Комплексный анализ методов теории нечетких множеств

РОССИЙСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Новосибирскийфилиал
Курсоваяработа
Подисциплине:
«УПРАВЛЕНЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ»
Комплексныйанализ методов теории нечетких множеств
Выполнила:
студентка 4 курса
Гр. 77 Сеначина Е. О.
Проверил:
Ракунов К.
дата защиты:_____________
оценка:__________________
Новосибирск2011

СОДЕРЖАНИЕ
нечеткий множествомаксимальный свертка
ВВЕДЕНИЕ
I. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
1. Нечеткиемножества
2. Примерописания неопределенности с помощью нечеткого множества
3. НечеткиевыводыII.МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ1.Многокритериальный выбор методом максимннной свертки в сфере банковскогокредитования2. Выборконкурентоспособного товара методом нечеткого отношения предпочтения3. Метод нечеткого логического вывода в задаче выбора фирмой кандидатана замещение вакантной должности бухгалтера4. Сравнительныйанализ различных методов принятия решений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Наиболее поразительным свойством человеческого интеллектаявляется способность принимать правильные решения в обстановке неполной инечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» дляреального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которыхневозможно получить полную информацию или определение которых недостаточнополно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованиютак называемыхнечетких и гибридных систем в настоящее время ужедовольно обыденно воспринимаются «интеллектуальные» стиральные машины и бытовыеавтоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое.
Математическую основу нечетких и гибридных систем составляютпротивоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из составляющих которых является нечеткаялогика.
В последнее время нечеткое управление является одной из самыхактивных и результативных областей исследований применения теории нечеткихмножеств. Именно это делает эту тему актуальной и интересной для изучения.
Цель данной работы – изучение возможности применения нечеткойлогики как инструмента для принятия решений. Предметом изучения работы являетсятеория нечетких множеств. Объект изучения работы – методы теории нечеткихмножеств, применяемые для решения различных задач.
Таким образом, задачи моей работы:
1) Дать теоретическое описание нечетких множеств;
2) Рассмотреть пример описания неопределенности с помощью нечеткогомножества;
3) Сравнить практические методыпринятия решений с помощью нечеткой логики;
5) Выявить преимущества данныхметодов на основе полученных результатов.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
1. Нечеткиемножества
Пусть A — некоторое множество.Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией
/>                     (1)
Что такое нечеткое множество? Обычноговорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуетсясвоей функцией принадлежности /> Значение функции принадлежности вточке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству.Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х – онаодновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С. За вхождение — /> шансов, завторое – (1- />) шансов.
Если функция принадлежности /> имеет вид (1) при некотором B, то C естьобычное (четкое) подмножество A. Таким образом, теория нечетких множество являетсяне менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств,поскольку обычные множества – частный случай нечетких. Соответственно можноожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику.Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится ктеории случайных множеств и тем самым является частью классической математики.Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математикаэквивалентны. Однако для практического применения в теории принятия решенийописание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьмаплодотворны.
Обычное подмножество можно было быотождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают,поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначалазадать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можноотождествить с его функцией принадлежности. Однако термин «нечеткоеподмножество» предпочтительнее при построении математических моделейреальных явлений.
Теория нечеткости является обобщениеминтервальной математики. Действительно, функция принадлежности
/>
задает интервальнуюнеопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит взаданном интервале [a,b]. Тем самым описаниенеопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем спомощью интервалов.
Начало современной теории нечеткостиположено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхожденияЛ.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг истатей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно многокак теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора потеории нечеткости вышла в 1980 г. [1].
Л.А. Заде рассматривал теориюнечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем,т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку отом, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторыхнечетких множеств или классов объектов, для которых переход от«принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, анепрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти вовсех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукциии технологическими процессами.
Л.А. Заде использовал термин «fuzzy set» (нечеткое множество). На русский язык термин«fuzzy» переводили как нечеткий,размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.
