Министерство образования РеспубликиБашкортостан
Стерлитамакский колледжстроительства, экономики и права
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ»
На тему: «Методы решения задачлинейного программирования с n-переменными»
Выполнила: студентка гр. ПО-32
Талант Людмила Владимировна
Руководитель: Шалаева И.И.
г. Стерлитамак 2011
СодержаниеВведениеПостановка основнойзадачи линейного программирования с n-переменнымиГрафический метод решения задач линейногопрограммирования с n-переменнымиСимплекс-метод решения задач линейногопрограммирования с n-переменнымиМатематическая модельРешение задачи в MS Excel
Решение задачи графическим методом
Решение задачи симплекс-методомАналитическаячастьЗаключениеСписокиспользуемой литературы
/>/>Введение
Цель курсового проектирования — закрепить, систематизироватьи комплексно обобщить знания по методам решения задач линейногопрограммирования с n-переменными иразвить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практическиприменять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов;научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другиминормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники.Объектом исследования будет конкретная задача, описанная ниже. В курсовойработе рассмотрим графический и симплекс-методы линейного программирования с n-переменными и найдем оптимальныйплан производства товаров, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль.
Актуальность подобных задач внастоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, т.к. проблемаоптимального планирования производства сейчас, в постиндустриальный век,является, наверное, второй по степени важности после проблемы наилучшейорганизации передачи и хранения информации, а в России, скорее всего, главной,если говорить исключительно о развитии научного прогресса в нашей стране.
/>/>Постановка основнойзадачи линейного программирования с n-переменными
Линейное программирование — математическая дисциплина,посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествахn-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений инеравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего снаписанием машинного кода.
Линейное программирование является частным случаем выпуклогопрограммирования, которое в свою очередь является частным случаемматематического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методоврешения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщенийлинейного программирования является дробно-линейное программирование.
Многие свойства задач линейного программирования можноинтерпретировать также как свойства многогранников и таким образомгеометрически формулировать и доказывать их.
Термин «программирование» нужно понимать в смысле«планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом,одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютерыбыли использованы для решения линейных задач оптимизации.
В линейном программировании изучаютсясвойства решений линейныхсистем уравнений и неравенств сn-переменными следующего вида:/>/>/>/> (1.1)
В системах (1.1) коэффициенты aijи правые части bi являются числами.
Системы (1.1) называются системамиограничений.
Точка в n — мерном пространстве
/> (1.2)
удовлетворяющая системе (1.1),называется допустимым планом.
Основной задачей линейногопрограммирования (ОЗЛП)с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана,который доставляет максимум функции
/> (1.3)
Функция Z, определенная соотношением(1.3), называется функцией прибыли (целевой функцией).
Допустимый план, доставляющиймаксимум функции (1.3), называется оптимальным планом.
Иногда в задачах линейногопрограммирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимумфункции затрат
/>(1.4)
В этом случае с помощью введенияфункции Z = − R задача о нахождении минимума функции затрат R сводится кзадаче о нахождении максимума функции прибыли Z.
/>/>Графическийметод решения задач линейного программирования с />/>n-переменными
Задача линейного программирования для n-переменных
Рассмотрим задачу формирования плана производства.
Некоторое предприятие может выпускать определённый наборпродукции. Нормы затрат известны. Требуется построить производственный план,учитывающий ограниченность ресурсов.
Формализация
n — число различных видов продукции.
m — число различных ресурсов.
Таблица №1Вид продукции Норма расхода ресурса на единицу продукции Прибыль на единицу продукции 1 2 3 … i … m 1
a11
c21
a31 …
ai1 …
am1
c1 2
a12
c22
a32 …
ai2 …
am2
c2 3
a13
c23
a33 …
ai3 …
am3
c3 … … … … … … … … … j
a1j
c2j
a3j …
aij …
amj
cj … … … … … … … … … n
a1n
a2n
a3n …
ain …
amn
cn Ограничения на ресурсы
b1
b2
b3 …
bi …
bm
aij — объём i-того ресурса, который расходуется напроизводство одной единицы j-того вида продукции i=1..m, j=1..n.
xj — объем (количество единиц) j-того вида продукции впроизводственном плане предприятия (j от 1 до n).
Необходимо определить нормы выпуска каждого вида продукции,чтобы прибыль от её реализации была максимальной.
