Финансовая математика (19 задач с решениями)

Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский институт финансови банковского дела
Кафедра: NNN
Контрольнаяработа
по дисциплине: Финансовая математика
Вариант: 2
Выполнил:                                                                Руководитель:
Студент группы NNN-NNN                                   ст. преп.
NnnnnnnnN.N.                                                        Волынская О.А
Новосибирск 
2004

Задача1
Определить простую ставкупроцентов, при которой первоначальный капитал в размере 10 000 руб. достигнетчерез 180 дней суммы 19 000 руб.

     Дано:                                                          Решение:
PV=10 000 руб.                       Вывод формулы для простой ставки процентов:  
FV=19 000 руб.                       
t= 180дней                               
T= 360дней                               
_________________                        
i-?
Ответ: простая ставка процентов равна 180%.
Задача 2
Кредитв размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых.Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.
      Дано:                                               Решение:
PV=15 000 руб.                 Размер долга:
i=24% = 0,24                    
__________________         1) «английская практика»: Т=365или 366 дней.
FV– ?                                     (дней)
I– ?                                        (руб.)
 2) «французская практика»: T=360 дней.
 (дней)
 (руб.)
3)«германская практика»: T=360 дней.   
 (дня)
 (руб.)
Ответ: размер долга составляет:
— согласно«английской практике»:   17 031,781руб.;
— согласно «французской практике»: 17 060 руб.;
— согласно «английской практике»:  17 020 руб.
Задача 3
Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а вкаждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%.Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет15 000 руб.(простые проценты)

Дано:                                               Решение:
                     Сумма начисленных процентов: 
                    
                                    
                                  
T = 1 год = 360 дней          
PV = 15 000руб.                 Сумма к возврату:
         
= 30×3 = 90 дней                 
__________________          
FV — ?                                    = 19 275 (руб.)
Ответ: сумма квозврату в банк составит 19 275 руб.
Задача 4
Договор вклада заключён сроком на 2 года ипредусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Суммавклада 15 000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента кконцу срока.

           Дано:                                               Решение:
PV=15 000 руб.                Сумма на счёте клиента к концусрока:
n = 2 года                          
j = 16% = 0,16                    
m = 2                                   = 20 407,334 (руб.)
________________
FV-?
Ответ: сумма насчёте клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.
Задача 5
Владелец векселя номинальной стоимости 19 000руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 днейдо платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированнуювеличину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.

Дано:                                                        Решение:
FV = 19 000руб.                 Величина дисконта:
T=1 год = 360 дней             
t=60 дней                             (руб.)
n = 1 год                               Сумма, полученнаявладельцем векселя:
d=60% = 0,6                        PV= FV– D ;
________________               PV= 19 000– 1 900 = 17 100  (руб.)
D- ?    PV — ?
Ответ: — величина дисконта равна 1 900 руб.;
            — сумма, полученная владельцем векселя,равна 17 100 руб.
Задача 6
Определить значение годовой учётной ставки банка,эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n= 1 год).

           Дано:                                      Решение:
i=24% = 0,24                Эквивалентнаягодовая учётная ставка:
n=1 год                           ;
______________             
 – ?
Ответ: эквивалентная годоваяучётная ставка равна 19,4%.
Задача 7
На вклады ежеквартально начисляются проценты пономинальной годовой ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через1,5 года суммы 19 000 руб.

Дано:                                        Решение:
FV=19 000 руб.                  Суммавклада:                                                                
j=16% = 0,16                       
m=4                                     
n=1,5 года =              = 15 015,976  (руб.)
_________________
PV- ?
Ответ: суммавклада равна 15 015,976 руб.
Задача 8
Банк предлагает долгосрочные кредиты под 24% годовых с ежеквартальнымначислением процентов, 26% годовых с полугодовым начислением процентов и 20%годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный длябанка вариант кредитования.

Дано:                                             Решение:
 n = 1 год                        Эффективная процентнаяставка:
1) m=4                       
 j =24% = 0,24               при n=1год:   ;
 2) m= 2                           
 j =26% = 0,26                
3) m = 12                        
 j= 20% =0,2
_________________
-?   -?  – ?
Ответ: выдачакредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее,т.к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредитавозрастает на 27,7% за год).
Задача 9
Банк выдаёт кредит под 24% годовых. Полугодовой уровень инфляции составил3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.

Дано:                                                   Решение:
n=1 год                       Индекс цен:
i=24% = 0,24             
          
N=2                             Реальнаягодовая процентная ставка:
______________         
-?                           
Ответ: реальнаягодовая ставка процентов равна 16,9%.
Задача 10
Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальнаядоходность вклада с учётом инфляции 3% была 10% годовых?

       Дано:                                                         Решение:
 = 3% = 0,03                Вывод формулы для процентнойставки:
n=1                               
                
________________        
i- ?
Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную13,3%.
Задача 11
Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.
          Дано:                                            Решение:
                Индексцен:
  N = 12 месяцев              
 ________________         
  – ?                            Уровень инфляции:
  – ?                              
                                             
Ответ:уровень инфляции за год равен 42,6%.
Задача 12
Вклад 15 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячнымначислением сложных процентов по номинальной ставке 72% годовых. Определитьреальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит3%.

