Содержание
Введение
Глава1. Общие понятия проверки статистических гипотез
1.1Сущность и виды проверки статистических гипотез
1.2Выбор критериев для проверки статистических гипотез
1.3Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез
Глава2. Проверка различных типов статистических гипотез
2.1Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности сиспользованием критерия Пирсона
2.2Проверка гипотезы с неизвестной дисперсией генеральной совокупности согласнокритерию Стьюдента
2.3.Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности сиспользованием функции Лапласа
2.4Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности сиспользованием критерия Фишера-Снедекора
Заключение
Списоклитературы
Приложение1
Приложение2
Приложение3
Приложение4
Введение
Актуальность.Последниегоды отмечены стремительным расширением области применениятеоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различныхнауках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии,управлении и т. д. Один из основных разделов статистики — теория проверкистатистических гипотез. Понятие практической статистики, процедураобоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы иливеличины неизвестных статистических параметров анализируемого явления симеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).
Статистическаяпроверка гипотез проводится с помощью некоторого статистического критерия пообщей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции отрезультатов наблюдения (критической статистики), на основании которойпринимается окончательное решение. Например, могут рассматриваться гипотезы обобщем законе распределения исследуемой случайной величины, об однородности двухили нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметровисследуемой генеральной совокупности и др. Результат проверки может быть либоотрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе), либонеотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором – ее нельзясчитать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выборочным данным,однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы. Длястатистической проверки гипотез используются разные критерии. В частности,когда проверяется согласие между выборочным и гипотетическим распределениями,используется критерий согласия, например, критерий Пирсона «хи-квадрат»,критерий Колмогорова-Смирнова и др.
Статистическиекритерии приводятся вместе с указанием как тех областей, где их применениевполне оправдано, так и тех областей, где применение требует осторожности.Большое внимание уделено построению критериев, в том или ином смысле наилучших.
Цельработы: ознакомиться с процессом проверки статистическихгипотез.
Поставленнаяцель определила задачи работы:
1.Определить сущность, понятие проверки статистических гипотез.
2.Рассмотреть этапы проверки статистических гипотез.
3.Рассмотреть критерии проверки статистических гипотез.
4.Ознакомиться с различными проверками статистических гипотез.
Структураработы: данная работа состоит из введения, двух глав,заключения, списка литературы и приложения. Во введении изложен ход предстоящейработы. 1 глава содержит теоретическое описание общих понятий проверкистатистических гипотез. Во 2 главе приведены расчеты проверок различных типовстатистических гипотез. В заключении подведены итоги работы, сделаны выводы.Список литературы включает литературные источники, используемые в ходе работы.В приложении представлен материал, необходимый для проверки статистическихгипотез.
Глава1. Общие понятия проверки статистических гипотез
1.1Сущность и виды проверки статистических гипотез
Впроцессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать ипроверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметровили закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей).
Например,исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка извлечена из нормальнойгенеральной совокупности» или «генеральные средние двух анализируемых совокупностейравны». Такие предположения называются статистическими гипотезами.
Сопоставлениевысказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочнымиданными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверностиполучаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистическогокритерия, называется проверкой статистических гипотез.
Подстатистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительнохарактера или параметров распределения случайной переменной, которые можнопроверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.
Инымисловами, статистической гипотезой называется предположение о свойствегенеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки.Обозначается гипотеза буквой Н. Так, может быть выдвинута гипотеза отом, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине.
Смыслпроверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимсястатистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу сминимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определеннымправилам.
Следуетиметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер.С помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятияложного решения по тем или иным результатам статистического изучения данногоявления. Если вероятность ошибки невелика, то статистические показатели исчисленныепри изучении явления, могут быть использованы для практических целей при маломриске ошибки.
Гипотезыв свою очередь классифицируются на:
— простые и сложные;
— параметрические и непараметрические;
— основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).
Есливыдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторогонеизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданнойвеличине, то эта гипотеза называется простой.
Например:«Среднедушевой совокупный доход населения России составляет 10000 рублей вмесяц»; «Уровень безработицы (доля безработных в численности экономическиактивного населения) в России равен 9%».
Сложнойназывают гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множествапростых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значенийпараметра.
Гипотезыо параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, ораспределениях — непараметрическими.
Выдвинутаягипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0.При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равнонулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Нулеваягипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который приистинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен.
Поотношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулироватьальтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную(конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1.
Вкачестве нулевой гипотезы Н0принято выдвигать простую гипотезу, таккак обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.
Посвоему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколькоосновных типов:
— гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;
— гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;
— гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторыххарактеристик анализируемых совокупностей;
— гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость междупризнаками; и др.
Таккак проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочныхданных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевойгипотезы Н0имеют вероятностный характер. Другими словами, такоерешение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой,вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.
Так,в какой-то небольшой доле случаев а нулевая гипотеза Н0можетоказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральнойсовокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-города, а ее вероятность – уровнем значимости и обозначают.
Наоборот,в какой-то небольшой доле случаев (нулевая гипотеза Н0принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна,а справедлива альтернативная гипотеза Нх. Такую ошибкуназывают ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как Вероятность1 — называют мощностью критерия.
Прификсированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величинувероятности только одной из ошибок. Увеличение вероятности одной из нихприводит к снижению другой.
Принятозадавать вероятность ошибки 1-го рода уровень значимости. Какправило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости: 0,1;0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев,характеризующихся одной и той же вероятностью а (отклонить правильную в действительностигипотезу Н0), следует принять тот, которому соответствуетменьшая ошибка 2-го рода, т.е. большая мощность. Снижения вероятностей обеихошибок и можно добиться путем увеличения объема выборки.
Правильноерешение относительно нулевой гипотезы Н0также может бытьдвух видов:
— будет принята нулевая гипотеза Н0, когда в генеральнойсовокупности верна нулевая гипотеза Н0; вероятность такогорешения 1;
— нулевая гипотеза Н0будет отклонена в пользу альтернативной Н1,когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н0 отклоняетсяв пользу альтернативной Н1; вероятность такого решения 1 мощностькритерия.
Результатырешения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью таблицы1.
статистический гипотеза проверка лаплас
Таблица1
Нулевая гипотеза Н0 Результаты решения относительнонулевой гипотезы Н0 Отклонена Принята Верна
Ошибка 1-го рода,
ее вероятность
Р(Н1/ Н0) =
Правильное
решение, его
вероятность
Р(Н0/ Н0) = 1 — Неверна
Правильное
решение, его
вероятность
Р(Н1/ Н1) = 1-
Ошибка 2-го рода, ее
вероятность
Р((Н0/ Н0)=
Вотношении свойств генеральной совокупности могут выдвигаться некоторые гипотезыо величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте связи междупеременными.
Проверкагипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данныхс гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемымивеличинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этомне делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь осогласованности сравниваемых данных.
Основойпроверки статистических гипотез являются данные случайных выборок, При этомбезразлично, оцениваются ли гипотезы в отношении реальной или гипотетическойгенеральной совокупности. Последнее открывает путь применения этого метода запределами собственно выборки: при анализе результатов эксперимента, данныхсплошного наблюдения, но малой численности. В этом случае рекомендуетсяпроверить, не вызвана ли установленная закономерность стечением случайных обстоятельств,насколько она характерна для того комплекса условий, в которых находитсяизучаемая совокупность.
Особенночасто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценки существенностирасхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительныхвеличин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике.Трудоемкость статистико-социологических исследований приводит к тому, что почтивсе они строятся на несплошном учете. Поэтому проблема доказательности выводовв социальной статистике стоит особенно остро. Применяя процедуру проверкистатистических гипотез, следует помнить, что она может гарантировать результатыс определенной вероятностью лишь по «беспристрастным» выборкам, на основеобъективных данных.
1.2.Выбор критериев для проверки статистических гипотез
Проверкастатистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия(назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатовнаблюдения.
Статистическийкритерий – это правило (формула), по которому определяется мера расхождениярезультатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0.
Какуже отмечалось выше, следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотезимеет вероятностный характер, так как принимаемые вывод основываются на изучениисвойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегдасуществует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверкигипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятностьпоследнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечиваетмалый риск ошибки.
Припроведении проверки статистических гипотез в первую очередь приходится решатьзадачи статистической проверки гипотез о:
1)принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупностигенеральной совокупности;
2)виде распределения изучаемых признаков;
3)величине средней арифметической и доли;
4)наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками;
5)о форме корреляционной связи.
Припроверке гипотез имеется возможность совершить ошибку двоякого рода:
а)ошибка первого рода — проверяемая гипотеза (нулевая гипотеза Н0)является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу отнее;
б)ошибка второго рода — проверяемая гипотеза в действительности являетсяошибочной, но результаты проверки приводят к принятию.
Встатистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверкипрактически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и примененияявляются общими. Для построения статистического критерия, позволяющегопроверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:
1)сформулировать проверяемую гипотезу Н0. Наряду с проверяемойгипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза;
2)выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибкипервого рода;
3)определить область допустимых значений и так называемую критическую область;
4)принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критическогозначений критерия.
Проверкастатистических гипотез складывается из следующих этапов:
— формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;
— выбирается статистическая характеристика гипотезы;
— выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможныхошибочных решений и их последствий;
— определяются область допустимых значений, критическая область, а такжекритическое значение статистического критерия (t,F) по соответствующей таблице;
— вычисляется фактическое значение статистического критерия;
— проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критическогозначений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либоотклоняется, либо не отклоняется.
