–PAGE_BREAK–Целесообразно выделить два основных курса повышенного типа. Первый из них (курс В) предназначен для учащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерности окружающего мира. Второй (курс С) ориентирован на тех учащихся, для которых математика является одной из основных целей познаний.
Таким образом, для старшей ступени школы целесообразно наличие трех основных математических курсов – А, В, С, которые призваны предоставить каждому ученику возможность изучать математику на уровне, соответствующем его интересам, способностям, склонностям. Этих трех курсов достаточно для преподавания математики по профилю любого направления.
Курс А может быть выбран теми учащимися, которых интересует, например, языки, искусство, художественное творчество, спорт или предметно-практическая деятельность, то есть работа парикмахера, повара, косметолога. Они рассматривают математику как элемент общего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своей деятельности. Специфической особенностью курса А должна быть явно выраженная гуманитарная направленность, то есть специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой как с областью человеческой деятельности, на формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире.
Однако при этом курс А не должен сводиться к «прогулкам по саду математики». Преподавание по курсу А должно опираться на традиционные для школьного курса разделы. Обязательные требования по усвоению курса А фактически должны совпадать с базовым уровнем математической подготовки выпускников средней школы.
Нельзя согласиться с той точкой зрения, согласно которой преподаванию математики в нематематических классах отводится лишь второстепенная роль. Наоборот, значение математического образования в этих класса должно быть не только не меньше, но даже и больше, чем в классах математических. Ведь учащиеся гуманитарных классов завершают в средней школе свое математическое образование. Они не смогут в будущем осознать философию математики, увидеть ее историю, как это сделает другая часть молодежи, изучая математику в вузах. В программах по математике для гуманитарных классов больше места должны занимать вопросы мировоззренческого характера, факты из истории математики, описания ее приложений в различных областях ее деятельности. Ведь математика по своей сути является гуманитарным предметом, призванным всесторонне развивать личность ученика, отшлифовывать логику его рассуждений и научить правильно ориентироваться в окружающей обстановке. Использование гуманитарного потенциала математики, ее межпредметных связей с профильными предметами позволит школьникам глубже уяснить содержание последних, а тем самым превратить ее из второстепенного в существенно важный и полезный предмет.
Курс В ориентирован на учащихся с научным стилем мышления, выбравших для себя профили естественно-научных и научно-гуманитарных направлений: химический, биологический, географический, исторический, социологический, экономический и другие. Заметим, что математизация соответствующих наук касается лишь отдельных их областей, в основном наиболее современных, тогда как другие области практически не используют математических знаний. Поэтому курс В должен быть построен с учетом того, что математика для учащихся указанной категории является хотя бы необходимым, но и не самым важным предметом. Этот курс должен обеспечивать овладение конкретными математическими знаниями, позволяющими, в частности, выработать представления о применении в математике в профилирующей науке и достаточными для изучения математики в вузе соответствующего направления.
Заметим, что можно было бы ставить вопрос о разделении курса В на два в соответствии с особенностями процесса математизации в естественно-научных и научно-гуманитарных областях знаний. Сущностью математизации естественных и гуманитарных наук является математическое моделирование. В естественных науках главную роль играют в настоящее время количественные описания реальных процессов и соответствующие количественные модели, для исследования которых необходимы традиционные разделы математики, наряду с началами математического анализа и элементами теории вероятностей и математической статистики. В гуманитарных науках значение имеют структурные модели, построение и исследование которых требует привлечение разделов математики, более современных и весьма далеких от нынешнего курса математики, и, прежде всего, дискретной математики (например, создание информационных систем в приложениях различных гуманитарных наук).
Во всяком случае, в настоящее время выделение научно-гуманитарного направления нецелесообразно и математические потребности в конкретной профилирующей науке должны удовлетворяться в основном в рамках внеклассной работы. Решать одновременно две задачи – освоение и традиционных, и специализированных разделов математики – вряд ли возможно.
Курс С – наиболее строгий и полный курс математики – ориентирован на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой, и какой-то профиль из группы профилей «математического направления». В эту группу вместе с математическим профилем объединяются такие профили, как физический и компьютерный. Дело в том, что процесс математизации знаний исторически начался с математизации физики, а современное развитие и состояние физики, как и всего физического цикла наук, неразрывно связано с математическим аппаратом и математическим мышлением. Современная наука информатика, обязанная своим происхождением вычислительной математике и математической логике, целиком основана на математическом стиле мышления, в том числе и в разделах, которые содержательно с математикой не связаны. Эти особенности физики и информатики и позволяют объединить их в одну группу с математическим профилем с точки зрения обучения математике.
Основой учебно-методического обеспечения по математике этой группы профилей и должен быть курс С, ориентированный на овладение учащимися необходимых объемов конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности. Практика углубленного изучения математики и физики показывает, что гуманитарное воздействие математики проявляется автоматически, что вытекает из самой природы математической деятельности.
Особенности конкретного профиля могут потребовать включения в соответствующий курс материала, расширяющего основной курс и углубляющего его. Например, для развития абстрактного и логического мышления учащихся какого либо профиля научно-гуманитарного направления целесообразно повышенное внимание к аксиоматическому методу, для нужд технического и архитектурного профилей, может быть, следует усилить внимание к стереометрии или даже предусмотреть знакомство с элементами начертательной геометрии.