                Дано:                                  Решение:
                        
PV=15 000 руб.                  Реальная покупательная способность вклада через
j=72% = 0,72                      определённое время:
m=12 месяцев                      
n=6/12 года                          
p =3% = 0,03                          (руб.)
N=6 месяцев                        Реальный доход вкладчика:
___________________          
 -?                                      (руб.)
Ответ: реальныйдоход вкладчика равен 2 819,811 руб.
Задача 13
Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=19 000руб., S2=20 000руб., S3=21 000руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится двесуммы: S4=22 000руб. в конце 2-го года и S5в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S5.
Дано:   
                                                                                                                    суммы платежей,
           S1=19 000    S4 =22 000     S2=20 000       S5 -?       S3=21 000      руб.
|__________|__________|__________|__________|__________|
0                  1                   2                   3                   4                   5            срокиплатежей,
                                                                                                                     годы

                         наращение                                         дисконти-
рование
          Рис. 1. Исходный и новый графикиплатежей
На рис.1 отмечены: полужирным шрифтом –исходный график платежей, курсивом – новый график платежей. Моментомприведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы  
Решение:
Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны,если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежейодного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту жедату при неизменной ставке процентов:
                                   
Коэффициентприведения (наращения или дисконтирования):
                                               
где:  n– число лет до момента приведения:
                                               n = n0– ni  ,
где:  ni -срок  i-го платежа.
при  – коэффициент наращения;
при  – коэффициент дисконтирования;
при

 (руб.)
Ответ: суммавторого платежа по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.
Задача14
Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 5% годовых длясоздания через 6 лет фонда в размере 19 000 000 руб.
          Дано:                                           Решение:

i=5% = 0,05                               Размер ежегодных платежей:
n=6 лет                                      
FVA=19 000 000 руб.                 (руб.)
_____________________
R- ?
Ответ: размережегодных платежей равен 2 793 331,894 руб.
Задача 15
Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путёмвнесения в конце каждого года сумм 19 000 руб. Проценты на вкладначисляются по ставке 5%.

              Дано:                                      Решение:
R=19 000 руб.                      Величина будущего фонда:
n=2 года                                
i=5% = 0,05                            (руб.)
____________________
 FVA- ?
Ответ: величинабудущего фонда равна 38 950 руб.
Задача 16
Ежемесячная арендная плата за квартиру составляет 1 800 руб. Срокплатежа – начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа, взимаемогоза год вперёд. Ставка банковского депозита 48% годовых.
Дано:                                       Решение:

R=1 800 руб.                Авансоваяприведённая сумма аренды:
j=48% = 0,48              
m=12                            
n=1 год                        
________________         (руб.)
– ?
Ответ:равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17 568,858 руб.
Задача17
Двухлетняя облигация номиналом 1 000 руб. имеет 4 полугодовых купонадоходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения,приняв ставку сравнения 16%.

              Дано:                                 Решение:
  n= 2 года                   Цена первоначального размещенияоблигации:
  N= 1 000 руб.            
  m= 2                          
  j= 16% = 0,16            
  q= 20%                     
 ______________
   P- ?
Ответ: ценапервоначального размещения облигации равна 1 066,243 руб.
Задача 18
Бескупонная облигация куплена на аукционе по курсу40 и продана по курсу 58 через 90 дней. Рассчитать доходность вложения по схемесложных и простых процентов.
 
    Дано:                                    Решение:
                             1)  доходность по схеме простыхпроцентов:
                                   
 дней                          
 Т = 360 дней                    2)  доходность по схеме сложных процентов:
________________                 
Y-?      -?                         
 
Ответ: — доходность посхеме простых процентов равна 180%;
            — доходность по схеме сложныхпроцентов равна 342,1%.
Задача 19
Представить планамортизации 5-летнего займа в 1 500 000 руб., погашаемого:
1)   
2)   
Процентнаяставка по займу 5%.
          Дано:
i = 5% = 0,05
n=5 лет
PVA=1 500 000 руб.
1)    амортизациязайма, погашаемого равными суммами
Сумма погашенияосновного долга:
 (руб.)
Сумма срочнойуплаты:
Остаток долга на начало периода:
Таблица1План амортизации займа, погашаемого равными суммами
№ года к
Остаток долга на начало периода , руб.
Сумма погашения основного долга
Сумма процентов
Сумма срочной уплаты
1
1 500 000
300 000
75 000
375 000
2
1 200 000
300 000
60 000
360 000
3
900 000
300 000
45 000
345 000
4
600 000
300 000
30 000
330 000
5
300 000
300 000
15 000
315 000
Итого:
Х
1 500 000
225 000
1 725 000
2) амортизация займа, погашаемого равными срочными уплатами
Срочный платёж:
                  (руб.);
Сумма процентов:
Погасительный платёж:
Остаток долга наначало периода:
Таблица2План амортизации займа, погашаемогоравными срочными уплатами

года
к
Остаток долга на начало периода
, руб.
Остаток долга на конец периода,
, руб.
Срочный платёж
 R, руб.
Сумма процентов , руб.
Погаситель-ный платёж , руб.
1
1 500 000,00
1 228 537,80
346 462,20
75 000,00
271 462,20
2
1 228 537,80
943 502,49
346 462,20
61 426,89
285 035,31
3
943 502,49
644 215,42
346 462,20
47 175,13
299 287,07
4
644 215,42
329 963,99
346 462,20
32 210,77
314 251,43
5
329 963,99
-0,01
346 462,20
16 498,20
329 964,00
Итого:
Х
Х
1 732 311,00
232 310,99
1 500 000,01