль ни в одной точке. Тогда  />.  Но для положительной всюду />  можно определить функцию/>, которая  непрерывна  хотя бы в одной точке иудовлетворяет уравнению
/>,  то есть />.  Откуда  />,  где />.
5.Рассмотрим уравнение />.
/>,  и поэтому/>
/>,  и поэтому/> 
/>, то естьg(x) – чётная функция.
Очевидно,если g(x)≠0, то она не определена при х=0.Действительно, если существует g(0), то />, откуда/>–тривиальное решение, существование которогоочевидно.Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0,а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.
Определимфункцию/>, где/> длялюбогох. G(x) непрерывна  хотя бы в одной точке и удовлетворяетуравнению/>,  то есть />.  Откуда/>,   где  />. И с учётом чётного продолжения />. 
6. Уравнение/> также сведём к уравнению 1. 
Прежде всего заметим, чтоесли />  при каком-либо />, то для любого xможно заключить />, то есть/> –тривиальное решение. Далее />,  и так как/> длянетривиального решения, то из этого равенства следует, что />.
Нотогда/>  и g(–1)=/>1.
Если />, то/>, и  g(x) – чётнаяфункция. Если же />, то/>, иg(x) – нечётнаяфункция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а наотрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получивтем самым два решения функционального уравнения.
При х>0 />, так как /> – мы ищем нетривиальное решение.Поэтомуможноопределить функцию/>, которая  непрерывна  хотя бы в одной точке иудовлетворяет уравнению /> />, то есть />.  Откуда/>. 
И сучётом чётного  и нечётного  продолжений имеем два решения />  и   />, x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывностидоопределить и в нуле, но для k  этосделать невозможно. Заметим, что при  k=0 вторая функция есть />, и мы получаем пример разрывного решения.
7. И уравнение /> решим,  используяпредыдущее уравнение.
/>, и поэтому функция />, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяетуравнению />, но тогда  по доказанному для x>0 имеем />(вэтом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам непонадобится).
Аналогично, />, …, />. Но искомое  решение />
/>, pi/>R.
2. Характеристическоесвойство  квази-средних
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое  выше аксиоматическое определение. Будем исходить отчастных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое /> и среднее геометрическое  /> можно определить какнепрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений  /> и /> соответственно,а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе необязательно /> и  />. Первое условие естьрезультат теоремы 1, а второе условие мы докажем  далее в общем случае.
Заметим, что  операциюумножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можнопредставить как  />, где />, то есть  функция,задающая среднее геометрическое. Операция сложения  в уравнении для среднегоарифметического представляется аналогично, но с функцией/>.
Тогда вообще дляквази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, />, где />– произвольная непрерывная,строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (–/>; а), (–/>; а], (b; />),[b; />),(–/>;/>), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существованиеоперации для любых xи yиз области определения функции  />.  Сформулируем  общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних  [1].
Теорема2.  Квази-средние – это такие функции /> от nпеременных, для которых выполненыусловия:
1)  непрерывность хотя бы в одной точке;
2)  />;
3)  />.
Доказательство. Очевидно,что квази-средние, ранее определённые как />  удовлетворяютперечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствамине существует. Для этого  выведем вид функций />,исходя из указанных условий.
Распишем уравнение/>, используя определениеоперации   />:
 />=
=/>,
/>=
=/>
Далее, если определить /> иобозначить />,/>, то последнее выражение   перепишется  так/>, где функция H  непрерывна хотя бы в одной точке.  Тогда единственнойтакой функцией будет  />, pi/>R.Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём    />, pi/>R.
Осталось показать, что /> и  />. Используем свойствоусреднения найденного решения:  />.
Возьмём />, но тогда/> или  />, и поэтому/>.А если предположить, что  какое-то  />, то для  /> и  />,/>  имеем
/>=/>=
=/>,    что противоречит условию.
Аналогичноможно определить квази-средние вида />.
Теорема 3.   Квази-средние вида />– это такие функции /> от nпеременных, для которых выполненыусловия:
1)  непрерывность хотя бы в одной точке;
2)  />;
3)  рефлексивность, то есть />;
4)  симметричность.
Действительно,свойства 1 и 2  выделяютфункции />,  pi/>R,  далеесвойство 3обеспечивает />,  а из свойства4  вытекает/>.
Теперь мы можемаксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них своиоперации в функциональном уравнении             />.  Например:
для среднегоарифметического  /> задающая егофункция  />,   и поэтому   />;
для среднего геометрического   />    />,  />/>;
для среднего гармонического    />      />,  />/>;
для среднего квадратичного     />   />,   />/>.
3.  Тождественные  квази-средние
Квази-среднее  /> определено, если заданафункция />. Возникает естественныйвопрос, справедливо ли обратное предложение:  если /> длялюбых /> или /> и /> –тождественны, то следуетли отсюда, что задающие их функции /> и /> также тождественны. Ответна этот вопрос даёт следующая
Теорема4.  Необходимыми достаточным условием тождественности квази-средних  /> и/> является  условие />, где   />.
Доказательство. Если  указанное условие  выполняется, то
/>
/>,  и поэтому 
/>=/> или />=/> для любых />, то есть условиедостаточно.
Обратно, пусть />=/>,  />=/> или />. Обозначая /> и />, перепишем  />=/>.
Сведём это равенство кфункциональному уравнению. Возьмём точку />  из области значений функции /> и представим />. Тогда   />=/> или />=/>.  Полагая />, где/> для каждого i, найдём />=/>,  где    /> не зависит от />.
Поэтому />=/>, что с обозначениями />, />, /> перепишется так: />. 
Тогда  решениемэтого функционального уравнения будет функция />, />, где/>.  Так как/>,то />, или/>,   если взять/>.
Такимобразом, чтобы задать одно и то же квази-среднее /> мы можем взять любуюфункцию из целого класса функций />, где  а≠0иb– произвольныепостоянные, идругого способа получить тождественные квази-средние не существует.
4. Однородныеквази-средние
Ранее мы говорили, чтоквази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение /> для любых /> не выполняется, но ихподкласс – взвешенные средние степенные />обладают однородностью.Теперь покажем, что других  квази-средних с данным свойством не существует [2].
Теорема 5. Взвешенные средние степенные –единственные однородные квази-средние.
