Аберрации оптических систем

Министерствообразования
РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТКурсоваяработа
на тему;
«Аберрацииоптических систем»
Выполнил:студент 2-го
курса гр. 473
…………….
Проверил:Тюмень2009г.

Содержание
Введение
1. Хроматическая аберрация
2. Волновые и лучевые аберрации;функции аберраций
3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
3.1 Сферическая
3.2 Кома
3.3 Астигматизм и кривизна поля
3.4 Дисторсия
Список литературы

Введение
Аберрации оптическихсистем (от лат. Aberratio –уклонение), искажения, погрешности изображения, формулируемых оптическимисистемами. Аберрации оптических систем проявляются в том, что оптическиеизображения не вполне отчетливы, не точно соответствуют объектам, илиоказываются окрашенными. Наиболее распространены следующие виды аберраций оптическихсистем: сферическая – недостаток изображения, при котором испущенныеодной точкой объекта световые лучи, прошедшие вблизи оптической оси системы, илучи, прошедшие через отдаленные от оси части системы, не собираются в однуточку: кома – аберрация, возникающая при косом прохождении световыхлучей через оптическую систему. Если при прохождении оптической системысферическая световая волна деформируется так, что пучки лучей, исходящих изодной точки объекта, не пересекаются в одной точке, а располагаются в двухвзаимно перпендикулярных отрезках на некотором расстоянии друг от друга, тотакие пучки называются астигматическими, а сама эта аберрация – астигматизмом.Аберрация называемая дисторсией, приводит к нарушению геометрическогоподобия между объектом и его изображением. К аберрациям оптических системотносится также кривизна поля изображения.
Оптические системы могутобладать одновременно несколькими видами аберраций. Их устранение производят всоответствии с назначением системы; часто оно представляет собой труднуюзадачу. Перечисленные выше аберрации оптических систем называютсягеометрическими. Существует еще хроматическая аберрация, связанная сзависимостью показателя преломления оптических сред от длины волны света.

1. Хроматическаяаберрация
Если пучокнемонохроматического света падает на преломляющую поверхность, то онрасщепляется на несколько лучей, каждый из которых имеет определенную длинуволны. Поэтому, пересекая оптическую систему, лучи света с различными длинамиволн будут распространяться после первого преломления не вполне одинаковымипутями. В результате изображение окажется нерезким, и в этом случае говорят,что система обладает хроматической аберрацией.
/>
Рис. 1. Продольная ипоперечная хроматические аберрации.
Мы ограничимсярассмотрением точек и лучей, расположенных вблизи оси, т. е. предположим, чтодля каждой длины волны отображение подчиняется законам параксиальной оптики. Вэтом случае говорят о хроматической аберрации первого порядка, или о первичнойаберрации. Пусть /> и />— отображения точки Р вразличных длинах волн (рис. 1); тогда проекции />/> на направления, параллельное иперпендикулярное оси, определяют соответственно продольную и поперечнуюхроматические аберрации.
Рассмотрим изменение /> фокусного расстояния тонкой линзы взависимости от изменения показателя преломления />. Величина (n — 1)f для такойлинзы не зависит от длины волны. Следовательно

 /> (1)
Величина
/> (2)
/>
Рис.2. Типичные дисперсионные кривыедля стекла различных сортов
I – тяжелый флинт; II – тяжелыйбариевый крон;III – легкий флинт;IV – тяжелый крон; V – боросиликатный крон.
где />,/> и /> – показатели преломления,соответствующие линиям Фраунгофера F, D и C (/>4861 />, 5893 /> и 6563 />), служит грубой мерой дисперсиистекла и называется относительной дисперсией. Из (1) видно, что эта величинаПриблизительно равна расстоянию между красным и синим изображениями, деленномуна фокусное расстояние линзы. На рис. 2 показано изменение величин показателейпреломления с изменением длины волны для стекла нескольких сортов, обычноиспользуемых в оптических системах. Соответствующие значения /> лежат в пределах от 1/60 до 1/30.