Если изучение математики в профиле чисто математическом является фактически самоцелью, то в профиле физическом изучение математики проводится, прежде всего, с целью создания необходимого для физики аппарата, а в профиле с уклоном в информатику математика формируется как основа решения специфических задач этой области знаний. Поэтому, например, изучение основ теории вероятностей и математической статистики, составляя специфическую область математических знаний, представляется обязательным в физическом профиле. Вряд ли их изучение необходимо в математическом профиле, поскольку основы соответствующей науки являются в большей степени функцией высшего образования. Аналогично основы математической логики, не являясь столь существенной частью математической науки, чтобы ее изучение в школе могло считаться обязательным, естественно рассматривать как необходимые в профиле с уклоном в информатику.
Курс общекультурной ориентации (курс А) рассчитан на 4-6 уроков в неделю, преподается в рамках единого курса математики и не ставит задачу подготовки учащихся к поступлению в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке. Курс повышенного типа рассчитан на 5-6 уроков математики в неделю для социально-экономического, естественного, технического направлений профилей и семь уроков для физико-математического. Основными задачами этого курса являются подготовка к поступлению и продолжению образования вуза, где математика является одним из базовых предметов.
1.2. Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» Изучение вероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека, и курс должен формировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных. Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех. Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистической математики.
Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.
Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.
Основными целями изучения курса являются следующие.
– Способствовать формированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющих ученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу.
– Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции.
– Способствовать развитию творческих способностей и дарований.
– Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.
– Создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.
1.2.2. Структура и содержание элективного курса В соответствии с целями изучения данного элективного курса был проведен отбор содержания.
Раздел 1. Элементы комбинаторики.
Исторические и занимательные комбинаторные задачи (фигурные числа, магические и латинские квадраты). Основные комбинаторные методы: перебор всех возможных вариантов (систематический перебор, перебор с ограничениями), полный граф, дерево вариантов (граф-дерево), таблица вариантов, правила произведения и суммы. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Формулы для подсчёта числа перестановок, размещений и сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Комбинированные задачи.
Ученические проекты:
· «Из истории комбинаторики».
· «Задание для друга» (по бесформульным методам).
· «Бином Ньютона».
· «Комбинаторика вокруг нас».
Раздел 2. Элементы теории вероятностей.
Испытания и события. Невозможные, достоверные и случайные события. Виды случайных событий (совместные и несовместные, равновозможные и неравновозможные, противоположные, независимые), действия над случайными событиями (сумма, произведение). Полная группа. Эксперименты и их исходы. Классическое определение вероятности. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса. Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Ученические проекты:
· Доклады об ученых, стоящих у истоков теории вероятности.
· «Парадоксы».
· «Кому нужна теория вероятностей?».
Раздел 3. Случайные величины.
Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения вероятностей ДСВ. Математическое ожидание ДСВ. Дисперсия ДСВ. Среднее квадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов.
Ученические проекты:
· «Современные азартные игры».
· «Моделирование методом Монте-Карло».
Раздел 4. Элементы математической статистики.
Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики. Статистическая информация и способы её представления: простой статистический ряд (выборка), таблицы частот, таблицы относительных частот, столбчатые диаграммы, полигоны частот, круговые диаграммы, гистограммы. Простейшие статистические исследования. Этапы статистических исследований. Опрос общественного мнения как пример сбора, обработки, представления и интерпретации данных. Статистические характеристики: среднее значение, мода, медиана, размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение. Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.
Ученические проекты:
· «Развитие математической статистики».
· Статистическое исследование на заданную тему.
В процессе обучения учащиеся приобретают умения:
· подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных определённому правилу;
· решать задачи с помощью графов;
· определять типы случайных событий;
· вычислять вероятность события, пользуясь простейшими свойствами вероятности;
· проводить эксперименты со случайными исходами;
· извлекать информацию из таблиц и диаграмм, анализировать её;
· записывать исходные данные в таблицу, используя их составлять диаграммы;
· регистрировать результаты наблюдений и делать выводы;
· выполнять математические, процентные расчёты.
Учитывая значимость и назначение курса в каждом из профилей определим структуру курса и составим учебный план.
№
РАЗДЕЛ ТЕМА ЗАНЯТИЯ
КОЛ-ВО ЧАСОВ
Матема-тический профиль
Гумани-тарный профиль
Экономи-ческий профиль
1
Элементы комбинато-рики
1. Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.
2. Подсчет вариантов с помощью графов, таблица вариантов.
3. Кортежи. Правила произведения и суммы.
4. Перестановки.
5. Размещения.
6. Сочетания.
7. Самостоятельная работа
8. Некоторые свойства сочетаний.
9. Свойство сочетаний =+и треугольник Паскаля.
10. Бином Ньютона.
11. Решение задач.
12. «Комбинаторика вокруг нас» (итоговое).
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
Всего
19
12
14
2
Элементы теории ве-роятностей
1. Предмет теории вероятностей. События.
2. Виды случайных событий.
3. Эксперименты и их исходы.
4. Классическое определение вероятности.
5. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики.
6. Статистическая вероятность.
7. Геометрическая вероятность.
8. Теорема сложения вероятностей.
9. Теорема умножения вероятностей.
10. Следствия теорем сложения и умножения.
11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.
12. Решение задач.
13. Самостоятельная работа.
14. «Кому нужна теория вероятностей?» (итоговое).
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
Всего
20
13
18
18
3
Случайные величины
1. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
2 Математические операции над случайными величинами.
3 Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.