Аппарат теории нечеткости громоздок.В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций наднечеткими множествами. Пусть C и D- два нечетких подмножества A с функциями принадлежности />и />соответственно.Пересечением />, произведением CD, объединением />, отрицанием />, суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности
/>
/>
соответственно.
Как уже отмечалось, теория нечеткихмножеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, ктеории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен ниже. Однакопри решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теориинечеткости обычно рассматриваются как различные.
Для знакомства со спецификой нечеткихмножеств рассмотрим некоторые их свойства.
В дальнейшем считаем, что всерассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того жемножества Y.

2. Пример описаниянеопределенности с помощью нечеткого множества
Понятие «богатый» часто используется при обсуждениисоциально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой ипринятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятиеразличное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий иэконометрики провели в 1996 г. социологическое исследование представленияразличных слоёв населения о понятии «богатый человек».
Мини-анкета опроса выглядела так:
1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одногочеловека) Вы считали бы себя богатым человеком?
2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорийВы себя относите:
а) богатые;
б) достаток выше среднего;
в) достаток ниже среднего;
г) бедные;
д) за чертой бедности?
(В дальнейшем вместо полного наименования категорийбудем оперировать буквами, например «в» — категория, «б» — категорияи т.д.)
3. Ваша профессия, специальность.
Всего было опрошено 74 человека, из них 40 — научныеработники и преподаватели, 34 человека — не занятых в сфере науки иобразования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных толькоодин (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников ипреподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работниковкоммерческой сферы – в табл.2.

Таблица 1.
Типичные ответы научных работников и преподавателейОтветы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1, млн. руб./чел. Ответы на вопрос 2 Пол Кандидат наук 1 Д ж Преподаватель 1 В ж Доцент 1 б ж Учитель 10 в м Старший. научный сотрудник 10 д м Инженер-физик 24 д ж Программист 25 г м научный работник 45 г м
Таблица 2
Типичные ответы работников коммерческой сферы.Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1 Ответы на вопрос 2 Пол Вице-президент банка 100 а ж Зам. директора банка 50 б ж Начальник. кредитного отдела 50 б м Начальник отдела ценных бумаг 10 б м Главный бухгалтер 20 д ж Бухгалтер 15 в ж Менеджер банка 11 б м Начальник отдела проектирования 10 в ж
Разброс ответов на первый вопрос – от 1 до 100 млн.руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатствау финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммына рис.1 и рис.2 ниже).
Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретноезначение суммы, которая необходима «для полного счастья», пусть дажес небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1 и2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей вмесяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющембольшинстве причисляют свой достаток к категории «в» и ниже (81%опрошенных), в том числе к категории «д» отнесли свой достаток 57%.
Со служащими коммерческих структур и бюджетныхорганизаций иная картина: «г» — категория 1 человек (4%),«д» — категория 4 человека (17%), «б» — категория — 46% и 1человек «а» — категория.
3. Нечеткиевыводы
В экспертных и управляющих системахмеханизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемуюспециалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатныхправил вида:
П1: если х есть А1, то y есть В1,
П2: если х есть А2, то y есть В2,
…
Пn: если х есть Аn, то y есть Вn,
где х – входная переменная, y – переменная вывода, А и В – функциипринадлежности, определенные на х и y соответственно.
Знания эксперта А→В отражаетнечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его называютнечетким отношением:
R= А→В,
где «→» — нечеткая импликация.
Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямогопроизведения Х ´ Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения(нечеткого) результата вывода В′ с использованием данного наблюдения А′и значения А→В можно представить в виде
В′= А′● R= А′●( А→В).
Алгоритм нечеткого вывода
1 Нечеткость (фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности,определенные для входных переменных, применяются к их фактическим значениям дляопределения степени истинности каждой предпосылки каждого правила).
2 Логический вывод. Вычисленное значениеистинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждогоправила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначенопеременной вывода для каждого правила. В качестве правил логического выводаиспользуются только операции min(минимума) или prod (умножение).