Построение экономико-математической модели
Прибыль обозначим F, тогда F=c1x1+c2x2+…+cnxng max
Составим ограничения для первого ресурса:
а11 — объем первого ресурса, который расходуетсяна производство одной единицы первого вида продукции;
а11×1 — объём первого ресурса, которыйтребуется на изготовление x1 единиц первого вида продукции;
а12×2 — объём первого ресурса, которыйтребуется на изготовление x2единиц второговида продукции;
а1nxn — объём первого ресурса, которыйтребуется на изготовление xn единиц n-ого вида продукции;
а11×1+a12x2+…+a1nxn — объём первого ресурса, который требуется на изготовлениепродукции, следовательно, мы имеем следующее ограничение:
а11×1+а12+…+а1nxn
Аналогично для остальных ресурсов:
а21×1+а22+…+а2nxn
а31×1+а32+…+а3nxn
…
аm1x1+аm2+…+amnxn
Кроме того, количество выпущенной продукции не может бытьотрицательной, следовательно, x1>= 0, x2>=0, …,xn>=0.
Таким образом, получаем следующую экономико-математическуюмодель задачи линейного программирования:
/>(2.1)
Задачу линейного программирования для N (любое целое число)переменных можно представить в следующем виде:
/>
Решения, удовлетворяющие системе ограничений условий задачи итребованиям неотрицательности, называются допустимыми, а решения,удовлетворяющие одновременно и требованиям минимизации (максимализации) целевойфункции, — оптимальными .
С помощью графического метода можетбыть решена задача линейного программирования, система ограничений которойсодержит n неизвестных и m линейно независимых уравнений,если N и M связаны соотношением N – M = 2.
Действительно, пусть поставлена задачалинейного программирования.
Найти максимальное значение линейнойфункции
Z = c1х1+c2х2+…+cNxN
при ограничениях
a11x1 + a22x2 +… + a1NХN = b1
a21x1+ a22x2 +… + a2NХN = b2
….… .
aМ1×1+ aМ2×2 +… + aМNХN = bМ
xj ≥0 (j = 1, 2, …, N)
где все уравнения линейно независимы ивыполняется соотношение N — M = 2.
Используя метод Жордана-Гаусса,производим M исключений, в результате которых базисными неизвестнымиоказались, например, M первых неизвестных х1, х2,…, хM, а свободными — два последних: хМ+1, ихN, т. е. система ограничений приняла вид:
x1 +a1, М+1xМ+1 + a1NХN = b1
x2 +a2, М+1xМ+1 + a2NХN = b2
….… .
xМ +aМ, М+1×2 + aМNХN = bМ
xj ≥ 0 (j = 1, 2, …, N)
С помощью уравнений преобразованнойсистемы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и,учитывая, что все базисные неизвестные — неотрицательные: хj ≥ 0 (j = 1, 2, …, M), отбрасываемих, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств.
/>/>Симплекс-методрешения задач линейного программирования с n-переменными
Симплекс-метод является основным в линейном программировании.Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий.Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят ксоседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум иуменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершинык другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранникаограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимальногозначения или установление того факта, что задача неразрешима.
Этот метод является универсальным, применимым к любой задачелинейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь —система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количествауравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных,которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим,что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные x1, x2, …, xr. Тогда наша система уравнений может быть записана как
/>(3.1)
К такому виду можно привести любую совместную систему,например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальныепервые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие rнеизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называютсябазисными, остальные свободными.
Придавая определенные значения свободным переменным ивычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получатьразличные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получитьлюбое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае,когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, ихстолько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений.Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением,если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взятыпеременные x1, x2, …, xr, то решение {b1, b2,…, br,0, …, 0} будет опорным при условии, что b1, b2,…, br≥ 0.
Симплекс-метод основан на теореме, которая называетсяфундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачилинейного программирования в канонической форме обязательно есть опорноерешение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то онсовпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системыограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можнобыло бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которогозначение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и ихнужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много ипрямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторуюпроцедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого,найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мыподсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F неменьше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, котороеявляется оптимальным планом.
Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как принахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другимбазисным решениям. Его идея состоит в следующем.
Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то естьк системе m-линейных уравнений с n-переменными (m
Если первое же найденное базисное решение оказалосьдопустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то,осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.
Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решениилинейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новымдопустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, котороеявляется оптимальным.
Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым,то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базиснымрешениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-тошаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяюталгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системыограничений.
Таким образом, применение симплексного метода распадается надва этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений илиустановление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.
