Зміст
Вступ
Розділ 1. Теорема Піфагора наплощині
1.1 Різнідоведення теореми Піфагора
1.2 ТеоремаПіфагора та цілочислові прямокутні трикутники
1.3 Історичні відомості
1.4 Розв’язування задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Розділ 2. Теорема Піфагора упросторі або стереометричний аналог теореми Піфагора
2.1 Теорема(стереометричнийаналог теореми Піфагора)
Доведення 1
Доведення 2
Доведення 3
Доведення 4
Доведення 5
Доведення 6
Доведення 7
Доведення 8
Доведення 9
Висновок
Література
Вступ
Математик – цетой, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлюєаналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій;але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. (СтефанБанах)
Аналогія є такимумовидом, при якому, встановивши схожість будови об’єктів у деякихвластивостях, припускають, що вони, можливо, схожі і в інших властивостях.
Відомо, що впроцесі розвитку науки висновки за аналогією відіграють велику роль. Аналогія,як важлива форма мислення завжди привертала до себе увагу і була предметомдослідження видатних вчених, мислителів. Чудові зразки міркувань за аналогієюдали такі відомі природодослідники, як Леонардо да Вінчі, Й. Кеплер, Г. Галілей,М.В. Ломоносов, Ч. Дарвін, Д.І. Менделєєв, К. Максвелл, А. Ейнштейн та інші. Задопомогою аналогії вони обґрунтували ряд найважливіших наукових відкриттів.
Серед цінностейінтелекту «вищого порядку», що являють собою найважливішу частину математичноїосвіти, одне з пріоритетних місць, ймовірно, займає вміння знаходити ізастосовувати аналогії. Про цей метод поетично і захоплено говорив СтефанБанах: «Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращийматематик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той,хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіямибачить аналогії. »
Але більшбагатогранно аналогія виявляється у творчій діяльності людини. Велике значеннямає аналогія для творчого мислення.
Аналогіязастосовується в учнівському пізнанні
П.М. Єрднієввважає, що володіння ум овидом за аналогією «сприяє як творчості вченого –математика, так і успішному навчанню цієї науки або самостійному вивченню її».
Роль аналогіїзначно зростає в сучасних умовах навчання, коли перед школою стоїть завданняозброювати учнів не лише знаннями, а й методами самостійного здобуття знань.
Звернемо увагу наосновні дидактичні функції аналогії. По-перше, аналогія сприяє більш глибокомуосмисленню матеріалу, що вивчається. При цьому застосовується ті види аналогії,які конкретизують образи і уявлення. По-друге, аналогія при вивченні новогоматеріалу допомагає підводити учнів до визначення нових для них понять,самостійних пошуків способу розв’язання задачі, ефективної організаціїповторення, узагальнення і систематизації матеріалу.
Вбачаючи ваналогії великі дидактичні можливості, вчені радять користуватись нею івчителю, і учням. Проте слід пам’ятати, що висновки в умовиводах за аналогією недає відповіді на питання про правильність припущення, ця правильність повиннаперевірятись іншими засобами. Та аналогія важлива вже тим, що вона наводить наздогади, подає думку про те чи інше припущення. Це дуже важливо як у розвитку науки,так і в вивченні математики.
Звідси випливаєактуальність вибраної теми.
Об’єктдослідження – теорема Піфагора на площині і в просторі;
Предметдослідження – аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі;
Мета дослідження –розглянути в чому полягає аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі.
Для реалізаціїпоставленої мети необхідно розв’язати наступні завдання:
— підібрати, опрацюватита систематизувати літературні джерела з обраної теми;
— підібрати,класифікувати та зібрати задачі про теорему Піфагора на площині і в просторі (на доведення та обчислення).
Курсова роботаскладається зі вступу, двохрозділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 3 найменування.
У вступі визначаєтьсяоб’єкт, предмет, мета та завдання дослідження, обґрунтовується актуальність обраної теми, описана структура курсовоїроботи.
В наступних розділах йдеогляд і доведення аналогії між трикутником та тетраедром. У висновку підведено підсумок про виконану роботу.
Розділ 1. Теорема Піфагора на площині
Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузидорівнює сумі квадратів довжини катетів.
Дано:ΔАВС, />С= 90°, ВС = а, АС = b, АВ = с.