4 Дисперсия ДСВ. Среднее квадратическое отклонение.
5 Метод наименьших квадратов.
6. Зачет.
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Всего
10
4
7
4
Элементы математической статистики
1. Выборочный метод.
2. Числовые характеристики статистических рядов.
3. Статистические исследования. Этапы статистического исследования.
4. Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.
5. Исследовательские проекты и их защита.
3
2
1
2
2
2
1
1
1
3
2
1
2
2
Всего
10
5
10
Итого
60
34
продолжение
–PAGE_BREAK–
Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы 2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием компьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом из которых используются свои модели реального объекта: Занятие №1. Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.
В начале занятия учащимся необходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, и привести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данному разделу.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.
Приведем примеры некоторых комбинаторных задач.
1) Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов?
2) Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?
3) Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?
4) Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?
5) Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.
6) Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
Таким образом, различают следующие типы комбинаторных задач:
· Задачи, в которых требуется перечислить все решения (пример 5).
· Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию (пример 3).
· Задачи, в которых требуется подсчитать число решений (пример 1, 2, 6, 4).
Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:
— подсчет методом непосредственного перебора;
— подсчет с использованием комбинаторных принципов;
— подсчет с использованием формул комбинаторики.
Каждый из этих этапов готовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальном этапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.
Рассмотрим основные методы, используемые в решении комбинаторных задач.
Перебор всех возможных вариантов
Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.
Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.
Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.
Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.
Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.
Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.
Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?
Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.
Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка.
Задачи:
1. Перечислить знакомые виды четырехугольников.
2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.
3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться? (перебор с ограничением).
4. (Устно) Важен или нет порядок в следующих выборках (комбинациях):
а) капитан волейбольной команды и его заместитель;
б) три ноты в аккорде;
в) «шесть человек останутся убирать класс!»;
г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.
5. Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух – нет.
6. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?
7. В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся написать работу (сообщение, реферат, доклад) на тему «Из истории комбинаторики».
Занятие №2. Подсчет вариантов с помощью графов. Таблица вариантов.
Эффективным приемом, организующим подсчет, является составление учащимися таблиц, построение графов. Графы, таблицы позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Поэтому использование этих методов в обучении комбинаторике в школе оправдывается не только познавательными, но и педагогическими соображениями.
Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.
Пример 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?
Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.
Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т.д.), а с помощью ребер – определенные связи между этими элементами.
Рассмотрим два вида графов:
1. Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).
С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.
На первом месте в трехзначном числе может стоять одна из цифр 1, 2 или 3; на втором и третьем местах – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр.
Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.
2. Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.
Пример 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?
Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.
Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.
Еще одним методом подсчета числа комбинаций является таблица вариантов. Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов.
Пример 3. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.
Для подсчета образующих чисел составим таблицу:
1-я
цифра
2-я цифра
0
1
2
3
1
10
11
12
13
2
20
21
22
23
3
30
31
32
33
N=3·4=12
Задачи:
1. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовало 5 человек?
2. Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: черные и коричневые.
3. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов.
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?
г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?
4. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово — Грибово. Из Антонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одну из участков маршрута они должны использовать велосипеды?
продолжение
–PAGE_BREAK–5. С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды (буквы в коде могут повторяться), в которых используются буквы а, б, в.
6. Составляя расписание уроков на понедельник для 10А класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Определиться в успешности усвоения данной темы поможет самостоятельное составление учащимися задач. Можно предложить им придумать так называемое «задание для друга» с использованием каждого из трех методов.
Занятие №3. Кортежи. Правило произведения.
Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы и произведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на таких теоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество, упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.
Рассмотрим задачу про «Суеверного председателя».
«Опять восьмерка!» — горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 – целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меня не обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Не знаю только, хватит ли на всех номеров – ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):
Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?
Далее учащиеся должны ответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.
Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9·9 = 92 двузначных номеров.
Итак, существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 92·9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.
Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 83 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.
С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.
Кортежи. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 – совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.
Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.
В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.
Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.
Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?
При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.
Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø =>
Здесь целесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммы для пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?
Правило суммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.
Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящих соответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которым мы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено число трехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х1. Ясно, что их число равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) и припишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества х2.Получится n2 кортежей длины 2, у которых первая координата равна а1. Но вместо а1 можно было бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1∙ n2 кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1∙ n2∙ n3 троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n1∙ n2∙ …∙ nk кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.
Полученный результат является одним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формул комбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правило так. Если элемент а1 можно выбрать n1 способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2 способами … после выбора элементов а1, а2, …, аk-1 элемент аk выбирается nk способами, то кортеж (а1, а2, …, аk) можно выбрать n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nk.
Подсчитаем, например, сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет). При этом, разумеется можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами – ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую букву уже можно повторить, а вторую – нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ 33∙32∙32∙32∙32∙32=1107396236.
Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы:
1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?
2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?
Занятия №4, 5, 6. Размещения. Перестановки. Сочетания.
Эти занятия можно построить с использованием презентации (см. Приложение 1) по единой схеме: определение → вывод формулы (доказательство) → пример. По мере рассмотрения каждого из комбинаторных понятий целесообразно отработать с учащимися эти понятия на символическом материале. Для усвоения содержания понятия нужно рассмотреть упражнения по составлению объектов, относящихся к определенному комбинаторному понятию. Эти упражнения должны носить внутримодельный характер. Упражнения лучше давать на карточках. Систему упражнений и задач можно подобрать из.
