Содержание:
1. Движение в центрально-симметричном поле.
2. Падение частицы на центр.
3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
1.Движение в центрально-симметричном поле.
Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, – аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами ) , взаимодействующих по закону -расстояние между частицами), имеет вид
(1,1)
где – операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц и новые переменные и :
(1,2)
– вектор взаимного расстояния, а – радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:
(1,3)
( и – операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов и ;
– полная масса системы; – приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде произведения , где функция описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой ), а описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы в центрально-симметричном поле ).
Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид
(1,4)
Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде
.
(1,5)
Если ввести сюда оператор квадрата момента:
,
то мы получим
(1,6)
При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента и его проекции . Заданием значений и определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде
(1,7)
где – сферические функции. Поскольку , то для «радиальной функции» получаем уравнение
(1,8)
Это уравнение не содержит вовсе значения , что соответствует -кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой
(1,9)
уравнение (1,8) приводится к виду
(1,10)
Если потенциальная энергия везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция , а следовательно, и ее радиальная часть . Отсюда следует, что должна обращаться в нуль при :
(1,11)
В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при в бесконечность.
Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
(1,12)
равной сумме энергии , и члена
,
который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при ). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции , определяющееся интегралом
.
При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями и , мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями . Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.
Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами , причем наиболее низкому уровню приписывается номер . Тогда определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях (не считая точки ). Число называют радиальным квантовым числом. Число при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а – магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями момента частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:
1 2 3 4 5 6 7 . . .
(1,13)
Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является – состояние; действительно, при угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном собственное значение энергии растет с увеличением . Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена , растущего с увеличением .
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что
(1,14)
Ищем в виде степенного ряда по , оставляя при малых только первый член разложения; другими словами, ищем в виде . Подставляя это в уравнение
,
получающееся из (1,8) умножением последнего на и переходя к , найдем
.
Отсюда
или .
Решение не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при ( напомним, что ). Таким образом, остается решение с , т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным пропорциональны :
. (1,15)
Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между и определяется величиной и поэтому пропорциональна . Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение .
2. Падение частицы на центр.
Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, – движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону ; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало координат.
Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:
(2,1)
( – радиальная часть волновой функции), где введена постоянная
(2,2)
и опущены все члены более низкого порядка по ; значение энергии предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.
Ищем в виде ; тогда получаем для квадратное уравнение
с двумя корнями
, (2,3)
Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса и заменим функцию в этой области постоянной величиной . Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу .
Предположим сначала, что . Тогда и – вещественные отрицательные числа, причем >. При общее решение уравнения Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых )
(2,4)
(- постоянные). При решение уравнения
конечное в начале координат, имеет вид
(2,5)
При функция и ее производная должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от . Это приводит к уравнению
или
.
Решенное относительно , это уравнение дает выражение вида
(2,6)
Переходя теперь к пределу , находим, что ( напоминаем, что ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро:
.
Пусть теперь . Тогда и комплексны:
.
Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое при подстановке значений и дает
. (2,8)
При это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так что прямой переход к пределу невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:
. (2,9)
Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением . Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для волновой функции ( при достаточно малых ) при любом конечном значении энергии частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии . Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой . Поэтому при частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.
«Критическое» поле , при котором становится возможным падение частицы в центр, соответствует значению . Наименьшее значение коэффициента при получается при , т.е.
. (2,10)
Из формулы (2,8) ( для ) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера ( вблизи точки, где ) расходится при не быстрее чем . Если поле обращается при в бесконечность медленнее чем , то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. . Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем ( как с ), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна . Во всех этих случаях произведение обращается при в нуль.
Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что . Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии[1]. Действительно, при энергии уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4). Но функция (2,4)не имеет ( при ) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня , замыкающего дискретный спектр, конечен.
Если же , то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.
Наконец, пусть поле во всем пространстве. Тогда при происходит падение частицы. Если же , то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния будет во всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном ) уровню энергии.
3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле
( – положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать . Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.
Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид
(3,1)
Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под надо подразумевать их приведенную массу.
В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно
Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет
.
Далее будем пользоваться этими единицами.
Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид
(3,2)
Дискретный спектр.
Введем вместо параметра и переменной новые величины:
(3,3)
При отрицательных энергиях есть вещественное положительное число. Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид
(3,4)
( штрихи обозначают дифференцирование по ).
При малых решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально ( см. (1,15)). Для выяснения асимптотического поведения при больших опускаем в (3,4) члены с и и получаем уравнение
откуда . Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших ведет себя, как .
Виду этого естественно сделать подстановку
, (3,5)
после чего уравнение (3,4) принимает вид
(3,6)
Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее конечной степени , а при =0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция
(3,7)
Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных ( или равных нулю ) значениях , когда функция (3,7) сводится к полиному степени . В противном случае она расходится на бесконечности, как .
Таким образом, мы приходим к выводу, что число должно быть целым положительным, причем при данном должно быть
(3,8)
Вспоминая определение (3,3) параметра , находим
(3,9)
Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением ; уровни сгущаются по мере приближения к значению , при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет следующий вид:
(3,10)
Целое число называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в п.1, равно
.
При заданном значении главного квантового числа число может принимать значения
(3,11)
всего различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только число . Поэтому все состояния с различными , но одинаковыми обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу ( как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу . Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению соответствует различных значений ; поэтому кратность вырождения – го уровня энергии равна
(3,12)
Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому
.
Радиальные функции должны быть нормированы условием
.
Их окончательный вид следующий:
(3,13)
Вблизи начала координат имеет вид
(3,14)
На больших расстояниях
. (3,15)
Волновая функция нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка , т.е. в обычных единицах, .
Средние значения различных степеней вычисляются по формуле
.
Приведем несколько первых величин ( с положительными и отрицательными ):
, ,
, . (3,16)
Непрерывный спектр.
Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению соответствует бесконечное множество состояний с , пробегающими все целые значения от до ( и со всеми возможными, при данных , значениями ).
Определяемое формулами (3,3) число и переменная теперь чисто мнимы:
, , (3,17)
где . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид
(3,18)
где – нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла
, (3,19)
который берется по контуру ( см. рис ниже ).
Подстановкой этот интеграл приводится к более симметричному виду
(3,20)
( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки ). Из этого выражения непосредственно видно, что функции вещественны.
Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции
(3,21)
Если нормировать волновые функции «по шкале » , то нормировочный коэффициент равен
(3,22)
Действительно, асимптотическое выражение при больших ( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид
,
(3,23)
в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, растет при увеличении медленно по сравнению с самим , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций
, ,
имеем
,
и далее
.
Таким образом,
(3,24)
( при произведение заменяется на 1 ).
Предельным переходом можно получить радиальную функцию для особого случая равной нулю энергии. При
,
где – функция Бесселя. Коэффициенты (3,24) при сводятся к
Отсюда находим
(3,25)
Асимптотический вид этой функции при больших
(3,26)
Множитель исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции к функции ; именно функция остается конечной в пределе .
В кулоновом поле отталкивания имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у . Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.
Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается
,
. (3,27)
Асимптотическое выражение этой функции при больших имеет вид
,
(3,28)
.
Природа кулонова вырождения.
При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
(3,29)
В квантовой механике этой величине отвечает оператор
(3,30)
коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом .
Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов друг с другом и с оператором момента:
, . (3,31)
Некоммутативность операторов друг с другом означает, что величины не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем , коммутативен с такой же компонентой момента , но некоммутативен с оператором квадрата
момента . Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, – это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике.
Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить в правой стороне соотношения (3,31) на и ввести вместо операторы . Для них правила коммутации принимают вид
, (3,32)
Вместе с правилом эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.
Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо и операторы
, . (3,33)
Для них имеем
, , (3,34)
Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов и равны и , где . С другой стороны, по определению операторов и , находим, после простого вычисления:
,
( при вычислении суммы снова заменено на ). Отсюда
(где ) и затем .
Обозначив
, , (3,35)
приходим к требуемому результату . Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: . Наконец, поскольку , то при заданном орбитальный момент пробегает значения от до .
[1] Предполагается, что при малых поле таково, что падения частицы не происходит.