Аффинные преобразования

ГлаваI.Понятие о геометрическомпреобразовании
1.1Что такое геометрическое преобразование?
Осеваясимметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеютто общее, что все они „преобразуют” каждую фигуру Fвнекоторую новую фигуру F1.Поэтомуих называют геометрическими преобразованиями.
 Вообще,геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждойточки А на плоскости указать новую точку A’,в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если наплоскости задана какая-либо фигура F,томножество всех точек, в которые переходят тонки фигуры Fприрассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F.,Вэтом случае говорят, что F’получается из F при помощирассматриваемого преобразования.
Пример.Симметрия относительно прямой lявляется геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке Aнайти соответствующую ей точку А’, в этом случае заключается в следующем: източки А опускается перпендикуляр АР на прямую lина его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА’=АР.
Сложениегеометрических преобразований
Предположим,что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем„первым”, а другое — „вторым”. Возьмем на плоскости произвольнуюточку А и обозначим через А’ ту точку, в которую переходит А при первомпреобразовании. В свою очередь точка А’ переводится вторым преобразованием внекоторую новую точку А”. Иначе говоря, точка А” получается из точки Апри помощи последовательного применения двух преобразований — сначала первого,а затем второго.
Результатпоследовательного выполнения взятых двух преобразований также представляетсобой геометрическое преобразование: оно переводит точку А в точку А”. Это„результирующее” преобразование называется суммой первого и второго рассмотренныхпреобразований.
Пустьна плоскости задана какая-либо фигура F.Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F’.Вторым преобразованием эта фигура F’переводитсяв некоторую новую фигуру F”.Суммаже первого и второго преобразований сразу переводит фигуру Fвфигуру F”.
Пример.Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки О1а второе преобразование — симметрию относительно другой точки О2. Найдем суммуэтих двух преобразований.
ПустьА — произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка Aне лежит на прямой O1O2.Обозначим через А’ точку, симметричную точке А относительно О1, а через A”— точку, симметричную точке A’относительно О2. Так как О1O2— средняялиния треугольника АА’А” то отрезок АА” параллелен отрезку О1O2и имеет вдвое большую длину. Направление от точки А к точке А” совпадает снаправлением от точки
/>/>/>/>О1к точке О2. Обозначим теперь через МNтакойвектор, что отрезки MNиO1 O2параллельны, отрезок МNвдва раза длиннее отрезка O1О2илучи МNиO1O2имеют одно и то же направление. Тогда АА” = МN,т.е. точка А” получается из точки А параллельным переносом на вектор МN.
Тоже справедливо и для точки, лежащей на прямой O1О2.
Окончательномы получаем: сумма симметрии относительно точки O1и симметрии относительно точки O2представляет собой параллельный, перенос.
1.2Движения
Осеваясимметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный переносимеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F наплоскости в равную ей фигуру F’. Преобразования, обладающие этим свойством,называются движениями. Гомотетия представляет собой пример преобразования, неявляющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равнуюей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия жеизменяет и размеры фигур.
Рольдвижений в геометрии
Движенияиграют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ниразмеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своимрасположением на плоскости, с точки зрения геометрии совершенно одинаковы.Именно поэтому их и называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свойствогеометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ейфигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны,но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной иописанной окружностей и так далее.
Науроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можносовместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигурычасто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что,например, задача построения треугольника по двум сторонам а, bизаключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле,конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и bи заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много.Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за«один» треугольник.
Такимобразом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур.Такие свойства можно назвать «геометрическими свойствами». Другими словами:геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры,отличающиеся только расположением (равные фигуры), — это те, которые можносовместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему определению предметагеометрии; геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются придвижениях.
Движенияв геометрии и физике
Итак,понятие движения играет в геометрии первостепенную роль. Движения («наложения»)использовались в VI классе для определения равных фигур, для доказательствапризнаков равенства треугольников; понятие движения, как мы видели выше,позволяет также дать описание предмета геометрии.
Междутем в определениях понятия равенства фигур и понятия движения имеется пробел. Всамом деле, равные фигуры определялись (в VI классе) как такие фигуры, которыемогут быть совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были определенывыше как такие преобразования, которые переводят два многоугольника F1и F таковы,что существует многоугольник F’,гомотетичныйF иравный F1,то углы многоугольника Fсоответственноравны углам многоугольника F’истороны многоугольника Fсоответственно,пропорциональны сторонам многоугольника F’.Но у многоугольника F теже самые углы и стороны, что и у равного ему многоугольника F1.Следовательно,многоугольники F1иF подобны в том смысле, в каком этопонималось в курсе геометрии VIII класса.
Обратно,пусть многоугольники F1иF таковы, что их углы соответственноравны и стороны соответственно пропорциональны. Отношение сторон многоугольникаF1 к соответствующим сторонаммногоугольника Fобозначимчерез k. Далее, обозначимчерез F’ многоугольник,получающийся из Fгомотетиейс коэффициентом k (и каким угодноцентром гомотетии. В таком случае в силу теоремы многоугольники F’иF1 будут иметь соответственно равныестороны и углы, т. е. эти многоугольники будут равны. Поэтому многоугольники F1и F будутподобны и в смысле приведенного здесь определения подобия.

ГлаваII.Аффинные преобразования
2.1Аффинные преобразования плоскости
Аффиннымпреобразованием α называется такое преобразование плоскости, котороевсякую прямую переводит в прямую и сохраняет отношение, в котором точка делитотрезок.
На рис.1: L’=α(L),A’=α(A),B’=α(B),C’=α(C),/>|
/>
рис. 1
Преобразования — движение и подобие — являются частными случаями аффинных, так как в силусвойств движения и подобия для них выполнены все требования определенияаффинных преобразований.
Приведемпример аффинного преобразования, не сводящегося к ранее рассмотренным. С этойцелью сначала рассмотрим параллельное проектирование плоскости на плоскость.
Пустьданы плоскости: w и w1прямаяl (направлениепроектирования), не параллельная ни одной из этих плоскостей (рис.2). Точка Аєwназывается проекцией точки А1єw1,еслиАА1||l, то прямая АА1называетсяпроектирующей прямой. Параллельное проектирование представляет собой отображениеплоскости w1 на w.
/>
рис.2
Отметимследующие свойства параллельного проектирования.
1) Образомвсякой прямой а1 является прямая.
Всамом деле, прямые, проектирующие точки прямой а1, образуют плоскость (онапроходит через а1 параллельно l),которая при пересечении с wдаетобраз прямой а1 – прямую а(рис.2).
2) Отношение,в котором точка делит отрезок, сохраняется, т.е.
/> (рис.2)
Сразуследует из теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми.
Перейдемнепосредственно к построению примера аффинного преобразования.
Возьмемдва экземпляра плоскости wи один из них переместим в другое положение w1(рис.3).Новое положение какой-либо точки Аєwобозначим А1єw1.Теперьплоскость w1 спроектируемв каком-нибудь положении на w,проекцию точки А1 обозначим А’.
Получилосьпреобразование плоскости wна себя, при котором />. В силу симметричных свойствпараллельного проектирования для данного преобразования выполняются обатребования определенного аффинного преобразования, следовательно, построенноесейчас преобразование –перспективно- аффинное.
/>
рис.3
3)Основнаятеорема. Каковы бы ни были 2 аффинных репера /> и />, существует единственное аффинноепреобразование, которое первый переводит во второй.
Существование.Рассмотрим преобразование а, которое произвольную точку А, имеющую в репере Rкоординаты (х, у), переводит в точку А’, имеющую в репере R’те же координаты (рис.4). Очевидно, что а(R)=R’.Покажем, что а — аффинное преобразование.

/>
рис.4
Образомпрямой l, имеющей в репере Rуравнение ах+ву+с=0, будет линия l’,которая в R’ имеет то же самоеуравнение. Значит, l’- прямая(рис.5).Следовательно, образом произвольной прямой является прямая.
/>
рис.5
Пустьтеперь точка С(х, у) делит отрезок, соединяющий точки А(х1, у1), В(х2, у2) вотношении
/>
Атак как образы этих точек- А’, В’, С’ имеют те же координаты(в другой системе),то /> и,следовательно, />
Итакдля преобразования α выполнены оба требования определения, значит α-аффинное преобразование.
Единственностьдоказательства от противного. Пусть существует два аффинных преобразованияα1 и α2, при которых />. Тогда найдется такая точка А,что />, где />(рис.6).Обозначим через К точку пересечения прямых ОА и Е1Е2(если эти прямыепараллельны, то надо взять Е1А, ОЕ2, если и эти прямые параллельны, надо взятьЕ2А и ОЕ1). Так как />, то образом точки К будет точкаК’1-точка пересечения прямых />. В силу определения аффинногопреобразования: />
Аналогичнодля преобразования α2. />
Такимобразом />
/>
рис.6
Первоеиз этих равенств показывает, что точки К’1 и К’2 совпадают, а тогда из второгоследует А’1=А’2, что противоречит А. Полученное противоречие доказываеттеорему.
Основнуютеорему можно сформулировать иначе: каковы бы ни были два треугольника,существует единственное аффинное преобразование, переводящее один в другой.
Доказаннаяосновная теорема делает понятие аффинного преобразования конструктивным.Аффинное преобразование задается парой произвольных аффинных реперов.
4)Уравненияаффинного преобразования получаются из основной теоремы и формул преобразованияаффинных координат точно так же, как и уравнения движения и подобия. Пусть даныдва репера /> и/>(рис. 7).
рис.7
/>
/>
O'(c1,c2),/>
OM’=OO’+O’M’
/>
получаютсяуравнения:
/> />
Этиуравнения записаны в аффинной системе координат. В частности они действуют и впрямоугольных декартовых координатах.
2.2Свойства аффинного преобразования
1. Образомпараллельных прямых являются параллельные прямые.
Доказательствоот противного. Предположим, что образом параллельных прямых lи m являются пересекающиеся в точке А’прямые l’ и m'(рис.8).В силу взаимной однозначности преобразования точка имеет прообраз, которыйобозначим А. Но так как А’єl’,то Аєl. Аналогично Аєm.Это противоречит параллельности прямых lи m.
/>
рис.8
2.Приаффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных наодной прямой: /> (рис.9)
Всамом деле, по определению аффинного преобразования:
/>.

/>
рис.9
3.Приаффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков.
Дано:АВ||СD. По свойству 2 будеттакже А’В’||С’D'(рис.10)
Надодоказать: />
/>
рис.10
Длядоказательства проведем АС, затем DL||AC.Построим также А’С’ и D’L’||A’C’.По свойству 2 прямая DLпереходит в D’L’и значит, />.Теперь по определению: />. Но AL=CD,A’L’=C’L’,поэтому отсюда сразу получается требуемое.
4.Приаффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков, вообще говоря,не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой.Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии,медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину.
5.При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапецияв трапецию.
2.3Эквивалентные фигуры
Аналогичнопонятию равенства и подобия фигур вводится понятие их аффинной эквивалентности.
ФигураF1 называется аффинно эквивалентнойфигуре F2, если F1можно аффинным преобразованием перевести в F2.
Корректностьэтого определения вытекает из того, что аффинные преобразования образуют группуи, следовательно, введенная здесь аффинная эквивалентность обладаеттранзитивностью, рефлексивностью, симметричностью.
Отметимнекоторые классы аффинно эквивалентных фигур.
1).Все треугольники аффинно эквивалентны (следует из основной теоремы).
2).Все параллелограммы аффинно эквивалентны.
3).Для аффинной эквивалентности трапеций необходимо и достаточно, чтобы ихоснования были пропорциональны.
2.4 Перспективно-аффинноесоответствие двух плоскостей
Предположим,что две плоскости w и w’ пересекаются по линии хх(черт. 1). Зададим какую-нибудь прямую l,пересекающую обе плоскости. Отметим на плоскости wпроизвольную точку Аи спроектируем ее на плоскость w’, проводя через Апрямую, параллельную l. Пустьпроектирующая прямая пересечет плоскость w’ в точке А’.Точку А’можно рассматривать как проекцию точки А на плоскость w’. Такая проекция называется параллельной и определяетсязаданием прямой l.
Из самогопостроения проекцииА’ точки Авидно, что в свою очередь точку А можно рассматривать как проекциюточки А’ на плоскостьw. Таким образом, параллельнаяпроекция представляет собой аппарат, имеющий совершенно одинаковое значение поотношению к обеим плоскостям w и w’. Она относиткаждой точке (А) первойплоскости вполне определенную точку (А’)второй, и обратно. Мы получаем попарное соответствие точекплоскостей w и w’. Это соответствие является взаимно однозначным, т. е. каждойточке одной плоскости соответствует единственная точка второй, и обратно.
Соответствиеплоскостей w и w’, установленное с помощью параллельной проекции, называетсяперспективно- аффинным или родственным.
Еслирассматривают процесс перехода от одной из данных плоскостей (например, w) к другойплоскости (w’), при котором каждая точка (А) одной плоскости (w) переходитв соответствующую точку (А’)другой плоскости (w’), какодносторонний, то его называют преобразованием плоскости (w ) в плоскость (w’)- В этом случае точку А называют прообразом, а точку А’ — ее образом.
Проектируяпараллельно плоскость w наплоскость w’, производим перспективно-аффинноепреобразование плоскости w в плоскостьw’ .
Можно такжесовокупность всех точек плоскости w называтьполем точек w и говоритьо преобразовании поля точек w в полеточек w’.
Поставимсебе задачу изучить свойства перспективно-аффинного соответствия плоскостей.
Займемся,прежде всего, вопросом о двойных, или неподвижных, точках нашего соответствия,т. е. о таких точках, которые совпадают со своими соответственными точками. Так как каждая двойная точка должнапринадлежать как одной, так и другой плоскости, то они должны лежать на линиипересечения хх плоскостей w и w’. С другой стороны, очевидно, что каждая точка прямой хх есть двойная, так как она сама себесоответствует. Прямая называется осью соответствия. Согласно предыдущему осьсоответствия может быть определена как геометрическое место двойных точек.
Рассмотримдалее какую-нибудь прямую АВна плоскости w (черт. 1).Параллельная проекция этой прямой на плоскость w’ есть прямаяА’В’. Причем обе прямые либо пересекаются на оси хх, либо обе параллельны оси.
Такимобразом, прямой линии на одной плоскости соответствует прямая же линия надругой. Это свойство перспективно-аффинного соответствия называютколлинеарностью. В силу самого определения параллельной проекции фигуры какгеометрического места проекций всех точек этой фигуры каждой точке, лежащей напрямой, всегда соответствует точка, лежащая на соответственной прямой. Поэтомувзаимопринадлежность точки и прямой на одной плоскости влечет за собойвзаимопринадлежность соответственных элементов на второй.
2. Следующее свойство перспективно-аффинного соответствиякасается так называемого простого отношения трех точек прямой.
Рассмотримтри точки А, В, С, лежащие на одной прямой (черт 1). Простое отношение точек А, В, С определяется формулой:
геометрическийпреобразование аффинный соответствие
/>
В этойформуле точки А и В считаются основными (или базисными),а точка С- делящей. Простоеотношение (ABC)представляет собой отношение длин тех отрезков, которыеделящая точка образует с основными. Если точка С лежит вне отрезка А В,то оба отрезка АСи ВСодинаково направлены, и поэтому в этом случае простоеотношение (ABC)положительно. В случае, когда делящая точка С находится между А и В, простое отношение (ABC) отрицательно.
На чертеже 1 видно, что точкам А, В, С плоскости wсоответствуют точки А’,В’, С’ плоскости w’. Так как проектирующиепрямые АА’, ВВ’, СС’ параллельны,то будем иметь:
/>
или(ABC) = (А’В’С’).
Мы приходимк выводу, что в перспективно-аффинном соответствии простое отношение трех точек прямой одной плоскостивсегда равно простому отношению трех соответственных точек другой.
3. Преждечем перейти к рассмотрению дальнейших свойств перспективно-аффинногосоответствия, остановимся на вопросе о возможном расположении соответственныхплоскостей w и w’ в пространстве.
До сих пормы предполагали эти плоскости несовпадающими и пересекающимися по линии хх с той целью, чтобы посредствомпараллельного проектирования установить рассмотренное вышеперспективно-аффинное соответствие. После того как такое соответствиеустановлено, можно было бы привести обе плоскости в совпадение, вращаякакую-либо одну из них вокруг оси хх.При этом все геометрические образы, находящиеся в той идругой плоскости, не подвергаются никакому изменению. Следовательно, как влюбой момент вращения плоскости, так и при ее совмещении со второй плоскостьюустановленное ранее перспективно-аффинное соответствие не нарушается.