/>
Рис.3. Ахроматический дуплет
Для получения изображенияхорошего качества необходимо, чтобы как монохроматические, так и хроматическиеаберрации были малы. Обычно выбирают некоторое компромиссное решение, посколькув общем случае невозможно устранить одновременно аберрации всех типов. Частооказывается достаточным избавиться от хроматической аберрации для двухвыбранных длин волн. Выбор этих длин волн зависит, естественно, от назначениятой или иной оптической системы; например, фотообъективы, в отличие отприборов, служащих для визуальных наблюдений, обычно «ахроматизируют» дляцветов, близких к синему концу спектра, так как обычная фотографическаяпластинка более чувствительна к синей области спектра, чем человеческий глаз.Конечно, ахроматизация для двух длин волн не устраняет полностью цветовуюошибку. Остающаяся хроматическая аберрации называется вторичным спектром.
Рассмотрим теперьусловия, при которых две тонкие линзы образуют комбинацию, свободную отхроматизма фокусного расстояния. Величина, обратная фокусному расстояниюкомбинации двух тонких линз, расположенных на расстоянии l друг отдруга, равна
/> (3)
Как мы видим, />, когда

 /> (4)
Если ахроматизация производится для линий C и F, то, используя (1)и (2) получим
/> (5)
Где /> и /> – относительные дисперсии обеих линз.
Один из методов уменьшения хроматической аберрации состоит виспользовании двух соприкасающихся тонких линз (рис.3), одна из которых сделанаиз крона, а вторая из флинта. В этом случае, поскольку l = 0, получим из (5)
/> (6)
или, используя (3),
/> , /> (7)
соотношения (7) дляданных сортов стекла и заданного фокусного расстояния /> однозначно определяют />, и />. Но />, и /> зависят от трех радиусов кривизны,следовательно, величину одного из них можно выбрать произвольно. Этадополнительная степень свободы позволяет иногда уменьшить до минимумасферическую аберрацию.
Другой способ созданииахроматической системы состоит в использовании двух гонких линз, изготовленныхиз одинакового стекла (/>), и расположенных друг от другана расстоянии, равном полусумме их фокусных расстояний, т. е.
/> (8)
Ахроматичность такойкомбинации линз следует непосредственно из (5).
В приборе, состоящем нанескольких частей, в общем случае нельзя одновременно устранить хроматизмположения и хроматизм увеличения, если это не сделано для каждой его части.Докажем последнее утверждение для случая двух центрированных тонких линз,разнесенных на расстояние l.
Отображение тонкой линзойявляется центральной проекцией из ее центра; следовательно (рис. 4),
/>
Рис.4.Ахроматизация системы из двух тонких линз
/>, /> (9)
Поскольку />, находим для увеличения
/> (10)

Если длина волныизменится, то величина /> останется той же, величина /> также будетпрежней, если допустить отсутствие хроматизма положения. Следовательно, условиеотсутствия хроматизма увеличения системы можно записать в виде
/> (11)
Так как />, />, то (11) удовлетворяется лишь при />, т.е. если каждая из этих линз ахроматизирована.

2.Волновые и лучевые аберрации, функции аберраций
Рассмотримвращательно-симметричную оптическую систему. Пусть />, /> и />, — точкипересечения луча, выходящего из точки предмета />,соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка иплоскостью параксиального изображения. Если /> – параксиальное изображение точки /> то вектор /> называетсяаберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 2.1).
/>
Рис. 2.1. Лучевая аберрация
Рис. 2.1. Плоскость предмета, плоскость изображения и плоскость зрачков.   Пусть W — волновой фронт, проходящий через центр /> выходного зрачка исвязанный с пучком, который формирует изображение и выходит из точки />. Если аберрации отсутствуют, то W совпадает со сферой S,центр которой лежит в точке параксиального изображения />, а сама она проходитчерез точку />, S называетсяопорной сферой Гаусса (рис. 2.2).
Пусть />и/> — точки пересечениялуча /> с опорной сферой иволновым фронтом W соответственно.

/>
Рис. 2.2.Волноваяи лучевая аберрации
Оптическую длину пути Ф = /> можно назвать аберрациейволнового элемента в точке Q илипросто волновой аберрацией и считать положительной, если /> и />, расположены по разныестороны от Q. В обычных приборахволновые аберрации достигают 40—50 длин волн, однако в приборах, используемыхдля более точных исследований (например, в астрономических телескопах илимикроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.
Выражения для волновой аберрации легко получить спомощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.
Если пользоваться для обозначения оптической длины путиквадратными скобками />, то
 
/> (1)
Здесь было использовано то обстоятельство, что точки /> и /> лежат на одном волновомфронте, т.е. />.
Введем две прямоугольные системы координат со взаимнопараллельными осями, начала которых находятся в осевых точках /> и /> плоскостей предмета и изображения, а оси Z совпадают с осью системы. Точки в пространстве предметабудут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения — вовторой. Z-координаты плоскостей, в которых лежат зрачки,обозначены через /> и />, (на рис 2.1 />).
Согласно (1) волновая аберрация выражается черезточечную характеристику V следующим образом:
/> (2)
где (/>) — координаты точки />, и (X,Y,Z) — координаты точки Q. Координаты (X,Y,Z) уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим,что точка Q лежит на опорной сфере, т. е,
/> (3)
Здесь
/> (4)
— координаты точки /> параксиального изображения, М — гауссово поперечное увеличение и R — радиус опорной сферы Гаусса
/>.(5)
Величину Z в выражении (2) можно исключить с помощыо (3), в результате чего Фстонет функцией только />, />, /> и />, т. е,
/>

Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций Ф (/>, />; X, Y) простыми соотношениями. Из (2) имеем
/> (6)
Если />, /> и /> — углы, которыеобразуют луч />, с осями, а (X, Y, Z) и (/>) — координаты точек /> и /> то, на рис. 2.2, получим
/> (7)
где
/> (8)
есть расстояние от /> до />, и />— показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3)имеем
/> (9)
Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевойаберрации
/> (10)

Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина
/>сама зависит от координат точки />, т. е. от лучевых аберраций. Тем не менее для большинства практическихцелей /> можно заменять на радиус опорной сферы Rили на другое приближенное выражение (см.ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Фзависит от четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: />, /> и />. В самом деле, если ввести в плоскостях XY полярныекоординаты, т. е. положить
/> (11)
то окажется, что Ф зависит только от />, />, /> и />, или, что то же самое, Ф зависит от />, />, /> и 0. Предположим теперь, что оси X и Y систем с началамив /> и /> поворачивается на один и тот же угол и в одном и том же направленииотносительно оси системы.
При этом />, />, /> не изменяются, а угол 0увеличивается на угол поворота. Поскольку функции Ф инвариантна относительнотаких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависиттолько от />, />, и />. Следовательно, функции аберраций Фявляется функцией трех скалярных произведений
/> (12)
двух векторов /> и />.
Отсюда вытекает, что приразложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени будутотсутствовать. Поскольку Ф (0, 0; 0, 0) = 0, то членов нулевой степенитоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно(10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, аэто противоречит тому, что />, является параксиальным изображениемточки />. Таким образом, наше разложениеимеет вид
/> (13)
где с — константа, а />— полином степени 2k по координатам исодержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что членстепени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшегопорядка (2k = — 4) обычно называются первичными аберрациями или аберрациямиЗайделя.
Для оценки порядкавеличин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр />. Этим параметром может служить любаявеличина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можнодопустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осьюуглы О(/>), где символ О(/>) означает, что величина угла порядка/>.
Оценим погрешность,возникающую при замене /> в основном уравнении (10) навеличины, не зависящие от /> и />. Из (3) и (5) имеем
/> (14)
тогда вместо (8) можемнаписать

/>(15)
Соотношения (10) длякомпонент лучевой аберрации принимают вид
/> (16)
/> (17)

3. Первичные аберрации(аберрации Зайделя)
Используя рассуждения,совершенно аналогичные тем, которые относились к функции аберраций, можнопоказать, что разложение в степенной ряд возмущенного эйконала Шварцшильдаимеет в силу симметрии задачи следующий вид:
/> (1)
Где /> — полином степени 2k по четырем переменным; более того,эти переменные входят только в трех комбинациях:
/> (2)
В соотношении (1)отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречилобы тому, что, />, />, /> и /> в приближении параксиальной оптики.
Поскольку переменныевходят только в комбинациях (2), член /> должен иметь вид
/>, (3)
где А, В,… —постоянные. Знаки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения длялучевых аберраций в этом случае принимают простой вид.
Конечно, разложение встепенной ряд функции /> имеет такой же вид, как и (1), нооно не содержит члена нулевого порядка (/>), и главный член /> отличается от /> тем, что в нем отсутствует слагаемое/>. Таким образом, общее выражение дляволновой аберрации наинизшего (четвертого) порядка записывается следующимобразом:
/>. (4)
где В, С,. — те жекоэффициенты, что и в (3).
Общее выражение длякомпонент лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде
/> (5)
Коэффициент А не входит ввыражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшегопорядка, характеризуемых пятью коэффициентами В, С, D, E и F. Как указывалосьвыше, эти аберрации называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
При исследованииаберраций Зайделя удобно выбрать оси таким образом, чтобы плоскость yzпроходила через точку предмета; тогда />. Если затем ввести полярныекоординаты
/>, (6)
то (4) примет вид