3 Композиция. Нечеткие подмножества,назначенные для каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяютсявместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменнойвывода. При подобном объединении обычно используются операции max (максимум) или sum (сумма).
4 Дефаззификация – приведение кчеткости (defuzzification). Преобразование нечеткого наборавыводов в число.
II. МЕТОДЫПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Л. Заде:
«Фактически нечеткость можетбыть ключом к пониманию способности человека справляться с задачами, которыеслишком сложны для решения на ЭВМ». 1. Многокритериальный выбор методом максимннной свертки всфере банковского кредитования
Рассмотрим применение метода принятиярешений, основанного на теории нечетких множеств в области кредитования, позволяющегоповысить обоснованность принимаемых решений и обеспечить выбор наиболеерационального варианта из множества допустимых.
В рассматриваемой задаче предприятияявляются альтернативами, из которых предстоит сделать выбор лучшей.
Альтернативы обозначим через а1, …,a4.
Для оценки кредитоспособностипредприятий-заемщиков используем данные их бухгалтерской отчетности (табл.2.1).
Таблица 2.1
Данные бухгалтерской отчетностиФинансовый показатель Значение показателя для предприятия, тыс. руб. a1 a2 a3 a4 Денежные средства (ДС) 229,1 946,2 947,0 1442,9 Краткосрочные финансовые вложения (КФВ) 394,1 462,7 466,4 2066,0 Дебиторская задолженность (ДЗ) 4639,8 8391,4 8514,5 10908,2 Запасы и затраты (33) 6028,1 21557,6 21370,4 17424,5 Собственный капитал (СК) 12395,8 35247,8 41244,2 53939,4 Краткосрочные обязательства (ОКс) 4058,1 13834,9 16827,1 25028,3 Итог баланса (ИБ) 16453,9 49082,7 58071,3 78967,7 Валовая выручка (ВВ) 59438,9 38567,9 43589,5 28343,6 Прибыль (П) 16642,9 4442,5 65384,2 3401,2
На основании этих данныхрассчитываются финансовые коэффициенты, характеризующие кредитоспособностьзаемщиков: коэффициент абсолютной ликвидности (F1), промежуточный коэффициент покрытия (F2), общий коэффициент покрытия (F3), коэффициент финансовой независимости(F4) коэффициент рентабельностипродукции (F5). Перечисленные коэффициентыявляются критериями качества кредитоспособности предприятий и рассчитываются последующим формулам:
/>
Рассчитанные значения критериевкачества для рассматриваемых предприятий приведены в табл. 2.2. Там же данынормативные значения критериев. Анализ расчетных и нормативных значенийкритериев показывает, что все предприятия могут претендовать на получениекредита.
Таблица 2.2
Расчетные и нормативные значениякритериев качества предприятийКритерий качества Значение критерия для предприятия Нормативное значение а1 a2 a3 a4 F1 0,154 0,102 0,084 0,140 0,1-0,25 F2 1,297 0,71 0,59 0,57 0,5-1,0 F3 2,78 2,27 1,86 1.27 1,0-2,5 F4 0,75 0,72 0,71 0,68 0,6 F5 0,28 0,115 0,15 0,12 Чем выше, тем лучше
Обработка полученной исходнойинформации с применением математического аппарата теории нечетких множествпроводится в три этапа.
Этап 1. Построение функцийпринадлежности, соответствующих понятиям «предпочтительный коэффициентабсолютной ликвидности», «желаемый промежуточный коэффициентпокрытия», «наилучший коэффициент рентабельности» и т. д. (рис.4.3). Построение таких функций проводят эксперты, располагающие знаниями вобласти кредитования предприятий различного функционального назначения.