Занятие №7. Самостоятельная работа.
В начале занятия учащиеся должны самостоятельно заполнить таблицу, представленную в презентации (слайд 23), что будет способствовать систематизации и актуализации знаний, полученных на предыдущем занятии.
Вариант 1
1. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы A, B, C, D, E и F?
2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
3. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя друзьями?
4. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решив пройти 9 кварталов, из них 5 на запад и 4 на юг?
5. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?
6. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?
Вариант 2
1. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?
2. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам?
3. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?
4. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
5. Найти число различных способов, которыми можно записать в один ряд 6 плюсов и 4 минуса.
6. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?
Занятие №8. Некоторые свойства сочетаний.
Этот вопрос можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы.
I.
а) Составьте всевозможные сочетания по 2 элемента без повторений из элементов множества М={а, б, в, г, д}. Для каждого из составленных подмножеств выпишите дополнения — трехэлементные подмножества оставшихся элементов — и сравните число тех и других. Какой вывод можно сделать о числах и ?
б)Из n элементов некоторого множества составлены всевозможные k-элементные подмножества и соответствующие им дополнения — (n-k) – элементные подмножества оставшихся элементов. Какой вывод можно сделать о сравнительной величине чисел и ?
в) Воспользуйтесь формулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство =. Это равенство выражает одно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления в случае k>n.
г) Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел: , , , , , , , , , , , , , .
д) Вычислите , , .
е) Множество М={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножества так, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое — 4.
ж) Из 12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой. Сколькими способами это может быть сделано?
II. Докажите следующее свойство сочетаний:
+++…+=2n.
а) Возьмите множество М={а, b, с} из трех элементов и составьте k-элементные подмножества М /k=0, 1, 2, 3/.
Каждому подмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единиц и нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, если он входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотрите таблицу
Таблица 1.
продолжение
–PAGE_BREAK–Число всех подмножеств множества М равно +++и равно числу всех последовательностей длины три из единиц и нулей. Число таких последовательностей нетрудно подсчитать: каждое из трех мест в последовательности может быть занято 1 или 0, то есть двумя способами, а все три места – по принципу умножения – 2×2×2=23 способами. Это число можно получить и по формуле подсчета числа размещений с повторением, таким образом, +++=23.
б) Проведите аналогичные рассуждения для множества из n элементов. Тогда какие изменения следует внести в таблицу? Сделайте вывод, результат запишите.
Занятие №9. Свойство сочетаний =+и треугольник Паскаля.
I. Для изучения следующего свойства сочетаний предварительно составим трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выберем из множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на два класса: не содержащие «а» и содержащие «а».
I класс: {б, в, г}, {б, в, д}, {б, г, д}, {в, г, д}
II класс: {а, б, в}, {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г},
{а, в, д}, {а, г, д}.
Первый класс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента из следующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний . Каждое подмножество второго класса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множества следующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно .
Подмножества I и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множества М, что означает:
=+.
Аналогичными рассуждениями получите равенство:
=+.
Убедитесь в справедливости последнего равенства, воспользовавшись формулой подсчета числа сочетаний без повторений.
II. Составим таблицу значений при различных значениях n и k. В таблицу 2 занесем значения =1, =1, =1, =1, =2, =1. Заполните остальные строки таблицы, используя свойство сочетаний.
Займемся изучением таблицы 2.
Первые и последние элементы любой строки равны 1, так как ==1. Это равенство будем считать верным и при n=0 (пустое множество своим единственным подмножеством имеет самое себя).
Любой другой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний, на основании которого составлена таблица, равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящего непосредственно над ним и стоящего над ним слева.
Часто числа располагают в таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чисел предшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогда таблица принимает форму равнобедренного треугольника.
Исследованием свойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученый Франции Блез Паскаль (1623 —1662). Поэтому рассматриваемую таблицу часто называют треугольником Паскаля. Хотя задолго до Паскаля этот треугольник встречался в работах итальянских и арабских математиков.
Отметим некоторые из свойств треугольника Паскаля.
1. Сумма чисел k-той строки равна 2k: ранее было доказано, что +++…+=2k.
Таблица 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
0
1
…
1
1
1
…
2
1
2
1
…
3
1
3
3
1
…
4
1
4
6
4
1
…
5
1
5
10
10
5
1
…
6
1
6
15
20
15
6
1
…
7
1
7
21
35
35
21
7
1
…
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
…
9
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
…
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ее концов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство =.
2. Члены любой строки треугольника Паскаля до середины строки возрастают, а затем убывают.
Задания:
1. Сколько различных подмножеств имеет множество всех цифр?
2. Сколько различных делителей, включая 1, имеет число а)2∙3∙5∙7∙11? б) 195?
3. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5?
4. С помощью свойства сочетаний =+докажите равенство: +++…+=.
5. Пользуясь треугольником Паскаля, найдите числа , .
6. Напишите 11 строку треугольника Паскаля.
Занятие №10. Бином Ньютона.
Это занятие можно построить на подготовленных учениками ранее в качестве домашнего задания докладах по данной теме.
В процессе самостоятельной подготовки докладов учащиеся овладевают навыками работы с научно-популярной и справочной литературой.
Занятие №11. Решение задач.
Блок задач должен содержать задачи на простое однократное применение какой-либо формулы, задачи, решаемые бесформульными методами, комбинированные задачи.