Довести:с2 = а2 + b2/>
1.1 Різнідоведення теореми Піфагора
Доведення 1. На гіпотенузі і катетах побудуємо квадрати і виконаємо додатковіпобудови, які видно на рисунку 1. Тоді />NAB = 90° + />САВ,
/>САЕ =90° + />САВ. Отже, />NАВ = />САЕ. Крім цього, NА = СА, АВ = АЕ.
Такимчином, за першою ознакою рівності трикутників маємо: ΔNAB = ΔCAE. Але SΔNAB= />NA·NK = />SΔANRC, SΔCAE= />AE·EH = />SAEHR. Порівнюючи останні три рівності,дістанемо: SANKC= SAEHR. ( 1 ) Аналогічно, /> ABE = 90° + />ABC, />CBD = 90° + />ABC. Звідси />ABF = />CBD. Крім того, AB – DB, CB – FB. Тоді за першою ознакою рівностітрикутників ΔABF = ΔDBC. Але SΔABF = />BF·QF = />SBCQF, SΔDBC = />BD·HD = />SHRBD. З цих рівностей одержимо: SBCQA = SHRBD. ( 2 ) Додамо почленно рівності (1)і (2):
SANKC + SBCQF = SAEHR + SHRBD, але SAEHR + SHRBD = SAEDB.
Такимчином, SANKC + SAEDB або b2 + a2 = c2
/>
Рис.1
/>
Рис.2
Доведення 2
ПобудуємоΔBDE = ΔACB так, щоб B /> CD ( рис 2).
Тодічотирикутник ACDE – трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:
SACDE= />·CD = />·/>2 (1)
Крімтого, SACDE= SΔABE + 2SΔABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно,якщо позначимо />АВС = />BED = />, тоді в прямокутному трикутнику BDE />DBE = 90° — />. За побудовою />CBD = 90°.Таким чином, />ABE = 180° — />°, SΔABC=/>, SΔABC= />.
ТодіSACDE= /> ( 2 )
Порівнюючирівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:
/>
Доведення 3. Побудуємо CD /> AB ( рис.3 ).
Нехай />CAB = />BCD = />. Тоді SΔABC = />sin/>. Оскільки />,
SΔABC = /> ( 1 )
Аналогічно:SΔACD= /> ( 2 )
SΔBCD= /> ( 3 )
Запобудовою SΔABC= SΔACD+ SΔBCD. ( 4 )
Зрівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:
/>
тобто />
/>Рис.3 /> Рис.4
Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:
SΔABC= SΔOAC + SΔOAB = />
ЧотирикутникOKCL – квадрат з стороною r. За властивістю дотичних, проведенихз точок А та В до кола, маємо: AH = AK = />, BH = BL = />.
Тоді
AB = AH + HB = />
/>
Зіншого боку
SΔABC = />.
Такимчином,
/>
Доведення 5
Виконуємопобудови, які показано на рисунку 5 а), 5 б).
/>
Рис.5, а
/>
Рис.5, б
CDMN, TQRE – квадрати зі стороною />. Тоді SCDMN = STQRE.
Запобудовою маємо:
SCDMN= SABLK + 4SΔABC,
STQRE = SPQBC+ SACFE + 4SΔABC.
Порівнюючиці рівності, дістанемо:
SABLK+ 4SΔABC= SPQBC+ SACFE + 4SΔABC, або
SABLK = SPQBC+ SACFE, тобто />
Доведення 6
Побудуємоквадрат CDMN з стороною a+b ( Рис.6)
/>
Рис.6
ТодіΔАСВ = ΔBDK = ΔKLM = ΔLNA ( за двома катетами ), звідки
AB = BK = KL = LA = c.
Отже,чотирикутник ABKL – ромб.
Оскільки/>АВК = 90°,то ABKL – квадрат. Маємо:
/>
Порівнюючиостанні рівності, дістанемо:
/>
Доведення 7
Насторонах прямокутного трикутника АВС побудуємо квадрати АВКМ, АDЕС, ВСFR. (Pис. 7). Трикутники ЕСF, КLМ і АСВ рівні між собою. АDRВ = EDRF як симетричні відносно прямої DR фігури; ACLM = КLСВ як центрально-симетричні фігуривідносно центра квадрата АВКМ; АDRB=АСLМ як відповідні фігури приповороті навколо центра А на кут 90°.
