I. Введение.
II. Теоретическая часть по темепредельная производительность.
III. Используемая литература.
ВВЕДЕНИЕ
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства отзатрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственнойподсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черныйящик», на вход которого поступают ресурсы R1, …, Rn, а на выходе получается результат в виде годовыхобъемов производства различных видов продукции Х1,… Хм.
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственныхфондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестверезультата — валовой выпуск и обозначать Х, хотя это может быть и валовойвыпуск, и ВВП, и национальный доход.
Выбор того или иного состава К определяется цельюисследования, а также характером развития производственной инепроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период внепроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданнойстоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерноодинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ толькопроизводственные фонды.
Производственные фонды состоят из основных и оборотныхпроизводственных фондов. Если соотношение между этими составными частямипроизводственных фондов примерно постоянно в течение всего изучаемого периода,то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.Далее К будем называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью вформе нелинейной ПФ
X=F(K, L),
т.е. выпуск (продукция) естьфункция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаби эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, есливыпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены всоизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего ипрошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтомувоспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.
В относительных показателях мультипликативная ПФзаписывается следующим образом:
/>/>/>/>X K a1 L a2
X0 K0 L0
(1)
ГдеХ0, К0, L0-значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма (1) легко приводится кпервоначальному виду
Х0
/>Х= Ka1 La2 = AKa1La2
К0a1 L0a2
Х0
/>Такимобразом, коэффициент А= получает естественную
К0a1 L0a2
интерпретацию- это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.
Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных(безразмерных) единицах измерения через X, K, L, тоПФ в форме (1)записывается так:
X=Ka1 La2 (2)
Найдем теперь эффективность экономики, представленнойПФ (2).Напомним, что эффективность — это отношение результата к затратам. Внашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К инастоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателяэффективности:
Х Х
/>/> — фондоотдача, — производительностьтруда.
К L
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковуюразмерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние изних. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ«ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ»
Хотя предмет микроэкономической теории производстваиной — проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассужденийздесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия,описывающим потребление, соответствуют и изокванты, описывающие производство.Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, впрограммах построения графиков кривых безразличия и приближенных вычисления по методу численного дифференцирования, составленных для исследованияпотребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных иопределения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средствдля анализа производства.
Начнем с того, что определим производственнуюдеятельность как процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различныересурсы — вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд икапитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную,ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкоймикроэкономической теории производства является идея о том, что технологическиэффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой длявыпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов Х1, Х2, может быть описана с помощью производственной функции Y=F(X1, X2). Еслидля фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости (Х1, Х2)все возможные сочетания необходимых ресурсов (Х1, Х2), мыполучим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности икривых безразличия, можно выделить, по крайней мере, четыре типапроизводственных функций и изоквант.
1. Функции с полным взаимозамещениемресурсов, например,
Y=a1X1+a2X2
2. Неоклассическая производственнаяфункция, например,
Y=X1a1X2a2,a1+a2
3. Функции с полным взаимодополнениемресурсов, например,
4. Функции смешанного типа, например,
Y=y1+y2: Xi=>aiy1+biy2,i=1,2.
Не трудно заметить, что формы этих функций полностьюсовпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассическойпроизводственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления и теории производства соответствует понятие предельнойпроизводительности (dY/dXi), которое является здесь одним из ключевых. Законы жеубывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения,потребительских благ в теории производства сформулировонны как законубывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из нихгласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) егопредельная производительность, dY/dX1 или dY/dX2, падает. Если представить этот факт в виде формулы,то мы получим:
d2Y/dXi2i=1,2.
Предельная норма замещения (MRS) ресурсов — это предельное отношение замены первого ресурса вторым, — dX2/dX1, вситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращениезатрат первого ресурса на — dX1 компенсируетсяростом затрат второго ресурса на dX2. Подобнотеории потребления, это отношение равно отношению частных производныхпроиизводственной функции, т.е. предельных производительностей ресурсов:
/> dX2 dY/dX1
/>/>MRS = – Y = const=
dX1 dY/dX2
Изокванты неоклассической функции, так-же как и кривыебезразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещенияресурсов постепенно убывает.
ОПИСАНИЕ и СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ
Составим программу (MARG2),позволяющую при фиксированном значении производственной функции Y = F(X1, X2)вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельнуюнорму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функциивозьмем функцию Кобба-Дугласа:
Y = X13/4 X21/4.
Список переменных:
X1 = X1; X2 = X2 ;
MR = MRS — предельная норма замещения;
D1 = dY/dX1; D2 = dY/dX2;
H — шагдифференцирования (h).
Производственная функця Кобба-Дугласа — самая извеснаяиз всех производственных функций неклассического типа — была открыта в 20-хгодах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом иполучила широкое применение в эмпирических исследованиях. В эту программувключена производственная функция, оценненая Дуглосом на основе данных пообрабатывающей промышленности США. Y — индекс производства, X1 и X2 -соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Еслисчитать, что Х1 и Х2 — это затраты труда и капитала, тоиспользуя производственную функцию Кобба — Дугласа Y = AX1aX21 a(0
Предельная производительность труда: dY/dX1 = aA(X2/X1)a-1.
Предельная производительность капитала: dY/dY2 = (1 — a) A (X1/X2)a
dY/dX1 a X2
/>/>/>Предельнаянорма замещения: MRS = = *
dY/dX2 1-a X1
В микроэкономической теории производства считается,что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате), апредельная производительность капитала — цене услуг капитальных благ (рентнымплатежам).
Предпосылкой для токого вывода является то, чтопредприятия составляют свои производственные планы (Y, X1, X2), руководствуясь прежде всего принципом максимизацииприбыли. Если обозначить через р, q1 и q2 соответственноцены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственнымпланом для предприятия будет решение (Y*, X1*, X2*) задачи максимизации прибыли П = pY — q1X1 — q2X2 приограничении Y = F (X1, X2). Выполнив необходимые подстановки, имеем П = pF(X1, X2) — q1X1 — q2X2.Продифференцировав это варажение по каждому из факторов производства, получимформальное подтверждение сделанному ранее выводу.
Инымисловами, поскольку
dП/dX1 = p * dF/dX1 — q1 = 0,
dП/dX2 = p * dF/dX2 — q2= 0,
тосократив р, убеждаемся, что
dF / dX1 q1
/>/> =
dF / dX2 q2
100 ‘ предельныевычисления 2 [MARG2]
110 CLR:PRINT «предельнаянорма замещения ресурсов производства»
120 DEF FNF(X1,X2)=X1^.75*X2^.25
130 PRINT” Y = X1^0.75 * X2^0.25″:PRINT
140 H= .001
150 INPUT«Y=»;Y
160 INPUT«X1=»;X1
170 X2=(Y/(X1^.75))^(1/.25)
180 PRINT«X2=»;X2
190 Y=FNF(X1,X2)
200 D1=(FNF(X1+H,X2)-Y)/H
210 D2=(FNF(X1,X2+H)-Y)/H
220 MR=D1/D2
230 PRINT”——РЕЗУЛЬТАТ——
240 PRINT«dY/dX1=»;D1
250 PRINT«dY/dX2=»;D2
260 PRINT «MRS =»;MR:PRINT
270 GOTO160
Предельная нормазамещения ресурсов производства
Y=X1^0.75 * X2^0.25
Y= 10
X1= 8
X2= 19.53125
——РЕЗУЛЬТАТ——
dY/dX1 = .9365081
dY/dX2 = .1277924
MRS = 7.328358
X1= 13
X2= 10
——РЕЗУЛЬТАТ——
dY/dX1 = .7505416
dY/dX2 = .2503164
MRS = 2.992395
X1= 12
X2= 5.787036
——РЕЗУЛЬТАТ——
dY/dX1 = .626564
dY/dX2 = .4320145
MRS = 1.450331
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
· В.А. Колемаев «Математическаяэкономика» Москва, ЮНИТИ 1998.
· О.О. Замков, А.В. Толстопятенко,Ю.Н. Черемных «Математические методы в экономике» Москва, ДИС 1997
· ”Математическая экономика наперсональном компьютере” под редакцией Кубонива. Москва, ”Финансыи статистика”1997