1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки и письма?
2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
4. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться?
5. Сколько существует пятизначных четных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется дважды?
6. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова «кибитка»?
7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
8. Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 различных красок?
9. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
10.Во скольких девятизначных числах все цифры различны?
11.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?
12.Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых трех цифрах которых не встречаются 0 и 9?
13.Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три натуральных числа так, чтобы их сумма была четной?
14.На прямой взято p – точек, а на параллельной ей прямой еще g – точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
15.В комнате n лампочек. Сколько всего разных способов освещения комнаты, при которых горит ровно k лампочек?
16.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
17.Сколькими способами можно рассадить n гостей за круглым столом?
18.Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?
19.Сколько трехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 3?
20.Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин?
21.Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое – 17?
22.Сколькими способами можно разложить на шахматной доске две ладьи так, чтобы они не били друг друга?
23.Сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе могут повторяться?
24.Сколько различных предсказаний о распределении 3 трудовых мест можно сделать, если в соревновании принимают участие 10 человек?
25.Сколькими способами можно выбрать 4 числа из 10?
26.В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.
27.В классе имеется 6 сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду от 2 до 4 человек?
28.Сколько различных направлений задают на плоскости вершины треугольника?
29.Из колоды в 36 карт наугад выбирают 2 карты. Сколько возможно случаев, в которых обе карты окажутся тузами?
Занятие №12. Комбинаторика вокруг нас.
К данному итоговому занятию каждый из учащихся должен подготовить проект на тему «Приложения комбинаторики» (в химии, астрономии, геометрии, физике, биологии, теории вероятности, логике, программировании). Это могут быть доклады, сообщения, сопровождающиеся наглядностью, презентации и прочие. Учащиеся могут пользоваться любыми ресурсами, в том числе электронными. Можно им порекомендовать книгу.
Раздел 2. Элементы теории вероятности.
Этот раздел элективного курса представляет собой чрезвычайно яркую, интересную и своеобразную область математики.
Изучение материала сопровождается рассмотрением разнообразных игровых и жизненно интересных примеров с непредсказуемым однозначным результатом. Рассмотрение случайных событий, некоторые трудности психологического характера, вызываемые необычностью объектов изучения, делают курс непростым для усвоения.
Занятие №1. Предмет теории вероятностей. События.
На вводном занятии надо рассказать учащимся о возникновении теории вероятности, об ученых, стоящих у ее истоков. Причем, по мере рассказа учителя, учащиеся могут делать доклады по биографии упомянутых ученых. Темы доклады нужно распределить заранее.
В обыденной жизни, давая какие-либо прогнозы, мы нередко употребляем выражения «вероятность», «вероятно». Например, мы говорим: «Вероятно, сегодня вечером будет дождь». Причём мы отдаём себе отчёт, в каких событиях «мало» вероятности, в каких – «много».
Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.
Теория вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.
С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут либо произойти, либо не произойти в результате какого-то испытания, мы встречаемся в жизни очень часто.
Ученик извлекает билет – это испытание. Появление при этом билета №13 – случайное событие, билета №5 – другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – это испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это случайное событие.
Например, рассмотрим следующие события:
№№
Условие
Исход
А1
При нагревании проволоки
её длина увеличится
А2
При бросании игральной кости
выпадут 4 очка
А3
При бросании монеты
выпадет герб
А4
При осмотре почтового ящика
найдены три письма
А5
При низкой температуре
вода превратилась в лёд
События А1, А5 произойдут закономерно, А2, А3, А4 – случайные.
Событие, которое в данном испытании неизбежно наступит, называется достоверным, а событие, которое в данном испытании никогда не появится – невозможным.
Какие из следующих событий достоверны:
Назовите невозможные события:
А
Вода в реке замерзла при температуре +25°С
+
В
Появление слова «мама» при случайном наборе букв м, м, а, а
—
С
Появление сразу трёх лайнеров над аэропортом
+
D
Составление трёхзначного числа, состоящего из цифр 1,2,3 и кратного 5
+
E
Появление 17 очков при бросании трёх игральных костей
—
Упражнения:
Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
1. Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня.
2. Случайным образом открывается художественное произведение и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы М; 2) с буквы Ъ.
3. Из списка журнала 9 класса (в котором есть и мальчики, и девочки) случайным образом выбран ученик: 1) это мальчик; 2) выбран ученик, которому 15 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.
4. Сегодня в Кирове барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипит при температуре 70°С; 2) когда температура упала до -3°С, вода в луже замёрзла.
5. В нашей школе учатся 758 учеников. Событие А={в школе есть ученики с совпадающими днями рождения} является случайным или достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашем классе?
6. Среди 150 билетов школьной благотворительной лотереи 30 выигрышных. Сколько билетов надо купить, чтобы событие А={вы ничего не выиграете} было невозможным?
7. В 10 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являются невозможными, какие случайными, какие – достоверными:
А={ в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы};
В={в классе есть два человека, родившихся в одном месяце};
С={в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце};
D={в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце};
Е={все мальчики родились в разные месяцы};
F={все девочки родились в разные месяцы};
К={есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце};
М={ есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы}.
продолжение
–PAGE_BREAK–8. Около школы останавливаются автобусы трёх маршрутов, идущих в сторону лесозавода: № 5, № 13 и № 23. Интервал в движении автобусов каждого маршрута колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Кристина и Катя подошли к остановке, от неё отошёл автобус № 13, а ещё через 6 минут подошёл автобус № 5. После этого каждый из ребят высказал своё мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:
Саша: Следующим обязательно будет № 23.