При этом каждый этап может включать несколько шагов,соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисныхрешений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.
Приведенная схема симплексного метода явно выражает егоалгоритмический характер (характер четкого предписания о выполнениипоследовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализоватьэтот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могутбыть решены симплексным методом вручную./>/> Практическаячасть
Постановка задачи
Торговоепредприятие планирует организовать продажу 4 видов товара A,B, C,D, учитывая при этом только два видаресурсов: рабочее время продавцов в количестве 970 часов и площадь товарногозала 290 м2. Плановые нормативы затрат ресурсов в расчете на единицутовара каждого наименования и прибыль от их продажи заданы в таблице.Показатели Товары Общее кол-во ресурсов A B C D Расход рабочего времени на единицу товара, ч 0,62 0,81 0,71 0,43 970 Использование площади торгового зала на единицу товара, м2 0,13 0,22 0,45 0,22 290 Прибыль от продажи единицы товара, руб 30 50 62 40
Требуетсяопределить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговомупредприятию максимум прибыли./>/> Математическаямодель
Пусть x –количество товара, продажу которого планирует организовать торговоепредприятие. Тогда x1 – товар вида A, x2 – товар вида B, x3 – товар вида C и x4– товар вида D.
0,62×1+0,81×2+0,71×3+0,43×4 – расход рабочего времени на изготовление товара. Так какэтот ресурс ограничен, имеем следующее ограничение: 0,62×1+0,81×2+0,71×3+0,43×4£970.
0,13×1+0,22×2+0,45×3+0,22×4 – использование торгового зала на изготовление товара. Таккак этот ресурс ограничен, имеем следующее ограничение: 0,13×1+0,22×2+0,45×3+0,22×4£290.
Кроме того, количество выпущенной продукции не может бытьотрицательной, следовательно, x1³0, x2³0, x3³0, x4³0.
Задача состоит том, чтобы найти значения x1, x2, x3 и x4при которыхполученная прибыль будет наибольшей. Прибыль обозначим F, тогда
F=30×1+50×2+62×3+40×4Þmax
Таким образом, получаем следующую экономико-математическуюмодель задачи линейного программирования:
/>
/>/>/>/>/>Решение задачив MS Excel
В качестве значений переменных x1, x2, x3, x4 будем использовать ячейки $B$12:$B$15. Для значения целевой функции будем использовать ячейку $C$16.
В целевую ячейку $C$16 впишем формулу: B5*B12+C5*B13+D5*B14+E5*B15.
В ячейку $C$12впишем формулу прибыли от товара A: B5*B12.
В ячейку $C$13впишем формулу прибыли от товара B: C5*B13.
В ячейку $C$14впишем формулу прибыли от товара C: D5*B14.
В ячейку $C$15впишем формулу прибыли от товара D: E5*B15.
В ячейку $G$3впишем формулу ограничения расхода рабочего времени: B3*B12+C3*B13+D3*B14+E3*B15.
В ячейку $G$4 впишемформулу ограничения использования площади торгового зала: B4*B12+C4*B13+D4*B14+E4*B15.
/>
Рис.1 Компьютерная модель задачи
Далее выбираем пункт меню Сервис/Поиск решения:
/>
Рис. 2 Окно поиска решения
Перед нами открывается диалоговое окно Поиск решения. В нёмуказываем, что нам необходимо установить ячейку $C$16 максимальному значению, изменяя ячейки $B$12:$B$15. Далее нажимаем кнопку Добавить для добавленияограничений. И добавляем следующие ограничения:
/>
Рис. 3 Добавление ограничений
Ограничения по расходу рабочего времени на единицу товара.
