–PAGE_BREAK–
где — значение конца i-го интервала статистического ряда.
Из уравнения 1.15 следует,
(1.17)
При обработке опытной информации установлено:
— средний ресурс =6,49 мм;
— среднее квадратическое отклонение ? = 0,24 мм;
— коэффициент вариации V = 0,42.
Для построения дифференциальной кривой f(t) определяется теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждом интервале статистического ряда (таблица 1.2).
Так, вероятность того, что деталь потребует ремонта в первом и втором интервале наработок будет равна:
и т.д. для остальных интервалов.
Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
Для построения интегральной кривой определяются значения функции F(t) для концов интервалов статистического ряда.
Для первого интервала получим:
;
.
Дальнейшие результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3 – Значения f(t) и F(t) при ЗНР
Интервалы, мм
6,00-6,16
6,16-6,32
6,32-6,48
6,48-6,64
6,64-6,80
6,80-6,96
f(t)
0,061
0,153
0,245
0,243
0,166
0,071
F(t)
0,085
0,239
0,484
0,732
0,902
0,975
Закон распределения Вейбулла (ЗРВ)
Отличительной особенностью закона распределения Вейбулла является правосторонняя асимметрия дифференциальной функции.
Дифференциальная f(t) и интегральная F(t) функции определяются уравнениями:
(1.18)
(1.19)
где а и в – параметры распределения Вейбулла.
Определение параметров «а» и «в» аналитическим путем довольно трудоемко, поэтому на практике при их определении пользуются специальными таблицами.
Порядок определения дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ следующий:
1. Определение, на основании опытной информации, среднего значения случайной величины , среднего квадратического отклонения ? и коэффициента вариации.
2. По таблицам по известному значению коэффициента вариации V определяются параметр «в» и коэффициенты Вейбулла Кв и Св .
3. Параметр «а» определяется из выражения:
(1.20)
или
(1.21)
Для рассматриваемого задания по ; ; ; .
Из литературных источников по известному коэффициенту вариации V получим ; Кв=0,887; Св=0,380.
4. Зная параметры «а» и «в» и пользуясь табулированными функциями аf(t) и F(t), можно определить дифференциальную и интегральную функции.
При нахождении функции f(t) для каждого интервала статистического ряда определяется отношение , где tci – середина i-го интервала. По найденному отношению при определенной величине параметра «в» по таблице определяем значение функции аf(tci-tсм), нормированной по «а».
Значение функции f(t) для i-го интервала статистического ряда определится из выражения:
(1.22)
Для нахождения функции F(t) для каждого интервала определяется отношение , где tкi – конец i-го интервала. По найденному отношению и параметру «в» по таблице определяем значение интегральной функции F(tкi – tсм).
Для данного задания значение дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ будут равны:
для первого интервала
в=2,5
в=2,5 F(tк1)= 0,096
для второго интервала
в=2,5
в=2,5 F(tк1)=0,243
Дальнейшие результаты расчетов представлены в таблице 1.4.
Графическое изображение дифференциальной функции f(t) и интегральной функции F(t) при выравнивании по ЗНР и по ЗРВ представлено на рисунке 1.1 и 1.2 в приложении.
Таблица 1.4 – Значения f(t) и F(t) при ЗРВ
Интервалы, мм
6,00-6,16
6,16-6,32
6,32-6,48
6,48-6,64
6,64-6,80
6,80-6,96
f(t)
0,083
0,183
0,247
0,234
0,15
0,069
F(t)
0,096
0,243
0,536
0,719
0,902
0,969
1.7 Критерии согласия опытных и теоретических распределений показателей надежности
Применительно к показателям надежности тракторов и сельскохозяйственных машин, чаще используется критерий согласия Пирсона ?2.
Критерий ?2 определяется по формуле:
, (1.23)
где n – число интервалов в статистическом ряду;
mi – опытная частота в i-ом интервале;
mтi – теоретическая частота в i-ом интервале.
(1.24)
Для определения критерия согласия ?2 нужно иметь статистический ряд, который удовлетворяет условиям:
. (1.25)
В случае, если статистический ряд не удовлетворяет этим условиям, проводится укрупнение его путем объединения интервалов с частотой mi или mтi меньше 5 с соседними.
Для данного задания значение теоретической частоты (mтi) для каждого интервала статистического ряда, определенное по формуле 1.24 для ЗНР и ЗРВ представлено в таблице 1.5.