Доказательство.Предположим, чторавенство /> имеет место, ивыведем  из него вид задающей квази-среднее функции />.  Перепишем/>/>  или    />=/>. Получили тождественные  квази-средние, заданные функциями  /> и />. В силу теоремы 4 имеем /> (*), где />и />– функции от λ, />≠0. Также мы можем положить/>.
Тогда />. Подставляя теперь /> в (*) и заменяя λ на  y, найдём, что/> (**). Аналогично />.
Последние два равенствадают />   для  x, y≠1 (***).
Отсюда следует, чтофункции в левой и правой частях (***) равны постоянной  d, то есть  />.
Из (**) вытекает сейчасравенство />, которое, очевидно, справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.
 Итак, мы получилифункциональное уравнение />, рассматриваяего, различаем два случая:
1)  при d=0  />, ипоэтому для x>0 />;
2) при d≠полагая />,сведём уравнение к  />, и поэтому для x>0 />  и />.
В первом случае потеореме 4 о тождественных квази-средних  /> можнозаменить на/>, и тогдаполучаемсреднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднегостепенного при  />.  Во втором,заменяя /> на /> – среднее степенное.
Следствие. Средние степенные – единственныйкласс  квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.
5.  Аддитивные квази-средние
 
Рассмотрим ещё один классквази-средних. Назовём свойство />  аддитивностьюи найдём все квази-средние  с данным свойством.
Теорема 6. Взвешенное среднее арифметическое иквази-среднее, заданное показательной функцией />–единственные аддитивные квази-средние.
Доказательство.Аддитивность указанныхквази-средних показывается простой проверкой. Для доказательства ихединственности предполагаем, что равенство />  имеетместо, и выводим  из него вид задающей квази-среднее функции />.  Переписываемсоотношение
/> или  />=/>.  Получаем тождественные квази-средние, заданные функциями  /> и />. В силу теоремы  имеем /> (*), где />и />– функции от t, />≠0, а  также можем положить/>.
Далее рассуждаяаналогично предыдущей теореме, приходим к функциональному уравнению />, рассматривая которое, вновь различаем два случая:
1)  при d=0  />, ипоэтому />;
2) при d≠полагая />,сведём уравнение к  />, и поэтому />  и  />.
В первом случае  имеемсреднее арифметическое.  Во втором – квази-среднее, заданное показательнойфункцией />.
И взаключении этой главы на основе доказанных теорем 5 и 6 простое
Следствие.Взвешенноесреднее арифметическое – единственное однородное и одновременно аддитивноеквази-среднее.
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции
Дляклассических средних существует множество неравенств, которые могут бытьобобщены в различных направлениях. Одним из таких обобщений являются неравенствадля квази-средних, которые мы и рассмотрим в этой главе. Как их частные случаимы также получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши осреднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующиесвойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенствоГёльдера) и их аналоги.
Как воснове доказательств приведённых  ранее теорем  лежали функциональныеуравнения, так и сейчас нам будет важно отдельно рассмотреть ряд положений,касающихся выпуклых функций.
1. Некоторые вопросытеории выпуклых функций
Выпуклые функцииопределяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанноена геометрических соображениях такое
Определение.Функция /> называется выпуклойвниз (вверх) на промежутке X,если любая хорда кривой /> лежитне ниже (не выше)  дуги, которую эта хорда стягивает.
Далее будем рассматриватьвыпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желанииможно получить простым обращением знака в неравенствах.
Теорема7 (неравенство Иенсена).  Для того, чтобынепрерывнаяфункция /> была выпуклой вниз напромежутке X,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство /> для всех /> и />,/>, />.
Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрическиозначает указанное неравенство при n=2.Любая точка /> может быть представлена ввиде />, где />, />. Так как концы хорды – этоточки />и />, то точка хорды с абсциссой xимеет ординату />. Таким образом неравенство /> означает,что при /> точка графика функции лежит не вышесоответствующей точки хорды,  и это верно для любой точки хорды, так как мыберём любые pi  при условии />, />.
И поэтому для непрерывнойфункции определение выпуклости вниз  и данное неравенство при n=2 эквивалентны. 
Покажем сейчас, что это неравенствосправедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если />, то   />
/>/>
/>  и т.д.
Верно и обратное, если неравенство /> выполняется для какого-то n>2, то  оно выполняется и для n=2.
Действительно, перепишем /> и возьмём /> для />.  Тогда/>, где  />, /> и />.
Очевидно, если все  /> равны друг другу, то мы получаемравенство в нашем неравенстве. В противном случае равенствопри n=2 /> (/>)означает, что любая хорда кривой /> совпадаетс дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция  /> линейна. Мы можем поэтомусделать следующее
Замечание.Если функция  /> не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсенадостигается только тогда, когда все  /> равны друг другу.
Таким образом определениевыпуклой функции и данное неравенство для любого n  эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, еслинеобходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.
Теорема8 (аналог неравенства Иенсена).  Для  выпуклой  вниз  на отрезке  />  функции />  справедливо  неравенство 
 />  для  всех /> и />, />,/>.
Доказательство.Представив />,  />, где />, докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство />,  />. Действительно,
/>
Теперь имеем:
/>
/>.
Равенство в нашемнеравенстве достигается  только тогда, когда  обеспечивается равенство в каждойиз произведённых оценок.  Поэтому, если   функция  /> нелинейна, то равенство  будет только тогда,  когда /> равны либо />,  либо  />, чтоследует из условия   />, и толькотогда,  когда все  /> равны друг другу, что следует из условия  />. В результате мы имеем такое
Замечание.Если функция  /> не линейна на />, то равенство в доказанномсоотношении  достигается только тогда, когда  все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
И  важная дляпрактического применения теорем 7 и  8, позволяющая определять выпуклостьдостаточно широкого класса функций
Теорема9 (достаточный признак выпуклой функции).  Если функция /> дважды дифференцируема внекотором интервале  и /> (/>),  то  /> выпукла вниз (вверх) наэтом интервале.
Доказательство[4].Если />, то />, и по формуле Тейлора />. Умножая на piи складывая эти равенства, мы получаем />, а отсюда в силу /> заключаем, что />.
Теперь приведёмопределение выпуклой функции от двух переменных и сформулируеманалогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считатьочевидных изменений в обозначениях.
Определение.Функция /> называется выпуклой вниз(вверх) в выпуклой области D (тоесть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки),  еслилюбая хорда поверхности /> лежитне ниже (не выше)  соответствующей дуги на поверхности, которую эта хордастягивает.
Теорема10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобынепрерывная функция /> была выпуклой вниз вобласти D,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство /> для всех /> и />,/>, />.
Теорема 11 (аналогнеравенства Иенсена). Для выпуклой вниз  в прямоугольной области  />,  />, />  функции  />  справедливо  неравенство
/>,
для всех />,/>, />, />, />. 
Теорема 12(достаточный признак выпуклой функции).  Если  функция /> дважды дифференцируема внекоторой открытой области  и />, />, />   />, />, />, то  /> выпукла вниз (вверх) вэтой области.
Сейчас на основе доказанных теоремперейдём непосредственно к обобщениям  неравенств Коши и Гёльдера и иханалогам.
2. Обобщениенеравенства Коши и его аналог
Известное неравенствоКоши /> или /> говорито том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы  для любых чиселxi>0  и любых весов />,  />,/>. 
Возникает вопрос, будутли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство />≤/>, или />≤/>.
Теорема13 (о сравнении квази-средних).  Для того, чтобы  выполнялось неравенство />≤/>, или />≤/> для всех />, />, />, необходимо и достаточно,чтобы функция /> была выпуклойвниз, если /> возрастает,  или  выпуклойвверх, если /> убывает.
Доказательство[2]. Пусть /> возрастает.Тогда  из неравенства />≤/> следует />. Обозначая /> и />, получаем />≤/>, то есть мы простопереписываем неравенство />≤/> в другой форме.   Новое женеравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция/>, или  /> выпукла вниз.
При убывании /> рассуждаем аналогично.
Замечание.Если />,где />, на некотором промежутке,содержащем все/>, то равенство в доказанномсоотношении достигается только тогда, когда все  /> равны друг другу.
Действительно, пусть />=/>. Тогда />=/>, и поэтому если функция /> не линейна, то есть />, или/>, то равенство достигаетсятолько тогда, когда все  все />, а следовательно, и />, равны друг другу.
Отметим, что данноезамечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.
Теорема 14.  Для того,  чтобы выполнялось неравенство />≤/> для всех /> и />, />, />,   достаточно,чтобы функция /> была выпуклойвниз, если /> возрастает,  или  выпуклойвверх, если /> убывает.
Доказательство.Точно так же, как и впредыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству  /> (или ему обратному приубывании />), которое по теореме8  вновь верно при  условии, что  функция />,или  /> выпукла вниз (вверх()овь верно при тех жеусловиях________________________________________________________________________________________________).
 Замечание.Если />,где />, на отрезке />, то равенство в доказанномсоотношении  достигается только тогда, когда все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
Теорема13 позволяет нам какчастные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3].Приведём эти неравенства.
Пример1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного).Для />,/>, 0rs функция /> выпуклавниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому />, где />, />, />, />, или />.
Пример2 (неравенство Коши). Для /> и /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />, или  />.
Пример 3(неравенство Гюйгенса).Для/> и /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />, или  />.
Пример 4 (неравенство Бернулли). Для /> и  /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />,  или  />.В частности, если положить />, />, />, то получим так называемоеобобщённое неравенство Бернулли /> (/>).
Замечание.Равенство в вышеуказанных примерах   имеет место тогдаи только тогда, когда все /> равныдруг другу (так как в каждом случае/>).  
На основанииже  теоремы 14 мы получаем  аналоги приведённых неравенств.
Пример 1/./>, где />, />, />,  />, />.
Пример 2/./>, где />, />,  />, />.
Пример 3/./>, где />,/>,  />, />.
Пример 4/./>, где />.
Замечание.Равенство в вышеуказанных примерах   имеет место тогдаи только тогда,  когда все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
3. Обобщениенеравенства Гёльдера и его аналог
Один из вариантовнеравенства Гёльдера (для  средних значений) выглядит так [2]:  />, где  />, />, />, />, />,  />.
Запишем его в следующейформе /> с квази-средними,заданными функциями />, />, />, или />. Снова, как и дляобобщения неравенства Коши, зададимся  вопросом, будет ли неравенство  Гёльдеравыполнятся для произвольных квази-средних. 
Теорема 15. Для того чтобы выполнялосьнеравенство /> для всех />, />, />,  необходимои достаточно, чтобы />=/> была выпуклой вверхфункцией, если /> возрастает, или  выпуклой вниз функцией, если /> убывает.
Доказательство.Пусть /> возрастает. Тогда нашенеравенство эквивалентно неравенству />.Полагая />=/> и/>, />, переписываем />. А новое неравенствопо теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция /> или  /> выпукла вверх.
При убывании /> рассуждаем аналогично.
Теорема 16.  Для того,  чтобы   для всех  />,  />,/>,  />  и  />, />,  />   выполнялось неравенство />достаточно, чтобыфункция />=/> была выпуклой вверх, если /> возрастает,  или  выпуклойвниз, если /> убывает.
Доказательство точно так же, как и предыдущейтеореме, сводим к теореме 11.
Теоремы 15 и 16  содержат как частные случаиследующие известные неравенства и их аналоги.
Пример 1 (неравенствоГёльдера).Для />,/>, />  функция />=/>=/>  по теореме 12  выпукла вверх, если /> и  />,  и поэтому /> для />.
Пример2 (неравенство Коши-Буняковского). Для />
/>, где />, />, />.
Пример 1/(аналог неравенства Гёльдера).          />, где  />, />, />,  />, />, />,/>, />,  />.
Пример 2/  (аналогнеравенства Коши-Буняковского).  />, где />  />, />, />.
Заключение
 Теперь когда мызавершили изложение нашего вопроса, скажем несколько слов о возможныхнаправлениях развития темы.
 Всё доказанное оквази-средних можно разделить на две части: теоретическую (аксиоматическоезадание, выделение классов новых величин) и практическую (неравенства для квази-среднихкак метод доказательства менее общих неравенств).  
Первую часть считаемзавершённой.  Вторая часть остаётся открытой.  Как мы видели, доказательствоновых  неравенств для выпуклых функций даёт возможность сформулировать новыенеравенства и для квази-средних. Последние в свою очередь можно конкретизироватьдля их частных случаев. Так с помощью аналога неравенства Иенсена мы вывелинеравенство для квази-средних, из которого в качестве следствия получили аналогнеравенства Коши.

