Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике

Федеральное агентство пообразованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственныйгуманитарный университет»
Физико-математическийфакультет
Кафедра дидактики физикии математики
Выпускнаяквалификационная работа
«Повышениевычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике»
 
 
Киров, 2008

Содержание
 
Введение
1. Требования квычислительным умениям и навыкам учащихся
1.1 Понятие математическихнавыков
1.2 Требования квычислительным умениям и навыкам
1.3 Устные вычисления какоснова повышения вычислительной культуры школьников
2. Методика повышениявычислительной культуры школьников
2.1 Организация устныхвычислений учащихся
2.2 Приемы устныхвычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий
2.3 Приемы устныхвычислений, основанные на изменении результата действий в зависимости отизменения компонентов
2.4 Систематизацияприемов повышения вычислительной культуры для практической работы учителя
2.5 Содержание и анализопытно-экспериментальной работы
Заключение
Библиографический список

Введение
Развитиеобщества требует постоянного улучшения качества обучения, трудового инравственного воспитания учащихся. Поэтому, важнейшей задачей обученияматематике является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимисяматематическими знаниями и умениями, нужными в повседневной жизни и в работекаждого члена современного общества.
В связи сэтим необходимо подчеркнуть роль вычислительной подготовки учащихся в системеобщего образования. Вычислительная культура является тем запасом знаний иумений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изученияматематики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируютпамять учащихся, их внимание, стремление к рациональной организациидеятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитиеучащихся.
Однако, во время проведения входе педагогической практики пробных уроков, и наблюдений за урокамиматематики, которые проводили мои однокурсники, и которые проводила я сама, избеседы с учителями математики можно сделать вывод о том, что уровень навыков вычислений итождественных преобразований у учащихся резко снизился: они плохо инерационально считают, кроме того, при вычислениях все чаще прибегают к помощитехнических средств – калькуляторов.
Еще однапроблема современных учащихся, которая напрямую связана с вычислительнойкультурой, – нерациональность вычислений. Нужно обучать школьников не тольковыбирать и осуществлять рациональный путь выполнения упражнений и решениязадачи, но и рационально записывать то или иное решение.
Из выше сказанногоследует, что существует необходимость более тщательного рассмотрения этогораздела частной методики преподавания математики. Возникает потребность вознакомлении учащихся с дополнительными приемами устных и письменныхвычислений, которые позволили бы значительно сократить время, потраченное навычисления и запись решения, и избежать использования различных вычислительныхсредств.
Такимобразом, цель выпускной квалификационной работы: разработать методику повышениявычислительной культуры учащихся средствами использования приемов быстрого счета.
Дляреализации этой цели необходимо решить следующие задачи:
1)        ознакомитьсяс проблемой изучения вычислительной культуры учащихся;
2)        изучитьосновные особенности математических и вычислительных навыков;
3)        рассмотретьразличные приемы быстрого счета как способа решения изучаемой проблемы;
4)        рассмотретьприменение их на уроках и внеклассных занятиях по математике;
5)        разработатьметодическое пособие «Упражнения для быстрого счета», которое поможет учителямв проведении устного счета на уроках математики;
6)        проверитьэффективность предложенной методики в опытном преподавании.
Объектомисследования является процесс обучения математике в основной школе. Предметисследования – формирование и развитие вычислительной культуры учащихсясредствами системы упражнений для быстрого счета.
В ходеанализа методической литературы была сформулирована гипотеза исследования: использованиеприемов быстрого счета на уроках и внеклассных занятиях по математике позволит повыситьвычислительную культуру учащихся.
Приреализации поставленной цели и доказательстве предложенной гипотезы мыиспользовали следующие методы исследования: беседы с учителями, анализпсихолого-педагогической и методической литературы, наблюдение, сравнительныйанализ, опытное преподавание.
Работасостоит из введения, двух глав, раскрывающих основное содержание, заключения ибиблиографического списка. Работа также содержит приложение в формеучебно-методического пособия для обучения школьников приемам быстрого счета.
1. Требования к вычислительным умениям
и навыкам учащихся/>/>/>/>/> 1.1 Понятие математических навыков
Одной изосновных задач преподавания курса математики в школе является формирование уучащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.
Вычислительныенавыки – важная составляющая математических навыков. Поэтому для начала нужнорассмотреть их общее понятие. Большая часть математических навыков – этосложные навыки, формирующиеся на основе других умений и навыков. Так, навыксложения дробей с разными знаменателями основан на умении находить наименьшееобщее кратное двух натуральных чисел, применять основное свойство дроби приприведении дробей к общему знаменателю, складывать дроби с одинаковыми знаменателями.В свою очередь каждые из указанных умений и навыков также имеют сложнуюструктуру. Отсутствие какого-либо из элементарных умений и навыков служитпричиной несформированности сложного навыка.
Общеизвестно,что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если ихформирование происходит на сознательной основе (дидактический принципсознательности). Тренировки без достаточного понимания изучаемого редкоприводят к прочным умениям и навыкам. Поэтому формированию навыков учащихсядолжно предшествовать понимание ими сути изучаемого действия.
Формированиематематических навыков состоит из следующих этапов:
1. Первыйэтап формирования навыка – овладение умением. При овладении умением ввычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применениенового приема, метода, определения должны выполняться с подробными объяснениямии записями. Так, при изучении деления рациональных чисел следует подробноразъяснять смысл нового действия, алгоритм его выполнения. Подробныеразъяснения и записи помогают ученикам лучше понять смысл и последовательностьвыполнения изучаемого действия. Именно поэтому на этом этапе при формированиивычислительных навыков предпочтительнее использовать письменные вычисления. Нопроцесс формирования навыка не ограничивается овладением умением.
2. Второйэтап – этап автоматизации умения. Автоматизация умения происходит путемисключения некоторых промежуточных операций, сложные ассоциации заменяютсяпрямыми (или спрямленными) ассоциациями от данных к искомому. Так, если умениереализуется по схеме, А→В→С, где В — промежуточноедействие, то навык – чаще всего по прямой схеме А→С. Поэтомуследует помочь ученикам перейти от сложной схемы действий к более простой. Этоозначает, что после выполнения первых упражнений надо добиваться свертыванияпромежуточных операций, для чего полезно часть преобразований выполнятьмысленно, опуская промежуточные записи. При формировании вычислительных навыковна этом этапе используют письменные вычисления с промежуточными устными.
Актуальнымявляется методическое требование выполнять устно вычисления и преобразования нетолько во время так называемых пятиминуток устного счета. При решении любыхзадач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые ученики могутвыполнять устно, должны быть устно и выполнены. И дело не только в том, что налишние записи тратится драгоценное время урока. Гораздо хуже то, что учащихся ссамого начала приучают не думать при вычислениях, а только применятьстандартный алгоритм, что в дальнейшем приводит ко многим нерациональнымрешениям, к новым большим потерям учебного времени, к слабо развитым вычислительнымумениям и навыкам. Привычка выполнять устно несложные вычисления и выкладкинередко порождает потребность производить мысленные эксперименты при решениизадач, высказывать догадки, предположения о путях решения более сложных задач,мысленно (устно) проверяя истинность предположений. А это одно из главныхусловий обучения решению математических задач. Кроме того, по мере овладениянавыками целесообразно не только опускать промежуточные записи, стремитьсявыполнять часть вычислений и преобразований устно, но и переписывать выраженияпосле преобразований не одного, а 2–3 отдельных выражений, входящих в составсложного выражения, что также сокращает записи и время решения задач.
Несколькослов нужно сказать и о проблеме рациональности в вычислениях. В требованиерационального выполнения вычислений и преобразований включается как выбор иосуществление рационального пути выполнения упражнений и решения задач, так иих рациональная запись.
Выборурационального пути решения всегда предшествует анализ данного для вычисленияили преобразования выражения, выявление порядка заданных операций, мысленныйэксперимент («Если поступить так, то получится то-то, а если иначе-то… Какойпуть проще?»). На этой основе составляется план вычислений, преобразований.Обдуманное составление плана существенно помогает выбору рационального путирешения. Рациональное же решение – способ развития мышления учащихся,формирования высокоразвитых, осмысленных умений и навыков, свидетельствующий обережном отношении учителя к учебному времени учащихся. Рассмотрение различныхвариантов преобразования одного и того же выражения и выбор наиболеерационального – один из путей обучения рациональным решениям.
Рациональноевыполнение вычислений и тождественных преобразований требует нестандартныхрешений, следовательно, служит формированию более прочных умений и навыков.Задача учителя систематически обращать внимание школьников на рационализациювычислений и преобразований.
Форма записирешения задач может иметь немалое значение в формировании навыков. Не следуетрекомендовать единую форму записи решения на всех этапах обучения, в процессеотработки умений и навыков форма записи вычислений и тождественныхпреобразований должна, как правило, упрощаться.
Такимобразом, подчеркнув особенности математических навыков, можно переходить крассмотрению частного случая – вычислительным навыкам.1.2 Требования к вычислительным умениям и навыкам
О наличии уучащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные иписьменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться вправильности полученных результатов.
В зависимостиот сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное,устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.
Качествовычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений.Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкостисформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умениеформируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Оченьважно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.
Вычислительныенавыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такаястепень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного ихформирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемусяпонятен процесс вычислений и их особенности [3].
При обучениивычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливопредставлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать.Перечислим наиболее важные из них.
В письменныхвычислениях данные числа, знаки арифметических действий, промежуточные иокончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказываетсущественное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владетьследующими навыками:
·       отчетливописать математические символы (цифры, знаки препинания, знаки арифметическихдействий);
·       цифрыи знаки располагать строго в соответствии с правилами арифметических действий;
·       безошибочноприменять таблицы сложения и умножения натуральных чисел.
При устныхвычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этомформирование навыков устных вычислений связано с выработкой навыка запоминаниячисел, выявления особенностей отдельных чисел.
Правила иприемы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно.Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность нетолько потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но ипотому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их.Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у нихрациональных и безошибочных вычислительных умений. Например, без навыковустного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладетьумениями в выполнении арифметических действий.
Для тогочтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащемуся достаточноуметь устно:
·       складыватьи умножать однозначные числа;
·       прибавлятьк двузначному числу однозначное;
·       вычитатьиз однозначного или двузначного числа однозначное (преимущественно из числа,меньшего 20);
·       складыватьнесколько однозначных чисел;
·       складыватьи вычитать двузначные числа;
·       делитьоднозначное или двузначное число на однозначное нацело или с остатком;
·       производитьдействия (на основе знаний правил) с дробными числами.
Как вписьменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила иприемы. Умения в применении правил арифметических действий с многозначнымичислами, и учащиеся приобретают в начальной школе. Поэтому уровень,вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранееусвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемымматериалом.
В 1–4 классахучащиеся обучаются выполнению арифметических действий над натуральными числами.При этом должны быть выработаны прочные навыки письменного сложения, вычитанияи умножения двух-трехзначных чисел, а также деления чисел на одно- и двузначноечисло, что предполагает знание наизусть таблиц сложения и умножения однозначныхчисел. Формирование навыков письменных вычислений, а в простейших случаях, иустных, следует довести до уровня, обеспечивающего беглое и безошибочноевыполнение вычислений [6].
В 5–6 классахучащиеся овладевают навыками вычисления с натуральными и целыми числами, собыкновенными и десятичными дробями. При этом алгоритмы вычислений сдвух-трехзначными числами должны быть отработаны с учащимися до автоматизма;учащиеся должны свободно производить в уме арифметические действия в пределахсложности примеров и умножение двузначного числа на однозначное, на сложениедвух дробей в простейших случаях. Все вычисления должны производитьсядостаточно бегло; их включение в выполнение более сложных вычислений не должнозатруднять учащихся [6].
В 7–9 классахобобщаются и систематизируются сведения о действительных числах, развиваются изакрепляются вычислительные навыки. При этом не следует ослаблять внимание кподдержанию достаточно высокого уровня техники вычислений и повышению уровнявычислительной культуры учащихся (рационализация вычислений, их организация,применение приближенных вычислений). Эта задача должна решаться путемпоследовательного увеличения доли вычислений при изучении основного материалакурса. Вычислительные навыки учащихся должны получить дальнейшее развитие приизучении вопросов, связанных с приближенными вычислениями, где, помимодальнейшей отработки вычислительных алгоритмов, должны быть сформированы навыкиприкидки и оценки результатов вычислений. По мере усвоения учащимисявычислительных алгоритмов и расширения объема сведений о числовых функцияхсущественно увеличивается объем и сложность вычислительных работ, что требуетпривлечения таблиц и математических инструментов (калькулятора) [6].
Вычислительнымнавыкам, как и любым другим, необходимо учить. Качество вычислительных умений инавыков определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степеньовладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированногоалгоритма и от понимания принципа его использования. Очень важно владениенекоторыми вычислительными умениями доводить до навыка. Что нужно сделать дляэтого учителю?
1. Ознакомитьучащихся с принципом работы того или иного нового для них вычислительногоалгоритма.
2. Провестиработу по отработке отдельных операций, входящих в новый алгоритм. Дляформирования навыка выполнения данного алгоритма недостаточно отдельныхупражнений, необходима тщательно продуманная их система, в которой должнасоблюдаться последовательность упражнений с постепенным их усложнением. Однакоследует предостеречь от излишнего числа однообразных упражнений в системе.Упражнения по формированию навыков должны быть достаточно разнообразными как посодержанию, так и по форме, лишь в этом случае достигается прочность навыков.
3. Провестиработу по закреплению алгоритма – использовать его применение во всехстандартных и нестандартных ситуациях. Это немаловажно, так как уровеньвычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенныхприемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом. Крометого, формируемые навыки в выполнении вычислений и тождественных преобразованийдолжны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков учащихсякак составная часть. Поэтому после нескольких упражнений в формировании новоговычислительного умения или навыка полезно для достижения этой цели выполнятьупражнения, связывающие изучаемое с ранее приобретенными умениями и навыками.
4. И, конечноже, необходимо провести проверку по усвоению алгоритма учащимися. Этому могутпомочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работойучащихся в классе. Анализ письменных и устных работ учащихся дает возможностьустановить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерныеошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно неусвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.
Вычислительныенавыки и умения можно считать сформированными только в том случае, еслиучащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия снатуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональнымичислами, производить тождественные преобразования различных числовых выраженийи приближенные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, а такжеубеждать в правильности полученных результатов.
На каких жеэтапах урока и внеклассных мероприятий можно обучать вычислительным навыкам? Науроках можно отводить 5–10 минут, в течение которых учащиеся знакомятся скаким-либо алгоритмом и закрепляют его решением примеров. Пятиминутки «устногосчета» так же могут быть использованы для формирования и отработкивычислительного навыка. На этапе актуализации знаний можно провести проверкузнаний того или иного вычислительного алгоритма. А на внеклассных мероприятияхможно ввести специальное отделение, в котором учащиеся, хорошо владеющие вычислительнымиалгоритмами, с успехом выступают перед одноклассниками. Также можноиспользовать различные игровые приемы (конкурсы, состязания) для изучения,закрепления, проверки знания вычислительных алгоритмов.
Такимобразом, вычислительные навыки нужны и при изучении программного материала вшколе, и в повседневной жизни. Кроме того, они окажутся полезными для прикидкиожидаемого результата не только в учебной деятельности, но и в жизни. Именнопоэтому учить учащихся быстро, правильно и рационально считать в школенеобходимо и не только на уроках, но и на внеклассных занятиях по математике. 1.3 Устные вычисления как основа повышения вычислительнойкультуры школьников
В методикематематики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным относятвсе приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к нимприемы вычислений для случаев за пределами 100 (например, прием для случая900·7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9·7). К письменнымотносят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100.
Устная работана уроках математики в младших классах, имеет большое значение – это и беседыучителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся привыполнении тех или иных заданий и т.п. Среди этих видов устной работы можновыделить так называемые устные упражнения. Ранее они сводились в основном квычислениям, поэтому за ними закрепилось название «устный счет». И хотя всовременных учебниках содержание устных упражнений весьма разнообразно ивелико, за счет введения алгебраического и геометрического материала, а такжеза счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами идругих вопросов, название «устный счет» по отношению к устной форме проведенияупражнений сохранилось до сих пор. Это, по мнению В.С. Кравченко, приводитк некоторым неудобствам, так как термин «устный счёт» используется, кроме того,и в своём естественном смысле, то есть вычисления, производимые устно, в уме,без записей. В связи с этим вместо термина «устный счёт», удобнее пользоватьсятермином «устные упражнения».
Как пишетпедагог О.П. Зайцева в своей статье «Роль устного счета в формированиивычислительных навыков и развития личности ребенка» важность и необходимостьустных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формированиивычислительных навыков и в совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностныхкачеств ребёнка. Создание определённой системы повторения ранее изученногоматериала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматическогонавыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должнынаходиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.
Длядостижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математикинеобходимо выделять 5–10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях,предусмотренных программой каждого класса.
Устныеупражнения проводятся в вопросно-ответной форме, все учащиеся класса выполняютодновременно одни и те же упражнения. Устные упражнения важны и ещё и тем, чтоони активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполненииактивизируется, развивается память, речь, внимание, способность восприниматьсказанное на слух, быстрота реакции.
В сочетании сдругими формами работы, устные упражнения позволяют создать условия, прикоторых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь,моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение.
Так какустные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет свои задачи:
1) воспроизводствои корректировка определённых ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельнойдеятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя;
2) контрольучителя за состоянием знаний учащихся;
3) психологическаяподготовка учащихся к восприятию нового материала.
Так как урокиматематики в младших классах как правило имеют кроме основной задачи, связаннойс изучением текущего материала, еще ряд задач, относящихся к закреплениюпройденного материала и подготовке к новым вопросам, то с этой точки зрения иподбираются упражнения к уроку, продумывается вид устных упражнений.