Прямые,соединяющие соответственные точки, как АА’,ВВ’, СС’,…, остаются параллельными при любом положении вращающейсяплоскости, а также и после ее совмещения с неподвижной плоскостью. Это видно изтого, что каждые две из упомянутых прямых (например, АА’ и ВВ’) всегда лежат в одной плоскости,определяемой парой пересекающихся прямых (АВ и А’В’), и отсекают на сторонах углапропорциональные отрезки, так как (АВХ)= (А’В’Х). При совмещении плоскостей w и w’ проектирующие прямые (АА’, ВВ’,…) окажутся лежащими в плоскости,образовавшейся из двух совпавших плоскостей w и w’ (черт. 2).
Для нас особенно интересен случайсовмещенного положения плоскостей так как в этом случае мы можем пользоватьсяплоским чертежом, изображающим установленное соответствие без искажения.
В случаесовмещения каждую точку (двойной) плоскости можно рассматривать как принадлежащуюплоскости w или w’ и обозначать ее в зависимости от этого большой буквой безштриха или со штрихом. Таким образом, мы имеем преобразование плоскости в себя,причем ее начальное состояние (плоскость до преобразования) обозначается буквойw, а новое состояние (плоскость послепреобразования) — буквой w’.
Заметим, чтопосле совмещения плоскостей ось соответствия хх перестает быть линией пересеченияданных плоскостей, но за ней сохраняется второе определение как геометрическогоместа двойных, или неподвижных, точек.
4.Теперь мымогли бы отказаться от пространственного аппарата (параллельной проекции),послужившего нам для установления перспективно-аффинного соответствия двухплоскостей, и определить последнее для двойной плоскости, не выходя в пространство.С этой целью докажем следующее предположение: Перспективно-аффинное преобразование плоскости в себявполне определяется осью (хх) и парой соответственных точек (А, А’).
Доказательство.Пусть даны ось хх и парасоответственных точек (АА’)перспективно-аффинного преобразования (черт. 3). Докажем, что для любой точки В плоскости можно построить вполнеопределенную и единственную соответственную точку В’.
Проведемпрямую АВ. Пусть X-точка ее пересечения с осью хх.Так как точка Xсама себе соответствует (как лежащая на оси), то прямой АХ соответствует прямая А’X. Наконец, точка В’ должна лежать на прямой А’Х и проектирующей прямой ВВ’, параллельной А А’. Это позволяет построить искомую точку В’. Таким образом, данных оказалось достаточно, и соответственная точка В’ представляет единственное решение.
Заметим, что перспективно-аффинное соответствие будет действительнореализовано, так как указанная конструкция не может привести к противоречию. Это легко проверить, сведя построение к аппарату параллельной проекции.
В самом деле, если перегнем чертеж 3 по линии хх так, чтобыплоскости w и w’ образовали двугранный угол, то всепроектирующие прямые (прямые, соединяющие соответственные точки, например ВВ’) окажутсяпараллельными прямой АА'(в силу пропорциональности отрезков).Следовательно, построенное нами соответствие можно рассматривать как результатпараллельной проекции.
Примечание. Если бы на чертеже 3 мы отнесли точку Вк плоскости w’, обозначив ее через С’, то построение соответственной точки привело бы нас к точке С, которая, как видно из чертежа 3, не всегда совпадает с В’.Можно доказать, что необходимое идостаточное условие такого совпадения, т. е. независимости перспективно-аффинного соответствия от того, отнесенали точка к той или другойплоскости, заключается в делении отрезка А А’ пополам в точкепересечения его с осью хх.
Следовательно, в этом случае соответствие является косой или прямойсимметрией (относительно оси хх).
5. В дальнейшем исследовании перспективно-аффинного соответствия мыбудем опираться на установленные выше свойства: 1) коллинеарность и 2)равенство простых отношений троек соответственных точек.
Заметим, что в перспективно-аффинных преобразованиях эти свойствавыражают неизменность, или инвариантность, понятия прямой линии и понятияпростого отношения трех точек прямой.
Из этих свойств можно вывести целый ряд других «инвариантов»перспективно-аффинного преобразования, которые, таким образом, уже не являютсянезависимыми. Докажем прежде всего инвариантность параллелизма прямых. Предположим, что на плоскостиw имеем двепрямые а и b, которым наплоскости w’соответствуют прямые а’и b’. Предположим, что прямые а и b параллельны (а || b).Докажем, что а’||b’. Применим доказательство «отпротивного». Предположим, что прямые а’ и b’пересекаются, и обозначим точку пересечения буквой М’ (черт. 4). Тогда в силу взаимнооднозначного соответствия плоскостей w и w’ точке М’ плоскости w’соответствует точка Мна плоскости w. Точка М должна принадлежать как прямой а, таки прямой b. Следовательно, М есть точка пересечения прямых а и b.Таким образом, приходим к противоречию. Предположение, чтопрямые а’ и b’пересекаются, невозможно. Поэтому а’ || b’.
Такимобразом, параллелизм прямых есть инвариантное свойство перспективно-аффинногопреобразования.
Далеерассмотрим отношение двух параллельных отрезков. Пусть на плоскости w имеем дваотрезка АВ и СD(черт. 5) и пусть АВ|| СD.Им соответствуют на плоскости w’ два такжепараллельных отрезка: А’В’\\ С’D’.
Соединим В с D и проведем через С прямую СF|| DВ. На плоскости w’ прямой СFбудет соответствовать прямая С’F’ \\D’В’ (в силуинвариантности параллелизма) и, следовательно, точке F будет соответствовать точка F’. Зная,что простое отношение трех точек инвариантно, можем написать:
/>
Такимобразом, приходим к равенству:
/>
Последнеепоказывает, что отношение двухпараллельных отрезков есть инвариант перспективно-аффинного соответствия.
Если отрезкиАВ и СDлежат на одной прямой (черт. 6), то их отношение также инвариантно в перспективно-аффинномсоответствии. В самом деле, пусть РQ-произвольныйотрезок, параллельный прямой АВ.Тогда имеем:
/>
6. Переходимк рассмотрению площадей соответственных фигур. Докажем следующую лемму: Расстояния двух соответственных точек (А, А’) до осисоответствия (хх) находятся в постоянном отношении, не зависящем от выбора парысоответственных точек. Доказательство.Предположим, что точкам А и В соответствуют точки А’ и В’ (черт. 7). Опуская из этих точекперпендикуляры на ось хх, получим расстояния их до оси.Расстояния будем всегда рассматривать положительными независимо от направленияперпендикуляров.
Можемнаписать:
/>
Но как видноиз чертежа:
/>
Полученноеравенство и доказывает формулированную выше лемму.
Обозначим постоянноеотношение расстояний соответственных точек через к. Докажем следующую теорему.
Отношение площадей двух соответственных треугольниковпостоянно и равно к.
Доказательствотеоремы распадается на следующие случаи:
1.Треугольникиимеют общую сторону на оси хх.
Такие треугольники представлены на чертеже 8. Отношениеих площадей выразится следующим образом:
/>
2. Треугольники имеют общую вершину наоси хх.
Таковы дватреугольника на чертеже 9. Соответственныестороны ВС и В’С’ этих треугольников должныпересекаться на оси хх(в точке X).Рассматриваемый случай сводится к предыдущему. В самом деле,на основании предыдущего можно написать:
/>
Но
Поэтомубудем иметь:
/>
3.Общийслучай двух соответственных треугольников.
Пусть начертеже 10 имеем два соответственных треугольника ABC и А’В’С’. Рассмотрим один из этихтреугольников, например ABC. Площадьэтого треугольника можно представить следующим образом:
/>
Всетреугольники правой части этого равенства относятся к рассмотренным уже двумслучаям, поэтому, применяя к ним доказанную теорему, можем переписать найденноевыше равенство так:
/>, или
/> 
Следовательно,/>
7. Выведенное нами свойство площадей двух соответственныхтреугольников легко распространить на случай соответственных многоугольников. Всамом деле, каждый многоугольник может быть разбит на несколько треугольников,причем площадь многоугольника выразится суммой площадей составляющих еготреугольников.
Длясоответственного многоугольника получим аналогичное разбиение на треугольники.Если площади двух соответственных многоугольников обозначим буквами S и S’, а площадидвух соответственных составляющих треугольников — буквами />, то можем написать:
/>
Так как,кроме того, для площадей соответственных треугольников имеем:
/>, то />
Такимобразом, получаем:/>
Наконец,можно обобщить теорему об отношении площадей на случай двух площадей,ограниченных соответственными кривыми произвольного вида.
Обозначимплощади, ограниченные двумя соответственными кривыми, через /> и />. Впишем многоугольник вкривую, ограничивающую площадь/>, и обозначим площадь этого многоугольникабуквой S. Будемувеличивать число сторон вписанного многоугольника до бесконечности приусловии, что каждая сторона его стремится к нулю, тогда получим:/>
Для площади /> будем иметь аналогичный процесс: />,
где через S’ обозначена площадь многоугольника,соответственного многоугольнику S. Так как в течение всего процесса (изменения многоугольников), согласнодоказанной выше теореме, должны иметь:
S =kS’,
то переход к пределу дает />=k/>.
Следовательно, />
Полученное свойство может быть представлено как инвариантперспективно-аффинного соответствия.
В самом деле, обозначим через />и />площади, ограниченные двумя кривыми произвольного вида, а через />’ и />’ — площади, ограниченные соответственными кривыми, тогда, подоказанному, будем иметь:
/>
или, переставляя средние члены пропорции:/>
что может быть выражено следующими словами: отношение двух каких-либо площадей не изменяется(является инвариантом) в перспективно-аффинном соответствии.
Общее аффинное соответствие
Перспективно-аффинное соответствие двух плоскостей может быть полученос помощью параллельной проекции.
Рассмотрим теперь соответствие двух плоскостей, образованноемногократным применением параллельного проектирования. Так, на чертеже 11плоскость w проектируется параллельно прямой l на плоскость w’. Эта плоскостьпроектируется параллельно прямой l’ на плоскость w”. Наконец, последняя проектируется параллельно прямой l” наплоскость w'”. Таким образом, между плоскостями w и w”‘устанавливаетсясоответствие, в котором точкам A,B,C первой плоскости соответствуют точки А'”, В'”, С” второй. Нетрудно убедиться в том, что это соответствие может не бытьпараллельной проекцией, но в то же время обладает инвариантными свойствамиперспективно-аффинного соответствия. В самом деле, соответствие плоскостей w и w”‘ являетсяцепью последовательных параллельных проектирований. Так как каждое такоепроектирование сохраняет коллинеарность и простое отношение трех точек, то теми жесвойствами должно, очевидно, обладать и результирующее соответствие плоскостей w и w”’.
То же самоеможно сказать и об остальных инвариантных свойствах, рассмотренных в случаеперспективно-аффинного соответствия, которое оказывается, таким образом, лишьтем частным случаем, когда прямые, соединяющие соответственные точки,параллельны между собой:
По этойименно причине такое соответствие называется перспективно- аффинным.
Соответствиеже плоскостей w и w”’называется аффинным. Мы пришли к этому понятию, воспользовавшись цепьюперспективно-аффинных преобразований (или параллельных проекций). Если каждоеиз них обозначим буквами Р, Р’, Р” а результирующее преобразование — буквой А, можем представить аффинное преобразование А следующей символической формулой:
А = Р • Р’ • Р”,
в которойправая часть представляет собой «произведение» перспективно-аффинныхпреобразований, т. е. результат их последовательного применения.
Те жерассуждения можно было бы провести, не выходя из одной плоскости, для чегодостаточно рассматривать цепь перспективно-аффинных преобразований плоскости всебя. Каждое из преобразований может быть задано осью и парой соответственныхточек. Так, например, на чертеже 12 первоепреобразование Р задано осью хх и парой (А, А’); второе Р’ — осью и парой (А’, А”); третье Р” — осью х«х»и парой (А” А'”).В результирующем преобразовании А точке А соответствует точка А'”. На том же чертеже показано построениеточки В”‘, соответственной точке В.
Изложенноепоказывает, что преобразования, полученные при помощи цепи параллельныхпроекций (или перспективно-аффинных преобразований), обладают свойствамиколлинеарности и сохранения простого отношения трех точек.
2.4Применение аффинных преобразований при решении задач
Еслив задаче затрагиваются только такие свойства фигур, которые сохраняются припроизвольном аффинном преобразовании, то задача называется аффинной. Если же взадаче речь идет о свойствах, сохраняющихся при преобразованиях подобия, нонарушающихся при каком- либо аффинном преобразовании, то задача называетсяметрической. Например, задача «доказать, что медианы треугольника пересекаютсяв одной точке»- аффинная, а такие же задачи для высот и биссектрис-метрические.
Длярешения аффинных задач рекомендуются следующие приемы:
1. Какую-либо из фигур аффинным преобразованием перевести в более простую, например, треугольник- в правильный треугольник, параллелограмм- в квадрат и т.д.
2. Применитьаффинные координаты.
Этиидеи иллюстрируются первыми двумя из следующих задач.
1)Докажите,что прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей трапеции АВСDс точкой пересечения Qбоковых сторон, проходит через середины оснований трапеции.
Способрешения 1. Возьмем произвольный равнобедренный треугольник А’О’D'(рис.10)и рассмотрим аффинное преобразование α: />. Обозначим точки пересеченияпрямой РQ с основаниями через хи у. Обозначим α(В)=В’, α(С)=С’, α(Р)=Р’ и т.д. Очевидно, чтоточка Р’ есть точка пересечения А’С’ и В’D’,точка х’- точка пересечения А’D’и Р’Q’, точка у’- точкапересечения В’С’ и Р’Q’.Так как />.То достаточно показать, что />.
Способрешения 2. Примем точку А за начало координат и возьмем такие координатныевекторы: />.Абсциссу точки C обозначим а.Имеем: А(0,0), В(0,1), С(а,1), D(1,0).Уравнение прямой CD найдем по двумточкам.
CD:х-у(1-а)-1-0
Решаяэто уравнение совместно с уравнением оси ОУ(х≠0) находим Q(0,1/(1-a))
Теперьнайдем координаты точки Р. Решая совместно уравнения BD:x+y-1=0,AC: x-ay=0находим: Р (а/(1+а),1/(1+а))
Находимуравнение PQ: 2х+у(1-а)-1=0 послечего находим координаты точек х и у: х(1/2,0), у(а/2,0), что и доказываеттребуемое.
2)Насторонах треугольника АВС отложим отрезки АА1=1/3АВ, ВВ1=1/3ВС, СС1=1/3СА. Докажите,что точки пересечения медиан треугольника АВС и А1В1С1 совпадают(рис.11).
Решение.1 способ. Возьмем правильный треугольник А’В’С’ и сделаем аффинноепреобразование:
α:/>.

Тогдатреугольник А1В1С1 перейдет тоже в правильный треугольник А’1 В’1С’1, так как А’А’1=В’В’1=С’С’1.
Точкипересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1, А’В’С’ и А’1 В’1С’1 обозначимсоответственно О, О1, О’, О’1, причем α(0)=0′, α(01)=0’1. Поэтомудостаточно показать, что 0’=0’1.
2способ аналитический.
Данправильный шестиугольник АВСDEF.Постройте его аффинный образ.
Решение.Зададим аффинное преобразование α: />. Точку С’ найдем из того, что В’С’||A’D’и B’C’=1/2A’D’.Точку Е’ найдем из того, что D’E’||A’B’и D’E’=A’B’
Аналогичнонайдем F’. Разумеется, ход построенияможет быть каким-либо иным.
Перспективно-аффинноепреобразование
Нетождественноеаффинное преобразование называется перепективно-аффинным или родственнымпреобразованием (родством), если оно имеет по крайней мере две неподвижныеточки.
Найдеманалитическое выражение перспективно-аффинного преобразования. Репер (О,E1,E2)выберем так, чтобы точки О и Е1 были неподвижными точками данногоперспективно-аффинного преобразования f.Пусть образ E’2 точки E2в репере (О,E1,E2)имеет
координаты(k1,k). Таккак О(0,0)-О(0, 0), E1 (1, 0)-E1(1,0),
E2(0,1) –E’2(k1,k),тоформулы (1) § 48 принимают вид:
x’=x+ k1y, y’ = ky. (1)
Пользуясьэтими формулами, рассмотрим свойства перспективно-аффинного преобразования.
1. Любаяточка прямой, проходящей через две неподвижные точки перспективно-аффинногопреобразования, является неподвижной точкой.