Библиографический список
1.  Muliere, P.  On Quasi-Means [Text] / P. Muliere// J. Ineq. Pure and Appl. Math. 3(2), 1991, Article 21.
2.  Харди, Г.Г. Неравенства [Text] /Г.Г. Харди, Дж.  Е. Литтлвуд, Г. Полиа.–М.:Иностранная литература, 1948.
3.  Калинин, С. И. Средние величины степенного типа.Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу [Text] / С. И. Калинин.–Киров:Изд-во ВГГУ, 2002.
4.  Беккенбах Э. Неравенства [Text]/Э. Беккенбах, Р. Беллман.–М.: Издательство “Мир”,1965.
5.  Некоторые вопросы математическогоанализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей [Text].– Киров: Изд-во ВГГУ, 2001.
6.  Mericoski, J. K.  Extending means of twovariables to several variables [Text] / J. K. Mericoski. // J. Ineq. Pure andAppl. Math. 5(3), 2004, Article 65.

Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускнаяквалификационная работа
Обобщениеклассических средних величин
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Лялин АндрейВасильевич
Научный руководитель:  
кандидат физ.-мат. наук,доцент
кафедры прикладной математики
С.И. Калинин
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математическогоанализа и МПМ  В.И. Варанкина
Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии
«___» __________2005 г.     Зав.кафедрой                           М.В. Крутихина
«___»___________2005 г.     Декан факультета                     В.И.Варанкина
Киров
2005
Отзыв на выпускную квалификационную работу
А.В. Лялина «Обобщение классических средних величин»
 
Выпускнаяквалификационная работа студента Лялина А.В. представляет собой систематическоеизложение  вопросов, касающихся теории средних величин, а также их соответствующихобобщений. Отметим при этом, что её значительная часть является результатомсамостоятельной научно-исследовательской деятельности.
Автор обозначенную темурассматривает весьма полно: им приводятся все необходимые понятия иопределения, формулировки и доказательства утверждений.
Затронутый в работематериал излагается индуктивно, на основе частных фактов, это облегчаетчитателю понимание текста работы.
Наибольший практическийинтерес представляет исследование неравенств для рассматриваемых средних. Авторустанавливает новый аналог неравенства Иенсена, им выводятся классическиенеравенства для средних степенных и их аналоги как приложение общих неравенств.
Полученные и усвоенныезнания преподнесены грамотно (без стилистических ошибок, за редкимисключением), правильно (без математических ошибок), чётко, логично и связно.Важно отметить, что автор умеет пользоваться научной литературой, в том числеиностранными статьями, согласовывать собственные исследования с фактами излитературных источников.
Подчеркнем, что по темеработы  А.В. Лялин работал на протяжении трех лет, он неоднократно выступал снаучными сообщениями на студенческом научно-исследовательском семинаре поматематическому анализу, познакомился с несколькими статьями из зарубежныхматематических журналов.
Считаю, что работа ЛялинаА.В. отвечает требованиям, предъявляемым к ВКР, и заслуживает допуска к защите.
Калинин С.И..
Содержание
Введение… 3
Глава 1. Квази-средние как обобщениеклассических средних величин… 4
Глава 2. Квази-средние и функциональныеуравнения… 8
1.  Решение некоторых функциональныхуравнений… 8
2.  Характеристическое свойствоквази-средних… 12
3.  Тождественные квази-средние… 15
4.  Однородные квази-средние… 17
5.  Аддитивные квази-средние… 18
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции… 19
1.  Некоторые вопросы теории выпуклыхфункций… 20
2.  Обобщение неравенства Коши и его аналог… 24
3.  Обобщение неравенства Гёльдера и егоаналог… 28
Заключение… 30
Библиографический список… 31

Введение
Вопросы данной работыотносятся к области математического анализа, конкретнее  к теории среднихвеличин, которая  рассматривает свойства средних и неравенства с нимисвязанные. 
Нашей целью будетизучение так называемых  квази-средних, обобщающих известные среднееарифметическое, геометрическое и степенное.
 В главе 1 мыскажем вначале о том, что вообще понимается  под средними, а затем введём новыевеличины и проверим, в какой мере они удовлетворяют  этому определению.
В главе 2  от прямого, конструктивного заданияквази-средних, перейдём к аксиоматическому  определению, то есть предпишем имнекоторые характеристические свойства, а также выделим их основные классы. Здесьв основе будут лежать функциональные уравнения, которые мы  отдельнорассмотрим. 
В главе 3  укажем  неравенства дляквази-средних, из которых как частные случаи получим основные неравенства длясредних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднемгеометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности среднихстепенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера)и их аналоги.Теперь  будем опираться на теорию выпуклых функций, и поэтому вновь предварительнообсудим некоторые её вопросы.
Методы доказательств,которые мы применяем в этой работе,  не выходят за рамки классического анализа:используем свойства непрерывных, монотонных, выпуклых функций, обращаемся кфункциональным уравнениям, при этом  доказываем все необходимые факты.
Многие утвержденияизвестны из литературы (где иногда просто сформулированы), некоторыеутверждения являются новыми. Мы  приводим их полное доказательство, уточняем,детализируем.

Глава 1. Квази-средние как обобщениеклассических средних величин
 
Так как предметом нашегоизучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средниеопределяются  в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий,состоит в следующем [6].
Определение. Непрерывная действительнаяфункция /> от nнеотрицательных переменныхназывается средним,  если  для любых /> выполняютсяусловия:
1.  />, то есть S“усредняет” любой набор из nнеотрицательных чисел  (свойствоусреднения);
2.  />, то есть “большему” наборусоответствует не меньшее значение S(свойство возрастания);
3.  при любой перестановке чисел /> Sне меняется (свойствосимметричности);
4.  /> (свойство однородности).
Но чаще используетсяболее слабое определение: средние выделяются среди других функцийпредписыванием им только свойства усреднения [2,3,5].
Так известные среднееарифметическое />, среднее геометрическое/>, и более общее среднеестепенное />для /> очевидно будут средними ипо сильному определению, а их весовые аналоги – взвешенные средние />, />, />, где />, />,  уже не обладаютсвойством симметричности.
 Теперь введём новыевеличины, обобщающие указанные классические средние – квази-средние [1], которые и будут предметом нашего изучения.
