СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ООО «ДУБРОВЧАНКА+»
1.1 Историческая справка
1.2 Характеристика предприятия
1.3 Организационная структура и статистическиеданные
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
2.1 Понятие линейного программирования
2.2 Построение и решение ЭММ на примереООО «Дубровчанка+»
3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИК РАБОТЕ ООО «ДУБРОВЧАНКА+»
3.1 Сущность транспортной задачи
3.2 Решение транспортной задачи на примереООО «Дубровчанка+»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Различные технико-экономические и экономическиепроизводственные задачи, начиная от оптимальной загрузки станка и раскройки стальноголиста или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса и оценки темпов ростаэкономики страны в целом, приводят к необходимости решения тех или иных задач линейногопрограммирования.
На сегодняшний день это является важныминструментом экономического анализа: позволяет получить четкое представление о состояниипредприятия, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру ивнешние связи. Таким образом, экономико-математическое моделирование работы предприятия,фирмы, основанное на анализе его деятельности, должно обогащать этот анализ результатамии выводами, полученными после решения соответствующих задач.
Часто эксперимент с математическоймоделью может заменить реальный эксперимент, который либо слишком дорог, либо невозможенпо тем или иным причинам. Все это и дает весомую актуальность применению задач линейногопрограммирования в современных экономических условиях и данной курсовой работе какего частному случаю.
Целью работы стали систематизациятеоретических данных по выбранной теме и их применение на конкретном предприятии.Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
— рассмотреть сущность задач линейногопрограммирования;
— выявить основные методы линейногопрограммирования при решении экономических задач, изучить алгоритм построения экономико-математическихмоделей;
— применить теоретические положенияпостроения ЭММ и транспортной задачи к статистическим данным ООО «Дубровчанка+»,а также их решения в виде расчета плана максимизации прибыли и минимизации расходовна перевозку продукции потребителям.
Исходя из этого, объектом исследованияв рамках курсовой работы стала область применения методов линейного программированияпри решении экономических задач, а предметом – ее применение на конкретном предприятии.
Все это и дало обоснование дляследующего структурирования работы. Курсовая работа содержит введение, где даетсяобоснование актуальности выбранной для исследования темы, формируются цели, задачи,объект и предмет исследования, отражены структура работы, а также теоретическаяи информационная база, использованная при ее написании.
Основная часть данной курсовойработы, решающая поставленные цели и задачи, состоит из двух разделов. Так, первыйиз них «Краткое описание ООО «Дубровчанка+» включает в себя при этом подразделы«Историческая справка», «Характеристика предприятия» и «Организационная структураи статистические данные».
Второй раздел носит название«Применение методов линейного программирования при решении экономических задач»и включает в себя подразделы «Понятие линейного программирования» и «Построениеи решение ЭММ на примере ООО «Дубровчанка+».
Третий «Применение теориитранспортной задачи к работе ООО «Дубровчанка+» раскрывает понятие транспортнойзадачи, методику ее построения и решения в подразделе «Сущность транспортной задачи»и описывает механизм его применения на конкретном предприятии.
В заключении освещаются основныетеоретические положения по исследуемой теме, а также обобщаются результаты проведеннойработы.
Информационной базой для написаниякурсовой работы послужили популярные учебные пособия отечественных авторов: АлесинскойТ.В. — Учебное пособие по решению задач по курсу «Экономико-математические методыи модели», А.И. Орлова – «Теория принятия решений», «Исследование операций в экономике»под редакцией Н.Ш. Кремера и другие.
1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ООО«ДУБРОВЧАНКА+»
1.1 Историческая справка
ООО «Дубровчанка+» является наследникомодного из старейших предприятий Пензенской области — Городищенского деревоперерабатывающегозавода, основанного в 1939 году.
История завода начиналась с работы объединениякустарей и ремесленников г. Городище в разных по своему профилю промартелях. Так,еще до Великой Отечественной войны в шорном и сапожном цехах работало лишь 18 человек.В годы войны к ним прибавились валяльный, кожевенный, жестяной и столярный цеха.