Враховуючиодержані три рівності, маємо:
ADEFRB = ACBKLM, але
SADEFRB= SADEC+ 2SΔABC + SBCFR, SACBKLM = SABKM + 2SΔABC.
Отже,SADEC+ SBCFR = SABKM, тобто />
/>
/>/>/>/>Рис.7
/>
Рис.8
Доведення 8
Прямокутнийтрикутник АСВ з прямим кутом С повернемо навколо точки С на 90° так, щоб вінзайняв положення А´СВ´ ( Рис. 8 ).Продовжимо гіпотенузуА´В´ до перетину з АВ у точці D. Відрізок В´D буде висотоютрикутника В´АВ.
Розглянемотепер чотирикутник А´АВ´В. Його можна розкласти на два рівнобедренітрикутники СА´А і СВ´В. Маємо:
ЫΔСФ´Ф = />/>б ЫΔСИ´И= />ю
Такимчином
ЫФ´ФИ´И= ЫΔСФ´Ф + ЫΔСИ´И=/>ю
ТрикутникиАА´В´ і ВА´В´ мають спільну основу В´А´ івисоти AD і BD відповідно. Тому
ЫФ´ФИ´И= ЫΔАФ´В´ + ЫΔВА´И= />ю
Порівнявшидва вирази для площі чотирикутника А´АВ´В, одержимо:
/>, тобто />
1.2 ТеоремаПіфагора та цілочислові прямокутні трикутники
Співвідношенняміж сторонами прямокутного трикутника, яке подається в підручниках математикита інших джерелах під назвою теореми Піфагора, було відоме з давніх часів. Так,клинописі пам’ятки Вавілона свідчать про те, що за 2-2,5 тисячі років до нашоїери там уже користувалися названим співвідношенням для обчислень. Було відомевоно і стародавнім єгиптянам (за 2300 років до н.е.), про що свідчить папірусБерлінського музею. Чому ж ця закономірність названа ім’ям Піфагора, який жив уVI cт. до н.е., тобто значно пізніше?
Піфагор,про життя якого є лише відомості, переписані легендами, народився на о. Самос.У молоді роки він багато подорожував і цілком імовірно, що, відвідавши країниСтародавнього Сходу, познайомився з відомою вже там закономірністю проспіввідношення між сторонами прямокутного трикутника. Повернувшись набатьківщину (в Грецію) та оселившись у м. Кротоні, Піфагор заснував філософськушколу і серйозно зайнявся систематизацією та узагальненням математичних знань.Піфагор систематизував здобуті фрагментарні відомості про прямокутнийтрикутник, дав їм логічне обґрунтування, зробивши їх надбанням своїх співвітчизників.
Першопрохідціпомітили, що рівність a2+b2=c2 (1) справджується при натуральнихзначеннях довжин катетів а і b та гіпотенузи с, бо інших чисел вони не знали.
З’ясуємонасамперед, чи є такі три послідовності натуральних чисел, що задовольняютьрівність (1). Якщо є, то скільки таких трійок чисел?
Нехайa=n -1; b=n; c=n+1. Тоді (n -1)2+ n2 =( n +1)2, звідки n2-4n=0; n1=0; n2=4. Умову задачі задовольняє n=4.
Отже,маємо трійку чисел 3,4,5, для яких 32+42=5 2.Оскількиінших розв’язків рівняння не має, то існує лише одна така трійка чисел.
Прямокутнийтрикутник зі сторонами 3, 4 і 5 був відомий стародавнім єгиптянам. Ним воникористувалися, будуючи прямі кути під час землевимірювальних робіт. Поділившивірьовку на 12 рівних частин, закріплювали її кілками в поділках, які відодного кінця відділяли 3 відрізки, а від другого – 5. Натягуючи вільні кінцівірьовки та суміщаючи їх, діставали прямокутний трикутник з прямим кутом міжвідрізками 3 і 4 одиниці. Людей, які займалися цією справою, називали гарпедонаптами(натягувачі вірьовок), а прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, і 5 діставназву єгипетського.
Назвемопрямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами,цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4k i 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)2+(4k)2=(5k)2 ↔ 32+42=52. Таких трикутників безліч.
Чиіснують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторіняких – три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемотакі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимутьзазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але неможуть бути й не парними, бо, якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a2 кратне 4, бо якщо a=2п, то a2=4п2.Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a2=4п2+4п+1=4п1+1– непарне).
Взагалі,якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c, що задовольняють a2+b2=c2 (такі числа називають піфагоровими),мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третьогочисла. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами.Нехай aнепарне і bпарне, тоді c також непарне.
Маємо:
a2+b2=c2 ↔ b2=c2 — a2↔ b2=(c-a)(c+a).(2)
Числа(c-a) і (c+a) парні, тому тому /> і /> цілі; b2 кратне 4, тому /> ціле.З рівності ( 2 ) дістанемо:
/>=/> * /> (3).
Числа/> і /> взаємно прості. Справді, якщоприпустити протилежне, то
/>=ир1 і /> =ир2.
Отже
С = и(р1+р2) і а = и (р1-р2),
тобточисла с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.
Добутокдвох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку,коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай
/> =х2; />=у2, тоді с=х2+у2; а=х2-у2 і />=х2у2, або />=(2ху)2; b=2ху.
Маємототожність
(х2-у2)2+(2ху)2=(х2+у2)2.
Формули
а=х2-у2;b=2ху і с=х2+у2
даютьможливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.
Якщочисла х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, тотрійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихіднійзадачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1). Такі трійкипіфагорових чисел називаються основними.
Основні трійки піфагорових чиселмодна дістати, склавши таку таблицю.х 2 3 4 5 6 7 8 у 1 2 1 3 2 1 1 5 2 4 6 1 3 5 7
a=x2-y2
b=2xy
c=x2+y2
3
4
5
5
12
12
15
8
17
7
24
25
21
20
29
9
40
41
35
12
37
11
60
61
45
28
53
33
56
65
13
84
85
63
16
65
55
48
73
39
80
89
15
112
113
Їїможна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.
Єгипетськийтрикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, щоколи х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли
х=у+1,b=2xy=2у(у+1)=2у2+2у; с=(у+1)2+у2=2у2+2у+1і тому с- b=1.
Прицьому менший катет а=х2-у2=2у+1, а різниця довжин катетівb-а=2у2-1.Цей вираздорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лишеодин прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьомапослідовними натуральними числами.
Сумадовжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо
с+b=х2+у2+2ху=(х+у)2.
Точнимквадратом є також і їх різниця, тобто
с-b=х2+у2-2ху=(х-у)2.
Якщох-у=п, то с-b=п2. Наприклад,якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;
х+у=7;b+с=20+29=49=72; с- b=29-20=9=32.
Зрозуміло, щоз кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо
a2+b2=c2↔(3а)2+(4b)2=(5с)2
Наприклад,маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.
Доречі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), іосновна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, якіб були арифметичними прогресіями немає.
Неважкопоказати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була бгеометричною прогресією.
Припустимо,то така трійка (а;b; с)існує. Тоді b2=ас і значить а2+ас=с2.Звідси ас=с2-а2, або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні,тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблененеправильне припущення.
Похіднітрійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при якихдістанемо основні трійки) або коли /> і /> Наприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12; b=16; i c=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо /> і />, то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати,помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.
Якщо,наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку
а=х+у=1999,b=1998000 і с= b+1=1998001.
1.3 Історичнівідомості
ПіфагорСамосський (бл. 580–500 р.р. до н. е.) – давньогрецький математик і філософ.Народився на острові Самос в багатій купецькій сім’ї, здобув ґрунтовану освіту.За переказами, Піфагор для ознайомлення з мудрістю східних учених виїхав доЄгипту і, нібито, прожив там 22 роки, після чого провів 12 років у Вавілоні, девивчив наукові праці вавілонських жерців. Близько 530 р. до н. е. повернувся набатьківщину і оселився в місті Кротоні. Тут йому вдалося організувати власнушколу, яка діяла майже 30 років і здобула велику популярність. Школа Піфагорабагато зробила для перетворення геометрії в науку. Характерною рисою методуПіфагора було поєднання геометрії з арифметикою: відрізки відігравали роль,аналогічну тому, як букви в сучасній алгебрі. Піфагор багато займавсяпропорціями та прогресіями. Вчення Піфагора та його учнів стосувалося гармонії,геометрії, теорії чисел, астрономії тощо. Піфагорійці понад усе цінувалирезультати, здобуті в теорії гармонії, бо саме тут підтверджувалась їхня ідея,що числа визначають все.