/>, (7)
а (5) — вид
/> (8)
В частном случаеравенства нулю всех коэффициентов в (7) волновой фронт, проходящий черезвыходной зрачок совпадает (в рассматриваемом приближении) с опорной сферойГаусса (см. рис. 2.2). В общем случае эти коэффициенты отличны от нуля. Тогдакаждый член в (7) описывает определенный тип отклонения мы нового фронта отправильной сферической формы; на рис. 3.1 показаны пять различных типоваберраций.
Важность лучевыхаберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрироватьграфически с помощью так называемых аберрационных (или характеристических)кривых. Эти кривые являются геометрическим местом точек пересечения лучей,выходящих из фиксированной зоны />=const выходного зрачка, с плоскостьюизображения. Тогда поверхность, образованная аберрационными кривыми.соответствующими всем возможным значениям />, представляет собой неидеальноеизображение.
/>
Рис.3.1 Первичныеволновые аберрации.

А) сферическая. Б) кома.В) астигматизм. Г) кривизна поля. Д) дисторсия
Рассмотрим отдельнокаждую из аберраций Зайделя
 
3.1 Сферическаяаберрация (/>)
Если все коэффициенты, заисключением В, равны нулю, то (8) принимает вид
/>. (9)
Аберрационные кривые вэтом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположеныв точке параксиального изображения, а радиусы пропорциональны третьей степенирадиуса зоны />, но не зависят от положения (/>) предмета в зоне зрения. Такойдефект изображения называется сферической аберрацией.
Рис.3.2. Сферическая аберрация.   />
Сферическая аберрация,будучи независимой от /> искажает как осевые, так и внеосевыеточки изображения. Лучи, выходящие из осевой точки предмета и составляющиесущественные углы с осью, пересекут её в точках, лежащих перед параксиальнымфокусом или за ним (рис. 5.4). Точка, в которой пересекаются с осью лучи открая диафрагмы, назывался краевым фокусом. Если экран в области изображенияпомещен под прямым углом к оси, то существует такое положение экрана, прикотором круглое пятно изображения на нем минимально; это минимальное«изображение» называется наименьшим кружком рассеяния.
 
3.2 Кома (/>)
Аберрация,характеризующаяся отличным от нуля коэффициентом F, называется комой.Компоненты лучевой аберрации в этом случае имеют, согласно (8). вид
/> (10)
Рис.3.3. Кома.   />
Как мы видим, прификсированных /> и радиусе зоны /> точка />, (см. рис. 2.1) при изменении /> от 0 до /> дважды описывает в плоскостиизображения окружность. Радиус окружности равен />, а её центр находится на расстоянии /> от параксиального фокуса в сторону отрицательныхзначений у. Следовательно, эта окружность касается двух прямых,проходящих через параксиальное изображение />, и составляющих с осью у углыв 30°. Если /> прибегает все возможные значения, тосовокупность подобных окружностей образует область, ограниченную отрезками этихпрямых и дугой наибольшей аберрационной окружности (рис. 3.3). Размерыполучающейся области линейно возрастают с увеличением расстояния точки предметаот оси системы. При выполнении условия синусов Аббе система дает резкоеизображение элемента плоскости предмета, расположенного в непосредственнойблизости от оси. Следовательно, в этом случае разложение функции аберрации неможет содержать члены, линейно зависящие от />. Отсюда вытекает, что если условиесинусов выполняется, первичная кома отсутствует.
 