Маша: Возможно, что следующим будет № 23.
Кристина: Возможно, что следующим будет № 13.
Катя: Невозможно, что следующим будет № 5.
С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.
9. На дорогу от дома до школы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идёт пешком, и от 2 до 3 минут, если едет на автобусе. При каких интервалах движения автобусов событие А=={по пути в школу Мишу обгонит хотя бы один автобус} будет невозможным, при каких – случайным, при каких – достоверным?
После знакомства с понятием «случайное событие» учащиеся должны уметь приводить примеры таких событий из жизни и отличать их от неслучайных.
Занятие №2. Виды случайных событий.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.
Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» — несовместными.
Задачи:
1. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы определить совместные и несовместные события, если: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.
2. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.
3. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Мариинске +30°С» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Например, «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты – равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» — неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Например, попадание и промах при выстреле; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости.
Если два единственно возможных события образуют полную группу, то их называют противоположными (выигрыш и не выигрыш, попадание и промах). Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .
Задачи:
1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.
а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.
б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.
в) На контрольной работе я не решил, как минимум, три задачи из пяти.
2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:
а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;
б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;
в) в нашем классе все умные и красивые;
г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.
Рассматривая события как множества, можно определить действия над событиями. (Введение понятий суммы и произведения событий позволяет подготовить действия над вероятностями).
a) Объединение событий или сумма событий — AÈB или А+В — событие, содержащее все элементы А и В.
Пример 1.
Испытание: бросаем игральную кость.
Событие А: выпало четное число очков.
Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.
Событие A+B: выпало 1, 2, 3, 4 или 6 очков.
Пример 2.
Событие А: круг.
Событие B: квадрат.
Событие A+B: заштриховано.
b) Пересечение событий или произведение событий — AÇB или АВ — событие, содержащее только общие элементы А и В.
Пример 3.
Испытание: бросаем игральную кость.
Событие А: выпало четное число очков.
Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.
Событие AB: выпало 2 очка.
Пример 4.
Событие А: круг.
Событие B: квадрат.
Событие AB: заштриховано.
Какими являются события C, D, E?
Задачи:
1. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом», событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие А+В?
2. Событие А – «ученик учится без троек», событие В – «ученик учится без двоек», событие С – «ученик не отличник». Сформулируйте: А+В+С.
3. Событие А – «лотерейный выигрыш 10 руб.», событие В – «лотерейный выигрыш 20 руб.», событие С – «лотерейный выигрыш 30 руб.», событие D – «лотерейный выигрыш 40 руб.». В чем состоит событие А+В+С+D?
4. Событие А – «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости», событие В – «появление 3 очков при бросании игральной кости», событие С – «появление 5 очков при бросании игральной кости». В чем состоят события АВС, АВ, АС, ВС?
5. Проводятся две лотереи. Если событие А1 – «выигрыш по билету первой лотереи» и событие А2 – «выигрыш по билету второй лотереи», то что означают события: А1А2+А2, А1+А2+А1А2?
6. Известно, что события А и В произошли, а событие С не наступило. Определите, наступили ли следующие события: А+ВС, (А+В)С, АВ+С, АВС.
7. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. обозначим события: А1 – «он пошел первой дорогой», А2 – «он пошел второй дорогой».
Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события: В1 – «он пошел первой дорогой», В2 – «он пошел второй дорогой», В3 – «он пошел третьей дорогой».
Применяя понятия суммы и произведения, а также противоположного события, постройте события, состоящие в том, что:
– от А до В он выбрал дорогу наугад, а от В до С пошел третьей дорогой;
– от А до В он пошел первой дорогой, а от В до С – дорогой, выбранной наугад;
– от А до В он пошел не первой дорогой, а от В до С – не третьей;
– он дошел от А до С.
Занятие №3. Эксперименты и их исходы.
Первый шаг на пути ознакомления учащихся с понятием вероятность состоит в длительном экспериментировании, то есть в многочисленных манипуляциях с разнородными предметами (игральными костями, волчками, монетами, шарами и прочими).
Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить на группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.
Могут быть предложены следующие задания-эксперименты:
Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».
Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.
Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.
Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста. Подсчитайте, сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.
Задание №5. 100 раз подбросить игральную кость и зафиксировать количество выпадений 6.
После проведения экспериментов целесообразно ввести понятия эксперимента и его исхода. Четкое определение и разграничение при проведении реальных физических экспериментов таких понятий, как исход эксперимента и событие, возможное в эксперименте, в дальнейшем поможет избежать многих трудностей при введении понятия вероятности случайного события.
Занятие №4. Классическое определение вероятности.
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующая степень возможности появления события.
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взяты наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковые и тщательно перемешаны).
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
Необходимо пояснить учащимся различие между событием и элементарным событием.
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу, называют вероятностью события А и обозначают Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А)=5/6.Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
, где m — число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Полезно формуле вероятности события придать наглядную иллюстрацию.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Доказательства данных свойств могут быть предложены учащимся в качестве домашнего задания.
Задачи:
1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
2. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?
3. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?
4. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи ?
5. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?
6. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?
Занятие №5. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики.