Легко заметить способпостроения взвешенного среднего степенного – это есть величина /> с функцией />, сюда включено ивзвешенное среднее арифметическое при />,и взвешенное среднее геометрическое – та же величина, но с функцией />.
Отказавшись от конкретноговида функции />, получаем  естественное обобщение  этих простейших средних [1,2] –/>,где />, />  стем лишь ограничением на />, чтоона должна быть непрерывной и строго монотонной на некотором промежутке,содержащем все />, тогда  обратнаяфункция /> существует, и мы можем строить/> для любых чисел из такого промежутка.
Определение.Квази-среднее есть величина вида />,где />, />,/> для чисел />  из некоторого промежутка, на котором функция /> непрерывна и строгомонотонна.
 Очевидно, квази-средниевключают и не взвешенные, обыкновенные  средние, если взять /> для всех номеров i и те же функции />,/>, />. Как мы сказали,эти частные случаи квази-средних удовлетворяют всем условиям сильногоопределения средней величины.  Естественно проверить, какие из условийостанутся верными и для построенного обобщения. Рассмотрим  условия по порядку.
1. Свойство усреднения.
При возрастании xот /> до/> /> возрастает или убывает от /> до />,  и  поэтому /> как среднее арифметическоележит между этими значениями, но тогда в силу непрерывности обратной функции точка/> обязана попасть в отрезок[/>;/>] = [/>;/>], то есть />,  и свойство выполняется.
2. Свойство возрастания.
Для возрастающей /> из /> следует /> и  />, а так как обратнаяфункция /> также возрастает, то />  или />.
В случае убывающей />получаем тот же результат. То есть /> влечёт/>, и свойство выполняется.
 3. Свойство симметричности.
 Мы знаем, чтосимметричны, например, обычные, невзвешанные среднее арифметическое игеометрическое. Но в общем случае квази-средние, конечно, не симметричны. Можновыделить самый широкий класс симметричных квази-средних – они представляются в виде/>.
Действительно, пусть Мсимметрична. Тогда для некоторого набора различных чисел /> и произвольной  ихперестановки  /> /> или />,  и поэтому />. Обозначив />, имеем />, где /> – набор, полученный  произвольнойперестановкой различных (в силу строгой монотонности функции />) чисел />. Покажем, что последнееравенство возможно,  только если />. Рассуждаемпо индукции.
Для n=2 получаем равенство _______________________________________________________________________________________________________________________________/> или />, откуда   />.
Предполагая теперь, что нашеутверждение верно для  какого-нибудь натурального />, покажем, что оно будет верным и для/>, то есть из равенства  />будет следовать  />.
В наборе /> фиксируем />, а остальные />чисел произвольнопереставляем, тогда  /> или />, и поэтому по предположению/>. Аналогично, зафиксировав />, получаем />. В результате />. Индукционный переходобоснован, и мы можем  заключить, что наше утверждение верно для любых n.     
А так как />, то  />.
4. Свойство однородности.
Также в общем случае,очевидно,  не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-среднимибудут только средние степенные.
Итак, по слабомуопределению квази-средние уже являются  средними, но  сильному определению ониудовлетворяют только наполовину.    Поэтому мы  и  назвали  такие  величины квази (“почти”)-средними.

Глава 2. Квази-средние  и функциональныеуравнения
Вышемы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можнодать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристическиесвойства. С этой целью отдельно рассмотрим  несколько функциональных уравнений,которые также будут использованы нами и для выделения основных классовквази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мыуже указали – это величины вида  />.
1. Решениенекоторых функциональных уравнений
Теорема1. Единственныминепрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих  уравнений   являются    соответственно  функции:
1.  />                                                  />;
2.  />        />; 
3.  />                       />;
4.  />                                                   />;   
5.  />                                                   />;   
6.  />                                                      />  и   />, x≠0;
7.  />           />, x>0
Доказательство. 1.Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решенияуравнения />, котороебудет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные  уравнения.   
Зафиксируемточку х0 из области определения – ту самую, в которой решениенепрерывно, и проверим верность равенства />длялюбого r/>R.
/>, что возможно только при />;
/>для любого r/>N;
/>для r=0;
/>,  но тогда /> и  /> для любого r/>N, то есть равенство верно для всех целых  r.
Далеепусть r/>Q или r=z/n, где p/>Zи q/>N.    /> и поэтому />, то есть равенство верно для всех рациональных  r.
Напоследнем шаге  используем непрерывность решения в точке х0итот факт, что любое действительное число  представляется как предел некоторойрациональной последовательности.
Если />, то/>  и/>,   а так как   />,  заключаем,  что />  для любого r/>R.
Теперь/>, p/>R (если обозначить не зависящий от хмножитель /> за  p).
2.Рассмотрим уравнение />.
/>, и поэтому функция />, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяетуравнению/>, то есть уравнению1, и поэтому  />.
Точнотак же />, …, />.   Но искомое решение /> />, pi/>R.
3. Решим уравнение  />.
/>,  откуда />,  и поэтому   функция/>, непрерывная  хотя бы в одной точке,  удовлетворяетуравнению/>
/>
/>, то есть />. 
Тогда  />.
4. Обратимсяк уравнению  />.
Преждевсего заметим, что если />  при каком-либо x, то для любого xможно заключить />, то есть/>.
Этоодно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращаетсяв нуль ни в одной точке. Тогда  />.  Но для положительной всюду />  можно определить функцию/>, которая  непрерывна  хотя бы в одной точке иудовлетворяет уравнению
/>,  то есть />.  Откуда  />,  где />.
5.Рассмотрим уравнение />.
/>,  и поэтому/>
/>,  и поэтому/> 
/>, то естьg(x) – чётная функция.
Очевидно,если g(x)≠0, то она не определена при х=0.Действительно, если существует g(0), то />, откуда/>–тривиальное решение, существование которогоочевидно.Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0,а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.
Определимфункцию/>, где/> длялюбогох. G(x) непрерывна  хотя бы в одной точке и удовлетворяетуравнению/>,  то есть />.  Откуда/>,   где  />. И с учётом чётного продолжения />. 
6. Уравнение/> также сведём к уравнению 1. 
Прежде всего заметим, чтоесли />  при каком-либо />, то для любого xможно заключить />, то есть/> –тривиальное решение. Далее />,  и так как/> длянетривиального решения, то из этого равенства следует, что />.
Нотогда/>  и g(–1)=/>1.
