примерный перечень экзаменационных вопросов
Математический анализ
1. Какими десятичными дробями представляются рациональные числа, иррациональные числа? Приведите примеры тех и других чисел.
2. Что называется: переменной величиной, областью значений переменной величины? Какая переменная величина называется последовательностью? Билеты на концерт silversun pickups в Москве подробности на сайте – ponominalu.ru
3. Какие типы интервалов на числовой оси Вы знаете? Чем они отличаются друг от друга?
4. Дайте определения функции одной переменной, ее области определения и области значений.
5. Дайте определение предела переменной величины.
6. Дайте определение предела функции в точке.
7. Что означает, что ?
8. Какая переменная величина называется бесконечно малой?
9. Перечислите основные свойства бесконечно малых и докажите одно из них (по Вашему выбору).
10. Перечислите основные свойства пределов и докажите одно из них (по Вашему выбору).
11. В чем состоит первый замечательный предел? Опишите также его содержание с точки зрения сравнения бесконечно малых.
12. Какой предел называется вторым замечательным? В чем его “замечательность”?
13. В чем состоит связь между понятиями предела и бесконечно малой?
14. Докажите теорему о единственности предела переменной величины.
15. Дайте определение бесконечно большой переменной величины и приведите пример такой величины.
16. Одна из двух бесконечно малых имеет более высокий порядок, чем другая. Объясните, что это означает?
17. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых и докажите одно из свойств таких величин (по Вашему выбору).
18. Опишите задачу о касательной, приводящую к понятию производной.
19. Опишите задачу о скорости, приводящую к понятию производной.
20. Дайте определение производной. В чем состоит геометрический смысл производной?
21. Дайте определение производной и опишите ее механическую интерпретацию.
22. Докажите правило дифференцирования .
23. Докажите правило дифференцирования произведения.
24. Докажите правило дифференцирования сложной функции.
25. Дайте определение непрерывности функции в точке и докажите, что функция, дифференцируемая в , непрерывна в .
26. Дайте определение полного дифференциала функции в точке ; объясните его геометрический смысл и возможность использования в приближенных вычислениях.
27. Сформулируйте и докажите теорему об инвариантности формы дифференциала.
28. Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл.
29. Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометрический смысл.
30. Докажите правило Лопиталя.
31. Дайте определение функции двух переменных, ее области определения и области значений.
32. Дайте определение частной производной для функции двух переменных и объясните ее геометрический смысл.
33. Какие функции двух переменных называются дифференцируемыми?
34. Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
35. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и сформулируйте необходимый признак экстремума. В чем геометрический смысл этого условия?
36. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и сформулируйте достаточный признак экстремума.
37. Дайте определение производной по направлению функции (скалярного поля) двух переменных и выведите формулу для нее.
38. Что называется градиентом скалярного поля (в случае двух переменных)? Перечислите основные свойства градиента.
39. Что называется векторным уравнением пространственной кривой? Каков геометрический смысл производной векторной функции?
40. Дайте определение средней кривизны и кривизны в точке для плоской кривой.
41. Найдите .
42. Найдите .
43. Найдите .
44. Найдите .
45. Найдите .
46. Найдите область определения .
47. Найдите производную .
48. Найдите производную функции y = (3x)3x.
49. Дайте определение экстремума функции y = f(x), сформулируйте необходимый и достаточный признаки экстремума. В чем состоит геометрический смысл необходимого признака экстремума (Ферма). Найдите экстремумы функции .
50. Исследуйте возрастание и убывание функции y = 2×3 + 18×2 – 42x + 7. Какая функция называется убывающей, в чем состоит признак убывания? Какая функция называется возрастающей, в чем состоит признак возрастания?
51. Найти наибольшую площадь прямоугольного участка, периметр которого равен 200 м.
52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 + 3×2 – 24x + 7 на интервале [0, 3].
53. Найти точки перегиба функции y = x4 + 6×2 – 8. Какая кривая называется выпуклой? Какая кривая называется вогнутой? Найдите интервалы выпуклости и вогнутости данной функции.
54. Дайте определение асимптоты. Когда у графика могут появляться вертикальные асимптоты? Найдите асимптоты у графика функции .
55. Вычислите функции . Не производя дальнейших вычислений, укажите чему равна и объясните почему.
56. Укажите область определения функции . Какие точки называются внутренними, а какие граничными для области?
57. Укажите область определения и семейство линий уровня функции . Что служит геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных?
58. Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности 4×2 + 3y2 + 5z2 = 1 в точке Р0.
59. Найдите и , если z = (x2 + 2x)y, а x = u + v, y = 3u – 2v.
60. Исследуйте на экстремум функцию .
61. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 + y2 + 3y – 4xy в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 2, y = 1.
62. Найдите производную по направлению в точке Р0(-1, 1, 2) скалярного поля u = x2 + 2y2 + 3xy + z2.
63. Найдите наибольшую скорость изменения скалярного поля u = x4 – (y + 1)2 +(3z)2 в точке Р0(1, 1, 1).
64. Дайте определение неопределенного интеграла, сформулируйте его основные свойства.
65. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. Сформулируйте условия, при которых она верна, и докажите ее справедливость.
66. Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
67. Какая рациональная дробь называется правильной? Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
68. Найдите интеграл от простейшей дроби 1-го типа: .
69. Найдите интеграл от простейшей дроби 2-го типа при : , где .
70. Какие подстановки называются рационализирующими интеграл ? Покажите, что универсальная подстановка является рационализирующей для интеграла от выражений, рационально зависящих от и .
71. Укажите, какие подстановки в частных случаях приводят интеграл к интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании универсальной подстановки.
72. В чем состоит метод “понижения степени” для интегралов , где – целые неотрицательные числа.
73. Укажите рационализирующую подстановку для интегралов вида , где – рациональная функция своих аргументов.
74. Дайте определение определенного интеграла как предела интегральных сумм Римана и укажите условия его существования.
75. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной функции?
76. Сформулируйте и докажите свойство линейности определенного интеграла.
77. Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла по области интегрирования.
78. Сформулируйте и докажите свойство монотонности определенного интеграла.
79. Получите оценку модуля определенного интеграла.
80. Сформулируйте и докажите теорему о среднем для определенного интеграла.
81. Что понимают под интегралом с переменным верхним пределом? Докажите теорему о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.
82. В чем состоит связь определенного интеграла с неопределенным? Докажите формулу Ньютона-Лейбница.
83. Сформулируйте и докажите теорему о замене переменной в определенном интеграле.
84. Выведите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
85. Дайте понятия несобственных интегралов от непрерывной функции на бесконечном промежутке, их сходимости и расходимости.
86. Дайте понятия несобственных интегралов от неограниченной функции на конечном промежутке, их сходимости и расходимости.
87. Напишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и правильных областей относительно оси и оси .
88. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора в полярных координатах.
89. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения.
90. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых координатах.
91. Выведите формулу для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями.
92. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах.
93. Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси и сформулируйте условия, при которых она верна.
94. Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический смысл для неотрицательной функции.
95. Докажите свойство линейности двойного интеграла.
96. Докажите свойство монотонности двойного интеграла.
97. Получите оценку модуля двойного интеграла.
98. Сформулируйте и докажите теорему о среднем для двойного интеграла.
99. Дайте определение тройного интеграла и получите формулу для вычисления массы неоднородного тела.
100. Сформулируйте теоремы о сведении двойных и тройных интегралов к повторным.
101. Выведите формулу для вычисления площади поверхности.
102. Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции.
103. Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.
104. Запишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она справедлива.
105. Дайте определение поверхностного интеграла от вектор-функции и сформулируйте условия его существования.
106. Сформулируйте теорему о вычислении поверхностного интеграла сведением к двойному интегралу.
107. Сформулируйте свойства поверхностных интегралов.
108. Дайте определения дифференциальных операций над скалярными и векторными полями, циркуляции и потока векторного поля.
109. Напишите формулу Остроградского-Гаусса, укажите ее физический смысл и условия ее применимости.
110. Дайте определение соленоидального векторного поля и сформулируйте критерий соленоидальности.
111. Напишите формулу Стокса, укажите ее физический смысл и условия ее применения.
112. Дайте определение потенциального векторного поля и его потенциала. Сформулируйте условия потенциальности векторного поля.
113. Назовите механические приложения кратных интегралов, напишите формулы для вычисления массы и центра тяжести тела.
114. Заменив переменную, найти .
115. Заменив переменную, найти .
116. Заменив переменную, найти .
117. Интегрируя по частям, найти .
118. Интегрируя по частям, найти .
119. Разложив дробь на простейшие, найти .
120. Разложив дробь на простейшие, найти .
121. Найти .
122. Найти .
123. Найти .
124. Используя рационализирующую подстановку, найти .
125. Используя рационализирующую подстановку, найти .
126. Используя рационализирующую подстановку, найти .
127. Сходится ли несобственный интеграл ?
128. Вычислить площадь области, ограниченной параболой y = x2 – 1 и прямой y = -x + 1.
129. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной x = y2 и x = 3 – 2y2.
130. Вычислить двойной интеграл , где D ― область, ограниченная прямыми y = x, y = -x и x = 2.
131. Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком дифференциального уравнения?
132. Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка.
133. Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
134. Что называется задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
135. Что называется интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
136. В чем заключается свойство существования решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, в некоторой области D?
137. В чем заключается свойство единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
138. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
139. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, в области D, где имеют место свойства существования и единственности решения задачи Коши для этого уравнения?
140. Что называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными?
141. Что называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?
142. Что называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка?