Дляэффективного использования устных упражнений, нужно правильно определить ихместо в системе формирования понятий и навыков.1.3.1Приемы устного счета на уроках математики
Устныеупражнения – неотъемлемая часть урока математики. Они могут проводится каквначале урока, так и на любом его этапе. Остановимся на устных упражнениях,проводимых в начале урока.
Наиболеечасто устные упражнения – первый этап урока, причем не только в 5–6-х, но и встарших классах.
Цель этогоэтапа: во-первых, подготовить учащихся к продуктивной работе на всем протяженииурока, значит, среди этих упражнений должны быть задания на восстановлениеопорных заданий и умений. Во-вторых, постоянно проводить работу по поддержаниюи совершенствованию ранее сформулированных знаний и умений, в частности,вычислительных навыков. И, в-третьих, способствовать развитию учащихся, т.е.необходимо на каждом уроке предлагать задачи, требующие сообразительности,внимания, анализа и обобщения имеющихся знаний и т.п.
В 5–6 классахдля развития и совершенствования вычислительных навыков часто используются такназываемые цепочные вычисления.
В учебнике Н.Я. Виленкинаи др. такие цепочки даются в виде схем и в виде столбиков. Роль этих упражненийне сводится только к поддержанию умения считать. Важно, что они хороши дляразвития оперативной памяти, тренировки внимания, настойчивости. Вообще, вучебниках 5–6 классов Н.Я. Виленкина и др. такие примеры достаточноразнообразны для применения их в устном счете.
Припроведении устного счета сталкиваешься с такой проблемой, как охват всехучащихся. При наполняемости классов в 25 человек сделать это довольнопроблематично. Как правило, классы по силам неоднородны, сильные ученикивыполняют все упражнения довольно быстро, что приводит к тому, что постоянноотвечают одни и те же, или им становится скучно. Другие же ученики имеютвозможность вообще не выполнять устные упражнения, либо выполнять их от случаяк случаю. Смысл же заданий устного счета в том, чтобы каждый ученик выполнилвесь объем вычислений, а учитель имел возможность быстро и легко проверятьработу учащихся.
Поэтому припланировании устной работы в начале урока можно поступить следующим образом: надоске выписываем пример из методического пособия «Упражнения для быстрогосчета» на интересующие разделы и темы, предназначенные для устногосчета или текстом, иногда по вариантам, иногда одинаковые. Учащимся даетсяопределенное количество времени, в зависимости от количества заданий. Всевычисления и рассуждения учащиеся производят устно, записывая только конечныерезультаты, причем именно в той последовательности, в какой были предложенызадания (это нужно для облегчения проверки). Через отведенное время собираем по4–5 тетрадей с каждого варианта. Потом вызываем ученика на каждое задание,который называет только ответы, при необходимости или затруднении обсуждаем иликомментируем. Одновременно проверяем сданные тетради, с выставлением отметок.
Так какученики заранее не знают, чьи тетради берем на проверку, это активизирует ихдействия, заставляет работать каждого. Такую работу можно проводить во всехклассах.
Кроме того,можно использовать следующую форму работы, которая применима в тех ситуациях,когда требуется «набить руку» по темам:
1) упрощениевыражений;
2) формулысокращенного умножения;
3) решениепростейших тригонометрических уравнений и неравенств, и др.
Беремодинарный лист в клетку и складываем его по длине пополам. Получаем 4 страницы.В течение 4-х уроков, каждый ученик получает один из четырех вариантов (каждый разновый) одной и той же работы. Задание выполняется устно, записываются толькоответы. Новый вариант работы выполняется на новой странице. Обычно берется 10заданий в каждом варианте, которые охватывают все возможные случаи для даннойтемы. Учащимся дается ограниченное количество времени. После каждого урокаработы проверяются и оцениваются. На следующем уроке выдаются эти же листочки идругой вариант работы. В журнал выставляется итоговая отметка по результатамвсех четырех работ. Такой вид работы позволяет к четвертому уроку существенноувеличить процент качества выполнения работ.
1.3.2 Видыупражнений для устного счета
Навыки устныхвычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразныхупражнений. Рассмотрим основные их виды [1].
1) Нахождениезначений математических выражений.
Предлагаетсяв той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение.Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математическиевыражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придаютчисловые значения и находят числовое значение полученного выражения, например:
·       найдитеразность чисел 100 и 9;
·       найдитезначение выражения />, если С = 100,К = 9.
Выражениямогут предлагаться в разной словесной форме:
·       из100 вычесть 9; 100 минус 9;
·       уменьшаемое100, вычитаемое 9, найдите разность;
·       найтиразность чисел 100 и 9;
·       уменьшить100 на 9 и т.д.
Этиформулировки использует не только учитель, но и ученики.
Выражениямогут включать одно и более действий. Выражения с несколькими действиями могутвключать действия одной ступени или разных ступеней, например:
·       47 + 24/>;
·       72: 12· 9.
Могут бытьдействия со скобками или без скобок: (/>):3, />: 3. Как и выражения в однодействие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку,например:
·         из 90вычесть частное чисел 42 и 3;
·         уменьшаемое90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3.
Выражениямогут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами, с двузначными,с трехзначными и т.д., с натуральными числами и величинами. Однако, какправило, приёмы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами впределах 100. Так, случай вычитания четырехзначных чисел сводится к вычитаниюдвузначных чисел и, значит, его можно предлагать для устных вычислений.
Выраженияможно давать и в форме следующей таблицыУменьшаемое 12 14 35 12 28 Вычитаемое 10 8 15 5 10 Разность
Основноезначение упражнений на нахождение значений выражений – выработать у учащихсятвердые вычислительные навыки, а также они способствуют усвоению вопросовтеории арифметических действий.
2) Сравнениематематических выражений.
Этиупражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надоустановить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше илименьше: 6 + 4 * 4 + 6, 20 + 7 * 20 + 5, 20 · 8 * 18 · 10, 8 · 9 * 8 · 10. Вместо* необходимо поставить знак или =.
Могутпредлагаться упражнения, в которых уже дан знак отношения и одно из выражений,а другое выражение надо составить или дополнить:
 8 · (10 + 2) = 8 · 10 +…
Выражениятаких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные,двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разнымидействиями.
Главная рольтаких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний обарифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др.Также они помогают выработке вычислительных навыков.
3) Решениеуравнений.
Это преждевсего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные.
Уравнениеможно предлагать в разных формах:
·       решениеуравнения 24: х = 3;
·       изкакого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?
·       найдитенеизвестное число: 73 + х = 73 + 18
·       язадумала число, умножила его на 5 и получила 85. Какое число я задумала?
Назначениетаких упражнений – выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоитьсвязи между компонентами и результатами арифметических действий.
4) Решениезадач.
Для устнойработы предлагаются и простые и составные задачи.
Этиупражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогаютусвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.
Разнообразиеупражнений возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительнуюдеятельность.1.3.3 Формывосприятия устного счета
В примененииустного счета можно выделить несколько форм.
1) Беглыйслуховой (читается учителем, учеником, записано на магнитофоне) – привосприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтомуучащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: ониразвивают слуховую память.
2) Зрительный(таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) – запись заданияоблегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно идаже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами,выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнитьдействия при сравнении выражений.
3)Комбинированный.
Так жеприменяются:
– обратнаясвязь (показ ответов с помощью карточек);
– заданияпо вариантам (обеспечивают самостоятельность);
– упражненияв форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук-стук, хлопки).
Такимобразом, при формировании и развитии математических навыков учащихся значимоеместо занимают вычислительные навыки и, в частности, устные вычисления.  
2. Методика повышения вычислительной культуры школьников2.1 Организация устных вычислений учащихся
Чтобы навыкиустных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установитьправильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, аименно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислять трудно.
Упражнения вустных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкойдомашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе.Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5–7 минут на уроке дляустного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальныхсборников. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока ипомогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. Взависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Еслиустные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительныхнавыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в началеурока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепитьизученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения новогоматериала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, аустный счет требует большого внимания, памяти и мышления. Количество упражненийдолжно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышалоотведенного на это времени урока.
При подбореупражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения ипервые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще ипрямолинейнее. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию вформулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и,особенно, для применения их в различных условиях, наоборот должны бытьоднообразнее. Формулировки заданий, по возможности должны быть рассчитаны нато, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими илаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различноготолкования. В случаях, когда задания всё-таки трудны для усвоения на слух,необходимо прибегать к записям или рисункам на доске. Устный счет на урокахматематики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыкови умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детейпознавательного интереса к урокам математики как одного из важнейших мотивовучебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, развитияличностных качеств ребенка.
Рассмотримчасто встречающиеся случаи умножения и деления, в которых особенно плодотворноприменение устного счета.2.1.1 Дроби
1. Умножениецелого числа на смешанное. Умножение целого числа на смешанное число можетбыть выполнено по правилу умножения числа на сумму, так как смешанное числоесть сумма целого числа и дроби. Поясним это на числовом примере:
1) />.
Но приумножении целого числа на смешанное число можно обратить смешанное число внеправильную дробь, затем умножить целое число на числитель неправильной дроби,полученное произведение сделать числителем искомого произведения, знаменательже произведения оставить знаменатель множителя:
/>.
Как видим,первый способ проще и дает возможность быстрее производить умножение.
2) />.
Преимуществопервого способа перед вторым в данном примере очевидно. Но могут быть случаи,когда проще и быстрее можно решить пример вторым способом:
3)/>.
Такимобразом, при умножении целого числа на смешанное число надо внимательнорассмотреть пример и применить тот способ, который в данном случае быстрееведет к цели.
2. Делениесмешанного числа на целое. Смешанное число можно рассматривать как суммудвух чисел. Следовательно, деление смешанного числа на целое есть деление суммыдвух чисел на число. Чтобы разделить сумму чисел на число, достаточно разделитьна это число каждое из слагаемых, и сложить полученные результаты.
Мы знаем, чтовсе основные законы арифметических действий, установленные для натуральныхчисел, сохраняют свою силу и для дробных чисел:
1) 348/>: 4 = (348 + />): 4 = 348: 4 + />: 4 = 87 + /> = 87/>.
Как видим,этот способ гораздо легче (он дает возможность быстрее производить вычисления),чем обычный способ деления смешанного числа на целое с образованием смешанногочисла в неправильную дробь.
2) 252/>: 12 = (252 + />): 12 = 252: 12 + />: 12 = 21 + /> = 21/>.
3. Умножениеи деление целого числа на дробь, которая отличается от единицы на одну долю:
а) умножение

1) />;
2) />;
б) деление
3) />.
Рассмотримпример деления целого числа на дробь, причем дробь отличается от единицы на двеи более долей:
1) />.
Как мы видим,данный способ дает возможность быстрее умножать и делить целое число на дробь,чем обычный способ, а поэтому следует разобранный способ использовать приумножении или делении целого числа на дробь.2.1.2Проценты
Устноенахождение процентов числа и числа по данным его процентам
Устноенахождение 5%, 25%; 12,5% числа и т.п., а также числа по данным его процентамосновано на умножении и делении на дроби 0,05; 0,25; 0,125 и т.п.
а)Нахождение процента от числа.
1) Найти 25%от 468.
/>. Но можно заменить 25% иобыкновенной дробью. Этот пример можно решить так: />.
2) Найти 12,5%от 728.
/> Можно 12,5% заменитьобыкновенной дробью: />.
б)Нахождение числа по данным его процентам.
Найти число,если 5% его равны 492.
/>.
Как видим,способ замены процентов обыкновенной дробью иногда дает возможность быстреепроизводить вычисления, чем умножением на десятичную дробь.2.1.3Нахождение квадратов числа
1. Таблицаквадратов целых чисел от 1 до 25 включительно.
На основаниитого, что суммы последовательных нечетных чисел:
 1 + 3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т.д. – представляют собой рядквадратов, разработаны следующие способы составления таблицы квадратов.
а) Первыйспособ составления таблицы квадратов чисел от 1 до 25.Числа Квадраты чисел целые нечетные 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 7 16 5 9 25 6 11 36 7 13 49 8 15 64 9 17 81 10 19 100 11 21 121 12 23 144 13 25 169 14 27 196 15 29 225 16 31 256 17 33 289 18 35 324 19 37 361 20 39 400 21 41 441 22 43 484 23 45 529 24 47 576 25 49 625
В первойколонке написан ряд последовательных целых чисел, начиная с единицы. Во второйколонке написан ряд нечетных чисел, начиная с 1. Третья колонка содержит рядквадратов целых чисел, указанных в первой колонке.
Таблицасоставляется следующим образом: в первой строке пишут число 1; этот первыйквадрат прибавляют к нечетному числу следующей строчки из второй колонки иполучают второй квадрат 4. Прибавляя 4 к третьему нечетному числу (5) из второйколонки, получаем 32, т.е. 9. Вообще, квадрат числа есть сумма нечетногочисла, которое стоит в одной с ним строке и непосредственно предшествующегоквадрата. В одной и той же строке слева направо расположены: 1) целое число; 2)нечетное число, для которого это целое число служит номером в ряде нечетныхчисел; 3) квадрат целого числа.
б) Второйспособ составления таблицы квадратов чисел от 1 до 25.
В первойвертикальной колонке пишутся по порядку целые числа, начиная с единицы. Вовторой колонке пишется ряд нечетных чисел, начиная с 3. В третьей колонке,которая должна содержать ряд, квадратов всех целых чисел, пишется сначалаквадрат 1, т.е. единица. Чтобы получить каждый из следующих квадратов, прибавляютк последнему числу третьей колонки то нечетное число, которое стоит слева отнего, во второй колонке. Каждое из чисел третьей колонки есть квадратсоответствующего числа первой колонки.Числа Квадраты чисел целые нечетные 1 3 1 2 5 4 3 7 9 4 9 16 5 11 25 6 13 36 7 15 49 8 17 64 9 19 81 10 21 100 11 23 121 12 25 144 13 27 169 14 29 196 15 31 225 16 33 256 17 35 289 18 37 324 19 39 361 20 41 400 21 43 441 22 45 484 23 47 529 24 49 576 25 51 625 Числа Квадраты чисел 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625
в) Третийспособ составления таблицы квадратов чисел.
Квадратычисел от 1 до 10 включительно определяем по таблице умножения: в первой колонкепишем числа, во второй – их квадраты. Чтобы получить квадрат следующего числа,к квадрату данного числа прибавляем сумму данного числа и следующего числа.Рассмотрим на числовых примерах.
1) квадратчисла 11 равен 100 + (10+ 11)= 121;
2) квадратчисла 12 равен 121 + (11 + 12) = 144 и т.д.
Объяснениеэтого способа нахождения квадрата числа следующее:
(k+ 1)2 = k2+ 2k• 1 + 12 = k2+ [k+ (k+ 1)].
3) 752= 5625. 762 = (75 +1)2 = 752 + [75 + (75 + 1)]= 752 +
+ (75 + 76) = 5625 + 151 = 5776. Получаем 762 = 5776.
2. Возведениев квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.
а) Вычисленияпо формуле />.
/>.
б) Вычисленияпо формуле />.
/>.
в) Особеннополезным оказывается применение в устных вычислениях формулы />.
1) />.
2) />.
3. Устноевозведение в квадрат смешанных чисел. Случаи возведения в степеньсмешанного числа по формулам сокращенного умножения.
а) Квадратсмешанного числа с дробью />. Чтобы возвести в квадратсмешанное число с дробью />,достаточно умножить целую часть числа на число, единицей большее, и кпроизведению приписать />.
Дано: число k + />, где k – целое. Доказать: (k+ />)2 = k(k+ 1) + />.
Доказательство:(k+ />)2 = k2+ 2 • k• /> + /> = k2+ k+ /> = k(k+ 1) + />.
/>
б) Квадратсмешанного числа с дробью />. Чтобы возвести в квадратсмешанное число с дробью />,достаточно возвести в квадрат целую часть этого числа, затем прибавить ееполовину и, наконец, к полученной сумме прибавить />,если целая часть – четное число. Если же целая часть – нечетное число, то кквадрату целой части прибавляется половина числа, на единицу меньшего даннойцелой части смешанного числа, и к сумме прибавляется />.
1) Дано:число k+ />, где k – четное число. Доказать:(k+ />)2 = k2+ /> + />.
Доказательство:(k+ />)2 = k2+ 2 • k• /> + /> = k2+ /> + />.
2) Дано:число k+ />, где k – нечетное число. Доказать:(k+ />)2 = k2+ + /> + /> (в данном случае k’ на единицу меньше числа k).
Доказательство:k= k’ + 1, следовательно,
(k+ />)2 = k2+ /> + /> = k2+ /> + /> + /> = k2+ /> + />.
1) k – четное число
/>.
2) k – нечетное число
/>.2.2 Приемы устных вычислений, основанные на законах исвойствах арифметических действий2.2.1Сложение
1. Заменанескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон).
1) 187 + 247+ 153 = 187 + (247 + 153) (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем, наосновании сочетательного закона) = 187 + 400 = 587.
2) 16,53 +4,47 + 9,84 = (16,53 + 4,47) + 9,84 = 21 + 9,84 = 30,84.
2. Перестановкаслагаемых (переместительный закон).
1) 238 + 487+ 362 = 238 + 362 + 487 (делаем перестановку слагаемых, применяяпереместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении) = (238 +362) + 487 (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основаниизакона сочетательности) = 600 + 487 = 1087.
2) 3,57 +4,68 + 6,43 = 3,57 + 6,43 + 4,68 = (3,57 + 6,43) + 4,68 = 14,68.
3) 235 + 47 +7 + 265 + 3 + 53 = 235 + 265 + 47 + 53 + 7 + 3 = (235 + 265) + (47 + 53) + (7 +3) = 500 + 100 + 10 = 610.
4) 8,3 + 3,85+ 9,7 + 5,15 + 2,25 = 8,3 + 9,7 + 3,85 + 5,15 + 2,25 = (8,3 + 9,7) + (3,85 +5,15) + 2,25 = 18 + 9 + 2,25 = 29,25.
Близок куказанному способу прием перемещения единиц. Например:
1) 1347 +2235 = 1347 + 33 + 2202 = (1347 + 33) + 2202 = 1380 + 2202 = 3582.
2) 13,98 +7,12 = 13,98 + 0,02 + 7,1 = (13,98 + 0,02) + + 7,1 = 14 + 7,1 = 21,1.
Для упрощениявычислений мы разбивали слагаемое на части с целью привести вычисления ксложению целых чисел или круглых десятков, применяя сочетательный закон.
3. Прибавлениесуммы к числу.
1) 384 + (416+ 548) = 384 + 416 + 548 (на основании следствия сочетательного закона) = (384+ 416) + 548 (сочетательный закон) = 800 + 548 (правило порядка действий) =1348.
Итак, правилоприбавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить кчислу сумму, достаточно прибавить к нему одно за другим все слагаемые.
2) 3,64 +(4,36 + 9,78) = 3,64 + 4,36 + 9,78 = (3,64 + 4,36) + 9,78 = 8 + 9,78.
4. Прибавлениечисла к сумме.
1) (337 +488) + 663 =663 + (337 + 488) (переместительный закон) = 663+ + 337 + 488(правило прибавления суммы) = (663 + 337) + 488 (сочетательный закон) = 1000 +488 = 1488.
Примененноездесь свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме чисел прибавить число,достаточно прибавить его к одному из слагаемых.
2) (4,55 +6,89) + 5,45 = (4,55 + 5.45) + 6,89 = 10 + 6,89 = 16,89.
5. Прибавлениек сумме другой суммы.
1) (327 + 684+ 168) +(473 + 316 + 132) = (327 +684 + 168) + 473 + 316 + + 132 = 327 +684 + 168 + 473 + 316 + 132 (правило прибавления суммы к числу) = 327 +473 + 684 +316 +168 + 132 (переместительный закон) = (327 + 473) + + (684+ 316) + (168 + 132) (сочетательный закон) = 800 + 1000 + 300 = 2100.
2) (12,24 +27,58) + (37,76 + 2,42) = (12,24 + 37,76) + (27,58 + 2,42) = 50 + 30 = 80.2.2.2Сложение и вычитание
1. Перестановкачленов ряда сложений и вычитаний (перестановка членов алгебраической суммы).
1‑йслучай.
1) /> (если из какого-либо числавычесть и затем прибавить одно и то же число, то данное число останется безизменения) /> (сочетательность сложения)/> (переместительность сложения)/> (следствие сочетательногозакона) /> (если к какому-либо числуприбавить и затем вычесть одно и то же число, то данное число останется безизменения) = 5000 + 579 (порядок действий) = 5579. Итак, />.
Результатряда сложений и вычитаний не меняется от перемены порядка членов ряда (при этомкаждый член ряда остается в его прежней роли слагаемого или вычитаемого).
При введенииотрицательных чисел, обоснование решения подобного примера весьма просто: длячленов алгебраической суммы справедливы переместительный и сочетательный законысложения.
2‑йслучай.
2) /> (если из какого-либо числавычесть и затем прибавить одно и то же число, то данное число не изменится) /> (первый случайпереместительности членов ряда сложений и вычитаний) /> (если к какому-либо числуприбавить и затем вычесть одно и то же число, то данное число не изменится) />. Итак, />.
2. Прибавлениеразности к числу (первый случай сочетательности членов ряда сложений и вычитаний).
/>(если к какому-нибудьчислу прибавить и затем вычесть одно и то же число, то данное число не изменится)/>(сочетательный закон) /> (производим сложение ивычитание). Итак, />.
При решенииподобных примеров применяется следующее правило: чтобы к числу прибавитьразность, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычестьвычитаемое.
/>
В этом случаеправило может быть сформулировано так: чтобы к числу прибавить разность,достаточно из данного числа вычесть вычитаемое и к полученному числу прибавитьуменьшаемое.
3. Вычитаниеиз числа суммы (второй случай сочетательности членов ряда сложений ивычитаний).
/> (если из какого-нибудьчисла вычесть и затем прибавить одно и то же число, то данное число не изменится)/> (на том же основании) = /> (переместительный исочетательный законы) /> (если ккакому-нибудь числу прибавить и затем вычесть одно и то же число, то данноечисло не изменится) />. Итак, />.
Чтобы изчисла вычесть сумму, достаточно вычесть из него одно за другим каждоеслагаемое.
4. Вычитаниеиз числа разности (третий случай сочетательности членов ряда сложений ивычитаний).
1) /> (если из какого-нибудьчисла вычесть и затем прибавить одно и то же число, то данное число останетсябез изменения) /> (на том жеосновании) /> (переместительность членовряда сложений и вычитаний) /> (сочетательностьчленов ряда сложений и вычитаний) /> (еслик какому-нибудь числу прибавить и затем вычесть одно и то же число, то данноечисло не изменится) = />. Итак, />.
Чтобы изчисла вычесть разность, достаточно вычесть уменьшаемое и затем прибавитьвычитаемое.
2) /> (вычитание из числаразности) /> (переместительность членовряда сложений и вычитаний) /> (сочетательностьсуммы) /> (выполняем сложение ивычитание полученных чисел).
Такимобразом, чтобы из числа вычесть разность, достаточно прибавить к немувычитаемое и затем отнять уменьшаемое. Так как в математике нельзя из меньшегочисла вычитать большее, то в случае, когда уменьшаемое больше числа, изкоторого вычитается разность, применить можно лишь второе из этих правил. Вовсех остальных случаях выбираем то правило вычитания из числа разности, котороедает более быстрые и простые вычисления.
5. Вычитаниеиз суммы числа.
/> (порядок действий) /> (переместительность рядасложений и вычитаний) /> (сочетательностьряда сложений и вычитаний) = 100 + 476 = 576. Итак, />.
Чтобы изсуммы чисел вычесть какое-нибудь число, достаточно вычесть его из одногослагаемого.
6. Вычитаниеиз разности числа.
/> (порядок действий) /> (переместительность) />(сочетательность) />. Чтобы из разности вычестьчисло, достаточно вычесть его из уменьшаемого и из полученного числа вычестьвычитаемое.
Здесьприменено следующее правило: чтобы из разности вычесть число, достаточно прибавитьего к вычитаемому и полученное число вычесть из уменьшаемого.
7. Вычитаниеиз суммы другой суммы.
/> (вычитание суммы изчисла) /> (порядок действий) /> (переместительность) /> (сочетательность) =
= 100 + 350 (порядок действий) = 450.
Чтобы изсуммы чисел вычесть другую сумму, можно из отдельных слагаемых первой суммывычитать меньшие или равные им слагаемые второй суммы.
8. Вычитаниеиз разности другой разности.
/> (вычитание разности изчисла) /> (порядок действий)/> переместительность) />(сочетательность) = 100 +200 = 300. Итак, />.
Чтобы изразности чисел вычесть другую разность, достаточно из уменьшаемого первойразности вычесть уменьшаемое второй, а из вычитаемого второй вычесть вычитаемоепервой и результаты этих вычитаний сложить.
Замечание1. Врассмотренных примерах на действия с положительными числами (и нулем) исформулированных к ним правилах всюду подразумевалась выполнимость вычитания, т.е.предполагалось наличие разности, выражаемой неотрицательным числом.
Замечание2. Обоснованиевсех описанных выше приемов вытекает из свойств алгебраической суммы.2.2.3Умножение
1. Заменанескольких сомножителей их произведением (сочетательный закон умножения).
1) /> (сочетательность умножения)= /> = 1700.
Чтобыперемножить несколько чисел, достаточно отдельные сомножители соединить вгруппы, произвести умножение по группам, а затем перемножить полученныепроизведения.
2) />.
2. Перестановкасомножителей (переместительный и сочетательный законы умножения).
/> (переместительностьумножения) = /> (сочетательность умножения)= 300 000.
Чтобыперемножить несколько чисел, можно поменять местами отдельные сомножители,соединить их в группы, затем произвести умножение по группам и перемножитьполученные произведения.
3. Умножениепроизведения на число.
/> (порядок действий) = />(переместительность умножения)=/> (сочетательностьумножения) =/>.
Чтобыумножить произведение нескольких чисел на какое-либо число, достаточно один изсомножителей умножить на это число и полученное произведение последовательноумножить на другие сомножители.
4. Умножениечисла на произведение.
1) />(следствие сочетательногозакона) =/> (сочетательность умножения)= 168000.
Чтобыумножить число на произведение нескольких чисел, достаточно умножить это числона первый сомножитель, полученное произведение – на второй, затем новоепроизведение – на третий и т.д. до конца.
К указанномуспособу близок прием умножения посредством замены множителя соответствующимпроизведением (иногда это называют последовательным умножением).
2)/>.
5. Умножениепроизведения на произведение.
/>(умножение числа напроизведение) = /> (порядокдействий) = /> (переместительность) /> (сочетательность) = />.
Здесьприменено следующее правило: чтобы умножить произведение нескольких чисел надругое произведение, достаточно последовательно перемножить все сомножителиобоих произведений.2.2.4.Умножение, сложение и вычитание
1. Распределительныйзакон умножения по отношению к сложению (умножение суммы чисел на число).
/>.
Чтобыумножить сумму нескольких чисел на данное число, достаточно умножить каждоеслагаемое на это число и полученные произведения сложить.
К указанномуспособу по обоснованию приема близок способ вынесения за скобки общегомножителя или множимого.
1)/>;
2)/>.
2. Распределительныйзакон умножения по отношению к вычитанию (умножение разности чисел на число).
1)/>.
Чтобыумножить разность чисел на какое-нибудь число, достаточно умножить на это числоотдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
2) />.
К указанномуспособу по обоснованию приема близок способ вынесения за скобки общегомножителя.
3. Умножениесуммы на сумму.
/> (умножение числа на сумму)= />.
Чтобыумножить сумму нескольких чисел на другую сумму, можно каждое слагаемое первойсуммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и полученные произведениясложить.2.2.5Умножение и деление
1. Перестановкачленов ряда умножений и делений (переместительность ряда умножений и делений).
1)/> (если данное числоразделить на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это жечисло, то данное число останется без изменения) = />(переместительностьумножения) = /> (если данное числоумножить на какое-нибудь число, отличное от 0, и затем полученное произведениеразделить на это же число, то данное число останется без изменения) =512(правило порядка действий: действия одной и той же ступени (при отсутствиискобок) выполняются в том порядке, в каком они записаны).
2) 486: 9: 2= 486: />: 9: 2 (если данное числоразделить на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это жечисло, то данное число останется без изменения) = 486: 2: />: 2 (переместительностьчленов ряда умножений и делений) = 486: 2: 9 (если данное число умножить накакое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведение разделитьна это число, то данное число останется без изменения) = 243: 9 = 27.
Результатряда умножений и делений не меняется от перемены порядка членов данного ряда(разумеется, что каждый член ряда остается в своей прежней роли, иначе говоря,переносится на другое место вместе с написанным перед ним знаком действия).
2. Умножениечисла на частное.
1)/> (если данное числоумножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведениеразделить на это же число, то данное число остаются без изменения) = />(сочетательность умножения)= /> (если данное числоразделить, на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это жечисло, то данное число останется без изменения) = 800: 8 = 100 (порядокдействий). Итак,/>.
Чтобыумножить число на частное, можно умножить его на делимое, и полученноепроизведение разделить на делитель.
2)/>.
3. Делениечисла на произведение.
1) />(если данное числоразделить на какое-нибудь число и полученное частное умножить на то же самоечисло, то данное число останется без изменения) = /> (объяснението же) = /> (переместительность умножения)= /> (сочетательностьумножения) = 1890: 9: 7 (если данное число умножить на какое-нибудь число (неравное нулю) и затем полученное произведение разделить на это же число, тоданное число останется без изменения) = 210: 7 = 30 (порядок действий).
Чтобыразделить число на произведение нескольких чисел, достаточно разделить его напервый сомножитель, полученное частное – на второй, новое частное – на третий ит.д. до конца.
2) 8,16: (/> = 8,16: 0,8: 0,03 = 10,2:0,03=340.
К указаннымспособам близки по обоснованию приема следующие: разложение делителя намножители и замена нескольких делителей их произведением.
3) 1890: 54 =1890: (/>= (1890: 9): 3: 2 = (210:3): 2 = 70: 2 = 35.
4) 2800: 25:8 = 2800: (/>= 2800: 200 = 14.
4. Делениепроизведения на число.
/> (так как 3200 = />) = />: 8 (порядок действий) = /> (переместительностьумножения) =/> (сочетательностьумножения) =/> (если данное числоумножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведениеразделить на это же число, то данное число останется без изменения) = /> (порядок действий).
Чтобыразделить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число, достаточноразделить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения.
5. Делениепроизведения нескольких чисел на другое произведение.
/>
(следствиесочетательного закона) = /> (переместительностьумножения/> (сочетательность умножения)= />(переместительность) =/> (деление произведения начисло) = 1680 (умножаем полученные числа).
Чтобы разделитьпроизведение нескольких чисел на другое произведение, все сомножители котороговходят в состав первого произведения, достаточно разделить, каждый изсомножителей первого произведения на соответствующий сомножитель второгопроизведения, а затем полученные частные и оставшиеся сомножители перемножить.

6. Делениечисла на частное.
3200: (800:32) = 3200: /> 800: (800: 32) (еслиданное число разделить на какое-нибудь число, а затем полученное частноеумножить на это же число, то данное число останется без изменения)
= 3200: /> 32: 32 />: (800: 32) (если данноечисло умножить на какое-либо число (не равное нулю), а затем полученноепроизведение разделить на это же число, то данное число останется безизменения)
= 3200: />: 32: (800: 32)(переместительность ряда умножений и делений) = 3200: />(800: 32): (800: 32)(сочетательность ряда умножения и деления) = 3200: /> 32(если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю), а затемполученное произведение разделить на это же число, то данное число останетсябез изменения) = 4/> = 128 (делим иумножаем полученные числа).
Чтобыразделить число на частное, достаточно разделить его на делимое, а затемполученное частное умножить на делитель.2.2.6Деление, сложение и вычитание
1. Делениесуммы на число.
(63028 +14049): 7 = (63028 + 14049) /> (чтобыразделить одно число на другое, достаточно делимое умножить на число, обратноеделителю) = /> (распределительностьумножения) = 63028: 7 + 14049: 7 (замена умножения делением) = 9004 + 2007(порядок действий) =11011.
Чтобыразделить сумму чисел на число, достаточно разделить на него каждое слагаемое иполученные результаты сложить.
2. Делениеразности на число.
1) (36042/>): 6 = (36042/>) /> (чтобы разделить одночисло на другое, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю) = /> (умножение разности на число)= 36042: 6/>: 6 (замена умноженияделением) = 6007/> (порядок действии)= 3003.
Чтобыразделить разность чисел на число, достаточно разделить на него уменьшаемое,затем вычитаемое и из первого частного вычесть второе частное.
К указанномуспособу по обоснованию близок способ вынесения общего делителя за скобки.
2) 675: 45 +225: 45 = (675 + 225): 45 = 900: 45 = 20.2.3 Приемы устных вычислений, основанные на изучении результатадействий в зависимости от изменения компонентов2.3.1Сложение и вычитание
1. Округлениеодного или нескольких слагаемых.
Этот приемоснован на изменении суммы при изменении слагаемых.
а) Если одноиз слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), адругое слагаемое оставить без изменения, то сумма увеличится (или уменьшится)на столько же единиц (или долей). Округляя слагаемое, мы увеличиваем (илиуменьшаем) его, а следовательно, и сумму на несколько единиц (или долей). Чтобысумма не изменилась, надо уменьшить (или увеличить) ее на столько же единиц(или долей).
1199 + 406 =(1200 + 406)/> = 1605.
б) Если одноиз слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), другоеслагаемое уменьшить (или увеличить) на столько же единиц (или долей), аостальные слагаемые оставить без изменения, то сумма не изменится. Перемещаемнесколько единиц (долей) из одного слагаемого в другое, сумма не изменяется.
994 + 196 =994 + 190 + 6 = (994 + 6) + 190 = 1000 + 190 = 1190.
В том случае,когда одно из слагаемых близко к разрядной единице (на несколько единиц большеили меньше) или близко к целому числу (на несколько долей больше или меньшеего), удобнее заменить его разрядной единицей или целым числом, а в полученныйот сложения результат внести необходимую поправку.
2. Округлениеуменьшаемого или вычитаемого.
Этот приемоснован на изменении разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
а) Еслиуменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц (или долей), торазность соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц (илидолей). Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его на несколькоединиц (или долей), следовательно, и разность увеличивается или уменьшаетсянастолько же единиц (или долей). Чтобы разность не изменилась, надо ееуменьшить или увеличить настолько же единиц (или долей).
1) />.
Уменьшаемоеувеличено на несколько единиц, разность, записанная в скобках, должна бытьуменьшена на столько же единиц.
2) />.
Уменьшаемоеуменьшено на несколько единиц; записанная в скобках разность должна бытьувеличена на столько же единиц.
б) Есливычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц (или долей), то разностьсоответственно уменьшится или увеличится на столько же единиц (или долей).Округляя вычитаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его, а следовательно,разность уменьшается или увеличивается на несколько единиц (или долей). Чтобыразность не изменилась, надо ее увеличить или уменьшить на столько же единиц(или долей).
1) />.
Вычитаемоеувеличено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна бытьувеличена на столько же единиц.
2) 7,83 /> = (7,83 />) + 0,02 = 1,83 + 0,02 =1,85.
Вычитаемоеувеличено на несколько долей; разность, записанная и скобках, должна бытьувеличена на столько же долей.
3) 910 /> = (910/>) />= 396.
Вычитаемоеуменьшено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна бытьуменьшена на столько же единиц.
Итак:
1)      Приокруглении уменьшаемого:
а)      еслиуменьшаемое увеличено, разность надо уменьшить;
б)      еслиуменьшаемое уменьшено, разность надо увеличить.
2)      Приокруглении вычитаемого:
а)      есливычитаемое увеличено, то и разность надо увеличить;
б)      есливычитаемое уменьшено, то и разность надо уменьшить.
Выгоднееокруглять вычитаемое, так как разрядное или целое число легко вычитается излюбого числа.
Еслиуменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одинаковое число единиц(долей), то разность не изменится.
/>.
В данныхпримерах уменьшаемое и вычитаемое увеличены на одно и то же число, разность неизменилась.
/>.
В данныхпримерах уменьшаемое и вычитаемое уменьшены на одно и то же число, разность неизменилась.
/>.
В данныхпримерах, округляя уменьшаемое, мы уменьшали разность на несколько единиц(долей); округляя вычитаемое, мы также уменьшали разность на несколько единиц(долей). Следовательно, «округленная» разность должна быть увеличена на такуюсумму единиц (долей), на какую мы уменьшили уменьшаемое и увеличили вычитаемое.

3. Арифметическоедополнение. Замена сложения вычитанием и вычитания сложением.
а)Арифметическим дополнением числа называется число, которое нужно прибавить кданному числу, чтобы получить единицу непосредственно высшего разряда.Дополнением числа 9247 будет число, которое надо прибавить к 9247, чтобыполучить 10000. Поэтому, чтобы найти дополнение какого-либо числа, надо вычестьэто число из единицы со столькими нулями, сколько в числе цифр: 10000/> = 753. Таким образом, дляполучения дополнений надо все цифры данного числа вычитать из 9, за исключениемпоследней справа значащей цифры, которую вычитать из 10. Если находят дополнениечисла с нулями на конце, то приписывают столько нулей, сколько их было запоследней значащей цифрой.
В заменесложения вычитанием первое слагаемое вычитаем из ближайшего разрядного числа(ищем его дополнение до разрядного числа), полученная разность вычитается извторого слагаемого и результат складывается с разрядным числом.
89 + 47:
1) 100/>; 2) />; 3) 100 + 36= 136.
Способ заменысложения вычитанием удобен в том случае, когда дополнение первого слагаемого доразрядного числа легко вычитается из второго слагаемого.
б) В заменевычитания сложением находим дополнение вычитаемого до ближайшего разрядногочисла и к нему прибавляем разность между уменьшаемым и этим разрядным числом.
112 – 67:
1) />; 2)/>; 3) 12 + 33 = 45.
Этот способудобен, когда единицы, десятки и т.д. вычитаемого больше единиц, десятков ит.д. уменьшаемого.
а) Дляодновременного производства сложения и вычитания можно вместо вычитаемых взятьих дополнения до одного и того же числа, изображенного единицей с нулями, найтисумму новых слагаемых, а затем ее исправить, вычтя числа, до которых взятыдополнения. />. Заменим все тривычитаемых дополнением каждого до 1000 и вычтем столько тысяч, сколько взятодополнений, т.е. 3000: 923 + 804 + 711 + 602/> =40.
Этот способудобен в том случае, когда цифры вычитаемых больше пяти.
б) Когда жецифры вычитаемых меньше пяти, то можно не заменять вычитаемые их дополнениями.В таком случае следует подписать числа с их знаками одно под другим.2.3.2Умножение и деление
Мы знаем, чтоесли один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить востолько же раз, то произведение не изменится. На этом свойстве основываетсяприменение сокращенных способов умножения на 5, 25, 125 и на другие числа,представляющие собой делители числа, изображаемого единицей с нулями.
1. Умножениена 5, 50, 500 и т.д.
Умножениечисла на 5, 50, 500 и т.д. заменяется умножением на 10, 100, 1000 и т.д. споследующим делением на 2 полученного произведения. Или: сначала множимое делитсяна 2, а потом полученное частное умножается на 10, 100, 1000 и т.д.
1) />; />;
2) />;
3) />.
2. Умножениена 25, 250, 2500 и т.д.
При умножениичисла на 25, 250, 2500 и т.д. достаточно данное число умножить на 100, 1000,10000 и т.д. и полученный результат разделить на 4. Или: сначала данное числоразделить на 1, затем полученное частное умножить на 100, 1000, 10000 и т.д.
1) />;
2) />;
3) />.
3. Умножениена 125, 1250 и т.д.
При умножениичисла на 125, 1250 и т.д. данное число умножают на 1000, 10000 и т.д.,полученное произведение делят на 8. Или: данное число делят на 8 и полученноечастное умножают на 1000, 10000 и т.д.
1) 72/> = (72: 8)/> = 9 /> = 9000, или
72/> = />(100 + 25) = /> 100 + 72: 4/> = 7200 + 1800 = 9000
4. Умножениена 37.
При умножениичисла на 37, если данное число кратно 3, его делят на 3 и умножают на 111.
1) />.
Если жеданное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведениюприбавляют 37.
2) />;
3) />.
Известно, чтоесли делимое и делитель увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, точастное не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенныхспособов деления на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие какую-либочасть числа, изображенного единицей с нулями.
5. Делениена 5, 50, 500 и т.д.
Деление числана 5, 50, 500 и т.д. заменяется делением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующимумножением на 2. Или: делимое умножается на 2 и полученное произведение делитсяна 10, 100, 1000 и т.д.
1) 8740: 5 =(8740: 10)/> = 874/> = 1748;
2) 197500: 50= (197500: 100)/> = 3950;
3) 3,7: 500 =(3,7/>): (500/>) = 7,4: 1000 = 0,0074.
6. Делениена 25, 250 и т.д.
При делениичисла на 25, 250 и т.д. достаточно разделить его на 100, 1000 и т.д. иполученное частное умножить на 4. Или: сначала делимое умножить на 4, а потомполученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.
1) 14200: 25= (14200: 100)/> = 142/> = 568;
2) 14, 4: 25= (14,4: 100)/> = 0,144/> = 0,576, или
14,4: 25 =(14,4/>): (25/>) = 57,6: 100 = 0,576.
7. Делениена 125, 1250 и т.д.
При делениичисла на 125, 1250 и т.д. достаточно разделить его на 1000, 10000 и т.д. иполученное частное умножить на 8. Или: сначала делимое умножить на 8, а потомполученное произведение разделить на 1000, 10000 и т.д.
1) 35000: 125= (35000: 1000)/> = 35/> = 280;
2) 32250: 125= (32250/>): (125/>) = 258000: 1000 = 258.2.3.3Умножение, сложение и вычитание
1. Округлениеодного из сомножителей.
Если один издвух сомножителей увеличить или уменьшить на несколько единиц (долей), топроизведение соответственно увеличится или уменьшится на число, равноепроизведению другого сомножителя на прибавляемое или вычитаемое число единиц.
Рассмотримчетыре случая сокращенного умножения, основанных на этом свойстве.
а) Округляеммножимое до разрядного (целого) числа, отнимая от него несколько единиц(долей), затем умножаем отдельно разрядное (целое) число и отнятые единицы(доли) на множитель и полученные произведения складываем.
/>.
б) Округляеммножимое до разрядного (целого) числа, прибавляя несколько единиц (долей),умножаем отдельно разрядное (целое) число и прибавленные единицы (доли) намножитель и из первого произведения вычитаем второе произведение.
/>.
в) Округляеммножитель до разрядного (целого) числа, уменьшая его на несколько единиц (долей),затем отдельно умножаем множимое на разрядное (целое) число и на отнятыеединицы (доли) и полученные произведения складываем.
/>.
К этомуспособу сокращенного умножения относится умножение на 15; 150; 1,5; 0,15; 11;111; 1,1; 0,11; 11,1; 35; 45; 65; 75; 80; 9,5; 4,5 и т.п.
При умножениина 15 умножают на 10 и прибавляют половину полученного произведения:
/>.
При умножениина 150 умножают на 100 и прибавляют половину полученного произведения:
/>.
При умножениина 11 данное число умножают на 10 и к полученному произведению прибавляютданное число:
/>.
г) Округляеммножитель до разрядного (целого) числа, увеличивая его на несколько единиц(долей), затем умножаем множимое отдельно на разрядное (целое) число и наприбавленные единицы (доли) множителя и из первого произведения вычитаем второепроизведение.
/>.
К этомуспособу сокращенного умножение подходит умножение на 9; 99; 999; 0,9; 9,9;0,99; 19; 29; 39; 49; 69; 79; 89; 1,9; 2,9; 3,9; 4,9; 5,9; 6,9; 7,9; 8,9 и т.п.При умножении на 9; 99; 999 и т.п. умножают данное число на 10; 100; 1000 ит.п. и из полученного произведения вычитают данное число.
1) />;
2) />.
При умножениина 19; 29; 39; 49; 59; 69; 79; 89 данное число умножают на 20; 30; 40; 50; 60;70; 80 и 90 и из полученного произведения вычитают данное число.
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
2. Округлениеслагаемых и замена сложения умножением.
На основанииопределения умножения и свойств изменения суммы при изменении слагаемых можноокруглить слагаемые до одного и того же разрядного числа, разрядное слагаемоечисло умножить на число слагаемых и к произведению прибавить или изпроизведения вычесть разницу, которая получается в результате замены каждогослагаемого разрядным числом (целым числом).
/>
3. Округлениеуменьшаемого в случае, когда вычитаемое записано в виде произведения.
Еслиуменьшаемое можно разложить на два слагаемых, одно из которых равно множимомувычитаемого, причем его легко отнять от уменьшаемого, то вычитание производятследующим образом:
/>.2.3.4Деление, сложение и вычитание
1. Округлениеделимого.
Округлениеделимого основано на изменении частного при изменении делимого на несколькоединиц.
От увеличенияили уменьшения делимого на какое-нибудь число частное соответственноувеличивается или уменьшается: увеличивается на частное, полученное от деленияприбавленного числа на делитель, а уменьшается на частное, полученное отделения отнятого числа на делитель
630045: 9 =(630000 + 45): 9 = 630000: 9 + 45: 9 = 70000 + 5 = 70005.
Можнообосновать округление делимого: 1) свойствами десятичной системы счисления и 2)распределительным законом ряда умножений и делений.
Чтобыразделить число, близкое к разрядному, можно сначала разложить его на такиеслагаемые, которые бы легко делились на данное число, затем каждое слагаемоеразделить отдельно и полученные частные сложить.
36492: 12 =(36480 + 12): 12 = 36480: 12 + 12: 12 = 3040+ 1 =3041.2.4 Систематизация приемов повышения вычислительной культурыдля практической работы учителя
Предлагаемоев качестве приложения к выпускной квалификационной работе пособие рассчитано восновном на школьников 5–6 классов, однако многие его упражнения полезно предлагатьучащимся средних и старших классов. Это пособие предназначено как для работы вклассе на уроке, так и для самостоятельной работы ученика дома.
Основноеназначение данного пособия – формировать у учеников прочные навыки вычислений сцелыми числами, эффективно развивая внимание и оперативную память детей –необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики.
Учителю науроке оно поможет организовать, сделать более продуктивной и насыщенной устнуюработу, каждодневную тренировку детей в устных и письменных вычислениях.
Заданияпособия позволяют предложить ученику выполнить большой объем вычислений занебольшое время. Таким образом, оттачиваются вычислительные навыки, формируетсячисловая зоркость, тренируется внимание, развивается память ребенка. Врезультате выполнения таких заданий каждый ученик приучается быстро и правильносчитать, овладевает приемами самопроверки.
Все видызаданий разбиты на отдельные части. Каждая такая часть – одна порция припроведении устного счета.
Задания можнопредлагать как для индивидуальной, так и для коллективной работы в классе.
В ходе устнойработы на уроке с использованием заданий можно проводить математическиеэстафеты: ученики по очереди называют ответы отдельных примеров. В хорошоподготовленном классе каждому отвечающему можно предлагать не одно, анескольких заданий (для такой организации эстафеты в группах заданий выделеныблоки заданий).
Полезнаработа в парах, когда один ученик называет ответы серии заданий соседу попарте, а тот проверяет их правильность; при выполнении следующей серии заданийответы называет второй, а первый – проверяет. В этом случае каждому ученикупредлагается для решения целая группа заданий или несколько отдельных блоков изодной или разных групп.
Цепочныевычисления предназначены в основном для самостоятельной работы учеников: даютсядве-три цепочки, и учащиеся записывают окончательные ответы к ним.
2.5 Содержание и анализ опытно-экспериментальной работы
Опытно-экспериментальнаяработа по повышению вычислительной культуры школьников была проведена в 6-а классесредней школы №51 г. Кирова.
Дляэксперимента был взят общеобразовательный класс со средней успеваемостью.
В началекаждого урока ученикам предлагались карточки с заданиями на отработку одного изприемов быстрого счета (см. прилагаемое пособие). Было представлено четыреблока заданий. В первом блоке были примеры, основанные на способе группировкислагаемых, во втором – округление одного из компонентов арифметическогодействия, в третьем – умножение и деление на 5, 15, 25, в четвертом –применение распределительного закона. Блоки представляли собой карточки,состоящие из пяти заданий. Учащимся необходимо было не только написать ответ,но и ход решения.
Задания вкарточке составлены следующим образом:
·       первоезадание представляло собой разобранный пример с пояснением решения;
·       последующиезадания были подобраны на отработку этого приема.
За каждыйправильно решенный пример, мы начисляли учащимся по одному баллу, если задачавовсе не была решена, то учащийся получал 0 баллов. За все правильно решенныезадания учащийся мог получить пять баллов. Таким образом, мы формировали уучащихся математические навыки по применению приемов быстрого счета.
По окончаниюуроков был проведен контрольный тест в игровой форме. Каждый участник проходитпять барьеров, на которых каждому участнику разложены по одной индивидуальнойзадаче, при решении которой школьник использует один из приемов быстрого счета.На карточках написаны имена, и участники сначала находят свой вариант, решаютего, затем подходят к судье данного барьера, называют ответ. Если ответ правильный,то судья дает жетон в знак того, что задача решена верно, а если ответ неверный,то этот этап участник проходит без жетона, возвращаться к своей задаче ему неразрешается. Тому, кто первым подойдет к финишу, дается дополнительный жетон.
По итогам«Математической эстафеты» большинство участников набрало максимальное числожетонов. Школьники продемонстрировали свои умения применять приемы быстрогосчета при решении математических задач.
Такимобразом, мы нашли эффективные пути повышения вычислительной культуры учащихсяпосредством приемов быстрого счета, поставив пред собой определенные задачи ирешив их, с помощью предложенных методов.

Заключение
Приемы быстрого счета позволят без увеличениячисла учебных часов повысить качество обучения и уровень математических знанийучащихся. Они служат одним из средств предупреждения формализма в преподаванииматематических дисциплин, делают знания более действенными, гибкими и эффективными.Изучаемые понятия рассматриваются с различных сторон, что способствуетвыявлению их сущности.
В данной работе рассмотрены понятия математическихнавыков, устные упражнения, выделены требования, предъявляемые к вычислительнымумениям учащихся.
Во второй части работы даны методическиерекомендации по организации устных вычислений, разобраны различные приемы быстрогосчета, а так же систематизированы приемы повышения вычислительной культуры дляпрактической работы учителя.
Считаем, что поставленные цель и задачи выпускнойквалификационной работы достигнуты, гипотеза подтверждена в ходе опытногопреподавания.
Работа может быть полезна учителям-практикам длясистематизации и применения на уроках приемов быстрого счета.

Библиографическийсписок
1.   Методика преподаванияматематики [Текст]: учебник для вузов / Е.С. Канин, А.Я. Блох [идр.]; под ред. Р.С. Черкасова. – М.: Просвещение, 1985. – 268 с.
2.   Хэндли, Б. Считайтев уме как компьютер [Текст] / Б. Хэндли; пер. с англ. Е.А. Самсонов.– Мн.: Попурри, 2006. – 352 с.
3.   Ройтман, П.Б. Повышениевычислительной культуры учащихся [Текст]: пособие для учителей / П.Б. Ройтман,С.С. Минаев, Н.С. Прокофьева [и др.]. – М.: Просвещение, 1985. – 48 с.
4.   Чекмарев, Я.Ф. Методикапреподавания арифметики в 5–6 классах [Текст] / Я.Ф. Чекмарев. – М.:Учпедгиз, 1962. – 410 с.
5.   Крутецкий, В.А. Психологияматематических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий. – М.:Просвещение, 1968. – 432 с.
6.   Чекмарев, Я.Ф. Методикаустных вычислений [Текст] / Я.Ф. Чекмарев – М.: Просвещение, 1970. – 238 с.
7.   Глебов, И.И. Упражненияпо привитию вычислительных навыков учащихся 5–9 классов средней школы [Текст] /И.И. Глебов. – М.: Просвещение, 1959. – 66 с.
8.   Автайкина, А.К. Некоторыеформы организации устного счёта / Математика в школе, №3, 1991 г.
9.   Борткевич Л.К. Повышениевычислительной культуры учащихся» / Математика в школе, №5, 1995 г.
10.     М.С. Якунина.Устные упражнения в курсе алгебры / Математика в школе, №1, 1991 г.
11.     Минаева,С.С. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике [Текст] / С.С. Минаев.– М.: Просвещение, 1983. – с.
12.     Гельфан Е.М. Арифметическиеигры и упражнения [Текст] / Е.М. Гельфан. – М.: Просвещение, 1968. – 112 с.