При изучении этой темы надо, чтобы учащиеся отчетливо представляли себе роль сочетаний, размещений и перестановок в различных вероятностных задачах и научились по формулировкам задач определять, какой из видов соединений будет использован при решении той или иной задачи. Здесь можно руководствоваться следующим: если множество исходов составляют всевозможные комбинации из n элементов по k, то в задаче будут фигурировать сочетания; если же всевозможные комбинации из n элементов по n, то в задачах идет речь о перестановках; размещения будут тогда, когда речь идет о порядке элементов в рассматриваемых комбинациях.
Задачи:
1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
2. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?
3. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?
4. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?
5. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?
6. На полке 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?
Занятие №6. Статистическая вероятность.
продолжение
–PAGE_BREAK–Классическое определение не требует, чтобы испытание обязательно проводилось в действительности: теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующие событию исходы. Такое определение предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно и выражается конкретным числом. Однако на практике – при изучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве – часто встречаются испытания, у которых число возможных исходов необозримо велико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний трудно или не возможно установить равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду с классическим, на практике используют и так называемое статистическое определение вероятности. Для знакомства с ним требуется ввести понятие относительной частоты.
Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний n.
Таким образом, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту после опыта.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.
Например, по данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек в 1935 г по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490;0,471;0,478;0,482;0,462;0,484;0,485;0,491;0,482;0,473. относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек
Таким образом, в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Назовите их.
Задачи:
1. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?
2. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
3. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцам и дням недели
пн
вт
ср
чт
пт
сб
вс
январь
0
1
3
4
0
0
1
февраль
2
4
1
2
3
0
2
март
2
2
0
2
4
2
0
апрель
3
2
5
8
0
3
2
май
4
0
2
1
1
1
2
июнь
4
2
2
1
3
2
0
июль
0
1
4
2
1
2
0
август
1
2
4
4
2
0
1
сентябрь
0
1
2
1
2
3
5
октябрь
1
2
0
0
2
1
0
ноябрь
0
2
4
1
1
5
1
декабрь
2
2
3
2
0
2
2
Найдите относительные частоты событий:
А = {старшеклассник родился в майское воскресенье};
В ={старшеклассник родился в зимний четверг};
С = {старшеклассник родился в понедельник};
D = {старшеклассник родился весной}.
Занятие №7. Геометрическая вероятность.
Геометрическая вероятность – это своеобразный аналог формулы классического определения вероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определения вероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собой бесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найти вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом – конечное и бесконечное множества исходов – и заключается основное различие между классическим определением вероятности события и геометрическим.
Рассмотрение геометрической вероятности развивает у учащихся пространство воображения и способствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию на геометрический язык.
Геометрические вероятности можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.
Задачи:
1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
2. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
4. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10 м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется?
Занятие №8. Теорема сложения вероятностей.
Из четырех теорем о сложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение), для событий, образующих полную группу и для противоположных событий) практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтому их следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположных событиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одному из учащихся.
Теорема 1. Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – общее число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – общее число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,
Р(А+В)=.
Приняв во внимание, что и , окончательно получим
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Теорема 3. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна 1:
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то
Р(А1+А2+…+Аn)=1. (*)
Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn). (**)
Сравнивая (*) и (**), получим
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Р(А)+Р()=1.
Задачи:
1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем).
3. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
4. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.
Занятие №9. Теорема умножения вероятностей.
Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Привести учащихся к этому понятию поможет разбор примера.
Пример: Из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар?
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна
(Р(А)>0).
Опираясь на определение условной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему о вероятности совместного появления двух событий.
Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:
Р(АВ)=Р(А)РА(В).
Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть
РА(В)=Р(В) или РВ(А)=Р(А).
Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.
Задачи:
1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
2. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?
3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический?
4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6?
5. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Занятие №10. Следствия теорем сложения и умножения.
Возвращаясь к занятию №8, где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразно изложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить не обязательно, надо только ее проиллюстрировать.
Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Пусть требуется найти вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу.
Если А произошло вместе с одним из событий В1, В2, …, Вn, значит, произошло одно из несовместных событий В1А, В2А, …, ВnА.
Таким образом, А= В1А + В2А + … + ВnА.
Поскольку события В1, В2, …, Вn взаимно несовместны, то и события В1А, В2А, …, ВnА обладают тем же свойством. Поэтому
Р(А)= Р(В1А) + Р(В2А) + … + Р(ВnА).
По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем ; ; …; .
Поэтому
.
Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
.
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
С помощью этой формулы находим так называемую формулу Бейеса:
при i=1, 2, …, n.
Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Гипотезы – это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.
Доказать формулу Бейеса учащиеся могут самостоятельно.
Задачи:
1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
3. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?
4. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что один из купленных билетов выигрышный?
5. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
продолжение
–PAGE_BREAK–6. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?
Занятие №11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Формула Бернулли намного упрощает путь решения задач в том случае, когда опыты повторяются независимо друг от друга и вероятность интересующего нас события не меняется.
Вероятность того, что при повторных испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз находится по формуле:
.
Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях n и m затруднительны. В математике установлены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значения для Рn(m) и, что еще важнее для практики, суммы значений Рn(m), таких, что дробь (относительная частота появления события А) лежит в данных границах.
По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 подбрасываний монеты все 100 раз выпадет герб, равна , то есть примерно 10-30. Не столь мала, но все, же ничтожна вероятность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно, что число выпадений герба будет мало отличаться от 50.