Уровнемзначимости будет называться такое малое значение вероятности попадания критерияв критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этогособытия может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутойгипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05или 0,01. Исходя из величины уровня значимости, можно определить критическуюобласть, под которой понимается такая область значений выборочной характеристики,попадая в которую они будут свидетельствовать о том, что проверяемая гипотезадолжна быть отвергнута. К критической области относятся те значения, появлениекоторых при условии верности гипотезы было бы маловероятным.
Допустим,что рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическуюобласть, тогда при условии верности проверяемой гипотезы Н0 вероятностьэтого события будет не больше уровня значимости. Поскольку выбирается достаточномалым, то такое событие является маловероятным и, следовательно, проверяемаягипотеза Н0может быть отвергнута.
Еслиже наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области и, следовательно,находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза Н0не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значенийпри справедливости проверяемой гипотезы Н0 равна 1.
Чемменьше уровень значимости, тем меньше вероятность браковать проверяемуюгипотезу, когда она верна, т.е. меньше вероятность совершить ошибку первогорода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит,увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода.
Всезначения рассматриваемой характеристики, не принадлежащие к критической областиобразуют так называемую область допустимых значений. Если наблюдаемое значениехарактеристики находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотезапринимается с вероятностью.
Выборкритерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основанииразличных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношенияправдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всехвозможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К сизвестной функцией плотности f(k)приусловии справедливости гипотезы Н0, чтобы при заданномусловии значимости можно было бы найти критическую точку Ккрраспределения f(k),котораяраспределила бы область допустимых значений, в которой результаты выборочногонаблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которойрезультаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношениинулевой гипотезы Н0.
Еслитакой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, тозадача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданномуровне значимости рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значениекритерия Кнабл и определить, является ли оно наиболее илинаименее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н0.
Проверкакаждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующегокритерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае.
Какуже отмечалось ранее, проверка статистических гипотез применяется в разныхобластях для изучения массовых явлений. Изучение массовых явлений, как правило,осуществляется по неполной информации. В составе собранных данных могутвстречаться единичные наблюдения, у которых отдельные значения изучаемыхпризнаков заметно отличаются от общей тенденции изменения большинства значений.Причины таких отличий могут быть разными:
1)из-за ошибок наблюдения;
2)вследствие случайного стечения различных обстоятельств, каждый из которых вотдельности несущественный, но совокупное их влияние привело к таким резковыделяющимся от общей картины значениям признаков;
3)как следствие нарушения однородности изучаемой совокупности.
Вобщем случае все значения изучаемых признаков фиксируются по известным единицамсовокупности по их части, отобранной с учетом всех требований. Следовательно,первичные статистические данные, включая и резко «выделяющемся», соответствуютконкретным случаям проявления изучаемого явления.Следовательно,субъективное отбрасывание «выделяющихся» единиц недопустимо.
Рассмотримиспользование критериев для проверки статистических гипотез на примере законанормального распределения. Закон нормального распределения лежит в основемногих теорем и методов статистики
— при оценке репрезентативности выборки (расчете ошибки выборки и распространениихарактеристик выборки на генеральную совокупность);
— измерении степени тесноты связи и составлении модели регрессии;
— построении и использование статистических критериев и др.
Какпоказывают многочисленные статистические исследования, частоты (частости)эмпирических распределений за редким исключением будут отличаться от значенийтеоретического распределения. Расхождения между частотами (частостями)эмпирического и теоретического распределения могут быть несущественными иобъяснены случайностями выборки и существенными при несоответствии выбранного иэмпирического законов распределения.
Дляпроверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическомузакону нормального распределения используются особые статистическиепоказатели-критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятсякритерии К.Пирсона, А.Н. Колмогорова,Романовского, Ястремского и др.
Большинствокритериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частотот теоретических. Очевидно, что чем больше эти отклонения, тем хужетеоретическое распределение соответствует эмпирическому. Статистическиехарактеристики таких критериев согласия являются некоторыми функциями этихотклонений.
1.3.Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез
Проверкакаждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующегокритерия, являющегося наиболее мощным для в каждом конкретном случае. Например,проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может бытьосуществлена с помощью критерия согласия Пирсона 2; проверкагипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральныхсовокупностей — с помощью критерия Фишера F;ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностейпроверяется с помощью критерия Z — нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдентаи т. д.
Значениекритерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных,называется наблюдаемым значением критерия (Кнабл.).
Значениякритерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимыхзначений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0)и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношениинулевой гипотезы Н0), определяемые на заданном уровнезначимости а по таблицам распределения случайной величины К, выбранной вкачестве критерия, называются критическими точками (Ккр).
Областьюдопустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н0)называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0не отклоняется.
Критическойобластью называют совокупность значений критерия К, при которых нулеваягипотеза Н0отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Различаютодностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Есликонкурирующая гипотеза — правосторонняя, например, Н1: а >а0, то и критическая область правосторонняя (рисунок 1). Приправосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (К кр.п)принимает положительные значения.
/>
Рисунок1
Есликонкурирующая гипотеза — левосторонняя, например, Н1: а
/>
Рисунок2.
Есликонкурирующая гипотеза — двусторонняя, например, Н1: а=а0,то и критическая область — двусторонняя (рисунок 3). При двустороннейконкурирующей гипотезе определяются 2 критические точки (Ккр.л и Ккр.п).
/>
Рисунок3
Основнойпринцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:
— если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит критическойобласти, то нулевая гипотеза Н0отклоняется в пользуконкурирующей;
— если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит областидопустимых значений, то нулевую гипотезу Н0нельзя отклонить.
Можнопринять решение относительно нулевой гипотезы Н0путемсравнения наблюдаемого (Кнабл) и критического значений критерия (Ккр).
Приправосторонней конкурирующей гипотезе:
— если Кнабл Ккр, то нулевую гипотезу Н0нельзя отклонить;
— если Кнабл > Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняетсяв пользу конкурирующей Н1.
Прилевосторонней конкурирующей гипотезе:
— если Кнабл > — Ккр, то нулевую гипотезу Н0нельзя отклонить;
— если Кнабл Н0отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Придвусторонней конкурирующей гипотезе:
— если — Ккр Кнабл Ккр, тонулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;
— если Кнабл > Ккр или Кнабл Н0отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Алгоритмпроверки статистических гипотез сводится к следующему:
1)сформулировать нулевую Н0и альтернативную Н1гипотезы;
2)выбрать уровень значимости ;
3)в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н0 выбратьстатистический критерий для ее проверки, т.е. — специально подобранную случайнуювеличину К точное или приближенное распределение которой заранееизвестно;
4)по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качествестатистического критерия, найти критическое значение К (критическую точку илиточки);
5)на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемоезначение критерия Кнабл;
6)по виду конкурирующей гипотезы Н1 определить тип критическойобласти;
7)определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадаетнаблюдаемое значение критерия Кнабл, и в зависимости от этого -принятьрешение относительно нулевой гипотезы Н0.
Следуетзаметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н0нельзяотклонить, это не означает, что высказанное предположение о генеральнойсовокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречатимеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанноймогут обладать и другие гипотезы.
Можноинтерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:
— если в результате проверки нулевую гипотезу Н0нельзяотклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют сдостаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н0,вероятность нулевой гипотезы Н0больше, а конкурирующей Н1– меньше 1 — ;
— если в результате проверки нулевая гипотеза Н0 отклоняется впользу конкурирующей Н1, то имеющиеся выборочные данные непозволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Н0,вероятность нулевой гипотезы Н0меньше, а конкурирующей Н1– больше 1 -.
Глава2. Проверка различных типов статистических гипотез
2.1Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованиемкритерия Пирсона
Использованиеэтого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения междутеоретическим F(x) и эмпирическим распределением Fn(x),которая приближенно подчиняется закону распределения. Гипотеза Н0о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этойстатистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.(Приложение 1).
Пример1. В 7 случаях из 10 фирма-конкурент компании «А» действовала на рынке так, какбудто ей заранее были известны решения, принимаемые фирмой «А». На уровне значимости0,05 определите, случайно ли это, или в фирме «А» работает осведомительфирмы-конкурента?
Решение.Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо проверитьстатистическую гипотезу о том, совпадает ли данное эмпирическое распределениечисла действий фирмы-конкурента с равномерным теоретическим распределением?
Еслиходы, предпринимаемые конкурентом, выбираются случайно, т. е. в фирме «А» – нетосведомителя (инсайдера), то число «правильных» и «неправильных» ее действийдолжно распределиться поровну, т. е. по 5 (10/2), а это и есть отличительнаяособенность равномерного распределения.
Этотвид статистических гипотез относится к гипотезам о виде закона распределениягенеральной совокупности.
Сформулируемнулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:X ~ R(а;b) – случайная величина Xподчиняется равномерному распределению с параметрами (а; b)(в контексте задачи – «В фирме «А» –нет осведомителя (инсайдера)»;«Распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента – случайно»);
Н1:случайная величина X не подчиняется равномерному распределению (вконтексте задачи – «В» фирме «А» – есть осведомитель (инсайдер)»; «Распределениечисла удачных ходов фирмы-конкурента – неслучайно»).