Если />, то/>, и  g(x) – чётнаяфункция. Если же />, то/>, иg(x) – нечётнаяфункция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а наотрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получивтем самым два решения функционального уравнения.
При х>0 />, так как /> – мы ищем нетривиальное решение.Поэтомуможноопределить функцию/>, которая  непрерывна  хотя бы в одной точке иудовлетворяет уравнению /> />, то есть />.  Откуда/>. 
И сучётом чётного  и нечётного  продолжений имеем два решения />  и   />, x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывностидоопределить и в нуле, но для k  этосделать невозможно. Заметим, что при  k=0 вторая функция есть />, и мы получаем пример разрывного решения.
7. И уравнение /> решим,  используяпредыдущее уравнение.
/>, и поэтому функция />, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяетуравнению />, но тогда  по доказанному для x>0 имеем />(вэтом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам непонадобится).
Аналогично, />, …, />. Но искомое  решение />
/>, pi/>R.
2. Характеристическоесвойство  квази-средних
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое  выше аксиоматическое определение. Будем исходить отчастных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое /> и среднее геометрическое  /> можно определить какнепрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений  /> и /> соответственно,а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе необязательно /> и  />. Первое условие естьрезультат теоремы 1, а второе условие мы докажем  далее в общем случае.
Заметим, что  операциюумножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можнопредставить как  />, где />, то есть  функция,задающая среднее геометрическое. Операция сложения  в уравнении для среднегоарифметического представляется аналогично, но с функцией/>.
Тогда вообще дляквази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, />, где />– произвольная непрерывная,строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (–/>; а), (–/>; а], (b; />),[b; />),(–/>;/>), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существованиеоперации для любых xи yиз области определения функции  />.  Сформулируем  общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних  [1].
Теорема2.  Квази-средние – это такие функции /> от nпеременных, для которых выполненыусловия:
1)  непрерывность хотя бы в одной точке;
2)  />;
3)  />.
Доказательство. Очевидно,что квази-средние, ранее определённые как />  удовлетворяютперечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствамине существует. Для этого  выведем вид функций />,исходя из указанных условий.
Распишем уравнение/>, используя определениеоперации   />:
 />=
=/>,
/>=
=/>
Далее, если определить /> иобозначить />,/>, то последнее выражение   перепишется  так/>, где функция H  непрерывна хотя бы в одной точке.  Тогда единственнойтакой функцией будет  />, pi/>R.Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём    />, pi/>R.
Осталось показать, что /> и  />. Используем свойствоусреднения найденного решения:  />.
Возьмём />, но тогда/> или  />, и поэтому/>.А если предположить, что  какое-то  />, то для  /> и  />,/>  имеем
/>=/>=
=/>,    что противоречит условию.
Аналогичноможно определить квази-средние вида />.
Теорема 3.   Квази-средние вида />– это такие функции /> от nпеременных, для которых выполненыусловия:
1)  непрерывность хотя бы в одной точке;
2)  />;
3)  рефлексивность, то есть />;
4)  симметричность.
Действительно,свойства 1 и 2  выделяютфункции />,  pi/>R,  далеесвойство 3обеспечивает />,  а из свойства4  вытекает/>.
Теперь мы можемаксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них своиоперации в функциональном уравнении             />.  Например:
для среднегоарифметического  /> задающая егофункция  />,   и поэтому   />;
для среднего геометрического   />    />,  />/>;
для среднего гармонического    />      />,  />/>;
для среднего квадратичного     />   />,   />/>.
3.  Тождественные  квази-средние
Квази-среднее  /> определено, если заданафункция />. Возникает естественныйвопрос, справедливо ли обратное предложение:  если /> длялюбых /> или /> и /> –тождественны, то следуетли отсюда, что задающие их функции /> и /> также тождественны. Ответна этот вопрос даёт следующая
Теорема4.  Необходимыми достаточным условием тождественности квази-средних  /> и/> является  условие />, где   />.
Доказательство. Если  указанное условие  выполняется, то
/>
/>,  и поэтому 
/>=/> или />=/> для любых />, то есть условиедостаточно.
Обратно, пусть />=/>,  />=/> или />. Обозначая /> и />, перепишем  />=/>.
Сведём это равенство кфункциональному уравнению. Возьмём точку />  из области значений функции /> и представим />. Тогда   />=/> или />=/>.  Полагая />, где/> для каждого i, найдём />=/>,  где    /> не зависит от />.
Поэтому />=/>, что с обозначениями />, />, /> перепишется так: />. 
Тогда  решениемэтого функционального уравнения будет функция />, />, где/>.  Так как/>,то />, или/>,   если взять/>.
Такимобразом, чтобы задать одно и то же квази-среднее /> мы можем взять любуюфункцию из целого класса функций />, где  а≠0иb– произвольныепостоянные, идругого способа получить тождественные квази-средние не существует.
4. Однородныеквази-средние
Ранее мы говорили, чтоквази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение /> для любых /> не выполняется, но ихподкласс – взвешенные средние степенные />обладают однородностью.Теперь покажем, что других  квази-средних с данным свойством не существует [2].
Теорема 5. Взвешенные средние степенные –единственные однородные квази-средние.
Доказательство.Предположим, чторавенство /> имеет место, ивыведем  из него вид задающей квази-среднее функции />.  Перепишем/>/>  или    />=/>. Получили тождественные  квази-средние, заданные функциями  /> и />. В силу теоремы 4 имеем /> (*), где />и />– функции от λ, />≠0. Также мы можем положить/>.
Тогда />. Подставляя теперь /> в (*) и заменяя λ на  y, найдём, что/> (**). Аналогично />.
Последние два равенствадают />   для  x, y≠1 (***).
Отсюда следует, чтофункции в левой и правой частях (***) равны постоянной  d, то есть  />.
Из (**) вытекает сейчасравенство />, которое, очевидно, справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.
 Итак, мы получилифункциональное уравнение />, рассматриваяего, различаем два случая:
1)  при d=0  />, ипоэтому для x>0 />;
2) при d≠полагая />,сведём уравнение к  />, и поэтому для x>0 />  и />.
В первом случае потеореме 4 о тождественных квази-средних  /> можнозаменить на/>, и тогдаполучаемсреднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднегостепенного при  />.  Во втором,заменяя /> на /> – среднее степенное.