Піфагородин з перших вважав, що Земля має форму кулі є центром Всесвіту, що сонце,Місяць і планети мають власний рух, відмінний від добового руху нерухомихзірок. Ці погляди передували геліоцентричному вченню Коперніка.
Піфагоруприписують доведення теореми, яка має його ім’я. Її історія оповита легендами.Виявляється, що вона ще до Піфагора була відома єгиптянам, вавілонянам,китайцям та індійцям.
/>
Рис.1
Німецькийісторик мате математики Кантор вважає, що рівність 32 + 42= 52 була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н. е. в часи царяАменетхета Ι. На думку Кантора, гарпедонапти, або «натягувачівірьовок», будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зісторонами 3, 4, 5. Можна легко відновити їх спосіб побудови. Візьмемо вірьовкудовжиною 12м і прив’яжемо до неї кольорові стрічки на відстані 3м від одногокінця і 4м від другого (рис.1). Потім натягнемо вірьовку так, як це вказано нарисунку. Прямий кут буде між сторонами довжиною в 3 і 4 метри.
Близько2000 р. до н. е. вавілоняни вміли робити окремі обчислення з прямокутнимитрикутниками.
Геометріяв індусів, як і в єгиптян, була тісно пов’язана з культом. Цілком ймовірно, щотеорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько 8 ст. до н.е.
Властивостітрикутника з сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н. е., про щозасвідчує математична книга Чупей.
ТеоремаПіфагора має різні формулювання. В «Початках» Евкліда вонаформулюється так: У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої надкутом, дорівнює квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут.
Латинськийпереклад арабського тексту: У всякому прямокутному трикутнику квадрат,утворений на стороні, натягнутій над прямим кутом, дорівнює сумі двохквадратів, утворених на двох сторонах, що замикають прямий кут.
Уперекладі з німецького читається так: Площа квадрата, виміряна довгою стороноютрикутника, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні двомасторонами його, що прилягають до прямого кута. У першому російському перекладіевклідових «Початків», зроблено з грецької Ф.І. Петрушевським у 1819році, теорема Піфагора викладена так: У прямокутних трикутниках квадрат ізсторони, протилежної прямому куту, дорівнює сумі квадратів із сторін, щомістять прямий кут.
УФранції і деяких областях Німеччини теорему Піфагора називали «мостомослів». Вважають, що вона формулювалась так: Квадрат, побудований нагіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів,побудованих на його катетах.
Вепоху середньовіччя теорема Піфагора визначала границі математичних знань.Характерне креслення теореми Піфагора використовувалось як символ математики,перетворювалось школярами в карикатури.
Нинівсі погоджуються з тим, що ця теорема не була відкрита Піфагором. Однак, однівважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, інші відомляють йому вцій заслузі. Дехто приписує йому доведення, яке Евклід (жив близько 300 р. дон.е. в Олександрії) наводить у першій книзі своїх «Початків». ПротеПрокл, який жив у 410 – 485 р. р. у Візантії і Афінах, стверджує, що доведенняв «Початках» належать самому Евкліду. Відомий голандський математикВан-дер-Варден прийшов до висновку: «Заслугою перших грецьких математиків,таких, як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, а їїсистематизація і обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти перетворилисьв точну науку».
1.4 Розв’язуваннязадач
Задача 1
Основа трикутника дорівнює 40 см. До неї проведені висота довжиною 12 см і медіана довжиною /> см. Обчислити периметр трикутника.
Розв’язання
Нехай утрикутнику АВС, АВ=40см, висота СН=12 см, медіана СМ= /> см(рис.1)
З трикутникаМНС(Н=90о):
МН=/>=/>=15(см).
Крім того, точкаН лежить між точками М і В. Оскільки
МВ = />=20(см), то
НВ=МВ-МН=5(см) іАН=АВ-НВ=35(см).
З />СНВ(Н=90о): СВ=/>=/>=13(см).
З />СНА(Н=90о): СВ=/>=/>=37(см).
ОтжеР=АВ+ВС+АС=40+13+37=90(см.)
/>
Рис. 1
/>
Рис. 2
Задача2
Периметр ромбадорівнює 100 см, а діагоналі відносяться як 3:4. Обчислити площу ромба.
Розв’язання
Нехай АВСD – ромб, у якому ВD: АС=3:4 і Р=100(см) (рис.2)
Оскільки Р=4*АD, то АD=25см. Враховуючи, що
ВD=2*ОD, АС=2*АО,
Одержимо
/>,
звідки
ОD=3k, AO=4k(k>0).
З />AOD(O=90o): AD2=AO2+OD2, 25=16k2+9k2.
Тоді OD=3*5=15 (см),
АО=4*5=20(см),
SABCD=4*SAOD=4*/>*AO*OD=2*20*15=600(см2).
Задача3 (задачаЛеонардо Фібоначчі)
Дві башти висотою30 і 40 футів розташовані одна проти другої на відстані 50 футів одна відодної. Між ними знаходиться фонтан, до якого з обох башт злітають два птахи, і, пролітаючи з однаковою швидкістю, прилітають до фонтану в один і той же час.Яка відстань по горизонталі відділяє фонтан від обох башт(рис.3)?
Розв’язання
Позначимо АЕ=х,тоді DЕ=50-х. З прямокутнихтрикутників ВАЕ і СDЕ затеоремою Піфагора маємо: ВЕ2=АЕ2+АВ2, СЕ2=DЕ2+DС2.За умовою ВЕ=ЕС, тодімаємо АЕ2+АВ2= DЕ2+DС2, х2+402=(50-х)2+302,х2+1600=2500-100х+х2+900, 100х=1800, х=18, DЕ=50-18=32. Отже, АЕ=18 футів, DЕ=32 фути.
/>
Рис. 3
/>
Рис.4.1
Задача 4
Обчислитидовжину висоти трикутника, якщо відомо довжини його сторін.
Розв’язання
НехайΔАВС, АВ = с, АС = />, ВС = а, АН- висота.Позначимо проекцію сторони АВ напряму ВС через /> Тоді проекція сторони АС на щосаму пряму буде або а — х (рис. 4.1), або а + х (рис4.2). За теоремою Піфагора в першомувипадку
/>
Дістанеморівняння
/>
Розв’язуючийого, одержимо:
/>
Тоді
/>
Удругому випадку відповідь буде та сама
/>
Рис.4.2
/>
Рис.5
Задача 5
Насторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом /> побудовані квадратизовні трикутника. Центри цих квадратів з’єднані між собою прямими лініями.Знайти площу одержаного трикутника.
Розв’язання
Нехай
ΔАВС,/>C = 90°, АС = ВС = b,
ABMN,ACDF, BCKL — квадрати
/>
Неважкопереконатись в тому, що ΔO1O2O3 – рівнобедрений, O1C – висота (рис.5).
Тоді/>.
Затеоремою Піфагора
/>
Такимчином,
/>
Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теоремиПіфагора
Методаналогії є одним з ефективних і розповсюджених методів математики. Йогозастосування приводить до плідних і часто до неочікуваних результатів.
Деяківластивості трикутника і тетраедра схожі, а деякі геометричні поняття,пов’язані з трикутником, мають просторові аналоги: наприклад, сторонатрикутника – грань тетраедра, довжина сторони – площа грані, вписане коло – вписанасфера, площа – об’єм, бісектриса кута – бісектор двогранного кута тощо. Багатотеорем про трикутники, якщо замінити в їх формулюванні планіметричні термінивідповідними стереометричними і конкретно сформулювати, то вони перетворюютьсяв теореми про тетраедри. Однією з таких є аналог теореми Піфагора встереометрії.
Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарноортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, атетраедр – прямокутним.
Теорема(стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадратплощі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратівплощ решти граней.
Доведення 1. Нехай у прямокутному тетраедрі OABC
/> (Рис.2.1)
Доведемо,що
/>
Маємо:
/> (1)
УΔ АВС:
/> />, /> (2)
Площутрикутника АВС обчислимо за формою Герона
/>, де />
Виконаємоперетворення:
/>,
/>
/>
/>.