143. Что называется дифференциальным уравнением Бернулли?
144. Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
145. Записать общий вид дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
146. Что называется задачей Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной?
147. Что называется решением дифференциального уравнения n-го порядка?
148. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
149. Что называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка?
150. Что называется однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка?
151. Что такое линейно независимая система j1(t), j2(t) на (a, b)?
152. Что такое линейно зависимая система j1(t), j2(t) на (a, b)?
153. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
154. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
155. Что называется определителем Вронского для системы решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка?
156. Записать дифференциальное уравнение для определителя Вронского системы решений однородного линейного дифференциального уравнения.
157. Записать вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в методе Лагранжа вариации постоянных.
158. Записать систему уравнений для коэффициентов частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в методе Лагранжа вариации постоянных.
159. Записать характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
160. Записать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
161. Что называется квазимногочленом?
162. Какой вид имеет интеграл Дюамеля и для чего его используют?
163. Найти общее решение дифференциального уравнения .
164. Найти общее решение дифференциального уравнения .
165. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными .
166. Решить однородное дифференциальное уравнение .
167. Решить дифференциальное уравнение Бернулли .
168. Найти общее решение дифференциального уравнения .
169. Найти общее решение дифференциального уравнения .
170. Найти общее решение дифференциального уравнения .
171. Найти общее решение дифференциального уравнения .
172. Найти общее решение дифференциального уравнения .
173. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 1.
174. Что называется числовым рядом? Приведите пример.
175. Что называется частичной (частной) суммой ряда? Приведите пример.
176. Дайте определение сходящегося ряда.
177. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример.
178. Докажите необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример.
179. Сформулируйте признак сходимости геометрического ряда. Приведите пример.
180. Докажите признак сходимости геометрического ряда.
181. Дайте определение гармонического ряда. Приведите пример.
182. Докажите расходимость гармонического ряда.
183. Сформулируйте признак сравнения числовых знакоположительных рядов. Приведите пример.
184. Сформулируйте предельный признак сравнения для знакоположительных рядов.
185. Сформулируйте признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда.
186. Сформулируйте радикальный признак Коши сходимости знакоположительного ряда.
187. Сформулируйте интегральный признак Коши-Маклорена сходимости знакоположительных рядов.
188. Дайте определение знакочередующегося ряда. Приведите примеры.
189. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
190. Сформулировать утверждение об оценке остатка знакочередующегося ряда.
191. Приведите пример сходящегося знакочередующегося ряда и найдите оценку остатка ряда.
192. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Приведите пример.
193. Сформулируйте признак абсолютной сходимости ряда. Приведите пример.
194. Дайте определение условно сходящегося ряда. Приведите пример.
195. Докажите предельный признак сравнения для знакоположительных рядов.
196. Докажите признак сравнения знакоположительных рядов.
197. Сформулируйте определение функционального ряда. Приведите пример.
198. Сформулируйте определение области сходимости функционального ряда. Приведите пример.
199. Докажите признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.
200. Докажите радикальный признак Коши.
201. Исследуйте сходимость обобщенного гармонического ряда.
202. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
203. Докажите оценку остатка знакочередующегося ряда.
204. Сформулируйте определение степенного ряда. Приведите пример.
205. Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда.
206. Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
207. Докажите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
208. Приведите формула Тейлора с дополнительным членом в формуле Лагранжа.
209. Дайте определение рядов Тейлора и Маклорена. Приведите пример.
210. Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.
211. Разложите функцию y=sin x в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.
212. Разложите функцию y=cos x в ряд Маклорена.
213. Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена.
214. Разложите функцию y=(1+х)m (mÎR; m¹0) в ряд Маклорена.
215. Разложите функцию y=arctg x в ряд Маклорена.
216. Разложите функцию y=ln(1+x) в ряд Маклорена.
217. Дайте определение ортогональной системы. Приведите пример.
218. Дайте определение ряда Фурье по ортогональной системе. Приведите пример.
219. Дайте определение ряда Фурье для функции с периодом 2l.
220. Сформулируйте признак Дирихле для сходимости ряда Фурье.
221. Сформулируйте неравенство Бесселя по тригонометрической системе.
222. Докажите экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по ортогональной системе.
223. Докажите неравенство Бесселя для ортогональной системы.
224. Сформулируйте равенство Парсеваля-Стеклова для тригонометрической системы.
225. Сформулируйте комплексную форму ряда Фурье функции с периодом 2l.
226. Исследовать сходимость ряда
227. Исследовать сходимость ряда
228. Исследовать сходимость ряда
229. Исследовать сходимость ряда .
230. Исследовать сходимость ряда .
231. Исследовать сходимость ряда .
232. Исследовать сходимость ряда .
233. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .
234. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .
235. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .
236. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .
237. Найти область сходимости степенного ряда.
238. Найти область сходимости степенного ряда.