Кубатурные формулы для вычисления интеграла
гармонической функции по круговой луночке
С.С. Трахименок, Новосибирский государственный
университет, кафедра дифференциальных уравнений
Вычисление
интегралов – задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и
математиков.
В
настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла
от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением
теоремы о среднем.
Для
того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§
1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая
является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность
изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для
вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить
метод Грама-Шмидта.
1.
Области, функциональное
пространство, полиномиальные последовательности
Ограниченную
область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг
окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и
Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y),
поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна
2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных
координат [2]
(1.1)
круговая
луночка S конформно отображается в бесконечную полосу.
Обозначив
обратное к (1.1) преобразование как =(x,y), =(x,y),
отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка
S однозначно определяется заданием 1 и , т.е. S=S(1,).
Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,))
обозначим как u(,).
В
качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся
подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из
гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами
на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj()
u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию
Гельдера с показателем d0. Совокупность всех таких
элементов u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное
произведение, положив:. Здесь
(x0,y0) – произвольная внутренняя точка из S.
Рассмотрим
функцию комплексного переменного z = x+iy:
.
Функции
u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют следующий
вид:
(1.2)
Используя
формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить
интегральные представления:
(1.3)
Интегралы
в (1.3), очевидно, сходятся при a(-,), b2.
Функции
u0(,) и v0(,) удовлетворяют
условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки из
интервала (0,2). Значит, для такого и вещественного t,
удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют
место разложения:
(1.4)
Здесь
и далее под k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,…. Коэффициенты uk(,),
vk(,) этих разложений при k1 обладают рядом
интересных свойств.
1.
Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:
(1.5)
2.
Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам
[3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):
(1.6)
3.
Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:
(1.7)
Из
(1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y)
– это гармонические полиномы степени k.
4.
Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2
в угловых точках полиномы обращаются в нуль.
5.
Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.
2. Ортогонализация последовательности полиномов
Последовательность
{uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:
(2.1)
g№0.
Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса
Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида , и . Если
воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают
следующие формулы:
,
где
=j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать
полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1).
Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.
3. Канонический базис
Для
дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий
кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как
ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует
бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk}
унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и
трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S),
но и в следующем скалярном произведении:
где
KR(x0,y0) – шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра
до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в
точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в
точке (x0,y0), существует.
Вектор-столбец
бесконечной
высоты с координатами:
, , , где ,
(3.1)
для
l = 0,1,2,… – назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично
его определению в [4].
Ортонормированному
базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу , столбцы
которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица – это
нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4]
известно, чторазложима в
произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично
изометричен в l2, второй – диагонален с положительной возрастающей
последовательностью диагональных элементов {j}, а третий –
изометричен в l2, т.е.
Учитывая
параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5,
теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке
(x0,0) базис удобно
записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют
место равенства:
(3.2)
где
(3.3)
Дифференцирование
ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.
4. Приближенное интегрирование гармонических
функций
В
этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S)
и базисной последовательности полиномов.
Теорема
4.1. Существует единственная последовательность такая, что для
любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное произведение
конечно и при
этом
(4.1)
Последовательность
вычисляется по
формулам:
(4.2)
где
базис в W(S).
Это
утверждение легко доказать, если разбить функцию u(x,y) на две части – четную и
нечетную по y и разложить каждую в ряд по каноническому базису W(S).
Далее, учитывая определение (3.1) координат вектор-столбца , производя
необходимые преобразования с суммами и учитывая (3.2)-(3.3), получим формулы
(4.1).
В
формулировке теоремы 4.1 мы вывели представления для коэффициентов D1j и D2j,
которые используют интегралы по луночке S. Численное вычисление множителя Al
сводится к результатам следующего утверждения. Но сначала условимся об
обозначениях.
(4.2)
Теорема
4.2. Интеграл от полинома uk+1, взятый по луночке S = S(1,2-1),
совпадает с приращением функции Qk() на отрезке [1,2],
а от полинома vk+1, взятый по той же луночке, равен нулю.
Здесь
отметим, что приведенное в §4 приложение системы полиномов является не
единственным. Например, ее можно применять в задачах, использующих
альтернирующий метод Шварца. Также с их помощью можно находить решения в
составных областях на плоскости.
Список литературы
Axler S., Bourdon P., Ramey~W.
Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.
Лебедев
Н.Н. Специальные функции и их приложения.М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963.
360 с.
Диткин
В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.
М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1961. 523 с.
Васкевич
В.Л. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонической
функции // Теоретические и вычислительные проблемы в задачах математической
физики. Труды ИМ СО РАН, том 24. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1994.
С. 93-126.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/