М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим
пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются
заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε
= ε(r). Согласно теореме Гаусса,
qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er
(31)
(32)
(33)
При
наличии только объемного стороннего заряда ρ
(34)
В
точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент
“перехода” через заряженную сферу) соответствующая производная
ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд
составляет:
(35)
Другие
значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там
заведомо σ’ = 0.
Задача.
Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти
Er(r), φ(r) и σ ‘, если пространство между сферами заполнено
однородным диэлектриком с проницаемостью ε.
Решение
Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с
использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и
Er(r) в области R1<>
Как
и раньше,
qinside = 4π r2 Dr(r)
причем
qinside
=
0 при r<>
4πσ1R12 при R1<><>
4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2
Поле
на каждом из участков будет
Er
=
0 при r<>
При
вычислении потенциала мы должны вычислить .
При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:
φ(r)
=
=
φ(r)
=
=
φ(r)
=
=
В
некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная
величина ε.
Для
нахождения σ ‘ на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения
поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:
,
,
Нулевые
значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях rR2.
Сразу же находим и
(на
других поверхностях никакого связанного заряда нет):
=
=
Легко
проверить, что суммарный связанный заряд, то есть ,
равен нулю, как и должно быть.
Задача.
Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ.
Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ’ на краю
шара.
Ответ:
.
Список литературы
1.
И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. – 448
с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. – 416 с.
2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.
Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. – 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая
физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. – 661 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
Дата добавления: 18.05.2011