17 ноября 1971 года решением Пензенского Облисполкома предприятиебыло переименовано в «Городищенский деревоперерабатывающий завод» (ДОЗ), именнос этого периода начинается его интенсивное строительство, а численность занятыхна производстве рабочих достигает более 700 человек.
Основной специализацией предприятия стал выпуск мебели различногоназначения и мебельных деталей. Гарнитуры для кухни, выпускаемые в Городище, быливостребованы как среди населения Пензенской, так и других областей. А полумягкимстульям и табуретам был присвоен в свое время государственный Знак качества.
Однако помимо производства мебели, ДОЗ занимался лесоразработками,ежегодно заготавливая 18 тысяч кубометров древесины, изготовлением кирпича и резнойсувенирной продукции.
С 2001 года после технического перевооруженияпредприятия и оснащения цехов современными деревообрабатывающими станками зарубежногои отечественного производства предприятие приступило к выпуску качественной мебелисовременного дизайна и высокой экологической чистоты, пиломатериалов и поганажа.
1.2 Характеристика предприятия
На сегодняшний день ООО «Дубровчанка+» располагается на территории в 19 гектаров, обладает мебельными цехами общей площадью8500 квадратных метров, собственным лесозаготовительным, лесопильным и сушильнымучастками. Заготовка ежегодно арендуемого леса позволяет в полной мере обеспечиватьпроизводство мебели из отборной древесины, производить пиломатериалы хвойных и лиственныхпород на продажу. За последние годы на предприятии также налажено производство погонажа(вагонки, половой рейки, блок-хауса).
Серийно изготавливаемая продукция представленанаборами мебели для кухни с фасадами из пластика и массива древесины, угловыми скамьями,табуретками, обеденными столами, кроватями и другими изделиями[1].Помимо серийных моделей, организовано производство мебели по индивидуальным проектам.
Удобное географическое расположениепредприятия позволяет производить отгрузку продукции автомобильным и железнодорожнымтранспортом в любую точку России, ближнего и дальнего зарубежья. Кроме всего этого,для заказчиков и покупателей подмосковного и близлежащих к нему регионов недавнооткрыто представительство в Москве, так же полно демонстрирующее всю гамму мебельнойпродукции.
Основной упор в развитии предприятиясейчас делается на поддержание и развитие надежных партнерских отношений с заказчиками,внедрение новых технологий с целью постоянного совершенствования качества и снижениястоимости выпускаемой продукции, расширение ассортимента и разработку новых моделеймебельной продукции, отвечающих высоким требованиям покупателей.
Таблица 1
Основные виды продукции ООО «Дубровчанка+»
Наименование изделия
Габаритные размеры, мм
Ед.изм. Кухня «Добровчанка-Н8» (угловая, без раковины, фасад — массив, постформинг) 2400*1600 к-т. Шкаф навесной 2-х дверный (фасад — массив) 800*320*720 шт. Шкаф-стол однодверный (фасад — массив) 400*600*850 шт. Шкаф навесной однодверный стекло (фасад — массив) 400*320*420 шт. Шкаф-стол с ящиком на 400 (фасад — массив) 400*600*850 шт. Шкаф-стол на 800 (фасад — массив) 800*600*850 шт. Шкаф-стол под мойку (без крышки, без раковины, массив) 800*600*850 шт. Шкаф навесной однодверный (фасад — массив) 400*320*720 шт. Шкаф-стол угловой (фасад — массив) 800*800*850 шт. Шкаф навесной угловой (фасад — массив) 600*600*720 шт. Шкаф навесной открытый 200*300*720 шт. Шкаф навесной 2-х дверный, массив, стекло 800*320*720 шт. Кухня «Дубровчанка-Н3» (без раковины, фасад — массив, постформинг) 2000*600*2085 к-т. Стол обеденный, пластик 800*600*750 шт. Стол обеденный «Ладога», пластик 110*600*750 шт. Стол обеденный из массива 1200*670*750 шт. Стол обеденный раскладной, пластик 800*600(1200*800)*750 шт. Табурет кухонный, массив 320*320*450 шт. Табурет кухонный, пластик 320*320*450 шт. Табурет кухонный, мягкий 320*320*450 шт. Скамья угловая 1540*1130*800 шт. Кровать подростковая 2-х ярусная 1985*750*1650 шт. Кроватка детская, массив 1255*670*900 шт. Комод из массива 800*560*850 шт. Прикроватная тумбочка 505*400*555 шт. Стул мягкий (шинил) шт. Матрац ватный (кровать подр. 2-х ярусная) шт. Матрац ватный (кроватка детская) шт. П/материал хвойных пород необрезной
м3 П/материал лиственных пород необрезной
м3 Евровагонка
м3
1.3 Организационная структураи статистические данные
Организационная структура предприятияпредставлена на схеме:
/>