Таблица 1.5 – Значение теоретической частоты для ЗНР и ЗРВ
Интервалы, мм
6,00-6,16
6,16-6,32
6,32-6,48
6,48-6,64
6,64-6,80
6,80-6,96
Опытная частота mi
3
5
6
7
6
3
F (t)
ЗНР
0,085
0,239
0,484
0,732
0,902
0,975
ЗРВ
0,096
0,243
0,536
0,719
0,902
0,969
Теоретическая частота, mтi
ЗНР
2,55
4,62
7,35
7,44
5,1
2,19
ЗРВ
2,88
4,41
8,79
5,49
5,49
2,01
Так как при выравнивании по ЗНР статистический ряд не удовлетворяет условию 1.25, производим укрупнение статистического ряда, т.е. объединяем первый и второй, а также пятый и шестой интервалы. Укрупненный статистический ряд представлен в таблице 1.6.
Таблица 1.6 – Укрупненный статистический ряд для определения критерия согласия ?2
Интервалы, мм
6,00-6,32
6,32-6,48
6,48-6,64
6,64-6,96
Опытная частота, mi
8
6
7
9
Теоретическая частота, mтi
ЗНР
7,17
7,35
7,44
7,29
ЗРВ
7,29
8,79
5,49
7,5
Критерий ?2 будет соответственно равен:
— для закона нормального закона
.
— для закона распределения Вейбулла
.
Для количественной оценки совпадения опытного и теоретического распределения определяется вероятность совпадения по критерию Пирсона Р(?2), определяемая по таблицам в литературных источниках.
Вероятность совпадения при прочих равных условиях зависит также от повторности исследуемой информации. Для пользования таблицей необходимо определить число степеней свободы «r» по уравнению:
(1.26)
где ny – число интервалов укрупненного статистического ряда;
к – число параметров теоретического закона распределения;
1 – связь, накладываемая закономерностью ?Pi=1.
Для данного примера
Тогда для закона нормального распределения Р(?2) = 40%, для закона распределения Вейбулла Р(?2) = 20%.
Принято считать, что теоретический закон согласуется с опытным распределением, если Р(?2)?10%.
Из проведенной проверки следует, что оба теоретические закона согласуются с опытным распределением, но вероятность совпадения закона нормального распределения несколько выше, чем закон распределения Вейбулла.
1.8 Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности. Абсолютная и относительная предельные ошибки
Доверительные границы рассеивания показателей надежности при использовании закона нормального распределения определяется по формулам:
а) для одиночного значения показателя надежности
; (1.27)
; (1.28)
; (1.29)
, (1.30)
где – нижняя доверительная граница одиночного значения показателя надежности;
– верхняя доверительная граница одиночного значения показателя надежности;
? – среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент Стьюдента определяется по таблице в зависимости от принятой доверительной вероятности ? и объема информации N;
— доверительный интервал;
— абсолютная ошибка рассеивания.
б) для среднего значения показателя надежности:
; (1.31)
; (1.32)
; (1.33)
, (1.34)
где — – нижняя доверительная граница рассеивания среднего значения показателя надежности;
– верхняя доверительная граница рассеивания среднего значения показателя надежности;
– абсолютная ошибка рассеивания среднего значения показателя надежности.
Относительная ошибка переноса опытных значений показателя надежности на генеральную совокупность:
(1.35)
Определяем доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности, предварительно задаемся доверительной вероятностью ? = 0,95. По таблице определяем значение коэффициента Стьюдента для ? = 0,95 и N = 30. Для заданных условий = 2,04. Тогда, по формулам 1.27, 1.28, 1.30 и 1.31 определим:
мм;
мм;
мм;
мм;
Расчет доверительных границ рассеивания при использовании закона распределения Вейбулла ведется от нуля, т.к. кривая распределения в этом случае асимметрична.
Рассеивание одиночных значений показателя надежности определяется по формулам:
, (1.36)
(1.37)
где tн – нижняя доверительная граница;
tв – верхняя доверительная граница;
– нормированная квантиль закона распределения Вейбулла, определяется по таблице из литературных источников для известных значений «в» и ;
а – параметр распределения Вейбулла.
Для определения границ рассеивания среднего значения используются формулы:
, (1.38)
, (1.39)
где – нижняя доверительная граница;
– верхняя доверительная граница;
r1; r3 – коэффициенты Вейбулла, определяются по таблице из литературы;
в – параметр распределения Вейбулла.
При доверительной вероятности ?=0,95; =6,49 мм; tсм=5,92 мм; в=2,5; а=0,63 мм доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значения определенные по формулам 1.21…1.24 будут равны:
Относительная ошибка рассеивания (переноса) опытных значений показателя надежности на генеральную совокупность:
(1.40)
1.9 Определение минимального числа объектов наблюдения при оценке показателей надежности
Точность определения показателей надежности зависит при прочих равных условиях от объема информации, т.е. от числа испытуемых объектов. Как известно, с увеличением количества испытуемых объектов N доверительные границы сближаются, а абсолютная ошибка уменьшается.