Вкачестве критерия для проверки статистических гипотез о неизвестном законе распределениягенеральной совокупности используется случайная величина %2. Этот критерийназывают критерием Пирсона.
Егонаблюдаемое значение (2набл)рассчитывается по формуле
/>
гдеm(эмп) i–эмпирическая частота i-йгруппы выборки; m(теор)i–теоретическая частота i-йгруппы выборки.
Составимтаблицу распределения эмпирических и теоретических частот (таблица 2).
Таблица2
m(эмп) i 7 3
m(теор) i 5 5
Найдемнаблюдаемое значение 2набл
/>
Критическоезначение (2кр) следует определять с помощью таблицраспределения 2 по уровню значимости и числу степеней свободы k.
Поусловию = 0,05, а число степеней свободы рассчитывается по формуле
k=n – l– 1
гдеk — число степеней свободы; n–число групп выборки; l–число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по даннымвыборки (если все параметры предполагаемого закона известны точно, то l=0).
Поусловию задачи, число групп выборки (n)равно 2, так как могут быть только 2 варианта действий фирмы-конкурента:«удачные» и «неудачные», а число неизвестных параметров равномерногораспределения (l) равно 0.
Отсюдаk=2- 0-1 = 1.
Найдем2кр по уровню значимости а = 0,05 и числу степенейсвободы k=1:
2кр(a=0,05;k=1)=3,8
2набл
Этоозначает, что для утверждения о том, что действия фирмы-конкурента на рынкенеслучайны, нет оснований и на уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что вфирме «А» нет платного осведомителя фирмы-конкурента.
Ответ.На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что в фирме «А» нет платногоосведомителя фирмы-конкурента.
Пример2. На уровне значимости = 0,025 проверить гипотезу о нормальном распределениигенеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты(табл. 3):
Таблица3
m(эмп) i 5 10 20 25 14 3
m(теор) i 6 14 28 18 8 3
Решение.Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:X ~ N(2)- случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения спараметрами и 2.
Н1:случайная величина X не подчиняется нормальному закону распределения спараметрами и 2.
Вкачестве критерия для проверки нулевой гипотезы используем критерий Пирсона 2.
Найдемнаблюдаемое значение (2набл ):
/>
Найдемкритическое значение критерия (2кр) по таблицераспределения 2кр по уровню значимости и числу степенейсвободы k.
Поусловию = 0,025; число степеней свободы найдем по формуле
k=n – l– 1
гдеk–число степеней свободы; n — число групп выборки; l–числонеизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки.
Поусловию задачи число групп выборки (n)равно 6, а число неизвестных параметров нормального распределения (l)равно 2.
Отсюдаk = 6- 2-1 = 3.
Найдем2кр по уровню значимости = 0,025 и числу степеней свободыk = 3:
2кр(=0,025; k=3) = 9,4
2набл > 2кр, следовательно, на данном уровнезначимости нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей, расхожденияэмпирических и теоретических частот – значимые. Данные наблюдений несогласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Ответ.На уровне значимости = 0,025 данные наблюдений не согласуются с гипотезой онормальном распределении генеральной совокупности.
2.2Проверка гипотезы с неизвестной дисперсией генеральной совокупности согласнокритерию Стьюдента
Цельиспользования критерия Стьюдента — выявление достоверности различия между даннымидвух выборок одной и той же генеральной совокупности
МетодСтьюдента применяется для сравнения двух выборок, взятых из одной и той жегенеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той жевыборочной совокупности.
Приэтом могут представиться следующие случаи:
1.По объему:
а)обе группы большие (n>30);
б)обе группы малые />;
в)одна — большая, вторая — малая.
2.По составу:
а)группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i- варианта первой группысравнивается с i- вариантой второй группы />;
б)группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутригруппы).
Пример.Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определеннойтехнологической операции на конвейере по производству часов. От работающих наэтой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на неебольше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрическиеизмерения времени выполнения этой технологической операции у 16 работниц,занятых на ней, и получено среднее время выполнения операции X = 42 с.Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости = 0,01отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операциисоответствует норме, если:
а)исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s– 3,5 с;
б)выборочное среднее квадратическое отклонение 3,5 с?
Решение,а) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, чтонеизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равнаопределенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна(выборка мала, так как n= 16 меньше 30).
Сформулируемнулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:а = а0= 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормальнораспределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) равно гипотетическипредполагаемому числовому значению а0(применительно к условиюданной задачи — время выполнения технологической операции соответствует норме).
Н1:а > 40 – неизвестное математическое ожидание а (нормально распределеннойгенеральной совокупности с неизвестной дисперсией) больше числового значения а0(применительно к условию данной задачи – время выполнения технологическойоперации больше установленной нормы).
