Сущность, модели, границы применения метода производственной функции

Содержание
Введение
1. Понятие производства ипроизводственных функций
2. Виды и типы производственныхфункций
2.1 Изокванта и ее типы
2.2 Оптимальная комбинация ресурсов
2.3 Функции предложения и их свойства
3. Практическое применениепроизводственной функции
3.1 Моделирование издержек и прибылипредприятия (фирмы)
3.2 Методы учета научно-техническогопрогресса
Заключение
Список литературы

Введение
Мной выбранатема «Сущность, модели,границы применения метода производственной функции». Эта тема актуальна из – затого, что этот метод позволяет ответить на главный вопрос, который стоит передэкономистами на предприятиях и предпринимателями – «А что будет, если…». Именноблагодаря этому методу можно произвести расчёты получения возможной прибыли вразличных условиях, и понять какую прибыль мы можем получить – отгарантированного минимума до возможного максимума, не проводя эксперименты вреальном времени и не рискуя своими финансами.
А что жетакое производственная функция? Обратимся к словарю яндекса и получимследующее:
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯФУНКЦИЯ (ПФ)[1][production function] (то же: функция производства) — экономико-математическоеуравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции(выпуска). ПФ применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов наобъем выпуска в определенный момент времени (статический вариант П. ф.) идля анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объемавыпуска в разные моменты времени (динамический вариант Пф.) на различныхуровнях экономики — от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом (агрегированнаяПФ, в которой выпуском служит показатель совокупного общественного продукта илинационального дохода и т. п.). В отдельной фирме, корпорации и т. п.ПФ описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состояниипроизвести при каждом сочетании используемых факторов производства. Она можетбыть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объемапроизводства.

Такой вид ПФ,когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции отналичия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.
В частности,широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощьюизучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды исоставы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными ПФ используютсяобратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимостьзатрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны толькок ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функциюиздержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционнуюфункцию (зависимость потребных капиталовложений от производственной мощностибудущего предприятия) и др.
МатематическиПФ могут быть представлены в различных формах — от столь простых, как линейнаязависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьмасложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которымисвязываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени.
Наиболеешироко распространены мультипликативно-степенные формы представления ПФ. Ихособенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, торезультат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тотфакт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемыепервичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным.В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:
/> или />
Здеськоэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, онзависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первогодо n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторыоказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяетсядля изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателяпринять объем конечного продукта, а сомножителей — численность занятогонаселения x1, сумму основных и оборотных фондов x2,площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба—Дугласа,с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд икапитал, с ростом национального дохода США в 20—30-е гг. ХХ в.:
N = A · Lα · Kβ,
где N —национальный доход; L и K — соответственно объемы приложенного труда икапитала.
Степенныекоэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной ПФ показывают ту долю впроцентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей(или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующегоресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичностипроизводства относительно затрат соответствующего ресурса. Если суммакоэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастаетпропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когдасумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличениезатрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшемуросту выпуска (Эффект масштаба).
Вдинамическом варианте применяются разные формы ПФ. Напр., (в 2-факторномслучае): Y(t) = A(t) Lα(t) Kβ(t), где множительA(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективностипроизводственных факторов в динамике.
Логарифмируя,а затем, дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения междутемпами прироста конечного продукта (национального дохода) и приростапроизводственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать впроцентах).
Дальнейшая“динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентовэластичности.
ОписываемыеПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем,в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производствавоздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых.Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежноявляются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показательтрудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты трударазной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).
Особаяпроблема — учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса(подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучаетсятакже эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичностьзамещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной(т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на двавида: с постоянной эластичностью замены (CES — Constant Elasticity ofSubstitution) и с переменной (VES — Variable Elasticity of Substitution) (см.ниже).
На практикеприменяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ:на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатови о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.
Припостроении ПФ необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметрови автокорреляции — в противном случае неизбежны грубые ошибки.
Приведемнекоторые важные ПФ (см. также Кобба—Дугласа функция).
Линейная п. ф.:
P= a1x1 +… + anxn,
где a1,…, an — оцениваемые параметры модели: здесь факторы производствазамещаемы в любых пропорциях.
Функция CES:
P = A [(1 – α) K-b + αL-b]-c/b,
в этом случаеэластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно,постоянна:
/>
Отсюда ипроисходит название функции.
Функция CES,как и функция Кобба— Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельнойнормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещениякапитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба—Дугласа, равнаяединице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя иявляется постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба—Дугласа логарифмированиефункции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать дляоценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа.

1. Понятиепроизводства и производственных функций
/>
Подпроизводством понимается любая деятельность по использованию природных,материально-технических и интеллектуальных ресурсов для получения какматериальных, так и нематериальных благ.
С развитиемчеловеческого общества характер производства меняется. На ранних стадияхразвития человечества господствовали природные, натуральные, естественновозникшие элементы производительных сил. Да и сам человек в это время в большейстепени был продуктом природы. Производство в этот период получило названиенатурального.
С развитиемсредств производства начинают преобладать исторически созданныематериально-технические элементы производительных сил. Это эпоха капитала. Внастоящее время решающее значение имеют знания, технологии, интеллектуальныересурсы самого человека. Наша эпоха это эпоха информатизации, эпоха господстванаучно-технических элементов производительных сил. Владение знаниями, новымитехнологиями имеет решающее значение для производства. Во многих развитыхстранах ставится задача всеобщей информатизации общества. Потрясающими темпамиразвивается всемирная компьютерная сеть Internet.
Традиционнороль общей теории производства выполняет теория материального производства,понимаемая как процесс превращения производственных ресурсов в продукт.Основными производственными ресурсами являются труд ( L ) икапитал ( K ). Способы производства или существующиепроизводственные технологии определяют, какой объем продукции производится призаданных количествах труда и капитала. />Математическисуществующие технологии выражаются через производственную функцию . Еслиобозначить объем выпускаемой продукции через Y , то производственнуюфункцию можно записать
Y = f ( K , L ).
Это выражениеозначает, что объем выпуска является функцией количества капитала и количестватруда. Производственная функция описывает множество существующих в данныймомент технологий. Если изобретается лучшая технология, то при тех же затратахтруда и капитала объем выпуска увеличивается. Следовательно, изменения втехнологии изменяют и производственную функцию. Методологически теорияпроизводства во многом симметрична теории потребления. Однако если в теориипотребления основные категории измеряются лишь субъективно или вообще пока неподлежат измерению, то основные категории теории производства имеют объективнуюоснову и могут быть измерены в определенных натуральных или стоимостныхединицах.
Несмотря нато, что понятие производство может представиться очень широким, нечетко выраженными даже расплывчатым, поскольку в реальной жизни под производством понимается ипредприятие, и стройка, и сельскохозяйственная ферма, и транспортноепредприятие, и очень крупная организация типа отрасли народного хозяйства, темне менее, экономико-математическое моделирование выделяет нечто общее, присущеевсем этим объектам. Этим общим является процесс преобразования первичныхресурсов (производственных факторов) в конечные результаты процесса. Поэтомуосновным исходным понятием в описании экономического объекта становитсятехнологический способ, который представляется обычно как вектор v затратвыпуска,включающий в себя перечисление объемов затрачиваемых ресурсов (вектор x)и сведения о результатах их преобразования в конечные продукты или другие характеристики(прибыль, рентабельность и т.п.) (вектор y):
v = ( x ; y ).
Размерностьвекторов x и y , а также способы их измерения (в натуральных илистоимостных единицах) существенно зависят от изучаемой проблемы, от уровней, накоторых ставятся те или иные задачи экономического планирования и управления.Совокупность векторов технологических способов, которые могут служить описанием(с допустимой точки зрения исследователя точностью) производственного процесса,реально осуществимого на некотором объекте, называется технологическиммножеством V данного объекта. Для определенности мы будем полагать, чторазмерность вектора затрат x равна N , а вектора выпуска y соответственноM . Таким образом, технологический способ v является векторомразмерности ( M + N ), а технологическое множество />Среди всехтехнологических способов, осуществимых на объекте, особое место занимаютспособы, которые выгодно отличаются от всех прочих тем, что они требуют либоменьших затрат при одинаковом выпуске, либо соответствуют большему выпуску приодинаковых затратах. Те из них, которые занимают в определенном смыслепредельное положение в множестве V , представляют особый интерес,поскольку они являются описанием допустимого и предельно выгодного реальногопроизводственного процесса.
Скажем, чтовектор />предпочтительнее,чем вектор />собозначением />если выполняются следующиеусловия:
1) />
2) />
и при этомимеет место по крайней мере одно из двух:
а) существуеттакой номер i 0, что />
б) существуеттакой номер j 0, что />
Технологическийспособ />называетсяэффективным, если он принадлежит технологическому множеству V и несуществует другого вектора />который был бы предпочтительнее />. Приведенноеопределение означает, что эффективными считаются те способы, которые не могутбыть улучшены ни по одной затратной компоненте, ни по одной позиции выпускаемойпродукции, без того чтобы не перестать быть допустимыми. Множество всехтехнологически эффективных способов обозначим через V* . Оно являетсяподмножеством технологического множества V или совпадает с ним. Посуществу задача планирования хозяйственной деятельности производственногообъекта может быть интерпретирована как задача выбора эффективноготехнологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешнимусловиям. При решении такой задачи выбора достаточно существенным оказываетсяпредставление о самом характере технологического множества V , а такжеего эффективного подмножества V* .
В рядеслучаев оказывается возможным допустить в рамках фиксированного производствавозможность взаимозаменяемости некоторых ресурсов (различных видов топлива,машин и работников и т.п.). При этом математический анализ подобных производствосновывается на предпосылке о континуальном характере множества V , аследовательно, на принципиальной возможности представления вариантов взаимнойзамены при помощи непрерывных и даже дифференцируемых функций, определенных на V. Указанный подход получил свое наибольшее развитие в теориипроизводственных функций.
С помощью понятияэффективного технологического множества производственную функцию (ПФ) можноопределить как отображение
y = f ( x ),
где />V* .
Указанноеотображение, вообще говоря, является многозначным, т.е. множество f ( x) содержит более чем одну точку. Однако для многих реалистичных ситуацийпроизводственные функции оказываются однозначными и даже, как сказано выше,дифференцируемыми. В наиболее простом случае производственная функция естьскалярная функция N аргументов:
/>
Здесьвеличина y имеет, как правило, стоимостный характер, выражая объемпроизводимой продукции в денежном выражении. В качестве аргументов выступаютобъемы затрачиваемых ресурсов при реализации соответствующего эффективноготехнологического способа. Таким образом, приведенное соотношение описываетграницу технологического множества V , поскольку при данном векторезатрат ( x 1, …, x N ) производитьпродукции, в количестве большем, чем y , невозможно, а производствопродукции в количестве меньшем, чем указанное, соответствует неэффективномутехнологическому способу. Выражение для производственной функции оказываетсявозможным использовать для оценки эффективности принятого на данном предприятииметоде хозяйствования. В самом деле, для заданного набора ресурсов можноопределить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным попроизводственной функции. Полученная разница дает полезный материал для оценкиэффективности в абсолютном и относительном измерении.
Производственнаяфункция представляет собой очень полезный аппарат плановых расчетов, и поэтомув настоящее время развит статистический подход к построению производственныхфункций для конкретных хозяйственных единиц. При этом обычно используетсянекоторый стандартный набор алгебраических выражений, параметры которыхнаходятся при помощи методов математической статистики. Такой подход означает,в сущности, оценку производственной функции на основе неявного предположения отом, что наблюдаемые производственные процессы являются эффективными. Средиразнообразных типов производственных функций наиболее часто применяютсялинейные функции вида
/>
поскольку дляних легко решается задача оценивания коэффициентов по статистическим данным, атакже степенные функции
/>
для которыхзадача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы путемперехода к логарифмам.
В предположениио дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможныхкомбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с ПФвеличины.
В частности,дифференциал
/>
представляетсобой изменение стоимости выпускаемой продукции при переходе от затрат набораресурсов x = ( x 1 , …, x N )к набору x + dx = ( x 1 + dx 1, …, x N + dx N ) при условиисохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов.Тогда величину частной производной

/>
можнотрактовать как предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу или, иными словами,коэффициент предельной продуктивности, который показывает, на сколькоувеличится выпуск продукции в связи с увеличением затрат ресурса с номером jна малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускаетистолкование как верхний предел цены p j , которуюпроизводственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -тогоресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения ииспользования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит
/>
и,следовательно, соотношение
/>
позволитполучить дополнительную прибыль.
В короткомпериоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный,большинство производственных функций обладают свойством убывающего предельногопродукта. Предельным продуктом переменного ресурса называют прирост общегопродукта в связи с увеличением применения данного переменного ресурса наединицу.
Предельныйпродукт труда можно записать как разность
MPL = F ( K , L + 1)- F ( K , L ),

где MPL предельныйпродукт труда.
Предельныйпродукт капитала можно также записать как разность
MPK = F ( K + 1, L )- F ( K , L ),
где MPK предельныйпродукт капитала.
Характеристикойпроизводственного объекта является также величина средней ресурсоотдачи(продуктивности производственного фактора)
/>
имеющегоясный экономический смысл количества выпускаемой продукции в расчете на единицуиспользуемого ресурса (производственного фактора). Величина, обратная кресурсоотдаче
/>
обычноназывается ресурсоемкостью, поскольку она выражает количество ресурса j ,необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении.Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость,материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают сухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятныйрезультат.
Частное отделения дифференциальной продуктивности на среднюю
/>

называется коэффициентом эластичностипродукции по производственному фактору j и дает выражение относительногоприроста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на1%. Если E j ё 0, то происходит абсолютное снижение выпускапродукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация можетиметь место при использовании технологически неподходящих продуктов илирежимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышениютемпературы и необходимая для производства продукта химическая реакция непойдет. Если 0 E j ё 1, то каждая последующаядополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительныйприрост продукции, чем предыдущая.
Если E j> 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивностипревосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единицаресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднююхарактеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит,когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы.Для линейной производственной функции коэффициент a j численноравен величине дифференциальной продуктивности j -того фактора, а длястепенной функции показатель степени a j имеет смыслкоэффициента эластичности по j -тому ресурсу.

2. Виды и типы производственных функций
 
2.1 Изокванта и ее типы
 
Примоделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезностиразличных комбинаций потребительских благ графически отображается с помощьюкривой безразличия.
Вэкономико-математических моделях производства каждая технология графическиможет быть представлена точкой, координаты которой отражают минимальнонеобходимые затраты ресурсов K и L для производства данногообъема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляетсясемейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тембольший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия,каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.
/>
Рис. 1.Изокванты, соответствующие различному объему производства
На рис. 1представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукциинеобходимо K 1 единиц капитала и L 1 едиництруда или K 2 единиц капитала и L 2 едиництруда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представленоизоквантой Y 2 = 300.
В общемслучае в множестве X допустимых наборов производственных фактороввыделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственнойфункции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора />справедливо равенство
/>
Такимобразом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываютсяравными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собойописание возможности взаимной замены факторов в процессе производствапродукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этимоказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов,используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты
/>
Отсюдакоэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:
/>
Полученноесоотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются вотношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количествопроизводимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знаниепроизводственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможностиосуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Длядостижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов попродукции
/>
которыйвычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочихпроизводственных факторов. Величина sjk представляет собойхарактеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсовпри изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсовизменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjkизменится на один процент. В случаелинейной производственной функции коэффициент взаимной замены остаетсянеизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать,что эластичность s jk = 1. Соответственно большиезначения sjk свидетельствуют о том, что возможна большаясвобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основныехарактеристики производственной функции (продуктивности, коэффициентвзаимозамены) будут меняться очень слабо.
Для степенныхпроизводственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливоравенство s jk = 1. В практике прогнозирования ипредплановых расчетов часто используются функции постоянной эластичности замены(СЕS), имеющие вид:
/>
Для такойфункции коэффициент эластичности замены ресурсов

/>
и не меняетсяв зависимости от объема и отношения затрачиваемых ресурсов. При малых значенияхs jk ресурсы могут заменять друг друга лишь в незначительныхразмерах, а в пределе при s jk = 0 они теряют свойствовзаимозаменяемости и выступают в процессе производства лишь в постоянномотношении, т.е. являются взаимодополняющими. Примером производственной функции,описывающей производство в условиях использования взаимодополняющих ресурсов,является функция выпусказатрат, которая имеет вид
/>
где a jпостоянный коэффициент ресурсоотдачи j -того производственногофактора. Нетрудно видеть, что производственная функция такого типа определяетвыпуск по узкому месту на множестве используемых производственных факторов.Различные случаи поведения изоквант производственных функций для различныхзначений коэффициентов эластичности замены представлены на графике (рис. 2).
Представлениеэффективного технологического множества с помощью скалярной производственнойфункции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтисьединственным показателем, описывающим результаты деятельности производственногообъекта, но необходимо использовать несколько ( М ) выходныхпоказателей. В этих условиях можно использовать векторную производственнуюфункцию
/>
/>
Рис. 2.Различные случаи поведения изоквант
Важноепонятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением
/>
Аналогичноеобобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.
Подобнокривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.
Для линейнойпроизводственной функции вида
/>
где Y объемпроизводства; A , b 1, b 2 параметры;K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурсадругим изокванта будет иметь линейную форму (рис. 3).
Для степеннойпроизводственной функции
/>

изоквантыбудут иметь вид кривых (рис. 4).
Еслиизокванта отражает лишьодин технологический способ производства данногопродукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании(рис. 5).
/>
Рис. 3. Изокванты линейного типа
/>
Рис. 4. Изокванты степенной производственной функции
/>
Рис. 45. Изокванты при жесткой дополняемости ресурсов
/>
Рис. 6.Ломаные изокванты
Такиеизокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американскогоэкономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основуразработанного им метода inputoutput (затратывыпуск).
Ломанаяизокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рис. 6).
Изоквантыподобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснованиятеории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболеереалистично представляют технологические возможности многих производственныхобъектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образомкривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологийи увеличении соответственно точек излома.
 
2.2 Оптимальная комбинация ресурсов
 
Использованиеаппарата производственных функций дает возможность решения задачи обоптимальном использовании средств, предназначенных для приобретенияпроизводственных факторов.
Предположим,что факторы ( x 1, …, x N ) могут бытьзакуплены по ценам ( p 1, …, p N ), аобъем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогдасоотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид
/>
Граничнаялиния этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств,т.е.
/>
называется изокостой,поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b . Задача обоптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти наборфакторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовыхсредствах b . Таким образом, требуется найти решение задачи:

/>
Искомоерешение находится из системы уравнений:
/>
где l множительЛагранжа.
В частности,если число факторов N = 2, задача допускает наглядную геометрическуюинтерпретацию (рис. 7).
/>
Рис. 7.Оптимальная комбинация ресурсов
Здесь отрезокАВ есть изокоста, кривая R изокванта, касающаяся изокосты вточке D , которая и соответствует оптимальному набору факторов ( />).
Полезнопривести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N= 2.
Пусть x 1= K капитал (основные фонды),
x 2 = L труд (рабочая сила);
производственнаяфункция
/>
условиеограниченности ресурса
/>
где r ценаиспользования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная нормебанковского процента; w ставка оплаты труда.
Условияоптимальности имеют вид
а) />
Это условиеозначает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне,когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента;дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности;
б) />
Это условиетребует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когдамаргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставкезаработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит кубыткам (точка />на рис. 8).

/>
Рис. 8.Оптимальное количество занятых
Здесь угловойкоэффициент касательной в точке А равен w .
Для ПФ типаКоббаДугласа задача имеет вид
найти
/>
при условии
/>
Получимследующее решение
/>
/>
Множитель />характеризуетздесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какуювеличину D y изменится максимальный выпуск продукции />если объем средств b увеличитсяна малую единицу.
Заметим, чтосумма эластичностей капитала (иa ) характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) приbтруда ( изменении масштабапроизводства, т.е. когда расход ресурсов ( K и L ) увеличиваетсяв одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, еслиa + b = 1, то отдача постоянная, если a + b
2.3 Функции предложения и их свойства
Функцияпредложения S ( p ) описывает зависимость между рыночной ценойтовара и его предложением на изолированном рынке этого товара. В общем случаеследует исходить из того, что рассматриваемый продукт производится надостаточно большом количестве конкурирующих между собой предприятий. В такойситуации естественно считать, что каждый производитель стремится к наибольшейприбыли, и его индивидуальный выпуск продукта увеличивается по мере роста ценына этот продукт. Но тогда и общее предложение товара на рынке S (p),как сумма индивидуальных выпусков, является возрастающей функцией цены, т.е. S'(p) > 0.
В болееспецифических ситуациях (олигополия, монополия) поведение предприятиянеобязательно определяется стремлением к максимальной прибыли, поскольку приповышении цены производитель может обеспечить себе заметный прирост прибыли ибез увеличения объема выпуска. Таким образом, строго говоря, должны бытьисследованы случаи, когда S (p) = const или даже S’ (p ) 
На рис. 9представлено семейство функций предложения. Линия AB соответствуетсовершенной конкуренции и стремлению производителей к получению максимальнойприбыли, линия AC отвечает неизменному выпуску, который тем не менеедает возможность вести хозяйство с приличной прибылью в условиях несовершеннойконкуренции; линия АD представляет снижающийся объем производства, чтовозможно в условиях монополии и резкого роста цен.
/>
Рис. 9.Возрастающая, неизменная и убывающая функции предложения
В дальнейшеманализе в качестве основного рассматривается состояние совершенной конкуренциии рост предложения в зависимости от роста цен. Для практических расчетовприменяются функции предложения двух основных видов, параметры которыхопределяются путем обработки статистических данных:
1) линейнаяфункция
/>
2) степеннаяфункция
/>
Коэффициентэластичности предложения по цене ( E Sp ) показывает, насколько процентов увеличится предложение товара, если его цена вырастает на 1%.
Для линейнойфункции предложения

/>
где /> средниезначения цены и предложения по таблице наблюдений.
Для степеннойфункции
/>
Для функциипредложения, определяемой как решение рассмотренной ниже (5) задачи оптимизацииприбыли (см. формулу на с. 90, помеченную звездочкой), имеем
/>
Эластичностьпредложения по цене
/>
т.е.полностью определяется характером постоянных и переменных издержек.
В более общемслучае объем предложения j -того товара рассматривается не только взависимости от его цены ( p j ), но и от цен на другиетовары. В этой ситуации система функций предложения имеет вид
/>

где n количествонаименований товаров.
Товары i иj называются конкурирующими, если перекрестная эластичность
/>
т.е. приувеличении цены p i уменьшается выпуск j -того товара;товары являются комплектными, если
/>
В этом случаерост производства одного товара необходимо вызывает увеличение выпуска другого.

3. Практическое применение производственной функции
3.1 Моделирование издержек и прибыли предприятия(фирмы)
 
В основепостроения моделей поведения производителя (отдельного предприятия или фирмы;объединения или отрасли) лежит представление о том, что производитель стремитсяк достижению такого состояния, при котором ему была бы обеспечена наибольшаяприбыль при сложившихся рыночных условиях, т.е. прежде всего при имеющейсясистеме цен.
Наиболеепростая модель оптимального поведения производителя в условиях совершеннойконкуренции имеет следующий вид: пусть предприятие (фирма) производит одинпродукт в количествеy физических единиц. Если p экзогеннозаданная цена этого продукта и фирма реализует свой выпуск полностью, то онаполучает валовой доход (выручку) в размере
/>
В процессесоздания этого количества продукта фирма несет производственные издержки вразмере C ( y ). При этом естественно считать, что C’ ( y) > 0, т.е. издержки возрастают с увеличением объемапроизводства. Также обычно полагают, что C” ( y ) > 0.Это означает, что дополнительные (маргинальные) издержки на производство каждойдополнительной единицы продукции возрастают по мере увеличения объемапроизводства. Это предположение связано с тем, что при рациональноорганизованном производстве, при малых объемах могут быть использованы лучшиемашины и высококвалифицированные работники, которых уже не окажется враспоряжении фирмы, когда объем производства вырастет. На рис. 4.10представлены типичные графики функций R ( y ) и C ( y ).Производственные издержки состоят из следующих составных частей:
1) материальныезатраты C m , в число которых входят расходы на сырье,материалы, полуфабрикаты и т.п.
Разностьмежду валовым доходом и материальными затратами называется добавленнойстоимостью (условно чистой продукцией):
/>
2) расходына оплату труда C L ;
/>
Рис. 10.Линии выручки и издержек предприятия
3) расходы,связанные с использованием, ремонтом машин и оборудования, амортизация, такназываемая оплата услуг капитала C k ;
4) дополнительныерасходы C r , связанные с расширением производства,строительством новых зданий, подъездных путей, линий связи и т.д.
Совокупныепроизводственные издержки:
/>
Как уже былоотмечено выше,
/>

однако этазависимость от объема выпуска ( у ) для разных видов издержек различна.А именно имеют место:
а) постоянныерасходы C 0, которые практически не зависят от y , вт.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий ипомещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.;
б) пропорциональныеобъему выпуска (линейные) затраты C 1, сюда входятматериальные затраты C m , оплата труда производственногоперсонала (часть C L ), расходы по содержанию действующегооборудования и машин (часть C k ) и т.п.:
/>
где а обобщенныйпоказатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие;
в) сверхпропорциональные(нелинейные) затраты С 2, в составе которых выступаютприобретение новых машин и технологий (т.е. затраты типа С r ),оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого видазатрат обычно используется степенная зависимость
/>
Такимобразом, для представления совокупных издержек можно использовать модель
/>
(Заметим, чтоусловия C’ ( y ) > 0, C” ( y ) > 0для этой функции выполнены.)
/>Рассмотрим возможные варианты поведения предприятия (фирмы) для двухслучаев:
1. Предприятиеимеет достаточно большой резерв производственных мощностей и не стремится красширению производства, поэтому можно полагать, что C 2 = 0и совокупные издержки являются линейной функцией объема выпуска:
/>
Прибыльсоставит
/>
Очевидно, чтопри малых объемах выпуска
/>
фирма несетубытки, так как П 
Здесь y wточка безубыточности (порог рентабельности), определяемаясоотношением
/>
Если y >y w , то фирма получает прибыль, и окончательное решение обобъеме выпуска зависит от состояния рынка сбыта производимой продукции (см.рис. 10).
2. Вболее общем случае, когда С 2 0, имеются две точкибезубыточности />и />причем положительную прибыль фирмаполучит, если объем выпуска y удовлетворяет условию
/>
На этомотрезке в точке />достигается наибольшее значениеприбыли. Таким образом, существует оптимальное решение задачи о максимизацииприбыли. В точке А , соответствующей издержкам при оптимальном выпуске,касательная к кривой издержек С параллельна прямой линии дохода R .
Следуетзаметить, что окончательное решение фирмы также зависит от состояния рынка, нос точки зрения соблюдения экономических интересов ей следует рекомендоватьоптимизирующее значение выпуска (рис. 11).
/>
Рис. 11.Оптимальный объем выпуска
В общемслучае, когда С ( у ) является нелинейной возрастающей и выпуклойвниз функцией (так как С’ ( у ) > 0 и С” ( у) > 0) объема выпуска, ситуация полностью аналогична той,которая рассмотрена в пункте 2. По определению прибылью считается величина
/>

Точкибезубыточности />и />определяются из условия равенстваприбыли нулю, а максимальное ее значение достигается в точке />которая удовлетворяетуравнению
/>или />
Такимобразом, оптимальный объем производства характеризуется тем, что в этомсостоянии маргинальный валовой доход ( R ( y )) в точности равенмаргинальным издержкам C ( y ).
В самом деле,если y то R ( y ) >C ( y ), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемыйдополнительный доход превысит ожидаемые дополнительные издержки. Если же y >/>то R (y ) C ( y ), и всякое увеличение объема уменьшитприбыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства ипридти в состояние y = />(рис. 12).
/>
Рис. 12.Точка максимума прибылии зона безубыточности
/> (*)
Нетрудновидеть, что при увеличении цены ( р ) оптимальный выпуск, а такжеприбыль увеличиваются, т.е.

/>
Это вернотакже и в общем случае, так как
/>
Пример. Фирма производит сельскохозяйственныемашины в количестве у штук, причем объем производства в принципе можетизменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличениеобъема производства потребует увеличения затрат как пропорциональных, так исверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новоеоборудование и расширить производственные площади.
В конкретномпримере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) напроизводство продукции в количестве у изделий выражаются формулой
C ( y ) = 1000 + 20 y +0,1 y 2 (тыс. руб.).
Это означает,что постоянные издержки
C 0 = 1000 (т. руб.),
пропорциональныезатраты
C 1 = 20 y ,
т.е.обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен: а = 20 тыс. руб.,а нелинейные затраты составят C 2 = 0,1 y 2 (b = 0,1).
Приведеннаявыше формула для издержек является частным случаем общей формулы, гдепоказатель h = 2.
Длянахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точкимаксимума прибыли (*), согласно которой имеем:
/>
Совершенноочевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль,весьма существенно определяется рыночной ценой изделия p .
В табл. 1представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значенияхцены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.
В первомстолбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у , второй столбецсодержит данные о полных издержках С ( у ), в третьем столбцепредставлена себестоимость в расчете на одно изделие:
/>
Таблица 1
Данные обобъемах выпуска, затратах и прибыли
Объемы и затраты
Цены и прибыли
Y
C
AC
MC 40 42 44 50 54 60 50 2250 45 30 — 250 — 150 — 50 250 450 740 33 80 3240 40,5 36 -40 +120 280 760 1080 1560 38 100 4000 40 40
0 200 400 1000 1400 2000 41 110 4410 40,1 42 — 10
210 430 1090 1530 2190 43 120 4840 40,3 44 — 40 200
440 1160 1640 2360 47 Продолжение таблицы 1 150 6250 41,7 50 — 250 50 350
1250 1850 2750 52 170 7290 42,9 54 — 490 — 150 190 1210
1890 2910 57 200 9000 45 60 — 1000 — 600 — 200 1000 1800
3000 62 220 10240 46,5 64 — 1440 — 1000 — 560 760 1640 2960
Четвертыйстолбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек МС ,которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительногоизделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные издержкивозрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением,высказанным в начале этого параграфа. При рассмотрении таблицы следует обратитьвнимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересечении строки(маргинальные издержки МС) и столбца (цена p) с равными их значениями,что совершенно аккуратно соотносится с правилом оптимальности, установленнымвыше.
Проведенныйвыше анализ относится к обстановке совершенной конкуренции, когда производительне может повлиять своими действиями на систему цен, и поэтому цена p натовар y выступает в модели производителя как экзогенная величина.
В случае женесовершенной конкуренции производитель может оказывать непосредственноевлияние на цену. В особенности это относится к монопольному производителютовара, который формирует цену из соображения разумной рентабельности.
Рассмотримфирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом,чтобы прибыль составляла определенный процент (долю0 
/>
Отсюда имеем
/>
Валовой доход
/>
ипроизводство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемовпроизводства ( y w 0). Легко видеть, что цена зависит отобъема, т.е. p = p ( y ), и при увеличении объемапроизводства ( у ) цена товара уменьшается, т.е. p’ ( y ) 
Требованиемаксимизации прибыли для монополиста имеет вид
/>
Предполагаяпо-прежнему, что />/>имеем уравнение для нахожденияоптимального выпуска ( />):
/>
Полезнозаметить, что оптимальный выпуск монополиста (/>) как правило, не превосходитоптимального выпуска конкурентного производителя />в формуле, помеченной звездочкой(С.37).
Болеереалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобыучесть ресурсные ограничения, которые играют очень большую роль в хозяйственнойдеятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитныйресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) ипредполагается, что фирма может его использовать не более чем в количестве Q. Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y 1, …, y j , …, y n искомые объемыпроизводства этих продуктов; p 1, …, p j ,…, p n их цены. Пусть также q цена единицыдефицитного ресурса. Тогда валовой доход фирмы равен
/>
а прибыльсоставит
/>
Легко видеть,что при фиксированных q и Q задача о максимизации прибылипреобразуется в задачу максимизации валового дохода.
Предположимдалее, что функция издержек ресурса для каждого продукта C j (y j ) обладает теми же свойствами, которые были высказанывыше для функции С ( у ). Таким образом, C j ‘ (y j ) > 0 и C j ” ( y j) > 0.
Вокончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченнымресурсом следующая:
/>
Нетрудновидеть, что в достаточно общем случае решение этой оптимизационной задачинаходится путем исследования системы уравнений:
/> (**)
Где j множитель Лагранжа.
Заметим, чтосоотношение
/>
является посуществу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинальногодохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек
/>
из системыуравнений (**) имеем:
/> (***)
Заметим, чтооптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты ( p 1, …, p n ), причем этот выбор является однороднойфункцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое числораз оптимальные выпуски />не изменяются. Нетрудно видетьтакже, что из уравнений, помеченных звездочками (***), следует, что приувеличении цены на продукт n (при неизменных ценах на другие продукты)его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, так как

/>
апроизводство остальных товаров уменьшится, так как
/>
Этисоотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продуктыявляются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение
/>
т.е. приувеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальныевыпуски увеличиваются.
Можнопривести ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правилооптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:
1) пусть n = 2;p 1 = p 2 = 1; a 1 =a 2 = 1; Q = 0,5; q = 0,5.
Тогда из(***) имеем:
/> = 0,5;/> = 0,5;П = 0,75; /> = 1;
2) пустьтеперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p1 = 2.
Тогдаоптимальный по прибыли план фирмы: /> = 0,6325; /> = 0,3162.
Ожидаемаямаксимальная прибыль заметно возрастает: П = 1,3312; /> = 1,58;
3) заметим,что в предыдущем примере 2 фирма должна изменить объемы производств,увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта.Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станетменять налаженное производство, т.е. выберет программу y 1 = 0,5;y 2 = 0,5.
Оказывается,что в этом случае прибыль составит П = 1,25. Это означает, что приповышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли безизменения плана выпуска.
3.2 Методы учета научно-технического прогресса
Общепризнаннымследует считать тот факт, что с течением времени на предприятии, сохраняющемфиксированную численность работников и постоянный объем основных фондов, выпускпродукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных производственныхфакторов, связанных с затратами ресурсов, существует фактор, который обычноназывают научно-техническим прогрессом (НТП). Этот фактор можнорассматривать как синтетическую характеристику, отражающую совместное влияниена экономический рост многих существенных явлений, среди которых нужно отметитьследующие:
а) улучшениесо временем качества рабочей силы вследствие повышения квалификации работникови освоения ими методов использования более совершенной техники;
б) улучшениекачества машин и оборудования приводит к тому, что определенная суммакапитальных вложений (в неизменных ценах) позволяет по прошествии времениприобрести более эффективную машину;
в) улучшениемногих сторон организации производства, в том числе снабжения и сбыта,банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы,образование различного рода объединений, развитие международной специализации иторговли и т.п.
В связи сэтим термин научно-технический прогресс можно интерпретировать как совокупностьвсех явлений, которые при фиксированных количествах затрачиваемыхпроизводственных факторов дают возможность увеличить выпуск качественной,конкурентоспособной продукции. Весьма расплывчатый характер такого определенияприводит к тому, что исследование влияния НТП проводится лишь как анализ тогодополнительного увеличения продукции, которое не может быть объяснено чистоколичественным ростом производственных факторов. Главный подход к учету НТПсводится к тому, что в совокупность характеристик выпуска или затрат вводитсявремя ( t ) как независимый производственный фактор и рассматриваетсяпреобразование во времени либо производственной функции, либо технологическогомножества.
/>Остановимся на способах учета НТП путем преобразования производственнойфункции (ПФ), причем за основу примем двухфакторную ПФ:
/>
где вкачестве производственных факторов выступают капитал ( К ) и труд ( L). Модифицированная ПФ в общем случае имеет вид
/>
причемвыполняется условие
/>
которое иотражает факт роста производства во времени при фиксированных затратах труда икапитала. Геометрическая иллюстрация такого процесса дана на рис. 4.13,где показано, что изокванта, соответствующая выпуску продукции в объеме Q ,смещается с течением времени ( t 2 > t 1 )вниз и налево.
Приразработке конкретных модифицированных ПФ обычно стремятся отразить характерНТП в наблюдаемой ситуации. При этом различают четыре случая:
а) существенноеулучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежнихрезультатов с меньшим количеством занятых; подобный вид НТП часто называюттрудосберегающим. Модифицированная ПФ имеет вид
/> гдемонотонная функция l ( t ) характеризует рост производительноститруда;
/>
Рис. 13.Рост производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала
б) преимущественноеулучшение качества машин и оборудования повышает фондоотдачу, имеет местокапиталосберегающий НТП и соответствующая ПФ:
/>
гдевозрастающая функция k ( t ) отражает изменение фондоотдачи;
в) еслиимеет место значительное влияние обоих упомянутых явлений, то используется ПФ вформе
/>
г) еслиже нет возможности выявить влияние НТП на производственные факторы, топрименяется ПФ в виде
/>
где a (t ) возрастающая функция, выражающая рост продукции при неизменныхзначениях затрат факторов. Для исследования свойств и особенностей НТПиспользуются некоторые соотношения между результатами производства и затратамифакторов. К их числу относятся:
а) средняяпроизводительность труда
/>
б) средняяфондоотдача
/>
в) коэффициентфондовооруженности работника
/>
г) равенствомежду уровнем оплаты труда и предельной (маргинальной) производительности труда

/>
д) равенствомежду предельной фондоотдачей и нормой банковского процента
/>
Говорят, чтоНТП является нейтральным, если он не изменяет с течением времени определенныхсвязей между приведенными величинами.
Рассмотримдалее три случая:
1) прогрессназывается нейтральным по Хиксу, если в течение времени остается неизменнымсоотношение между фондовооруженностью ( x ) и предельной нормой заменыфакторов ( w / r ). В частности, если w / r = const,то замена труда на капитал и наоборот не принесет никакой выгоды ифондовооруженность x = K / L также останется постоянной.Можно показать, что в этом случае модифицированная ПФ имеет вид
/>,
инейтральность по Хиксу эквивалентна рассмотренному выше влиянию НТПнепосредственно на выпуск продукции. В рассматриваемой ситуации изокванта стечением времени смещается налево вниз путем преобразования подобия, т.е.остается в точности той же формы, что и в исходном положении;
2) прогрессназывается нейтральным по Харроду, если в течение рассматриваемого периодавремени норма банковского процента ( r ) зависит лишь от фондоотдачи ( k), т.е. на нее не влияет НТП. Это означает, что предельная фондоотдачаустановлена на уровне нормы процента и дальнейшее увеличение капиталанецелесообразно. Можно показать, что такой тип НТП соответствуетпроизводственной функции
/>
т.е. техническийпрогресс является трудосберегающим;
3) прогрессявляется нейтральным по Солоу, если сохраняется неизменным равенство междууровнем оплаты труда ( w ) и предельной производительностью труда идальнейшее увеличение затрат труда невыгодно. Можно показать, что в этом случаеПФ имеет вид
/>
т.е. НТПоказывается фондосберегающим. Дадим графическое представление трех типов НТП напримере линейной производственной функции
/>
В случаенейтральности по Хиксу имеем модифицированную ПФ
/>
где a (t ) возрастающая функция t . Это означает, что с течением времениизокванта Q (отрезок прямой АВ ) смещается к началу координатпараллельным переносом (рис. 14) в положение A 1 B 1.
В случаенейтральности по Харроду модифицированная ПФ имеет вид
/>
где l (t ) возрастающая функция.
Очевидно, чтос течением времени точка А остается на месте и изокванта смещается кначалу координат при помощи поворота в положение AB 1 (рис. 15).
Дляпрогресса, нейтрального по Солоу, соответствующая модифицированная ПФ
/>
где k (t ) возрастающая функция. Изокванта смещается к началу координат, ноточка В не сдвигается, и происходит поворот в положение A 1 B(рис. 16).

/>
Рис. 14. Сдвиг изокванты при нейтральном НТП по Хиксу
/>
Рис. 15. Сдвиг изокванты при трудосберегающем НТП
/>
Рис. 16. Сдвиг изокванты при фондосберегающем НТП
/>
Припостроении моделей производства с учетом НТП в основном используются следующиеподходы:
а) представлениеоб экзогенном (или автономном) техническом прогрессе, который существует такжев том случае, когда основные производственные факторы не изменяются. Частнымслучаем такого НТП является нейтральный прогресс по Хиксу, который обычноучитывается с помощью экспоненциального множителя, например:
/>
Здесь l > 0,характеризует темп НТП. Нетрудно видеть, что время здесь выступает какнезависимый фактор роста производства, однако при этом создается впечатление,что НТП происходит сам по себе, не требуя дополнительных затрат труда икапиталовложений;
б) представлениео техническом прогрессе, овеществленном в капитале, связывает рост влияний НТПс ростом капитальных вложений. Для формализации этого подхода за основу беретсямодель прогресса, нейтрального по Солоу:
/>
котораязаписывается в виде
/>
где K 0основные фонды на начало периода,D K накопление капитала в течениепериода, равное сумме инвестиций.
Очевидно, чтоесли инвестирование не производится, тоD K = 0, и увеличениевыпуска продукции за счет НТП не происходит;
в) рассмотренныевыше подходы к моделированию НТП обладают общей чертой: прогресс выступает какзаданная экзогенно величина, которая влияет на производительность труда илифондоотдачу и посредством этого сказывается на экономическом росте.
Однако вдолгосрочном плане НТП является и результатом развития, и, в значительной мере,его причиной. Поскольку именно экономическое развитие позволяет богатымобществам финансировать создание новых образцов техники, а затем уже пожинатьплоды научно-технической революции. Поэтому вполне правомерен подход к НТП какэндогенному явлению, вызванному (индуцированному) экономическим ростом.
Здесьвыделяются два основных направления моделирования НТП:
1) модельиндуцированного прогресса основана на формуле
/>
причемпредполагается, что общество может распределять предназначенные для НТПинвестиции между его различными направлениями. Например, между ростомфондоотдачи ( k ( t )) (улучшение качества машин) и ростомпроизводительности труда ( l ( t )) (повышение квалификацииработников) или выбором наилучшего (оптимального) направления техническогоразвития при данном объеме выделенных капитальных вложений;
2) модельпроцесса обучения в ходе производства, предложенная К. Эрроу, основана нанаблюдаемом факте взаимного влияния роста производительности труда и количествановых изобретений. В ходе производства работники приобретают опыт, и время наизготовление изделия уменьшается, т.е. производительность труда и сам трудовойвклад зависят от объема производства
/>
В своюочередь, рост трудового фактора, согласно производственной функции
/>
приводит кросту производства. В простейшем варианте модели используются формулы:
/>
(производственнаяфункция Кобба — Дугласа).
Отсюда имеемсоотношение
/>
которое призаданных функциях K ( t ) и L 0 ( t )показывает более быстрый рост y , обусловленный отмеченным выше взаимнымвлиянием НТП и экономического развития.
Пусть,например: />
Тогда ростбез учета взаимного влияния описывается уравнением
/>
а рост сучетом взаимного влияния уравнением
/>, или />
т.е.оказывается существенно более быстрым.
Для линейноймодели:
/>
т.е.фондоотдача увеличивается.

Заключение
В заключениихотелось бы рассказать о производственной функции Кобба – Дугласа.
Возникновениетеории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теорияпроизводства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путемопределить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемойпродукции в обрабатывающей промышленности США.
Как уже былосказано, производственная функция отражает функциональную связь между объёмомэффективно используемых факторов производства (трудом и имущественнымкапиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом иорганизационном знании.
Присубституционной производственной функции производство может быть увеличено засчёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в то время какколичественная характеристика другого фактора остаётся без изменения, в другомварианте же производство остаётся без изменения при различных количественныхкомбинациях факторов труда и имущественного капитала.
Субстиционнаяпроизводственная функция имеет, в общем следующее выражение:
/>
где:
K – число производственного капитала
L – число производственных трудовыхчасов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала
На основеусловно введённой субстиционности факторов производства можно сделать следующиедва вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:
При прочихравных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска –первая производная положительна.
Однакопредельная производительность возрастающего фактора уменьшается с увеличениемвеличины данного фактора – вторая производная отрицательна.
Уровеньорганизационных и технических знаний отображается в соответствующих формахвзаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний постоянен,т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Такимобразом, субстиционная функция производства может быть представлена в видеследующего изображения, отражающего взаимосвязь между количеством труда ивыпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 1):
/>
Рис. 17. Связь между производством и производственнымтрудом
Каждоеувеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещениекривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности трудапри заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающегонепосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпускапри увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK1на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0при любом числе занятых трудом.
С увеличениемколичественного параметра имущественного капитала увеличивается и средняяпроизводительности труда, которая является частным от деления величины выпускана величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда,определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска иявляющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.
Величинаимущественного капитала принимается в рамках данного кратковременного анализакак экзогенно заданная, поэтому в модели и описании не учитывается техническийпрогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счётинвестиций.
В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмовпоказателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К)и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпускадо точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлятьпостоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найтиматематическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложилследующую субституционную функцию:
/>
Эта функциябыла предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но онибыли первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные.
Однако прибольших значениях Kи L эта функция не имеет экономическогосмысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.
Кинетическаяфункция /> (где g — норма технического прогресса заединицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на eg, что снимает данную проблему иделает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.
Эластичностьвыпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как
/>,
и аналогичнымобразом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.
Следовательно,увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат трудана 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны бытьположительными, так как увеличение затрат производственных факторов должновызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, таккак разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производстваприводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затратпроизводственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.
Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функцияимеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если Ки L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равнаединице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции,что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет местоубывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).
Всоответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства и b имеют дальнейшую интерпретацию какпрогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала итруда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы(w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):
/>.
Следовательно,общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпускепродукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражаетсячерез dy/dK:
/>,
и,следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay,а доля прибыли будет постоянной величиной a.
Существуетряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда онаиспользуется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когдамежду выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом впроизводственном процессе существует технологическая зависимость, то совершеннонеобязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанныефакторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такаязависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать,что она будет иметь простую форму.

Список литературы
1. 50 лекций по микроэкономике/ Институт «ЭкономическаяШкола», 2002.
2. Доугерти К. Введение вэконометрику: Пер. с англ. – М.: Инфра-М, 2001.
3. Институциональная экономика: курслекций/ Кузьминов Я.И. М.:Высшая Школа Экономики, 2009.
4. Трактат по политической экономии/ Жан-Батист Сэй. Сайт«Библиотека экономической и деловой литературы».
5. Основы экономической теории. / Подред. Камаева В.Д. — М.: Изд. МГТУ, 2006.
6. Основы экономической теории(макроэкономика):Учебное пособие./ Кравцова Г.Ф., Цветков Н.И., Островская Т.И. Хабаровск:ДВГУПС, 2001. www.dvgups.ru/METDOC/EKMEN/ETEOR/EK_TEOR/METOD/O_EK_TEOR/KRAV1.HTM
7. Учебник по основам экономическойтеории. / Под ред. В.Д.Камаева. — М.: Владос: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,2006.
8. Самуэльсон П. Экономика.: Пер. сангл. — М.: Прогресс, 1964.
9. Экономика предприятия: Учебник/под ред. О.И. Волкова. – 4-е изд., перераб. и доп. – Финансы и статистика, 2000
10. Ресурс интернет — .http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-1199.htm