«Функциональные методы решения задач»

Модульная программа«Функциональные методы решения задач»Объем программы: 36 часовАвтор: В.В.Мочалов, доцент кафедры ЕНД ЧРИО, к.ф.- м.н.Форма обучения: очная, с отрывом от работы.Категория слушателей: учителя математики общеобразовательных учреждений Чувашской Республики. В данной образовательной программе систематизируются методы решения задач с параметрами, начиная с самых простых – линейных уравнений и неравенств с параметрами. Подробно рассматриваются методы решения задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена относительно точки, луча, отрезка. Приводятся их многочисленные приложения. По каждой теме приводится краткая теория, методы решения задач по изучаемой теме, наиболее встречаемые типы задач. Многие из рассматриваемых в программе задач предлагались на вступительных экзаменах в разные ВУЗы и на ЕГЭ. Особое внимание уделяется методам, основанным на использовании свойств ограниченности, монотонности функции. Рассматриваются графики разных функций и методы построения графиков функции без применения производной. Материал предназначен для углубленного изучения математики в средней школе. Его можно использовать также для подготовки к ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗы. ^ Программа состоит из следующих модулей:Модуль 1. Уравнения и неравенства с параметрами. Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Система линейных уравнений с параметрами. Уравнения и неравенства с модулями. Простейшие рациональные уравнения и неравенства. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Графический метод и метод решения относительно параметра. Задачи, предлагаемые на едином государственном экзамене.Модуль 2. Нестандартные задачи. Использование ограниченности функций. Уравнения вида . Уравнения вида . Неравенства вида . Неравенства вида . Монотонные функции. Уравнения вида – монотонная функция Встречная монотонность возрастает, убывает. возрастает, убывает. Нестандартные тригонометрические задачи. Методические особенности их решения. Использование неравенств при решении нестандартных задач.Модуль 3. Графики функций и их преобразования. Построение эскизов графиков функций.Таблица элементарных графиков функций: Цепочка преобразований графиков функций:а) таблица преобразований ),;б) пример преобразования графика : в) цепочки преобразований и т.д. Метод построения многочленов рациональных и иррациональных функций по нулям и особым точкам. Построение эскизов многочленов. Построение эскизов рациональных функций. Асимптоты вертикальные, горизонтальные, наклонные. Построение эскизов иррациональных функций. Метод композиции. Метод симметрии. Симметричные точки относительно оси ох и оси оу. Построение графиков функции методом симметрии относительно оси ох. Построение графиков функции методом симметрии относительно оси оу. ^ Модуль 4. Текстовые задачи и систематизация методов их решения. Задачи на смеси и сплавы, растворы. Задачи на сложные проценты. . Задачи на части.^ Модуль 5. Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Выбор корней.^ Модульная программа«Методы решения задач школьного курса алгебры и начал анализа»Объем программы: 36 часовАвтор: В.В.Сильвестров, профессор кафедры ЕНД ЧРИО, доктор к.ф.- м.н.^ Форма обучения: очная, с отрывом от работы.Категория слушателей: учителя математики общеобразовательных учреждений Чувашской Республики. Данная образовательная программа курса рассчитана на учителей старших классов всех типов школ. Раскрываются методы решения задач, содержащих переменные под знаком модуля; метод интервалов, методы на нахождение множества значений функции, углубленного изучения методов решения показательных и логарифмических неравенств.^ Программа состоит из следующих модулей:Модуль 1. Методы решения задач, содержащих модуль. Методы решения задач с модулями. Их сравнительный анализ. Метод раскрытия модуля (лей) по определению. Раскрытие модулей методом интервалов. Использование равносильных переходов к системам и совокупностям уравнений и неравенств. Основные формулы переходов Геометрический смысл модуля. Графический метод. Потеря равносильности при раскрытии модуля без соблюдения дополнительных условий. В каких случаях необходима проверка? Уравнения и неравенства, содержащие модуль неявно. Методика решения задач, связанных с использованием производной от модуля функции. Наиболее распространенные ошибки учеников при решении задач с модулями.^ Модуль 2. Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Свойства степеней и логарифмов. Обзор основных методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Всегда ли нужно находить ОДЗ? Потеря равносильности уравнений и неравенств при переходе к другому основанию. Нестандартные методы решения указанного типа уравнений и неравенств. Наиболее распространенные ошибки учащихся по данной теме. Методика изложения темы в классах с различным уровнем математической подготовки.^ Модуль 3. Обобщенный метод интервалов. Основные свойства функций, используемые в обобщенном методе интервалов. Схема обобщенного метода интервалов. Сравнение его с обычным методом интервалов, используемым для решения рациональных неравенств. Применение обобщенного метода интервала для решения однотипных неравенств; его преимущество перед традиционными методами решения однотипных неравенств. Методика решения комбинированных неравенств обобщенным методом интервалов. Особенности применения указанного метода к тригонометрическим неравенствам и смешанным неравенствам, содержащим тригонометрические функции. Применение обобщенного метода интервалов для решения неравенств с параметрами. Обобщение метода на неравенства с двумя переменными. Методика изучения темы в зависимости от уровня математической подготовленности класса.^ Модуль 4. Множество значений функций. Свойства функций, используемые при нахождении множества значений функции. Метод последовательного нахождения значений сложных аргументов функции и метод оценок. Использование свойств непрерывности и монотонности функции и производной. Графический метод. Метод введения параметра и метод обратной функции. Наиболее распространенные ошибки, допускаемые при нахождении множества значений функции. Методика изучения темы в средней школе. Связь темы с другими темами элементарной математики. Использование множества значений функции для решения задач с параметрами и других типов задач.^ Модульная программа«Преподавание математики в профильной школе»Объем программы: 36 часовАвтор: З.И.Хрисанова, ст. преподаватель кафедры ЕНД ЧРИО. ^ Форма обучения: очная, с отрывом от работы.Категория слушателей: учителя математики общеобразовательных учреждений Чувашской Республики. Данный курс направлен на подготовку учителей математики к работе предпрофильной подготовки и профильного обучения учащихся старших классов.^ Программа состоит из следующих модулей:Модуль 1. Анализ содержания федерального компонента государственного стандарта общего и среднего (полного) образования по математике и нормативная основа реализации стандарта. Стандарт основного общего образования по математике. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень). Стандарт среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень). Обязательный минимум содержания основных образовательных программ. Требования к уровню подготовки выпускников. Федеральный базисный учебный план. Примерные программы по учебным предметам федерального компонента. Контрольно-измерительные материалы для государственной (итоговой) аттестации выпускников на ступенях основного общего и среднего (полного) общего образования по учебным предметам федерального компонента государственного стандарта общего образования. ^ Модуль 2. Анализ содержания УМК по математике и методическое обеспечение профильного обучения. Федеральный перечень учебников, учебно-методических изданий на 2006/07 учебный год. Методические рекомендации по использованию УМК при изучении математики на профильном уровне. Методические рекомендации по использованию УМК при изучении математики на базовом уровне. Методические рекомендации по изучению нового содержания стандарта в основной и профильной школе.^ Модуль 3. Нормативно-правовая основа предпрофильной подготовки учащихся 9 классов и профильного обучения в старшей школе. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Общие положения организации предпрофильной подготовки и профильного обучения. Базовая модель предпрофильной подготовки. Формы и содержание муниципальной итоговой аттестации учащихся 9 классов. Портфолио и построение образовательного рейтинга выпускника основной школы.^ Модуль 4. Содержание, формы и методы организации курсов по выбору. Содержание и назначение элективных курсов в системе профильного обучения. Методология программ элективных курсов. Разработка программ элективных курсов. Организация и проведение экспертизы программ элективных курсов. ^ Модуль 5. Содержание, формы и методы профильной ориентации учащихся. Профориентационные курсы. Организация и проведение эвристических профильных проб. Диагностика результатов профильной ориентации. ^ Модуль 6. Использование современных педагогических и информационных технологий в преподавании математики. Общая характеристика современных педагогических технологий. Метод проектов. Проекты в школьной практике. Организация исследовательской работы учащихся. Использование педагогических и информационных технологий, электронных ресурсов в преподавании математики. ^ Модульная программа«Математика. Геометрические и нестандартные задачи»Объем программы: 72 ч. (может варьироваться от 36 до 72 ч.)Автор: А.К.Ярдухин, к.ф.- м.н., доцент кафедры ЕНД ЧРИО.^ Форма обучения: очная, с отрывом от работы.Категория слушателей: учителя математики общеобразовательных учреждений Чувашской Республики. Данный курс направлен на подготовку учителей математики к организации работы с детьми, стремящимися к углубленному изучению математики, подготовке учеников к математическим соревнованиям различного уровня. В курсе рассматриваются вопросы создания программ спецкурсов и элективных курсов по математике, направленных на преподавание наиболее сложных разделов школьной программы и близких к ней разделов «олимпиадной» и «абитуриентской» математики, систематизируются основные методы решения задач повышенного и высокого уровня сложности, позволяющие учителю и ученику сориентироваться в незнакомой задачной ситуации.^ Программа состоит из следующих модулей:Модуль 1. Планиметрия. Методы решения задач. Избранные разделы Основные методы решения планиметрических задач. Задачи повышенного уровня сложности (группа В) ЕГЭ. Решение треугольников. Решение четырехугольников. Вписанные и описанные четырехугольники. Окружность и ее элементы. Избранные теоремы геометрии треугольника: теоремы Менелая, Чевы, Ван Обеля и др. Окружность и прямая Эйлера. Использование избранных теорем при решении задач.^ Модуль 2. Стереометрия. Методы решения задач. Избранные разделы Стереометрия в ЕГЭ по математике. Задачи повышенного уровня сложности (группа В) ЕГЭ: общие методы решения. Задачи высокого уровня сложности (группа С) ЕГЭ: методы решения, специфика оформления работы. Тетраэдр и пирамида: основные соотношения между элементами. Тела вращения. Комбинации многогранников и тел вращения. Стереометрические методы решения планиметрических задач.^ Модуль 3. Методы решения задач повышенной трудности по алгебре Основные подходы к решению задач повышенной трудности. Функциональные идеи решения алгебраических задач. Использование монотонности, ограниченности, выпуклости функций. Использование неравенств при решении уравнений. Перебор и анализ вариантов. Различные приемы решения задач. Систематизация приемов.^ Модуль 4. Идеи и методы решения олимпиадных задач по алгебре Специфика математических различных соревнований различного уровня. Разделы школьной математики, наиболее часто встречающиеся на олимпиадах. Классификация и систематизация методов решения олимпиадных задач. Основные подходы и принципы решения. Многовариантные логические задачи.^ Модуль 5. Идеи и методы решения олимпиадных задач по геометрии Олимпиадные задачи по планиметрии и стереометрии: специфика и методы решения. Комбинаторные методы решения геометрических задач. Геометрическая интерпретация алгебраических задач.^ Модуль 6. Внеклассная работа по математике Организация внеклассной работы по математике. Методы подбора задач для внеклассной работы в зависимости от ее цели. Особенности проведения внеклассных мероприятий для школьников разного возраста. Особенности подбора задач и организации подготовки в зависимости от специфики математического соревнования.^ Модульная программа«Изучение теории вероятностей, статистики и комбинаторики в курсе математики средней школы»Объем программы: 18 часовАвторы: В.В.Сильвестров, профессор кафедры ЕНД ЧРИО, доктор ф.-м.н., З.И.Хрисанова, ст. преподаватель кафедры ЕНД ЧРИО, А.К. Ярдухин, доцент кафедры ЕНД ЧРИО, кандидат ф.-м.н. ^ Форма обучения: очная, с отрывом от работы.Категория слушателей: учителя математики общеобразовательных учреждений Чувашской Республики.Цель данного курса – показать учителям математики, каким образом то, что они изучали и изучают в вузовском курсе теории вероятностей и математической статистики, должно быть переосмыслено и перенесено в школу; помочь им в решении возникающих здесь математических и методических трудностей; предостеречь от возможных ошибок и просчетов.^ Программа состоит из следующих модулей:Модуль 1. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе и старшей школе. ^ Классическая модель вероятности. Случайный эксперимент как совокупность элементарных исходов. Опыты с равновозможными исходами. Классическое определение вероятности. Связь классического и частотного определения вероятности. Определение равновероятных исходов в многоэтапных экспериментах. Ошибка Даламбера. Общая схема решения задач на классическую вероятность (описание множества исходов – обоснование равновозможности – подсчет общего количества исходов – подсчет количества благоприятных исходов – вычисление вероятности). Геометрическая вероятность и ее несводимость к классической модели. Парадокс Бертрана. Вероятностное пространство. Аксиоматическое определение вероятности по Колмогорову. Вероятностное пространство как модель реального эксперимента. Элементарные исходы и случайные события. Рассмотрение различных определений вероятности (частотного, классического, геометрического) в рамках аксиоматического подхода. Более сложные примеры вероятностных пространств. Условная вероятность и независимость.Условная вероятность. Два подхода к определению условной вероятности. Независимые события. Формальное и интуитивное определение независимости. Независимость как характеристическая черта всей теории вероятностей, выделяющая ее из общей теории меры. Правила сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема Байеса. Байесовский подход к проверке статистических гипотез. Случайные величины. Случайная величина как измеримая функция на множестве исходов. Закон распределения случайной величины. Функция распределения случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, мода. Медиана, размах. Дисперсия, стандартное отклонение. Испытания Бернулли. Формула Бернулли и биномиальное распределение. Предельные теоремы и обоснование универсальности нормального закона. Закон Пуассона. Случайные величины как дальнейшее развитие понятий функций.Понятие функции в школьном курсе математики. Взаимосвязь функциональной вероятностно-статистической линии через понятие случайной величины. Область определения и множество значений случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Измеримость случайной величины как выражение ее наблюдаемости. Последовательность испытаний Бернулли как универсальная модель серии вероятностных экспериментов. Примеры реальных испытаний и степень их соответствия схеме Бернулли. Элементы математической статистики Основы выборочного метода. Понятие генеральной совокупности и случайной выборки. Репрезентативность выборки. Способы повышения репрезентативности. Случайные числа: использование таблиц и компьютерных датчиков. Представление результатов выборки в частотных таблицах. Дискретные и непрерывные признаки. Группировка данных. Графические формы представления результатов выборки. Числовые характеристики выборки. Числовая выборка как реализация случайной величины. Числовые характеристики выборки для дискретных и непрерывных признаков. Характеристики положения (выборочное среднее, мода, медиана), их использование на практике. Характеристики разброса (размах, выборочная дисперсия и стандартное отклонение). Другие числовые характеристики. Статистическое оценивание и прогноз.Точечные и интервальные оценки характеристик выборки. Методы построения оценок и вычисления их погрешностей. Оценка вероятности события по его частоте. Определение наиболее вероятного исхода случайного эксперимента. Проверка гипотез: уровень значимости, ошибки первого и второго рода. Какие события можно считать маловероятными? Методика изучения статистического материала. О связи статистического и вероятностного материала. Что первично: вероятность или частота, случайная величина или случайная выборка? Числовые характеристики случайных величин как «идеальное» воплощение числовых характеристик случайной выборки. Прикладное значение статистической линии. Типичные ошибки в интерпретации статистических выводов и результатов.^ Модуль 2. Комбинаторные задачи в курсе математики основной и старшей школы. Комбинаторика при подсчете вероятностей. Перебор возможных вариантов, комбинаторные правила умножения и сложения и их использование при подсчете вероятностей в рамках классической модели. Типичные трудности и ошибки в использовании комбинаторных правил. Основные виды комбинаций (перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями). Формулы для их подсчета. Типы вероятностных задач, приводящие к различным видам комбинаций. Инвариантность ответа относительно выбранной модели (с учетом – без учета порядка, последовательный – одновременный выбор и т.д.).^ Модуль 3. Вероятностно – статистическая линия в учебной литературе. Вероятностно-статистическая линия в стандарте школьного математического образования. Обязательный минимум содержания вероятностно-статистической линии в основной и старшей школе, принципы, положенные в основу его отбора.Требования к уровню подготовки учеников. Проблемы проверки знаний при изучении стохастической линии, формы проверки. Вероятностно-статистическая линия в учебной литературе. Анализ учебников «Математики 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева – как пример последовательной реализации стохастической линии в основной школе: принципы структурирования материала, характеристика содержания, внутрипредметные связи. Анализ стохастической линии в курсе с точки зрения социализации учащихся и их адаптации к современной жизни. Обзор других учебных пособий. Электронные учебные пособия, содержащие вероятностно-статистический материал и их использование на уроках математики.