3.3 Астигматизм (/>) и кривизна поля (/>)
Аберрации, характеризующиесякоэффициентами С и D, удобнее рассматривать совместно. Если все остальныекоэффициенты в (8) равны нулю, то
/>. (11)
Чтобы продемонстрироватьважность таких аберраций, предположим вначале, что пучок, формирующийизображение, очень узок. Согласно § 4.6 лучи такого пучка пересекают двакоротких отрезка кривых, одна из которых (тангенциальная фокальная линия)ортогональна меридиональной плоскости, а другая (сагиттальная фокальная линия)лежит в этой плоскости. Рассмотрим теперь свет, исходящий от всех точекконечной области плоскости предмета. Фокальные линии в пространстве изображенияперейдут в тангенциальную и сагиттальную фокальные поверхности. В первомприближении эти поверхности можно считать сферами. Пусть /> и />— их радиусы, которые считаютсяположительными, если соответствующие центры кривизны расположены по ту сторонуот плоскости изображения, откуда распространяется свет (в случае, изображенномна рис. 3.4. />и />).
Радиусы кривизны можновыразить через коэффициенты С и D. Для этого при вычислении лучевых аберраций с учетомкривизны удобнее использовать обычные координаты, а не переменные Зайделя.Имеем (рис. 3.5)
/> (12)
где u — малое по величине расстояние междусагиттальной фокальной линией и плоскостью изображении. Если v — расстояние от этой фокальной линиидо оси, то
/>
Если считать u величиной первого порядка малости,то v можно заменить на />, а в последнем уравнении отбросить />; тогда
Рис. 3.4. Тангенциальная и сагиттальная фокальные поверхности    />/>
Рис. 3.5. Астигматизм и кривизна поля.  

/> (13)
если еще пренебречь ипо сравнению с />, то из (12) находим
/> (14)
Аналогично
/> (15)
Запишем теперь этисоотношения через переменные Зайделя. Подставляя в них (2.6) и (2.8), получим
/> 
или
/> (16)
и аналогично
/> (17)
В последних двухсоотношениях /> можно заменить на /> и тогда, используя (11) и (6), получим

/> (18)
Величину 2С + Dобычно называют тангенциальной кривизной поля, величину D — сагиттальнойкривизной поля, а их полусумму
/> (19)
которая пропорциональнаих среднему арифметическому значению,— просто кривизной поля.
Из (13) и (18) следует,что на высоте /> от оси расстояние между двумяфокальными поверхностями (т.е. астигматическая разность пучка, формирующегоизображение) равно
/> (20)
Полуразность
/> (21)
называется астигматизмом.В отсутствие астигматизма (С = 0) имеем />. Радиус R общей, совпадающей,фокальной поверхности можно в этом случае вычислить с помощью простой формулы,в которую входят радиусы кривизны отдельных поверхностей системы и показателипреломления всех сред.
 

3.4 Дисторсия (/>)
Если в соотношениях (8)отличен от нуля лишь коэффициент Е, то
/> (22)
Поскольку сюда не входяткоординаты /> и />, отображение получитсястигматическим и не будет зависеть от радиуса выходного зрачка; однако расстоянияточек изображения до оси не будут пропорциональны соответствующим расстояниямдля точек предмета. Эта аберрация называется дисторсией.
При наличии такойаберрации изображение любой прямой в плоскости предмета, проходящей через ось,будет прямой линией, но изображение любой другой прямой будет искривленным. Нарис. 3.6, а показан предмет в виде сетки прямых, параллельных осям х и уи расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Рис. 3.6. биллюстрирует так называемую бочкообразную дисторсию (Е>0), арис. 3.6. в — подушкообразную дисторсию (Е).
 />
Рис. 3.6. Дисторсия А)предмет. Б) бочкообразная.  В) подушкообразная

Ранее указывалось, что изпяти аберраций Зайделя три (сферическая, кома и астигматизм) нарушают резкостьизображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение иформу. В общем случае невозможно сконструировать систему, свободную как от всехпервичных аберраций, так и от аберраций более высокого порядка; поэтому всегдаприходится искать какое-то подходящее компромиссное решение, учитывающее ихотносительные величины. В некоторых случаях аберрации Зайделя можно существенноуменьшить за счет аберраций более высокого порядка. В других случаях необходимополностью уничтожить некоторые аберрации, несмотря на то, что при этомпоявляются аберрации других типов. Например, в телескопах должна быть полностьюустранена кома, потому что при наличии ее, изображение будет несимметричным ивсе прецизионные астрономические измерения положения потеряют смысл. С другойстороны, наличие некоторой кривизны поля идисторсии относительнобезвредно, поскольку от них можно избавиться с помощью соответствующихвычислений.
оптическийаберрация хроматический астигматизм дисторсия

Список литературы:
1. Савельев И.В.Курс общей физики, т.3, оптика, атомная физика.
2. Ландсберг Г. С.Оптика.
3. Сивухин Д. В.Общий курс физики, т.4, оптика.
4. Борн М., Вольф Э.Основы оптики
5. Физическийэнциклопедический словарь, под ред. А. М. Прохорова.