В настоящее время ООО «Дубровчанка+»располагается на территории в 19 га, обладает мебельными цехами общей площадью 8500квадратных метров, лесозаготовительным, лесопильным и сушильным участками. Здесьпроизводится более 40 видов мебельной продукции, на предприятии занято порядка 120человек со средней заработной платой 6000-7000 рублей. Средний объем производствасоставляет около 1000 единиц продукции в месяц, которая реализуется как среди потребителейПензенской области, так и других регионов: Самарской, Саратовской, Тамбовской, Московскойи других областей. Объемы лесозаготовки для собственного производства и к реализациисоставляют примерно 10 000-13000 кубометров древесины в год.
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
2.1 Понятие задачи линейногопрограммирования
Временем рождения линейногопрограммирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Л.В. Канторовича«Математические методы организации и планирования производства» [2]. Поскольку методы,изложенные им, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительныхмашин в то время не существовало, работа Л.В. Канторовича осталась почти не замеченной.Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годовс появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием,вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования.
Таким образом, линейное программирование — область математики, разрабатывающаятеорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума)линейной (целевой) функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. равенств или неравенств, связывающих эти переменные [1].
Задачей линейного программированияназывается задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:
/>
/>
/>
/>
В этом случае говорят, чтозадача представлена в канонической форме. При этом система линейных уравнений инеравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачилинейного программирования, а линейная функция f(Х) называется целевой функцией или критерием оптимальности. Вчастном случае, если I = Ш, то система состоиттолько из линейных неравенств, а если I = M, то – из линейных уравнений.
Итак, характерные черты задачлинейного программирования следующие:
1) показатель оптимальностиf(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x1,x2, …, xn);
2) ограничительные условия,налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Любую задачу линейного программированияможно свести к задаче в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметьсводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенствк ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности.Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой спротивоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачилинейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
1) если висходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменитьзнак и искать минимум этой функции;
2) если вограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
3) если средиограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательныхпеременных они преобразуются в равенства;
4) если некотораяпеременная xk не имеетограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях)разностью между двумя новыми неотрицательными переменными: />, где /> – свободныйиндекс, />.
При описании реальной ситуациис помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, какпропорциональность и аддитивность. Пропорциональностьозначает, что вкладкаждой переменной в целевой функции и общий объем потребления соответствующих ресурсовдолжен быть прямо пропорционаленвеличине этой переменной. Аддитивностьозначает, что целевая функция и ограничения должны представлять собой суммувкладов от различных переменных [4].
Исходя из отмеченных выше особенностей задач линейного программирования,можно наметить следующую общую схему формирования экономико-математической модели:
— выбор некоторого числа переменных величин, заданием числовыхзначений которых однозначно определяется одно из возможных состояний исследуемогообъекта или явления;
— выражение взаимосвязей, присущих исследуемому объекту (явлению),в виде математических соотношений (уравнений, неравенств); эти соотношения образуютсистему ограничений задачи;
— количественное выражение выбранного критерия оптимальности вформе целевой функции;
— математическое формулированиезадачи как задачи отыскания экстремума целевой функции при условии выполнения ограничений,накладываемых па переменные [1].
Говоря оматематических моделях задач линейного программирования, выделяют, как правило,несколько основных видов задач:
— задачипо определению оптимального ассортимента продукции (в качестве критериев оптимальностив них могут быть использованы прибыль, себестоимость, номенклатура производимойпродукции и затраты станочного времени);
— задачипо использованию мощностей оборудования (обычно поставлены так, чтобы израсходоватьвсе отведенное время работы машины, т.е. обеспечить полную загрузку машины, приэтом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть, по крайней мере,не менее Nj;
— задачипо минимизации дисбаланса на линии сборки (что по существу эквивалентно максимизациивыпуска изделий);
— задачисоставления кормовой смеси (задача о диете);
— задачисоставления жидких смесей (класс моделей, аналогичных рассмотренным выше, возникает при решении экономическойпроблемы, связанной с изготовлением смесей различных жидкостей с целью полученияпользующихся спросом готовых продуктов);
— задачио раскрое или о минимизации обрезков (состоят в разработке таких технологическихпланов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы(по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму);
— транспортныезадачи (по распределению ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), n потребителям этих ресурсов) [3].
Обобщая их,можно сделать следующие выводы.
1. Ограниченияв задачах линейного программирования могут быть выражены как равенствами, так инеравенствами.
2. Линейнаяфункция может стремиться как к максимуму, так и к минимуму.
3. Переменныев задачах всегда неотрицательны.
Для решениязадач линейного программирования в настоящее время используются несколько основныхметодов. Среди них:
— графическийметод (используемый обычно для решения задач линейного программирования, представленныхв стандартном виде, если число переменных в целевой функции и системе ограниченийне более двух);
— симплексныйметод (стандартный метод решения задач линейного программирования с любым числомпеременных, основанный на переходе от одного опорного плана к другому, при которомзначение целевой функции улучшается (по крайней мере, не ухудшается);
— решениезадач линейного программирования с использованием приложения MS Excel [1].
2.2 Построение и решениеЭММ на примере ООО «Дубровчанка+»
Пользуясь статистическимиданными деятельности предприятия, составим экономико-математическую модель задачипо определению оптимального ассортимента продукции.
Наименование изделия
Габаритные размеры, мм
Ед.изм.
Цена, руб.
Усл.
обознач. Кухня «Добровчанка-Н8» (угловая, без раковины, фасад — массив, постформинг) 2400*1600 к-т. 13000-00 A Шкаф навесной 2-х дверный (фасад — массив) 800*320*720 шт. 1300-00 B Стол обеденный «Ладога», пластик 110*600*750 шт. 1200-00 C Кровать подростковая 2-х ярусная 1985*750*1650 шт. 4300-00 F Комод из массива 800*560*850 шт. 4450-00 G
Для производства пяти видовпродукции (в таблице) ООО «Дубровчанка +» использует древесину двух видов. Нормызатрат ресурсов на одно изделие каждого вида, прибыль от реализации одного изделияи общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице:Ресурсы Нормы затрат ресурсов Общее кол-во ресурсов А B C F G
Древесина, м3
I Вид
1,5
0,08
0,06
0,2
0,2
350 II Вид 0,2 0,05 0,04 0,2 0,1 130 Трудоемкость, чел. — часы 3,3 0,4 0,3 1 1,2 1100 Прибыль от реализации, тыс. руб. 13000 1300 1200 4300 4450
Определим, сколько единицкаждого изделия следует изготавливать предприятию, чтобы прибыль от их реализациибыла максимальной.
Решение:
Обозначим изделие каждоговида соответственно a, b, c, f, g. Тогда на изготовление всей продукцииуйдет (1,5a+0,08b+0,06c+0,2f+0,2g) м3 древесины I вида и (0,2a+0,05b+0,04c+0,2f+0,1g) м3 древесины II вида. Так как запасы этих ресурсов не превышают 350 и 130 м3соответственно, то
1,5a+0,08b+0,06c+0,2f+0,2g≤ 350
0,2a+0,05b+0,04c+0,2f+0,1g≤ 130
Трудоемкость производстваэтих изделий равна
(3,3a+0,4b+0,3c+1f+1,2g). Значит,
3,3a+0,4b+0,3c+1f+1,2g ≤ 1100
Итак, система ограниченийимеет вид:
/>
А прибыль будет выражена функцией
F=13000a+1300b+1200c+4300f+4450g
Чтобы найти решение задачи,воспользуемся MS Excel.
/>
Целевую функцию зададим выражением:
=13000*A2+1300*B2+1200*C2+4300*F2+4450*G2
А систему ограничений так:
=1,5*A2+0,08*B2+0,065*C2+0,2*F2+0,2*G2
=0,2*A2+0,05*B2+0,04*C2+0,2*F2+0,1*G2
=3,3*A2+0,4*B2+0,3*C2+1*F2+1,2*G2
Открывв меню «Сервис» команду «Поиск решения», заполним открывшееся окно: установим целевуюячейку, равную максимальному значению, определим ячейки-переменные, значения которыхискомы, установим систему ограничений по имеющимся запасам сырья и располагаемойтрудоемкости.
Послеэтого в окне «Параметры» установим флажок в ячейку «Линейная модель» и выберем кнопку«Выполнить».
/>
В результате решения получаемданные об оптимальном ассортименте продукции:Переменные 160 20 429 114 функция цели: 4456000 349,9 350 130 130 1099,8 1100
Итак, чтобы получить максимальнуюприбыль 4 456 000 рублей при имеющихся запасах сырья и существующей трудоемкостиполучаемой продукции, предприятию следует производить 160 единиц товара вида А,0 – вида В, 20 – вида С, 429 — вида F и 114– вида G.
3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ТРАНСПОРТНОЙЗАДАЧИ К РАБОТЕ ООО «ДУБРОВЧАНКА+»
3.1 Сущность транспортнойзадачи
Транспортнаязадача является представителем класса задач линейного программирования и поэтомуобладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеети ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальныеметоды ее решения. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальноеопорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.
Под термином «транспортныезадачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим дляних является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов. Различают два типа транспортных задач:но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат наего реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачиваетсяминимум времени) [2].
Наиболеечасто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:
– прикрепление потребителейресурса к производителям;
– привязка пунктов отправленияк пунктам назначения;
– взаимная привязкагрузопотоков прямого и обратного направлений;
– отдельные задачи оптимальнойзагрузки промышленного оборудования;
– оптимальное распределениеобъемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.
/>
где n– количество пунктов отправления,
m – количествопунктов назначения,
аi – запас продукции в пункте отправленияAi(/>) [ед. прод.],
bj–спрос на продукцию в пункте назначения Bj(/>) [ед. прод.],
cij–тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Ai в пункт назначения Bj [руб. / ед. прод.],
xij — количествопродукции, перевозимой из пункта отправления Aiв пункт назначения Bj[ед. прод.],
L(Х) –транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].
Целеваяфункция представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозокв целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пунктеотправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта.Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторыйпункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте.
Рассмотримэкономико-математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения.Имеются m пунктов отправления груза и объемы отправленияпо каждому пункту a1,a2 ,…,am. Известна потребность в грузахb1, b2 ,…,bn по каждому из n пунктов назначения. Задана матрица стоимостей доставки по каждомуварианту cij, />/>. Необходиморассчитать оптимальный план перевозок, т.е. определить, сколько груза должно бытьотправлено из каждого i-го пунктаотправления (от поставщика) в каждый j-ый пункт назначения (до потребителя) xijс минимальными транспортными издержками.
В общем видеисходные данные представлены в табл. 3.1. Строки транспортной таблицы соответствуютпунктам отправления (в последней клетке каждой строки указан объем запаса продуктаai ), а столбцы — пунктамназначения (последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности bj). Все клетки таблицы (крометех, которые расположены в нижней строке и правом столбце) содержат информацию оперевозке из i-го пункта в j-й: в правом верхнем углу находится цена перевозки единицыпродукта, а в левом нижнем — значение объема перевозимого груза для данных пунктов.
Таблица 3.1
Исходныеданные
/>
Транспортнаязадача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов /> равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктамназначения />:
/>(3.1)
Если такогоравенства нет (потребности выше запасов или наоборот), запасу называют открытой,т.е.:
/>(3.2)
Для написаниямодели необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в видематематических уравнении.
Все грузыиз i-х пунктов должны быть отправлены, т.е.:
/>,/>(3.3)
Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспеченыгрузами в плановом объеме:
/>,/>(3.4)
Суммарныеобъемы отправления должны равняться суммарным объемам назначения (3.1). Должно выполнятьсяусловие неотрицательности переменных: />, />, />. Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортнымииздержками (функция цели):
/>(3.5)
Вместо матрицыстоимостей перевозок (cij) могут задаваться матрицы расстояний.В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортнойработы. Как видно из выражения (3.1), уравнение баланса является обязательным условиемрешения транспортной задачи. Поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача,то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае, если
– потребности по пунктамназначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщикс недостающим объемом отправления;
– запасы поставщиковпревышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимымобъемом потребления.
Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеютнулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Транспортным задачам присущи следующие особенности:
– распределению подлежатоднородные ресурсы;
– условия задачи описываютсятолько уравнениями;
– все переменные выражаютсяв одинаковых единицах измерения;
– во всех уравненияхкоэффициенты при неизвестных равны единице;
– каждая неизвестнаявстречается только в двух уравнениях системы ограничений.
Транспортныезадачи могут решаться симплекс-методом. Однако перечисленные особенности позволяютдля транспортных задач применять более простые методы решения.
Опорный планявляется допустимым решением транспортной задачи и используется в качестве начальногобазисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существуеттри метода нахождения опорных планов: метод северо-западного угла, метод минимальногоэлемента и метод Фогеля. «Качество» опорных планов, полученных этими методами, различается:в общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение (зачастую оптимальное), а методсеверо-западного угла – наихудшее.
Все существующиеметоды нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения.Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода.
1. Диагональный метод, или метод северо-западного угла. Приэтом методе на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется левая верхняяклетка (северо-западный угол) оставшейся части таблицы. При таком методе заполнениетаблицы начинается с клетки неизвестного x11и заканчивается в клетке неизвестного xmn,т. е. идет как бы по диагонали таблицы перевозок.
2. Метод наименьшей стоимости. При этом методе на каждом шаге построенияопорного плана первою заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеетнаименьший тариф. Если такая клетка не единственная, то заполняется любая из них[2].
Кроме рассмотренных выше способовиногда используется, так называемый метод Фогеля. Суть его состоит в следующем:в распределительной таблице по строкам и столбцам определяется разность между двумянаименьшими тарифами. Отмечается наибольшая разность. Далее в строке (столбце) снаибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Строки (столбцы) снулевым остатком груза в дальнейшем в расчет не принимаются. На каждом этапе загружаетсятолько одна клетка. Распределение груза производится, как и ранее.
Существующийалгоритм решения транспортных задач (метод потенциалов) предполагает, что целеваяфункция стремится к минимуму. Однако существуют ситуации, когда в рамках транспортноймодели требуется максимизировать целевую функцию, например, общий доход, объем продаж,прибыль, качество выполняемых работ и т.д.
В этомслучае в модель вместо искомой целевой функции L(Х) вводится целевая функция
L1(X)=-L(Х),
в которойтарифы умножаются на (-1). Таким образом, максимизация L(Х) будет соответствоватьминимизации L1(Х) [2]. Если в задаче идет речь о том, что из каждогопункта отправления можно перевозить продукцию нескольких видов, то при построениимодели можно использовать один из следующих вариантов:
— каждомувиду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;
— всевиды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифовв клетках, связывающих разные виды продукции.
3.2Решение транспортной задачи на примере ООО «Дубровчанка+»
Применяятеорию транспортной задачи к показателям работы ООО «Дубровчанка +», составим следующуютранспортную задачу. Итак, на трех складах предприятия (назовем их С1,С2, С3) сосредоточена продукция вида А в количествах 20, 14и 38 единиц соответственно. Этот груз необходимо перевезти трем заказчикам – ООО«Пензмебкредит», ЗАО «Кузнецк-дизайн» и ТД «Столица» в количествах 44, 23, 5 единицсоответственно. Тарифы перевозок единицы груза каждого из складов потребителям задаютсяматрицей:
Cij=/>
Необходимопостроить экономико-математическую модель задачи и составить такой план перевозок,при котором общая стоимость перевозок стала бы минимальной.
Решение:
В качественачального этапа построения ЭММ исходный объем перевозки от i-го поставщика к j-му потребителю обозначим через аij. Заданные мощности поставщиков и спросыпотребителей накладывают ограничения на значения неизвестных aij. Так, например, объем груза, отправляемогос первого склада, должен быть равен мощности этого поставщика. Поэтому уравнениябаланса имеют вид:
/>
А чтобыспрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса имеютвид:
/>
При этомсуммарные затраты F на перевозку составят:
F=143а11+135а12+1400а13+104а21+178а22+1362а23+102а31+180а32+1360а33
Для решениязадачи воспользуемся пакетом MS Excel приложения Microsoft Office, расположив данные следующим образом (выделенные клетки– искомые значения переменных):
/>
При этомцелевая функция будет задана выражением:
=В4*У5+А4*П5+В6*У7+А6*П7+В8*У9+А8*П9+Р4*Ш5+Р6*Ш7+Р8*
Ш9
А системаограничений примет вид:
44=E5+E7+E9
23=G5+G7+G9
5=I5+I7+I9
20=E5+G5+I5
14=E7+G7+I7
38=E9+G9+I9
Выберемв меню «Сервис» команду «Поиск решения» и заполним открывшееся окно:
/>
Послеэтого в диалоговом окне «Параметры» установим флажок в ячейку «Линейная модель»и выберем кнопку «Выполнить».
В результатерешения получаем оптимальный план перевозок:
/>Мощности поставщиков Мощности потребителей Запасы, к-т
/>ООО «Пензмебкредит»
/>ЗАО «Кузнецк-дизайн» ТД «Столица»
С1
143
135
20
1400 20
С2
/>104
/>14
178
/>0
1362 14
С3
102
30
180
3
1360
5 38 Потребность, к-т 44 23 5 72
Он означает, что с первогосклада потребителю ЗАО «Кузнецк-дизайн» будет поставлено 20 единиц продукции, совторого – 14 единиц заказчику ООО «Пензмебкредит». Недопоставленные в соответствиис объемом спроса этого потребителя 30 единиц продукции будут привезены с третьегосклада. Оттуда же будет поставлено 3 единицы продукции в ЗАО «Кузнецк-дизайн» и5 единиц – в ТД «Столица». Затраты на транспортировку по данному плану составят14 556 рублей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Необходимость решения задач линейногопрограммирования на современных предприятиях очевидна. Построение и решение экономико-математических,а также транспортных задач позволяет, в свою очередь, решать различные технико-экономическиеи экономические производственные задачи, будь то проблема оптимальной загрузки станкаи раскройки стального листа или анализ межотраслевого баланса и оценки темпов ростаэкономики страны в целом.
В данной курсовой работе были систематизированытеоретические положения по теме применения методов линейного программирования прирешении экономических задач, рассмотрена сущность задач линейного программирования,выявлены основные методы решения задач линейного программирования, изучен алгоритмпостроения ЭММ.
Изученные теоретические положениябыли применены на конкретном предприятии – ООО «Дубровчанка+» в построении ЭММ поопределению оптимального ассортимента продукции – был рассчитан такой план производства,при котором наблюдалась бы максимальная прибыль при располагаемом запасе ресурсови трудоемкости технологического процесса.
Постановка и решение транспортнойзадачи на основе статистических данных ООО «Дубровчанка+» позволила определить оптимальныйминимизирующий расходы план перевозок продукции к потребителям.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алесинская Т.В. Учебное пособие по решениюзадач по курсу «Экономико-математические методы и модели». Таганрог: Изд-во ТРТУ,2002.
2. Исследование операций в экономике. Поред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2010.
3. А.И. Орлов Теория принятия решений: Учебное пособие. — М.: Издательство «Март», 2004.