Этап 2. Определяются конкретныезначения функции принадлежности по критериям качества F1, …, F5. Нарис. 4.3 показаны значения функций принадлежности, соответствующиерассматриваемым альтернативам. Нечеткие множества для пяти рассматриваемыхкритериев, включающие четыре анализируемые альтернативы, имеют следующий вид:
/> = 0,61/0,154 + 0,41/0,102 +0,33/0,084 + 0,46/0,140;
/> = 1,0/1,297 + 0,71/0,71 +0,59/0,59 + 0,57/0,57;
/> = 1,0/2,78 + 0,91/2,27 +0,75/1,86 + 0,51/1,27;
/> = 1,0/0,75 + 0,96/0,72 +0,94/0,71 + 0,90/0,68;
/> = 0,93/0,28 + 0,38/0,115 +0,5/0,15 + 0,4/0,12.

/>
Этап 3. Производится сверткаимеющейся информации в целях выявления лучшей альтернативы. Множествооптимальных альтернатив В определяется путем пересечения нечетких множеств,содержащих оценки альтернатив по критериям выбора.
Если критерии, по которымосуществляется выбор вариантов, имеют одинаковую важность для ЛПР, то правиловыбора лучшего варианта имеет вид:
В = F1ÇF2 ÇF3 ÇF4 ÇF5.
Оптимальной считается альтернатива смаксимальным значением функции принадлежности к множеству В. Операцияпересечения нечетких множеств соответствует выбору минимального значения для j-й альтернативы:
/>

Для рассматриваемой задачи множество оптимальныхальтернатив будет формироваться следующим образом:
В = { min { 0,61; 1,0; 1,0; 1,0; 0,93 }
min { 0,41; 0,71; 0,91; 0,96; 0,38 }
min { 0,33; 0,59; 0,75; 0,94; 0,50 }
min { 0,46; 0,57; 0,51; 0,90; 0,40}}.
Результирующий вектор приоритетовальтернатив имеет следующий вид:
/> = max {0,61; 0,38; 0,33; 0,4}.
Таким образом, лучшей альтернативойявляется а1, которой соответствует значение 0,61. На втором, третьем ичетвертом местах находятся соответственно а4 ® 0,4, а2 ® 0,38, а3 ® 0,33.
Выбор лучшего банка для размещенияденежных средств физическим лицом
Цель решаемой задачи — выбор лучшегобанка для размещения денежных средств физическим лицом. В отличие отпредыдущего примера используемые для выбора критерии имеют различную значимостьдля ЛПР.
Было выбрано три банка: альтернативыа1, а2; и a3. Определено шесть критериев выбора:
F1 — процентная ставка (этот параметрможет меняться для различных условий вклада в данном банке, однако задача будетрешаться исходя из предположения, что ЛПР определился с условиями вклада ирассматривает альтернативы, удовлетворяющие этим условиям);
F2 — расположение банка;
F3 — активы банка;
F4 — политика банка;
F5 — ликвидность банка (рассчитываетсячерез коэффициент ликвидности Кл);
f6 — репутация банка (оценивается поэкспертной шкале).
Значения критериев для всехальтернатив определены в табл. 4.3.
Таблица 2.3
Значения критериев для альтернативКритерий Альтернатива Банк a1 Банк a2 Банк a3 F1 — процентная ставка, % 30 35 40 F2- расположение Рядом с домом В одном районе В одном городе F3 -активы банка, млн руб. 15 20 10 F4 — политика банка Консервативная Умеренная Рискованная F5 — ликвидность (Кл ) 2 2,5 1,5 F6- репутация (2,3,4,5) 5 4 3
Для каждой альтернативы определеныконкретные значения, которые представлены следующими нечеткими множествами:
/> = {0,05/30 + 0,25/35 + 0,4/40};
/> = {0,7/a1+1,0/a2+0,3/a3};
/> = {0,35/15 + 0,6/20 + 0,2/10};
/> = {0,25/a1 + 0,7/a2 +0,3/a3};
/> ={0,5/2+0,9/2,5+0,35/1,5};
/> = {1,0/5+0,75/4+0,6/3}.
Критерии имеют различную значимостьпри определении наиболее рационального варианта. В связи с этим необходимоопределить весовые коэффициенты bi критериев. Один из возможных способов получения значений весовыхкоэффициентов заключается в построении матрицы попарных сравнений критериев.Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка,составлена следующая матрица: