СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
1. Проводимость цепи
К цепи подведено напряжение />.
По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:
/>
/>
Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:
/>
Построим векторную диаграмму для этой схемы
/>
Из векторной диаграммы (D 0АВ):
/>;
Отсюда: />– закон Ома для цепи переменного тока.
/>– полное сопротивление цепи.
Если сопротивлений много, то />.
Аналогично можно записать из исходного уравнения:
/>,
где />– реактивное сопротивление цепи.
D 0АВ – треугольник напряжений:
/>
Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:
/>
Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:
/>.
/>
Активные, реактивные и полные проводимости цепи
/>– комплексная проводимость цепи.
/>
/>,
где />– активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).
/>– реактивная проводимость цепи.
При X=XL— XC> 0 B> 0,
а при X=XL— XC
С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:
/>
/>,
где Ia– активная составляющая тока I;
Ip– реактивная составляющая тока I.
Векторная диаграмма имеет вид:
/>
/>
Треугольник проводимостей:
/>.
2. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока
1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю.
Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.
Для действующих значений: />;
для мгновенных значений: />.
2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, Cэлементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:
/>.
Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:
/>.
3. Энергия и мощность в цепи синусоидального токас идеальными R, L, C элементами
В цепи постоянного тока мощность определялась выражением />.
Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.
/>–PAGE_BREAK–
Запишем подведенное напряжение: />и ток />.
/>. При yi=0 yu=j.
Если XL>XC, то j > 0 и наоборот.
Для мгновенных значений справедливо выражение:
/>.
Отдельно здесь запишем: />.
/>.
Результат: />– это выражение для мгновенной мощности.
Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:
/>.
Но />, поэтому />.
/>– коэффициент мощности.
Из треугольника напряжений />, поэтому
/>активная мощность.
Таким образом, среднюю мощность называют активной мощностью.
Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.
/>.
Построим график этой функции:
/>
/>
Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:
/>– это энергия тепловая.
Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.
/>.
Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:
/>
/>
/>
За период мощность дважды меняет знак.
Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.
Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:
/>– это выражение для энергии магнитного поля.
Здесь мы сделали замену пределов интеграла:при t=0 i=0; при t=T/4 i=Im.
Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине.
В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.
При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.
Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.
Из общего выражения для мгновенной мощности:
/>. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами
/>
/>– это энергия электрического поля.
Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.
В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.
Полная, активная и реактивная мощности
/>
– треугольник напряжений.
Умножим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.
/>
/>– активная мощность, которая преобразуется в тепло или механическую работу [Вт].
/>– реактивная мощность, которая затрачивается на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику, [вар].
/>– полная мощность [ВА].
/>
Мощность в символической форме
Пусть />;
/>.
В комплексной форме эти выражения:
/>; />; />.
Комплексно сопряженное значение тока: />.
Запишем выражение
/>.
/>– комплекс полной мощности.
Вещественная часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную мощность.
4. Уравнение баланса мощностей
В электрической цепи сумма активных мощностей, отдаваемых источником, равна сумме активных мощностей, потребляемых приемниками.
Аналогично утверждение и для реактивных мощностей.
/>– для активных мощностей (реальная часть комплекса);
/>– для реактивных мощностей (мнимая часть комплекса).