Следствие. Средние степенные – единственныйкласс  квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.
5.  Аддитивные квази-средние
 
Рассмотрим ещё один классквази-средних. Назовём свойство />  аддитивностьюи найдём все квази-средние  с данным свойством.
Теорема 6. Взвешенное среднее арифметическое иквази-среднее, заданное показательной функцией />–единственные аддитивные квази-средние.
Доказательство.Аддитивность указанныхквази-средних показывается простой проверкой. Для доказательства ихединственности предполагаем, что равенство />  имеетместо, и выводим  из него вид задающей квази-среднее функции />.  Переписываемсоотношение
/> или  />=/>.  Получаем тождественные квази-средние, заданные функциями  /> и />. В силу теоремы  имеем /> (*), где />и />– функции от t, />≠0, а  также можем положить/>.
Далее рассуждаяаналогично предыдущей теореме, приходим к функциональному уравнению />, рассматривая которое, вновь различаем два случая:
1)  при d=0  />, ипоэтому />;
2) при d≠полагая />,сведём уравнение к  />, и поэтому />  и  />.
В первом случае  имеемсреднее арифметическое.  Во втором – квази-среднее, заданное показательнойфункцией />.
И взаключении этой главы на основе доказанных теорем 5 и 6 простое
Следствие.Взвешенноесреднее арифметическое – единственное однородное и одновременно аддитивноеквази-среднее.
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции
Дляклассических средних существует множество неравенств, которые могут бытьобобщены в различных направлениях. Одним из таких обобщений являются неравенствадля квази-средних, которые мы и рассмотрим в этой главе. Как их частные случаимы также получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши осреднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующиесвойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенствоГёльдера) и их аналоги.
Как воснове доказательств приведённых  ранее теорем  лежали функциональныеуравнения, так и сейчас нам будет важно отдельно рассмотреть ряд положений,касающихся выпуклых функций.
1. Некоторые вопросытеории выпуклых функций
Выпуклые функцииопределяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанноена геометрических соображениях такое
Определение.Функция /> называется выпуклойвниз (вверх) на промежутке X,если любая хорда кривой /> лежитне ниже (не выше)  дуги, которую эта хорда стягивает.
Далее будем рассматриватьвыпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желанииможно получить простым обращением знака в неравенствах.
Теорема7 (неравенство Иенсена).  Для того, чтобынепрерывнаяфункция /> была выпуклой вниз напромежутке X,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство /> для всех /> и />,/>, />.
Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрическиозначает указанное неравенство при n=2.Любая точка /> может быть представлена ввиде />, где />, />. Так как концы хорды – этоточки />и />, то точка хорды с абсциссой xимеет ординату />. Таким образом неравенство /> означает,что при /> точка графика функции лежит не вышесоответствующей точки хорды,  и это верно для любой точки хорды, так как мыберём любые pi  при условии />, />.
И поэтому для непрерывнойфункции определение выпуклости вниз  и данное неравенство при n=2 эквивалентны. 
Покажем сейчас, что это неравенствосправедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если />, то   />
/>/>
/>  и т.д.
Верно и обратное, если неравенство /> выполняется для какого-то n>2, то  оно выполняется и для n=2.
Действительно, перепишем /> и возьмём /> для />.  Тогда/>, где  />, /> и />.
Очевидно, если все  /> равны друг другу, то мы получаемравенство в нашем неравенстве. В противном случае равенствопри n=2 /> (/>)означает, что любая хорда кривой /> совпадаетс дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция  /> линейна. Мы можем поэтомусделать следующее
Замечание.Если функция  /> не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсенадостигается только тогда, когда все  /> равны друг другу.
Таким образом определениевыпуклой функции и данное неравенство для любого n  эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, еслинеобходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.
Теорема8 (аналог неравенства Иенсена).  Для  выпуклой  вниз  на отрезке  />  функции />  справедливо  неравенство 
 />  для  всех /> и />, />,/>.
Доказательство.Представив />,  />, где />, докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство />,  />. Действительно,
/>
Теперь имеем:
/>
/>.
Равенство в нашемнеравенстве достигается  только тогда, когда  обеспечивается равенство в каждойиз произведённых оценок.  Поэтому, если   функция  /> нелинейна, то равенство  будет только тогда,  когда /> равны либо />,  либо  />, чтоследует из условия   />, и толькотогда,  когда все  /> равны друг другу, что следует из условия  />. В результате мы имеем такое
Замечание.Если функция  /> не линейна на />, то равенство в доказанномсоотношении  достигается только тогда, когда  все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
И  важная дляпрактического применения теорем 7 и  8, позволяющая определять выпуклостьдостаточно широкого класса функций
Теорема9 (достаточный признак выпуклой функции).  Если функция /> дважды дифференцируема внекотором интервале  и /> (/>),  то  /> выпукла вниз (вверх) наэтом интервале.
Доказательство[4].Если />, то />, и по формуле Тейлора />. Умножая на piи складывая эти равенства, мы получаем />, а отсюда в силу /> заключаем, что />.
Теперь приведёмопределение выпуклой функции от двух переменных и сформулируеманалогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считатьочевидных изменений в обозначениях.
Определение.Функция /> называется выпуклой вниз(вверх) в выпуклой области D (тоесть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки),  еслилюбая хорда поверхности /> лежитне ниже (не выше)  соответствующей дуги на поверхности, которую эта хордастягивает.
Теорема10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобынепрерывная функция /> была выпуклой вниз вобласти D,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство /> для всех /> и />,/>, />.
Теорема 11 (аналогнеравенства Иенсена). Для выпуклой вниз  в прямоугольной области  />,  />, />  функции  />  справедливо  неравенство
/>,
для всех />,/>, />, />, />. 
Теорема 12(достаточный признак выпуклой функции).  Если  функция /> дважды дифференцируема внекоторой открытой области  и />, />, />   />, />, />, то  /> выпукла вниз (вверх) вэтой области.
Сейчас на основе доказанных теоремперейдём непосредственно к обобщениям  неравенств Коши и Гёльдера и иханалогам.
2. Обобщениенеравенства Коши и его аналог
Известное неравенствоКоши /> или /> говорито том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы  для любых чиселxi>0  и любых весов />,  />,/>. 
Возникает вопрос, будутли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство />≤/>, или />≤/>.
Теорема13 (о сравнении квази-средних).  Для того, чтобы  выполнялось неравенство />≤/>, или />≤/> для всех />, />, />, необходимо и достаточно,чтобы функция /> была выпуклойвниз, если /> возрастает,  или  выпуклойвверх, если /> убывает.
Доказательство[2]. Пусть /> возрастает.Тогда  из неравенства />≤/> следует />. Обозначая /> и />, получаем />≤/>, то есть мы простопереписываем неравенство />≤/> в другой форме.   Новое женеравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция/>, или  /> выпукла вниз.
При убывании /> рассуждаем аналогично.
Замечание.Если />,где />, на некотором промежутке,содержащем все/>, то равенство в доказанномсоотношении достигается только тогда, когда все  /> равны друг другу.
Действительно, пусть />=/>. Тогда />=/>, и поэтому если функция /> не линейна, то есть />, или/>, то равенство достигаетсятолько тогда, когда все  все />, а следовательно, и />, равны друг другу.
Отметим, что данноезамечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.
Теорема 14.  Для того,  чтобы выполнялось неравенство />≤/> для всех /> и />, />, />,   достаточно,чтобы функция /> была выпуклойвниз, если /> возрастает,  или  выпуклойвверх, если /> убывает.
Доказательство.Точно так же, как и впредыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству  /> (или ему обратному приубывании />), которое по теореме8  вновь верно при  условии, что  функция />,или  /> выпукла вниз (вверх()овь верно при тех жеусловиях________________________________________________________________________________________________).
 Замечание.Если />,где />, на отрезке />, то равенство в доказанномсоотношении  достигается только тогда, когда все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
Теорема13 позволяет нам какчастные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3].Приведём эти неравенства.
Пример1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного).Для />,/>, 0rs функция /> выпуклавниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому />, где />, />, />, />, или />.
Пример2 (неравенство Коши). Для /> и /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />, или  />.
Пример 3(неравенство Гюйгенса).Для/> и /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />, или  />.
Пример 4 (неравенство Бернулли). Для /> и  /> функция /> выпукла вниз, и поэтому />, где />, />, />,  или  />.В частности, если положить />, />, />, то получим так называемоеобобщённое неравенство Бернулли /> (/>).
Замечание.Равенство в вышеуказанных примерах   имеет место тогдаи только тогда, когда все /> равныдруг другу (так как в каждом случае/>).  
На основанииже  теоремы 14 мы получаем  аналоги приведённых неравенств.
Пример 1/./>, где />, />, />,  />, />.
Пример 2/./>, где />, />,  />, />.
Пример 3/./>, где />,/>,  />, />.
Пример 4/./>, где />.
Замечание.Равенство в вышеуказанных примерах   имеет место тогдаи только тогда,  когда все  /> равны  a  или  все  /> равны b.
3. Обобщениенеравенства Гёльдера и его аналог
Один из вариантовнеравенства Гёльдера (для  средних значений) выглядит так [2]:  />, где  />, />, />, />, />,  />.
Запишем его в следующейформе /> с квази-средними,заданными функциями />, />, />, или />. Снова, как и дляобобщения неравенства Коши, зададимся  вопросом, будет ли неравенство  Гёльдеравыполнятся для произвольных квази-средних. 
Теорема 15. Для того чтобы выполнялосьнеравенство /> для всех />, />, />,  необходимои достаточно, чтобы />=/> была выпуклой вверхфункцией, если /> возрастает, или  выпуклой вниз функцией, если /> убывает.
Доказательство.Пусть /> возрастает. Тогда нашенеравенство эквивалентно неравенству />.Полагая />=/> и/>, />, переписываем />. А новое неравенствопо теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция /> или  /> выпукла вверх.
При убывании /> рассуждаем аналогично.
Теорема 16.  Для того,  чтобы   для всех  />,  />,/>,  />  и  />, />,  />   выполнялось неравенство />достаточно, чтобыфункция />=/> была выпуклой вверх, если /> возрастает,  или  выпуклойвниз, если /> убывает.
Доказательство точно так же, как и предыдущейтеореме, сводим к теореме 11.
Теоремы 15 и 16  содержат как частные случаиследующие известные неравенства и их аналоги.
Пример 1 (неравенствоГёльдера).Для />,/>, />  функция />=/>=/>  по теореме 12  выпукла вверх, если /> и  />,  и поэтому /> для />.
Пример2 (неравенство Коши-Буняковского). Для />
/>, где />, />, />.
Пример 1/(аналог неравенства Гёльдера).          />, где  />, />, />,  />, />, />,/>, />,  />.
Пример 2/  (аналогнеравенства Коши-Буняковского).  />, где />  />, />, />.
Заключение
 Теперь когда мызавершили изложение нашего вопроса, скажем несколько слов о возможныхнаправлениях развития темы.
 Всё доказанное оквази-средних можно разделить на две части: теоретическую (аксиоматическоезадание, выделение классов новых величин) и практическую (неравенства для квази-среднихкак метод доказательства менее общих неравенств).  
Первую часть считаемзавершённой.  Вторая часть остаётся открытой.  Как мы видели, доказательствоновых  неравенств для выпуклых функций даёт возможность сформулировать новыенеравенства и для квази-средних. Последние в свою очередь можно конкретизироватьдля их частных случаев. Так с помощью аналога неравенства Иенсена мы вывелинеравенство для квази-средних, из которого в качестве следствия получили аналогнеравенства Коши.

Библиографический список
1.  Muliere, P.  On Quasi-Means [Text] / P. Muliere// J. Ineq. Pure and Appl. Math. 3(2), 1991, Article 21.
2.  Харди, Г.Г. Неравенства [Text] /Г.Г. Харди, Дж.  Е. Литтлвуд, Г. Полиа.–М.:Иностранная литература, 1948.
3.  Калинин, С. И. Средние величины степенного типа.Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу [Text] / С. И. Калинин.–Киров:Изд-во ВГГУ, 2002.
4.  Беккенбах Э. Неравенства [Text]/Э. Беккенбах, Р. Беллман.–М.: Издательство “Мир”,1965.
5.  Некоторые вопросы математическогоанализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей [Text].– Киров: Изд-во ВГГУ, 2001.
6.  Mericoski, J. K.  Extending means of twovariables to several variables [Text] / J. K. Mericoski. // J. Ineq. Pure andAppl. Math. 5(3), 2004, Article 65.