После ввода каждого ограничения нажимаем кнопку Добавить.После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку OK. И диалоговое окно Поиск решения принимает следующий вид:
/>
Рис. 4 Окно поиска решения, после ввода ограничений
Задаем параметры поиска решения:
/>
Рис. 5 Измененеие параметров поиска решения
Нажимаем кнопку Выполнить. И перед нами открываетсядиалоговое окно Результаты поиска решения:
/>
Рис. 6 Выбираем отчет по результатам
Выбираем создание отчёта по результатам. Отчеты поустойчивости и пределам не создаются при использовании целочисленныхограничений на переменные. После нажатия кнопки OK в рабочей книге появляетсяновый лист с названием Отчет по результатам, содержащий отчёт по результатам, иполучаем следующие результаты:Товар Кол-во Прибыль A B 1061 53050 C D 257 10280 Стоимость продукции 63330
Рис.7 Результат выполнения поиска решения
Отчетпо результатам
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам Рабочий лист: [Лююю.xls]Лист1 Отчет создан: 15.02.2011 11:47:21 Целевая ячейка (Максимум) Ячейка Имя Исходное значение Результат $C$16 Стоимость продукции Прибыль 63337,32057 63330 Изменяемые ячейки Ячейка Имя Исходное значение Результат $B$12 A Кол-во $B$13 B Кол-во 1061,004785 1061 $B$14 C Кол-во $B$15 D Кол-во 257,1770335 257 Ограничения Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница $A$20 Расход рабочего времени на единицу товара, ч 969,92 $A$20=0 не связан. 257 $B$14 C Кол-во $B$14>=0 связанное $B$12 A Кол-во $B$12>=0 связанное $B$13 B Кол-во 1061 $B$13>=0 не связан. 1061 $B$12 A Кол-во $B$12=целое связанное $B$13 B Кол-во 1061 $B$13=целое связанное $B$14 C Кол-во $B$14=целое связанное $B$15 D Кол-во 257 $B$15=целое связанное
Ответ:Чтобы прибыль максимальной – 63330 денежных единиц, предприятие должновыпустить 0 изделий товара A,1061 изделий товара B, 0 изделийтовара C и 257 изделий товара D.
линейное программирование прибыль товарооборот
Решение задачи графическим методом
/>
/>
Задача решается графическим методом, если разностьмежду количеством переменных и количеством ограничений равна двум.
n=4(количество переменных)
m=2(количество ограничений)
n-m=4-2=2
Выразим две переменные:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Подставимзначения переменных в целевую функцию.
/>
/>
Найдемкоординаты прямых.
I. 1266,239-1,191×2-0,203×4=0
1,191×2+0,203×4=1266,239
x2=1063,172-0,17×4
x2
1063,172
893,172
x4
1000
II. 278,525-0,16×2-0,431×4=0
0,16×2+0,431×4=278,525
x4=646,229-0,371×2
x2
1000
x4
646,229
275,229
III. 55255,72+4,35×2+7,188×4=0
-4,35×2-7,188×4=55255,72
x2= -12702,464-1,652×4
x2
-11050,464
-3817,536
x4
-1000
-10000
Построим область допустимых решений задачи, ограниченнуюпрямыми:
x2=1063,172-0,17×4(I)
x4=646,229-0,371×2(II)
x2= -12702,464-1,652×4(III)
Найдемmax:
/>/>
/>
/>
Рис. 1 График функции
Построимлинию уровня 55255,72+4,35×2+7,188×4=0 и векторградиента (4,35; 7,188). Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем измногоугольника, что произойдет в точке Aс координатами (1061; 257). В этой точке функция принимает максимальноезначение 63330.
Ответ:Чтобы достичь максимальной прибыли предприятие должно выпустить 1061 изделийтовара B и 257 изделий товара D.
Решение задачи симплекс-методом
Решимпрямую задачу линейного программирования симплекс-методом. Определиммаксимальное значение целевой функции F(X) = 30×1+50×2+62×3+40×4при следующих условиях:
/>
Дляпостроения первого опорного плана систему неравенств приведем к системеуравнений путем введения дополнительных переменных (переход к каноническойформе).
/>
/>
Выразимбазисные переменные x5иx6через небазисные.
/>
/>
Переходимк основному алгоритму симплекс-метода.
Посколькузадача решается на максимум, то переменную для включения в текущий планвыбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x0.
/>
/>
Вкачестве новой переменной выбираем x3.
Вычислимзначения D3 по всем уравнениям для этой переменной
/>и выберем из нихнаименьшее:
/>
Вместопеременной x6 в план войдет переменная x3.
Выразимпеременную x3 через x6 и подставим во все выражения.
Послеприведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
/>
/>
Полагаянебазисные переменные x5и x3равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x= (-12.09, -19.69, 0, -9.69, 0, 137.78), x0= 39955.5556
/>
/>
Вкачестве новой переменной выбираем x2.
Вычислимзначения D2 по всем уравнениям для этой переменной.
/>и выберем из нихнаименьшее:
/>
Вместопеременной x5 в план войдет переменная x2.
Выразимпеременную x2 через x5 и подставим во все выражения.
Послеприведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
/>
/>
Полагаянебазисные переменные x2и x3равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x= (5.56, 0, 0, -6.16, 42.53, 70.67), x0= 61752.2804
/>
/>
Вкачестве новой переменной выбираем x4.
Вычислимзначения D4 по всем уравнениям для этой переменной.
/>и выберем из нихнаименьшее:
/>
Вместопеременной x3 в план войдет переменная x4.
Выразимпеременную x4 через x3 и подставим во все выражения.
Послеприведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
/>
/>
Полагаянебазисные переменные x2и x4 равныминулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x= (3.27, 0, 15.36, 0, 26.32, 130.38), x0= 63337.3206
Выражениедля x0не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.
Окончательныйвариант системы уравнений:
/>
/>
Оптимальныйплан можно записать так:
x2= 1061
x4= 257.18
Таккак необходимо определить плановые нормативы затрат ресурсов в расчете наединицу товара каждого наименования, обеспечивающие торговому предприятиюмаксимум прибыли, то оптимальный план запишем так:
x2= 1061
x4= 257
Максимальнаяприбыль предприятия:
F(x)= 50*1061 + 40*257= 63330
Ответ:Чтобы прибыль максимальной – 63330 денежных единиц, предприятие должновыпустить 1061 изделий товара Bи 257 изделий товара D.
/>/>Аналитическаячасть
Линейное программирование – это раздел исследования операций, в котором изучаютсялинейные оптимизационные модели, т.е. задачи поиска минимума затрат при условиивыполнения необходимого объема работ или максимума прибыли при линейныхограничениях на ресурсы.
Ценность решения задачлинейного программирования объясняется возможностью на основании итоговогоотчёта принимать важные управленческие решения и моделировать реальнуюпроизводственную ситуацию. Это особенно ценно сейчас, в век широкого примененияинформационных технологий при решении реальных задач.
Математическая модель отражает проблему в абстрактной форме ипозволяет учесть большое число разнообразных характеристик, от которых зависитэта проблема. Анализ и расчет математической модели позволяют выбратьоптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор.
В ходе исследования вопроса о решении задачи максимизацииметодами линейного математического программирования, мною было установлено, чтонаилучшим алгоритмом решения подобного рода задач является симплекс-метод.
Для убеждения в том, что решение выполнено правильно,поставленная задача была решена несколькими методами и проверена в MS Excel.
Мною было заключено, что решения выполнены верно, так как онисовпали друг с другом.
Для наглядности в проекте приводятся скриншоты решенияпоставленной задачи в MS Excel и подробно расписано решениеграфического и симплекс-метода.
Решение определило следующий оптимальный план производстватоваров:
Для максимизации прибыли, которая составляет 63330 денежныхединиц, предприятие должно выпустить 0 изделий товара A, 1061 изделий товара B, 0 изделий товара C и 257 изделий товара D.
По моему мнению, наилучшим методом максимизации, т.е. решенияконкретной поставленной передо мной задачи, является симплекс метод решениязадач линейного программирования, которого достаточно подробно освещается восновной части теоретического раздела.
/>Заключение
В ходе работы над данным курсовым проектом, были раскрытыметоды линейного программирования с n- переменными, в частности, графический метод и симплекс-метод ипостроена экономико-математическая модель задачи линейного программирования сеё подробным описанием, получен исчерпывающий отчёт о результатах решениязадачи, а также получено графическое и симплекс-решение.
Была решена конкретнаяпоставленная передо мною практическая задача. Полученные решения различнымиметодами совпали, что свидетельствует о правильном выполнении задания. Яполучила оптимальное решение выпуска товара при максимальной прибыли в 63330денежных единиц. Были выполнены все необходимые ограничения и выявлено в какомколичестве стоит производить различные товары.
Выполняя данный курсовой проект, я лучше усвоила знания, вособенности симплекс-метод. Выполняя практическое задание, была использованадополнительная литература, которую я брала в библиотеке и на сайтах.
Таким образом, былонаглядно представлено и прокомментированы полученные решения задач и нахождениеоптимального плана выпуска товара, где достигалась максимальная прибыль иресурсы использовались наиболее полно.
Список используемойлитературы
1. Ашманов С.А.Линейное программирование. М.: Наука, 2001.
2. Калихман И.Л.Линейная алгебра и программирование. — М.: Высшая школа, 1987
3. http://revolution./emodel/00188498_0.html
4. Лунгу К.К.Линейное программирование. Руководство к решению задач. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.