Исследование точности численного интегрированияResearch of Accuracy of Numerical IntegrationЗадание исследованияПровести исследованиевнутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапецийразличных функций, задаваемых с помощью языка С.Подробное описание задачи испособы ее решения Необходимопровести исследования так называемой внутренней сходимости численногоинтегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых спомощью
функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования a,b разбит на n равных частей системой точек сеткой . Контрольвнутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенныхзначений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущемпрохождении цикла числа n. Отношенияабсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущегоприближенного значения принимается в качестве критерия достижения точностиинтеграла.
Построитьзависимости количеств итераций от различных величин критерия точности. Построитьобратные зависимости критерия точности от количества итераций.Повторить все вышеуказанные исследования для случая,когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится нек предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленногоинтеграла. Исследоватьвлияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность при прочихнеизменных условиях
Метод трапеций, где Метод Симпсона, гдеРезультаты исследованийТаблица и график зависимости количества итераций отразличных значений критерия точностиДля Критерий точности Количество итераций -0,1676631 14 -0,1518916 16 -0,0046931 12 -0,0026531 11 -0,0002639 10 -0,0001709 2 -0,0001297 9 -0,0000557 3 -0,000025 8 -0,0000198 4 -0,096 5 -0,038 6 0 15 0,052 7 0,13 Критерий точности Количество итераций -0,1127271 16 -0,0750288 15 -0,0540677 14 -0,0021415 12 -0,0005711 11
-0,0000458 9 -0,0000381 2 -0,0000191 3 -0,08 4 -0,04 5 -0,019 7 -0,02 6 0,05 8 0,0002983 10 0,13 Критерий точности Количество итераций -0,0066709 13 -0,0042367 14 -0,0003561 10 -0,016 5 -0,01 4 0,05 3 0,06 6 0,09 2 0,09 7 0,0000223 8 0,000056 9 0,0002782 11 0,0003474 12 0,005293 16 0,15 Критерий точности Критерий точности -61,4469795 12 -5,714047 3 -1,0215755 13 -0,7241433 2 -0,5121117 4 -0,3222643 11 -0,2163614 7 -0,1536629 9 -0,0930261 14 0,0353183 16 0,057059 15 0,1697371 5 0,2025534 10 0,2504728 6 0,8 Критерий точности Количество итераций -0,0119308 16 -0,0007834 13 -0,079 3 -0,041 4 -0,037 7 -0,027 5
-0,027 6 -0,02 8 -0,016 2 0,03 10 0,062 9 0,0000385 11 0,0000802 12 0,0005452 15 0,14 Критерий точности Количество итераций -0,0026286 16 -0,0012416 14 -0,0000118 3 -0,0000107 4 -0,046 5 -0,046 9 -0,028 6 -0,021 7 -0,05 2 0,011 10 0,018 8 0,023 11 0,000058 12 0,0001049 13 0,15 Таблица и график зависимости значений критерияточности от количества итерацийДляфункции По отношению к предыдущему значению По отношению к аналитическому значению
Критерий точности Количество итераций Критерий точности Количество итераций -0,0001709 2 -0,0001932 2 -0,0000557 3 -0,0000629 3 -0,0000198 4 -0,0000224 4 -0,096 5 -0,0000108 5 -0,038 6 -0,043 6 0,052 7 0,058 7 -0,000025 8 -0,0000283 8 -0,0001297 9 -0,0001466 9 -0,0002639 10 -0,0002983 10 -0,0026531 11 -0,002998 11 -0,0046931 12 -0,0052891 12 0,071089 13 0,0797403 13 -0,1676631 14 -0,2014365 14 0 15 0 15 -0,1518916 16 -0,1518916 16
Для функции По отношению к предыдущему значению По отношению к аналитическому значению Критерий точности Количество итераций Критерий точности Количество итераций -0,0000381 2 -0,0000666 2 -0,0000191 3 -0,0000335 3 -0,08 4 -0,0000141 4 -0,04 5 -0,069 5 -0,02 6 -0,04 6 -0,019 7 -0,033 7 0,05 8 0,088 8 -0,0000458 9 -0,0000802 9 0,0002983 10 0,000522 10 -0,0005711 11 -0,0009997 11 -0,0021415 12 -0,0037465 12 0,0164377 13 0,0286955 13 -0,0540677 14 -0,0959378 14
-0,0750288 15 -0,1259331 15 -0,1127271 16 -0,16 Сравнение результатовТаблицасравнительных результатов Метод трапеции n 10 Метод Симпсона n 10 Аналитический результат Функция Пределы 4,5051475 4,5240183 4,49980967 f x 1 x 0,1 9 1,7491462 1,7500761 1,791756469 f x 1 x x 0,3 5 1,9991885 1,9999505 2 f x sin x 0 . 960 -0,0000512 0,03 0 f x sin 2 x 0 .
960 0,2857157 0,2856935 0,285714285 f x sin 7 x 0 960 0,2222053 0,2222133 0,2 f x sin 9 x 960 Практическое значение Верхний предел Погрешность 4,49980967 4,5217996 9 -0,02198993 4,605170186 4,624969 10 -0,019798814 4,787491743 4,8039412 12 -0,016449457 4,941642423 4,9557843 14 -0,014141877 5,075173815 5,0875444 16 -0,012370585 5,192956851 5,2039275 18
-0,010970649 5,298317367 5,3082042 20 -0,009886833 Integration Преподаватель Студенты Степанов А.Г. Черепанов К.А. Группа Р-207 include lt stdio.h gt include lt io.h gt include
lt stdlib.h gt include lt iostream.h gt include lt string.h gt include lt math.h gt int main FILE fp указательна поток int n,i,t,j,N floata,b,h,Sum 100 ,x,y,coa printf Research of Accuracy of NumericalIntegration n Вводточности вычисления printf Enter accuracy of calculation n scanf d , amp n Вводначала интегрирования printf Enter beginnings of integration scanf f , amp a
Вводпредела интегрирования printf Enter limit of integration scanf f , amp b Открытиефайла-источника while fp fopen data3.xls , w NULL puts Error Can t open file nInputname of file n Вводколичества итераций printf Enter number of Itteration N scanf d , amp N Вычислениешага интегрирования h a b n printf
Step .3f n ,h Вычислениеинтеграла методом трапеций for j 1 j lt N j h a b int pow 2,j-1 n Sum j 0 for i 0 i lt int pow 2,j-1 n i x a i h if i 0 t 1 else t 2 y t h 2 sin 2 x Sum j Sum j y if j gt 1 coa Sum j -Sum j-1 Sum j-1 printf Criterion of accuracy .5f Numberof iteration d n ,coa,j fprintf fp, .7f t ,coa fprintf fp, d t n ,j printf The sum by a method oftrapezes .7f n ,
Sum 1 fprintf fp, The sum by a method oftrapezes .7f n ,Sum 1 Вычисление интеграла методом Симпсона for j 1 j lt N j h a b int pow 2,j-1 n Sum j 0 for i 0 i lt int pow 2,j-1 n i x a i h if i 0 i n t 1 else if i 2 0 t 2 else t 4 y t h 3 sin 2 x Sum j Sum j y if j gt 1 coa Sum j -Sum j-1 Sum j-1 printf Criterion of accuracy .5f
Numberof iteration d n ,coa,j fprintf fp, .7f t ,coa fprintf fp, d t n ,j printf The sum by a Simpson s method .7f n ,Sum 1 fprintf fp, Thesum by a Simpson s method .7f n ,Sum 1 scanf d , amp b