Вообще при большом числе испытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной П.Л. Чебышевым гласит:
Теорема. Пусть вероятность события А в испытании s равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа e выполняется неравенство
.
Эту теорему лучше давать без доказательства по следующим причинам: во-первых, на доказательство уйдет много времени и, во-вторых, самим доказательством можно «затмить» идею закона больших чисел.
Задачи:
1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?
2. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?
3. вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
4. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвертым – 0,4. Какова вероятность того, что все четыре выстрела — промахи?
5. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях?
6. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?
7. Какова вероятность равенствас точностью до 0,1 при 100 опытах?
Занятие №13. Самостоятельная работа.
Изучение случайных событий желательно завершить самостоятельной работой, в которой одну-две задачи надо решить как можно большим числом способов. Неплохо включить в работу и теоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, понимание учащимися теоретической части пройденного материала и, с другой стороны, умение учащихся формулировать и излагать свои мысли).
Примерный состав самостоятельной работы:
Вариант 1
1. Среди облигаций займа 25% выигрышных. Найдите вероятность того, что из трех взятых облигаций хотя бы одна выигрышная.
2. Найти вероятность по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.
3. Могут ли несовместные события быть в то же время независимыми и наоборот? Привести примеры.
Вариант 2
1. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что для ввода двигателя на работу придется включить зажигание не более двух раз.
2. Найти вероятность по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.
3. Почему формула Бернулли применяется при независимости опытов?
Способы решения первых задач подробно изложены в методике.
Занятие №14. Кому нужна теория вероятностей?
Форма организации данного занятия – круглый стол – представление учащимися индивидуальных творческих работ по выбору:
– небольшая подборка интересных вероятностных задач из различных областей профессиональной деятельности;
– исследовательская работа в области теории вероятности;
– индивидуальный проект, отражающий возможность применения знаний по теории вероятности в какой-либо деятельности человека или для какой-либо профессии;
– написание программ для вычисления вероятностей на каком-либо языке программирования.
Общая тема творческих работ: «Кому нужна теория вероятностей?».
В качестве источников литературы можно порекомендовать следующие книги: Китайгородский, А.И.– посвящена применению законов теории вероятностей к различным жизненным ситуациям и в разных областях науки.
Раздел 3. Случайные величины.
Здесь учащиеся знакомятся еще с одним видом функции – случайной величиной. Эта специфическая числовая функция дополняет и расширяет представление школьников о функциональных зависимостях.
Занятие №1. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
В теории вероятностей приводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример 1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.
Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, от температуры и других причин, которые могут полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).
Случайные величины обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2, x3.
Виды случайных величин
Дискретной или прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины (ДСВ) может быть конечным или бесконечным (см. пример 1).
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений НСВ бесконечно (см. пример 2).
Закон распределения вероятностей ДСВ
На первый взгляд может показаться, что для задания ДСВ достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания ДСВ не достаточно перечислить всевозможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что событие X=x1, X=x2, …, X=xn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: p1+p2+…+pn=1. Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p1+p2+… сходится и его сумма равна единице.
Для наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Занятие №2. Математические операции над случайными величинами.
Вначале введем понятие независимости случайных величин.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины X и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету, будут независимыми, так как при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X=xi) закон распределения выигрыша по другому билету (Y) не изменится. Если же случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (X=xi) приводит к изменению вероятности выигрыша по другому билету (Y), то есть к изменению закона распределения Y.
Определим математические операции над ДСВ.
Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).
m-й степенью случайной величины Х, то есть Хm, называется случайная величина, которая принимает значение с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).
Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида xi+yj (xi-yj или xi∙yj), где i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, с вероятностями pijтого, что случайная величина Х примет значение xi, а Y – значение yj: pij=Р[(X=xi) (Y=yj)].
Если случайные величины Х и Y независимы, то есть независимы любые события X=xi, Y=yj, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
pij=Р(X=xi)∙Р(Y=yj) = pi∙pj.
Занятие №3. Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2, …, хn, вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством
М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn.
То есть .
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.
Доказать приведенные свойства учащиеся могут самостоятельно.
Задачи:
Занятие №4. Дисперсия ДСВ.
Занятие №5. Среднее квадратическое отклонение.
Занятие №6. Метод наименьших квадратов.
Занятие №7. Зачет.
Раздел 4. Элементы математической статистики.
В рамках данного элективного курса предполагается познакомить учащихся с элементами статистики как научного направления. Прежде всего речь идет об элементах так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления числовых характеристик для совокупности числовых данных.
Включение в курс начальных сведений из статистики направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации.
Занятие №1. Выборочный метод.
Статистика – это научное направление, объединяющие принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. Оно включает в себя математическую статистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик (статистика промышленности, статистика финансов, статистика народонаселения и другие).
Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Для получения опытных данных необходимо провести обследование соответствующих объектов. Например, если исследователя интересует вероятность того, что диаметр валика определенного типоразмера после шлифовки окажется за пределами технического допуска, то надо знать закон распределения этого диаметра, а для этого прежде всего нужно располагать набором возможных значений диаметра. Однако обследовать все валики зачастую трудно, поскольку их количество может быть велико. Поэтому приходится из всей совокупности объектов для обследования отбирать только часть, то есть проводить выборочное обследование. В некоторых случаях обследование объектов всей совокупности практически не имеет смысла, поскольку они разрушаются в результате обследования. Таким образом, основным методом статистики является выборочный метод.
продолжение
–PAGE_BREAK–