/>Оглавление
1. Постановказадачи
2. Уравнениенеразрывности
3. Уравнениедвижения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса
4. Установившеесяламинарное течение между параллельным плоскостями
5. ТечениеКуэтта
6. ТечениеПуазейля
7. Общийслучай течения между параллельными стенками
8. Примерзадачи
Список используемой литературы
1. Постановка задачи
Ламинарные течения,некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются вразнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостяхмашин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть,различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения,для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса.Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, вМГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течениеэлектропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечноммагнитном поле.
Задача данногокурсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоскогостационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости припараболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).2. Уравнение неразрывности
/>/>Закон сохранениямассы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнениемнеразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальныхуравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную впространстве замкнутую поверхность S,ограничивающую объем W,ивыделим на ней элементарную площадку dS. Через n обозначим единичный вектор внешней к Sнормали.Тогда произведение сVndS будет представлять собой массу,вытекающую из объема Wилипоступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости наплощадке dS.Таккак n внешняя нормаль, то Vп> 0 на тех площадках dS,где жидкость вытекает из объема W,иVп представляетсобой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него заединицу времени.
Это изменение массы можно подсчитатьи иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-занеодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно /> а секундноеизменение массы в объеме Wвыразится интегралом />.
Получившиеся выраженияможно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следуетучесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность Sвытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии –отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом врассматриваемом случае плотность уменьшается во времени />.
/> (1)
По теоремеОстроградского – Гаусса:
/>
В векторном анализе сумма частных производных отпроекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождениемвектора. В данном случае
/>
поэтому уравнение (1)можно переписать в виде
/>
Так как объем Wпроизвольный,подынтегральная функция равна нулю, т.е.
/> (2)
Уравнение (2) являетсяуравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движениясжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную формууравнения неразрывности.
Если будемрассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придемтакже к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.
Поскольку с= с (x,y, z,t) и при движении жидкого объема х= х(t),
у = у(t), z= z(t), то
/>
/>
/>
т. е. уравнение (2)будет иметь вид
/>
или
/>(3)
гдеdс/dt — полнаяпроизводная плотности.
Для установившегосядвижения сжимаемой жидкости ∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем
/>(4)
Для любого движениянесжимаемой жидкости с = const и,следовательно
/>(5) 3. Уравнениедвижения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса
Уравнение движенияжидкости в напряжениях:
/>
/> (6)
/>
Согласно закону Ньютонавязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональныскоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольногодвижения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящиеот ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональнысоответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всехслучаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями искоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах,выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м.Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости /> (она косвенноподтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных икасательных напряжений в вязкой жидкости:
/>
/>
/>
/>(7)
/>
/>
Внося в уравнение (6)выражения (7), получим
/>
/>
/>
Группируя члены совторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:
/>
/> (8)
/>
Эти уравненияназываются уравнениями Навье — Стокса; их используют для описания движенийвязких сжимаемых жидкостей и газов.
Уравнения движенияневязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье — Стокса какчастный случай при м=const;для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.
Система уравнений Навье— Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных: Vx, Vy, Vz, р, с и м. Еще одним уравнением,связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).
В качестве уравнений,замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкостиот параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другиетермодинамические соотношения.
Для несжимаемойжидкости divV = 0, получим выражения, напрямуюследующие из системы (8)
/>
/>
/>
В векторной формеуравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:
/>/>(9)4. Установившееся ламинарное течение между параллельнымплоскостями
Пусть вязкая жидкостьтечет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которыхдвижется в своей плоскости с постоянной скоростью /> (см. рисунок).
/>/>/>
а – схема течения; б –распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в –распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение вплоском канале).
Размер канала понаправлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z)считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок,параллельных плоскости хОу. Кроме того,допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала,но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х.Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h,а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.
Тогда исходные условиязадачи выражаем в виде:
/>
Из уравнениянеразрывности сразу заключим, что /> а поскольку этобудет выполнено во всех точках, то и /> Ввидуотсутствия движения вдоль оси zвсе производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнениеНавье-Стокса в проекции на ось zможно не писать.
Тогда система уравненийдвижения сведется к двум уравнениям:
/>
Первое получается изпроекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x,а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х,т.е. p(y)=p(z)=0,и так как /> то можноперейти от частных производных к полным:
/>
Обозначим />, проинтегрируемэто уравнение дважды, получим:
/>
Так как в соответствиис рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x.Для отыскания постоянных интегрирования />и /> используемграничные условия:
/>
/>
Таким образом законраспределения скоростей в плоском канале запишется в виде:
/>
/>(10)5. ТечениеКуэтта
Течение Куэтта –безградиентное течение /> В этом случаеединственной причиной движения служит перемещение пластины. Течениехарактеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).
/>
Касательное (вязкое)напряжение /> будетпостоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода черезживое течение S=h·1,увлекаемого движущейся пластиной, равна:
/> 6. Течение Пуазейля
Это случай напорноготечения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). Всоответствии с уравнением (10) получим:
/> (11)
Максимальная скоростьна оси (при y=h/2)ввиду параболического распределения скоростей:
/> (12)
Разделив (11) на (12),получим закон распределения скорости
/>
Нетрудно вычислить идругие характеристики течения. Касательное напряжение
/>
На стенках, т.е при y=0и при y=h,принимает максимальные значения
/>
А на оси при y=h/2обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный законраспределения касательных напряжений по толщине слоя
/>
Удельный расходжидкости определится формулой
/>
Средняя скорость
/> (13)
Средняя скорость будетв полтора раза меньше максимальной.
Проинтегрировав (13) пох, в предположении, что при х=0 давление р=р0*, получаемискомую разность давления:
/>
Нетрудно такжевычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данномслучае Vy=Vz=0и Vx=V,то
/>
/>
/>
Учитывая, что dp/dx
· при y
· при y > h/2, щz> 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).
Таким образом,рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченныевихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.7. Общийслучай течения между параллельными стенками
Для этого случаяхарактерно />
Распределение скоростейопределяется уравнением (10), где градиент давления dp/dxможет быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давлениепадает в направлении скорости пластины V0,во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления можетвызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмернойформе
/>
которая графическиизображается семейством кривых с одним параметром
/>
Безразмерные профилискоростей для общего случая течения между параллельными стенками.8. Пример задачи
Рассмотрим течениеПуазейля применительно к МГД-генератору.
Магнитогидродинамическийгенератор, МГД-генератор — энергетическая установка,в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды),движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию.Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой,выберем скорость равную Vmax =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров[4].Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр[4].Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10-4 Па·Чс=8,3·10-8Па·с[5].
Подставляя данные вформулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора разаменьше максимальной, получим:
/>
/>
Такова потеря давленияпри прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.
Список используемойлитературы
1. Бекнев В.С.,Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.
2. Емцев Б.Т.Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.
3. Емцев Б.Т.Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.
4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html
5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm