Реферат на тему: Інтегрування і пониження порядку деяких ДР
з вищими похідними.
ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.
а) Розглянемо ДР />(4.38)
Так як />, то
/>
Аналогічно />, …..,
/>(4.39)
Остання формула дає розвязок загальний в області
/>
Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами
/>(4.40)
Цей розвязок представляється в вігляді />(4.41) Ф-я
/>
являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами
/>
яким відповідають константи />
Для обчислення використовують ф-лу Коші
/>(4.42)
Дійсно інтеграл />
можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).
Міняючи порядок інтегрування, отримаємо />
Аналогічно обчислюємо />
/>… і. т. д.
Приходимо до ф-ли (4.42)
Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді />/>
Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл
/>
Пр. 4.4 Розвязати рівняння />
Послідовно знаходимо />, />
б) Розглянемо випадок />(4.43)
в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно />в елементарних ф-ях, або вирази для />будуть досить складними.
Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)
/>(4.44),
де />та />такі, що />
Проводимо обчислення />, />
Аналогічно обчислюємо /> Остаточно маємо
/>(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.
Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується
I./>(4.46)/>(частинні випадки />)
II. />(4.47), де />і />-однорідні ф-ї відповідного
виміру />і />.
Покладемо />(4.48)
і розвяжемо р-ня (4.47) відносно />через />: />
Піставляючи в (4.48), отримаємо />(4.49)
Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.
Пр. 4.5 Розвязати р-ня />
Зробимо заміну />
/>
/>
/>остаточно маємо
/>
Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та />похідної.
Розглянемо ДР />(4.50), в якому є />.
Введемо нову змінну />(4.51)
отримаємо />(4.52)
тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на />одиниць.
Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили />(4.53)
Тоді р-ня />(4.54)
інтегруємо і отримаємо загальний розвязок />(4.55)
Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл />(4.54)
то отримаємо ДР />типу (4.43)
Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50):
а) ДР вигляду />
якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно />:
/>(4.52)
то поклавши />перейдемо до р-ня />
Якщо /> — загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38) />
Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію />(4.53)
то з співвідношення />знаходимо />
Звідки />(4.54)
ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.–PAGE_BREAK–
б) ДР вигляду />(4.55)
Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно />
/>(4.56)
Позначимо/>і перейдемо до ДР />(4.57)
Домножимо (4.57) на />: />
Звідки />. Отже />
з якого визначимо
/>.
Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.
Знайшовши з нього
/>
ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).
/>(4.58)
Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно />але для нього можлива параметризація />
Запишемо співвідношення />
Домножимо першу рівність на />:
/>
/>
Звідки/>.
Отже маємо />
Прийшовши до отсанньої рівності />ми отримаємо а)
Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.
Ці ДР мають вигляд />(4.59)
і його можна понизити на один порядок заміною />
При цьому />стане незалежною зміною, а /> — функцією
Обчислюємо
/>
/>
…..
/>
і остаточно прийдемо до ДР />порядку
/>
Якщо /> — розвязок ДР (4.60) то
/>
Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.
Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки />.
Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня />.
Якщо /> — розвязок однорідного р-ня, то /> — розвязок ДР (4.59)
Пр. 4.6 Розвязати р-ня />/>
Вводимо змінну />, />,/>
/>, />
звідки />, отже, />, />
-загальний інтергал рівняння.
4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.
Так називаються ДР вигляду />в якому />являється однорідною ф-єю відносно />, тобто />маємо />
Шляхом заміни />ДР (4.62) можна понизити на один порядок.
Обчислюємо
/>
Тому ДР (4.62) прийме вигляд
/>(4.63)
Скорочуючи на />( />при />може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку />.
Якщо />– загальний розвязок останнього ДР, то />
звідки />(4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок />міститься в формулі (4.64) при />.
Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР
/>
Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому />.
Маємо ДР Бернулі – />.
Інтегруючи отрімаємо />, />Звідки />. Наше ДР має розвязок />який не міститься в знайденому загальному інтергалі.
ДР, ліва частина якого є точна похідна.
Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по />від деякої ф-ї />, тобто />,
тоді ДР (4.62) має перший інтерграл />(4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.
Пр 4.8 Розвязати ДР />
Маємо />, />,/>, />– загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю />, після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю />, то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня />
Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР />.
Візьмемо />, тоді />.
При цьому />, /> — розвязки нашого ДР.
Маємо />.
/>— перший інтерал.
/>, />загальний інтергал.
Особливих розвязків немає, так як ДР />приводіть до розвязків />, які містяться в загальному.