М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Пусть
O – начало координат, P – точка, в которой ищется поле, A – точка, в которой
расположен заряд q. Вектор обычно
обозначают ,
вектор обозначают
.
Тогда напряженность электрического поля и потенциал, создаваемые зарядом, записываются
как:
(1)
Задача.
Найти поле, которое в точке создает
заряд q, находящийся в точке .
Ответ:
При
наличии распределенного заряда, создающего поле, необходимо провести
интегрирование:
(2)
При
этом пробегает
всевозможные положения из начала координат в точки, где есть заряд dq.
Последний записывается как
Если
рассматривается равномерно заряженная зарядом Q объемная (объема V), поверхностная
(площади S) или линейная (длины L) область, то, соответственно,
(3)
Как
записать dV, dS и dl? Это зависит исключительно от геометрии:
Задача.
Нить, равномерно заряженная с плотностью λ0, имеет длину 2a и расположена
в плоскости xy вдоль оси x симметрично относительно оси y. Найти поле на оси y
как функцию y.
Ответ:
Задача.
Найти потенциал в центре пластины в форме полудиска. Внутренний и внешний
радиусы R1 и R2, заряд σ = σ0sinφ, где φ- угол в плоскости
xy.
Решение:
Потенциал рассчитываем по стандартной формуле (2):
При
этом
=
=
Соответственно,
=
=
r
С
учетом формы тела, создающего поле,
dq = σ(r, φ)· dS = σ0sinφ· rdr dφ
причем
φ изменяется в пределах от 0 до π, а r – от R1 до R2. Теперь можно
продолжить интегрирование формулы для φ:
Задача.
Найти поле на оси кольца радиуса R, заряженного как λ = λ0cosφ.
Кольцо расположено в плоскости xy.
Ответ:
Задача.
Найти потенциал на оси z цилиндрической поверхности радиуса R. Цилиндр заряжен
как σ = σ0cosφ и расположен соосно с z, занимая область –L… 0.
Ответ:
φ(z) = 0
Задача.
Найти поле в центре шарового сектора с внутренним и внешним радиусами R1, R2, занимающего
область φ = 0… 2π, θ = 0… π/4, равномерно заряженного
зарядом ρ0.
Решение:
Заряженный объект (шаровой сектор) является объемным, так что
dq = ρ dV = ρ0· r2drsinθdθdφ
где
использовано выражение для элемента объема шара. У нас начало координат
совпадает с точкой, где ищется поле, так что
Вектор
запишется:
При
этом
Теперь
у нас уже есть все составные компоненты для проведения интегрирования. Пределы
интегрирования вытекают из условия задачи:
=
Совершенно
очевидно, что члены, содержащие cosφ или sin φ, при интегрировании по
φ от 0 до 2π дадут ноль (это интегрирование по периоду), поэтому их
можно дальше не выписывать.
=
=
=
Направление
вектора против
оси z естественно из симметрии задачи. Если заряд положителен, то поле должно
быть ориентировано от заряженного сектора, что и имеет место.
Список литературы
1.
И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. – 448
с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. – 416 с.
2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова),
2-е изд., М.: Наука, 1970. – 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая
физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. – 661 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
Дата добавления: 21.02.2011