–PAGE_BREAK–3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия)
Степенная зависимость имеет вид
(3)
Во всех случаях при При в точке кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при
При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот.
Рисунок 1
График степенной зависимости
Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (3) при условии
(4)
Введем новую переменную тогда будет функцией от t. Обозначим тогда равенство (4) примет вид:
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции:
1) по данной таблице 1 составить новую таблицу 2, прологарифмировав
Таблица 1 Таблица 2
2) по новой таблице 2 найти параметры и приближающей функции вида
3) используя примененные обозначения, найти значения параметров и и подставить их в выражение (3).
Окончательно получаем:
(5)
3.2. Показательная зависимость
Показательная зависимость имеет вид
(6)
Во всех случаях при . Если то при кривая растет с увеличением тем быстрее, чем больше При она приближается к оси абсцисс с возрастанием тем быстрее, чем больше абсолютная величина
Если найденная на опыте зависимость от является показательной, то график зависимости от представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой равен параметру Если значение при неизвестно, то величину параметра можно найти по формуле для ряда значений а затем взять среднее.
Рисунок 2 График показательной функции
Найдем коэффициенты и для исходной таблицы 1, если известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции (6).
Прологарифмируем равенство (6) :
(7)
приняв обозначения перепишем (7) в виде:
(8)
Таким образом приближающая показательная функция нехитрыми преобразованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов и показательной функции можно воспользоваться выведенной для линейной функции формулой
(9)
Итак, для нахождения приближающей функции в виде (6) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 3 приближающую функцию вида (8).
Таблица 1 Таблица 3
Окончательно получаем:
(9)
Рисунок 3 – График логарифмической функции
Замечание: формулам
(10)
(11)
соответствуют кривые, изображенные на рисунках 1 и 2, сдвинутые вверх или вниз на величину . Например, кривая, изображенная на рисунке 3, соответствует формуле при и Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение Иногда величину можно легко найти по значению, к которому стремится при возрастании (при ) или по значению при (для формулы 10 при ). Можно также воспользоваться формулой
где и — ординаты произвольных (но достаточно далеких) точек с абсциссами ,, а ордината соответствует абсциссе в случае формулы (10) и абсциссе в случае формулы (11).
продолжение
–PAGE_BREAK– 3.3. Логарифмическая функция
Будем искать приближающую функцию в виде
(12)
Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку
Отсюда следует, что для нахождения значений aи b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 1 и для новой таблицы 4 найти приближающую функцию в виде линейной y=
at+
b. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу 2.14.
Таблица 4
Таблица 5
Окончательно получим:
(13)
Рисунок 4 График логарифмической функции
4. Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек х0, х1,…, хm
(3)
Параметры а0, а1,…, аm эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S= S(а0, а1,…, аm). В этом состоит метод наименьших квадратов.
В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны.
Поскольку здесь параметры а0, а1,…, аm выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:
(4)
Полученные соотношения – система уравнений для определения параметров а0, а1,…, аm
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен:
φ(х)= а0+а1х+ а2х2+…+ аmхm (5)
Формула (9) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид
(6)
Для составления уравнений (4) найдем частные производные функции S= S(а0, а1,…, аm):
Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4) и собирая коэффициенты при неизвестных а0, а1,…, аm получаем следующую систему уравнений:
………………………………………….
Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты
а0, а1,…, аm многочлена (5), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.
5. БЛОК-СХЕМАрешения задач
продолжение
–PAGE_BREAK–