1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию
РЕШЕНИЕ
Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.
/>/>/>Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.
а) Рвсем изделиям= Р(А)*Р(В)*Р(С)
Рвсем изделиям=0,7*0,9*0,8=0,504.
/>/>/>/>/>/>в) Ртолько одному=Р(А, В, С или А, В, С или А, В, С)
Ртолько.одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+
+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092
/>/>/>с) Рхотя бы одному=1 — Рни одному=1-Р(А)*Р(В)*Р(С)
Рхотя бы одному=1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.
11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.
РЕШЕНИЕ
Обозначим событие А – поступила заявка
По условию р=Р(А)=0,5
/>
q=P(A)=1-0,5=0,5
n= 9 к=6
а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.
/>
Р9(6)=/>*
б) К1=5, К2=7
Р9(5≤m≤7)=P9(5)+P9(6)+P9(7)
Р9(5)=/>*
Р9(7)=*
Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762
в) Рn(событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn
Р9=1-0,59=1-0,001953=0,998
г) np-q≤K≤np+p
9*0.5-0.5≤K≤9*0.5+0.5
4≤K≤5 K=5
K9(5)=/>*0.55*0.59-5=
Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K=5 Р(K)=0,246.
21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
Х
8
4
6
5
Р
0,2
0,5
0,2
0,1
Решение
а) Найдем математическое ожидание Х:
М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.
б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2:
Х2
64
16
36
25
Р
0,2
0,5
0,2
0,1
Найдем математическое ожидание Х2:–PAGE_BREAK–
М(Х2)=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5
Найдем искомую дисперсию:
D(X)=M(X2)-[M(X)]2
D(X)=30.5-(5.3)2=2.41
в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
/>
Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55
31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).
Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
/>
F(X
Решение:
/>
а) = F(X
/>б) М(х)=
/>.
М(х2)=/>.
D(x)=M(x2)-[M(x)]2=2-/>
/>
в) построить графики функций F(x) и f(x):
/>/>
41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3
Решение
а) воспользуемся формулой:
/>
по условию задачи α=9β=19 а=15 б=2 следовательно,
/>
По таблице приложения 2: />0,4772;
Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:
/>0,4772+0,49865=0,976065
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна
Р(
Р(|х-а|
Ответ: а),976065; б) Р(|х-а|
51. Даны выборочные варианты х1и соответствующие им частоты niколичественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99
хi
10,2
15,2
20,2
25,2
30,2
35,2
40,2
ni
3
15
26
54
12
5
3
Решение
1. Объем выборки
n= продолжение
–PAGE_BREAK–
Средняя выборочная:
/>=
Выборочная дисперсия:
Dв=/>2– />2, где />=23,76
Средняя выборочная квадратов значений признака γ
/>=
Тогда Dв=598,87-(23,76)2=34,33
Среднее квадратичное отклонение:
σв=/>σв=,86
пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой
/>; ),
покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число tнаходится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.
В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.
По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dви, следовательно, σ=σв=5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:
/>
(23,76-1,39; 23,76+1,39)
(22,37; 25,15).
Ответ: Хв=23,76; Dв=34,33; σв=5,86; (22,37; 25,15).
61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yxи Xy. Оценить тесноту линейной связи между признаками Xи Yи составить уравнение линейной регрессии Yпо Xи Xпо Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Y\X
5
10
15
20
25
30
Ny
35
4
2
6
45
5
3
8
55
5
45
5
55
65
2
8
7
17
75
4
7
3
14
Nx продолжение
–PAGE_BREAK—-PAGE_BREAK–
65892
25
19
475
11875
66.05
31373.75
30
3
90
2700
75
6750
/>
100
1945
40425
–
115765.55
Y
ny
y*ny
y2*ny
/>xy
/>y*ny*xy
35
6
210
7350
6.67
1400.7
45
8
360
16200
11.875
4275
55
55
3025
166375
20
60500
65
17
1105
71825
21.47
23724.35
75
14
1050
78750
24.64
25872
/>
100
5750
340500
–
115772.05
С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:
Х=
X2=/>5
XY=
Y=57.5
Y2=/>
/>σx===
/>σy==/>=9.94
Отсюда коэффициент корреляции равен:
r=
т.к r> 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.
т.к | r| > 0,78 то линейная связь высокая.
Находим линейное уравнение регрессии Yпо X:
/>
Yx-57.5=0.78*
Yx=1.52x+27.94 продолжение
–PAGE_BREAK–
Аналогично находим уравнение регрессии XпоY:
/>
Xy-19.45=0.78*
Xy=0.4y-3.55
Данные уравнения устанавливают связь между признаками Xи Yи позволяют найти среднее значение признака Yxдля каждого значения xи аналогично среднее значение признака Xyдля каждого значения y.
Изобразим полученные результаты графически.
/>/>Нанесем на график точки (х; ух) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (ху; у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:
х
5
30
у
35,54
73,54
Yx=1.52x+27.94
х
10,45
26,45
у
35
75
/>Xy=0.4y-3.55
Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х; у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5).
Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Yпо Xи Xпо Y:
ηух=/>
Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее.
Величины межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:
/>/>/>/>
Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:
/>
/>
бх=
бу=
Тогда корреляционные отношения равны:
ηух=/>
ηху=/>
Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:
Yx=1.52x+27.94,
Xy=0.4y-3.55.