Таккак конкурирующая гипотеза – правосторонняя, то и критическая область –правосторонняя.
Вкачестве критерия для сравнения неизвестного математического ожидания а(нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) сгипотетическим числовым значением а0 используется случайная величинаt-критерий Стьюдента.(Приложение 2).
Егонаблюдаемое значение (tнабл)рассчитывается по формуле
/>
гдеX – выборочная средняя; а0– числовое значение генеральнойсредней; s–исправленное среднее квадратическое отклонение; n– объем выборки.
Найдемнаблюдаемое значение tнабл
/>
Критическоезначение (tкр)следует находить с помощью таблиц распределения Стьюдента (приложение 2) поуровню значимости и числу степеней свободы k.
Поусловию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k = n- 1,
гдеk — число степеней свободы; n-объем выборки.
k = 16 — 1 = 15.
Найдемtкрпо уровню значимости = 0,01 (для односторонней критической области) и числустепеней свободы k = 15:
tкр(k=15)=2,6
Заметим,что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1:а tкрследует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровнюзначимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k= n – 1 и присваивать ему знак«минус».
Придвусторонней конкурирующей гипотезе Н1:а≠40tследуетнаходить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровнюзначимости а (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k= n – 1.
t наблtкр следовательно,на данном уровне значимости нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
Ответ.По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзяотклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операциисоответствует норме. Следовательно, жалобы работниц — необоснованны.
Наблюдаемоезначение критерия попадает в область допустимых значений (рисунок 4),следовательно, нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
/>
Рисунок4
б)Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестнаягенеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу,когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
Алгоритмрешения задачи будет тот же, что и в первом случае. Однако наблюдаемое значениеt наблрассчитываетсяпо формуле
/>
гдеX — выборочная средняя; а0 — числовое значение генеральной средней; выб — выборочное среднее квадратическое отклонение; n-объем выборки.
Найдемнаблюдаемое значение (tнабл)
/>
Критическоезначение (tкр)следует находить находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) по уровнюзначимости а и числу степеней свободы k.
t наблtкр,следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу,жалобы работниц — необоснованны.
Ответ.По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзяотклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операциисоответствует норме, жалобы работниц — необоснованны.
2.3Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности сиспользованием функции Лапласа
Пример.Экономический анализ труда предприятий отрасли позволил выдвинуто гипотезу оналичии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительноститруда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующиерезультаты: средняя производительность труда X – 119 деталей. По даннымвыборочного обследования, на 35 предприятиях 2-й группы средняяпроизводительность труда Y– 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(Х)= 126,91 (дет.2); D(Y)= 136,1 (дет.2).
Считая,что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X иY, на уровне значимости 0,05,проверьте, случайно ли полученное различие средних показателейпроизводительности труда в группах или же имеются 2 типа предприятий сразличной средней величиной производительности труда.
Решение.Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормальнораспределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которыхизвестны (большие независимые выборки). В данной задаче речь идет о большихвыборках, так как nх= 42 и nу= 35 больше 30. Выборки – независимые, так как из контекста задачи видно, чтоони извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируемнулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:X = Y– генеральныесредние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями равны(применительно к условию данной задачи – предприятия 2 групп относятся кодному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах –одинакова).
Н1:X≠ Y- генеральныесредние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсияминеравны (применительно к условию данной задачи — предприятия 2 групп относятсяк разному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах –неодинакова).
Выдвигаемдвустороннюю конкурирующую гипотезу, так как из условия задачи не следует, что необходимовыяснить больше или меньше производительность труда в одной из групппредприятий по сравнению с другой.
Посколькуконкурирующая гипотеза – двусторонняя, то и критическая область –двусторонняя.
Вкачестве критерия для сравнения 2 средних генеральных совокупностей, дисперсиикоторых известны (большие независимые выборки), используется случайная величинаZ.
Егонаблюдаемое значение (Zнабл)рассчитывается по формуле
/>
гдеX – выборочная средняя для X; Y–выборочная средняя для Y;1>(Х) – генеральная дисперсия для X; D(Y)– генеральная дисперсия для Y;пх – объем выборки для X; пу – объем выборки для Y.
Найдемнаблюдаемое значение (zнабл):
/>
Таккак конкурирующая гипотеза — двусторонняя, критическое значение (zкр)следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства
Ф(zкр)=(1)
Поусловию = 0,05.
Отсюда
Ф0(zкр)=(1-0,05)/2 = 0,475.
Потаблице функции Лапласа (приложение 3) найдем, при каком (zкр)Ф0(zкр)=0,475.
Ф0(1,96)= 0,475.
Учитывая,что конкурирующая гипотеза — двусторонняя, находим две критические точки:
zкр(n)= 1,96; zкр(л) =-1,96
Заметим,что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X Yzкрследует находить по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф0(zкр)= (1 — 2)/2 и присваивать ему знак «минус».
Приправосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X > Yzкрнаходим по таблице функции Лапласа (приложение 3) из равенства Ф0(zкр)= (1 — 2)/2.
Zнабл> zкр,следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается впользу конкурирующей. На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, чтополученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно,имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Наблюдаемоезначение критерия попадает в критическую область (рисунок 5), следовательно,нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей.
/>
Рисунок5
Ответ.На уровне значимости = 0,05 можно утверждать, что полученное различие среднихпоказателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типапредприятий с различной средней величиной производительности труда.
2.4Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности сиспользованием критерия Фишера-Снедекора
Пример.Предполагается, что применение нового типа резца сократит время обработкинекоторой детали. Хронометраж времени обработки 9 деталей, обработанных старымтипом резцов, дал следующие результаты: среднее время обработки детали X – 57мин, исправленная выборочная дисперсия s2х= 186,2 (мин2). Среднее время обработки 15 деталей, обработанныхновым типом резцов, — Yпо данным хронометражных измерений — 52 мин, а исправленная выборочнаядисперсия s2х= 166,4 (мин2). На уровне значимости = 0,01 ответьте на вопрос,позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали?
Решение.Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормальнораспределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которыхнеизвестны, но предполагаются одинаковыми (малые независимые выборки). В этойзадаче речь идет о малых выборках, так как nх= 9 и nу= 15 меньше 30. Выборки — независимые, поскольку из контекста задачи видно, чтоони извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируемнулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0:X= Y — генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с неизвестнымидисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условиюданной задачи -среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами новогои старого типа, — одинаково, т. е. использование нового типа резца не позволяетснизить время на обработку детали).
Н1:X > Y-генеральная средняя для X больше, чем генеральная средняя для Y(применительно к условию данной задачи — среднее время, затрачиваемое наобработку детали резцами старого типа, больше, чем — нового, т. е.использование нового типа резца позволяет снизить время на обработку детали).
Таккак конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
Приступатьк проверке гипотезы о равенстве генеральных средних 2 нормально – распределенныхсовокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, еслигенеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теориинеразрешима.
Поэтому,прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсийнормальных совокупностей.
Сформулируемнулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи.
Н0:D(Х)=D(Y)- генеральные дисперсии 2 нормально распределенных совокупностей равны.
Н0:D(Х) >D(Y)- генеральная дисперсия для X больше генеральной дисперсии для У. Выдвигаемправостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочнаядисперсия для X значительно больше, чем исправленная выборочная дисперсия для Y.
Таккак конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
Вкачестве критерия для сравнения 2 дисперсий нормальных генеральныхсовокупностей используется случайная величина Р — критерий Фишера-Снедекора(приложение 4).
Егонаблюдаемое значение (fнабл)рассчитывается по формуле
/>
гдеs — большая (по величине) исправленная выборочная дисперсия; s2 — меньшая (по величине) исправленная выборочная дисперсия.
Найдемfнабл
/>
Критическоезначение (fкр)следует находить с помощью таблицы распределения Фишера-Снедекора (приложение4) по уровню значимости и числу степеней свободы kи k2.
Поусловию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k1= n1-1; k2= n2 — 1,
гдеk1 — число степеней свободы большей (по величине) исправленной дисперсии; k2 — число степеней свободы меньшей (по величине) исправленной дисперсии; n1 — объем выборки большей (по величине) исправленной дисперсии; n2-объем выборки меньшей (по величине) исправленной дисперсии.
Найдемk1и k2
k1= 10 — 1 = 9;
k 2= 15 — 1 = 14.
Определяемfкрпо уровню значимости = 0,01 и числу степеней свободы k1=9и k2=14:
fкр( = 0,01;k1=9;k2 =14)
fнаблfкрследовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевуюгипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Следовательно,Можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двухнормально распределенных совокупностей.
Найдемtнабл
/>
Критическоезначение (tкр)следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) по уровнюзначимости и числу степеней свободы k.
Поусловию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k = nх+ ny — 2,
г
деk — число степеней свободы; nх — объем выборки для X; ny-объем выборки для Y.
k = 9 + 15 — 2 = 22.
Найдемtкрпо уровню значимости = 0,01 (для односторонней критической области) и числустепеней свободы k = 22
Заметим,что при левосторонней конкурирующей гипотезе X tкрследует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровнюзначимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k= nх+ ny – 2 и присваивать емузнак «минус».
Придвусторонней конкурирующей гипотезе Х≠Ytкр находимпо таблицам распределения Стьюдента (приложение 3) по уровню значимости (длядвусторонней критической области) и числу степеней свободы k= nх+ ny – 2.
tнаблtкрследовательно, на этом уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевуюгипотезу.
Поимеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзяотклонить гипотезу о том, что генеральные средние равны, т. е. среднее время,затрачиваемое на обработку детали старым и новым типом резцов, отличаетсянезначимо, расхождения между средними — случайны, использование нового типарезцов не позволяет снизить время обработки детали.
Наблюдаемоезначение критерия попадает в область допустимых значений (рисунок 6),следовательно, нулевую гипотезу нельзя отклонить.
/>
Рисунок6
Ответ.На уровне значимости = 0,01 нельзя утверждать, что использование нового типарезцов позволило сократить время обработки детали.
Заключение
Проверкастатистических гипотез – необходимая методика, используемая для полученияданных в статистике.
Проведеннаяработа позволила сделать следующие выводы:
— Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположенияотносительно характера или параметров распределения случайной переменной,которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.
— Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимсястатистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу сминимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определеннымправилам.
— Гипотезы классифицируются на: простые и сложные; параметрические инепараметрические; основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).
— Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирическихданных с гипотетическими (теоретическими).
— Особенно часто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценкисущественности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей(групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникаютв социальной статистике.
— Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистическогокритерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией отрезультатов наблюдения.
— В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверкипрактически любых гипотез.
— Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться наосновании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципомотношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощныйсреди всех возможных критериев.
— Для каждой проверки статистических гипотез существует определенный алгоритм.
Списоклитературы
1. АлленР. Статистика. – М., 2005.
2. Богородская,Н.А. Статистика финансов. — М., 2005.
3. ВиноградоваН.М. Общая теория статистики. – М., 2000.
4. ГинзбургА.И. Статистика. – СПб., 2003.
5. ГолубЛ.А. Социально-экономческая статистика – М., 2001.
6. ГусаровВ.М. Теория статистики. – М., 2008.
7. ДжессенЛ.Статистические методы. – СПб., 2001.
8. ЕлисееваИ.И,. Юзбашев М.М Общая теория статистики. — М., 1995.
9. ЕлисееваИ.И. Обработка статистических данных. – М., 2001.
10. ЕфимоваМ.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики. — М., 1996.
11. Курссоциально-экономической статистики / Под ред. М.Г. Назарова. – Киев, 2005.
12. ЛьюисК.Д. Методы прогнозирования статистических данных. – М., 2009.
13. МилсФ. Статистические методы. – М., 1996.
14. НиворожкинаЛ.И. Основы статистики. — М., 2000.
15. Общаятеория статистики [Текст]: учебник / Под ред. П.Р. Куликова. — М., 2002.
16. ПереясловаИ.Г. Основы статистики. – Ростов н/Д, 2007.
17. Практикумпо социально-экономической статистике/ Под ред… М.Южина. – СПб., 2001.
18. РябушкинТ.В. Финансы и статистика. – М., 2002.
19. СалинВ.М. Социально-экономическая статистика. – М., 2004.
20. Сиденко,А.В. Статистика. — М., 2000.
21. СтатистикаЛ.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Ионин [и др.]; под ред. В.Г. Ионина. – М.,2001.
22. Статистика/ Под ред. И.И. Егорова, С.В. Курышева. — М., 2005.
23. Статистикафинансов /Под ред. М.В. Вахрамеева, — М., 2003.
24. ШабалинО.П. Социально-экономическая статистика. – М., 2003.
25. ЧетыркинЕ.М. Статистические методы прогнозирования. – М., 2005.
26. Экономическаястатистика / Под ред. Ю.Н. Иванова. – Мн., 1996.
27. ЯковлевС.В. Статистика. – М., 2005.
Приложение1
Таблицакритерия Пирсона
Число
степеней
свободы k Уровень значимости 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99 1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016 2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020 3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115 4 13,3 ПД 9,5 0,711 0,484 0,297 5 15,1 12,8 ПД 1,15 0,831 0,554 6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872 7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24 8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65 9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09 10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56 11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05 12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57 13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11 14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66 15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81 17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01 19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90 22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54 23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2 27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0
Приложение2
Критическиеточки распределения Стьюдента
Число
степеней
свободы k
Уровень значимости
(двусторонняя критическая значимость) 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 4 2ДЗ 2,78 3,75 4,00 7,17 8,61 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,70 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 1,80 2,28 2,72 3,11 4,03 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79. 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55 60 1,07 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37
Приложение3
Таблицафункции Лапласаz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,1. 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 ОП5173 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774 1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997 4,0 0,499968 4,5 0,49997 5,0 0,4999997
Приложение4
Критическиеточки распределения Фишера-Снедекора
Уровень значимости а = 0,01 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,91 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,68 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,57 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,31 3,28 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,07 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,79 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,60 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,53 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38