Прежде чем приступить к испытанию, нужно определить количество испытуемых изделий. Для этого задаются определенной доверительной вероятностью ? и возможной относительной ошибкой ??.
В условиях производства при испытании на надежность в большинстве случаев задаются доверительной вероятностью ?=0,80…0,95 и величиной относительной ошибки ??=10…20%. Количество объектов испытания определяется в соответствии с принятым законом распределения.
При использовании закона нормального распределения, если обе части уравнения 1.34 разделить на среднее значение показателя надежности , получим:
или .
Окончательно получим:
. (1.41)
Для определения объема испытаний N необходимо задаться величиной допустимой относительной ошибкой и для известной величины коэффициента вариации V определить значение с использование формулы 1.41, затем по таблице определить искомый объем информации N при заданной доверительной вероятности ?.
В нашем случае относительная ошибка ?20% (0,20), доверительная вероятность ?.=0,95, коэффициент вариации V=0,42. Подставляя данные в формулу 1.41 получим
.
По таблице для ?.=0,95 N=20.
При использовании закона распределения Вейбулла пользуются уравнением:
, (1.42)
где в – параметр распределения Вейбулла.
По значению q, при известной доверительной вероятности по таблице определяется количество испытуемых объектов.
Для V = 0,42; в=2,5 получим
По таблицам для ?=0,95 находим N=17.
2 Методы обработки усеченной информации
Проводить ресурсные испытания тракторов и автомобилей, обладающих достаточно высокой долговечностью, до получения показателей долговечности у всех объектов практически невозможно. Это требует очень длительного времени их испытаний. Поэтому, при сборе информации по показателям долговечности таких машин, испытания ведут до определенной наработки «Т». При этом длительность испытаний выбирается таким образом, чтобы получить показатели надежности не менее чем у 50% изделий.
Полученная при таких испытаниях информация называется усеченной.
В случае усеченной информации получить характеристики распределения (и ?) изложенным выше методом невозможно. Эту задачу можно решить графическим методом обработки статистической информации с помощью вероятностной бумаги.
2.1 Вероятностная бумага закона нормального распределения
Порядок пользования вероятностной бумагой закона нормального распределения следующий:
1. На листе бумаги наносят прямоугольные оси координат.
2. На график наносят 6…7 опытных точек, равномерно расположенных в сводной таблице исходной информации (вариационном ряду). При этом координаты точек определяют по уравнениям:
, (2.1)
где МХ – масштаб по оси Х;
ti – значение показателя надежности i–й точки.
, (2.2)
где МУ – масштаб по оси «у» (принимается = 50 мм/ед.квантили);
НК – нормированная квантиль нормального закона распределения определяется по таблице для накопленной опытной вероятности рассматриваемой точки информации ;
«+» — если «-» — если
Накопленная опытная вероятность рассматриваемой точки информации определяется по формуле:
, (2.3)
где – порядковый номер i–ой точки вариационного ряда
статистической информации;
N – объем информации.
3. Нанести опытные точки на график и через них провести прямую линию таким образом, чтобы точки были максимально приближены к этой прямой
4. Определяем и ?. Для этого через координату «у» = 116,5 мм, что соответствует , провести прямую, параллельную оси «х» до пересечения с графиком. Абсцисс точки графика, соответствующая , равна . Для определения ? через координату «у» = 66,6 мм, что соответствует , провести прямую, параллельную оси «х», до пересечения с графиком. Разность абсцисс точек соответствующих и равна среднеквадратическому отклонению случайной величины в соответствующем масштабе.
нашем случае для обработки возьмем точки 2, 4, 7, 9, 11, 13.
Примем МХ = 3 мм/ед.лог., тогда:
мм;
мм;
;
.
мм;
мм.
Результаты расчетов представлены в таблице 2.1
Таблица 2.1 Результаты расчетов для построения вероятностной бумаги ЗНР
Порядковый номер,
Значение показателя надежности, ti, мм
Х мм
Уi мм
2
6,09
18,27
1,126
60,2
4
6,22
18,66
0,675
82,75
7
6,28
18,84
0,151
88,35
9
6,36
19,08
0,151
124,05
11
6,41
19,23
0,468
13939
13
6,46
19,38
0,878
160,4
Вероятностная бумага ЗНР представлена на рисунке 2.1, из графика получим
,
2.2 Вероятностная бумага закона распределения Вейбулла
Порядок расчета по вероятностной бумаге следующий:
1. Из сводной таблицы взять 6…7 равномерно расположенных точек.
2. Определить координаты опытных точек по уравнениям:
, мм (2.4)
продолжение
–PAGE_BREAK–