Використовуючи(2), (3), одержимо:
/>
/>/>
тобто/>(4)
Враховуючи(1), (4), одержимо
/>
/>
Розглянемодоведення, в якому використовується метод проекцій
Доведення 2
Нехайу прямокутному тетраедрі ОАВС грані ОВС, ОАС, ОАВ утворюють з основою АВС кути /> відповідно.Оскільки точка О проектується в ортоцентр Н трикутника АВС, то лінійні кутидвогранних кутів при основі утворюватимуться висотами відповідних граней: />(Рис. 2.2).Спроектуємо висоту ОН на ребра прямого тригранного кута, одержимо: ОА1=ОН/>(Рис. 2.3), аналогічно ОВ1=ОН/>, OC1=OH/>.
Упрямокутному паралелепіпеді з діагоналлю ОН і ребрами ОА1, ОВ1, ОС1справджується рівність
/>
або/>,
звідки/> (1)
Оскільки/>то ΔAOB – ортогональна проекція ΔАВС, аналогічно ΔAOC – ортогональна проекція ΔАВС і ΔBOС – ортогональна проекція ΔАВС.
Маємо:
/>,
звідси />. (2)
Враховуючи(1) і (2), одержимо:
/>, або />.
Пропонуємоінші доведення теореми Піфагора для прямокутного тетраедра.
Доведення 3
Нехайу прямокутному тетраедрі ОАВС
/>, />(Рис. 2.4).
Побудуємовисоту СН трикутника АВС і сполучимо точки О і Н.
Маємо:СН – похила, ОН – її проекція, СН/>АВ. За теоремою про триперпендикуляри ОН/>АВ. Знайдемо площу трикутника АВС:
/>
ЗΔСОН (/>О= 90° ) /> (2)
ЗнайдемоОН, для цього виразимо площу трикутника АОВ через катети, тобто
/>(3),
теорема піфагор площинапростір
ічерез гіпотенузу АВ та висоту ОН, опущену на неї, тобто
/>
або/>(4)
Зрівностей (3), (4)
/>,
звідки/>. (5)
Враховуючи( 2 ), ( 5 ), одержимо:
/>(6)
Спосіб 1. Враховуючи ( 1 ), ( 6 ) одержимо:
/>
Тоді
/>.
Спосіб 2. Можна використати формулу проекцій
/>
Оскільки
/> і
/>,
то/>,
звідки/>
або/>.
Доведення 4. Нехай у тетраедрі ОАВС />, />, лінійний кут двогранного кутапри ребрі АВ /> ( Рис. 2.5 ). Припустимо, щовиконується рівність
/>. (1)
ОскількиΔАОВ – ортогональна проекція ΔАВС, то
/> (2)
Враховуючирівності (1) і (2), одержимо:
/>. (3)
ЗΔАОВ (/>О= 90°) />,
тоді/>,
звідки/>, або />. З ΔСОН(/>)
/>
Крімцього,
/>
Формула(3) набуває вигляду
/>,
тобто/>
Останнійвираз є вірною рівністю, одержаною з рівності ( 1 ) за допомогою тотожнихперетворень, тому можна зробити висновок: початкове припущення вірне ісправедлива теорема: У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежитьпроти прямого тригранного кута дорівнює сумі квадратів площ решти граней.
/>
Доведення 5. Нехай ОН – висота прямокутного тетраедра ОАВС з прямим тригранним кутомпри вершині О, тоді АН1 – висота ΔАВС (Рис.2.6).
ЗΔАОН1/>/> (наслідок з теореми Піфагора)
Помножившицю рівність на />, одержимо:
/>
або/>,
або/> (1)
Аналогічноодержимо:
/>, (2)
/> (3)
Додамопочленно рівності (1), (2), (3), одержимо
/>.
Такимчином,
/>
Доведення 6. Нехай у тетраедрі ОАВС />, ΔАНС – ортогональнапроекція ΔАОС на площину трикутника АВС (Рис.2.6).
Позначимо/> -лінійний кут двогранного кута при ребрі АС. Тоді
/> (1)
ОскількиΔАОС – ортогональна проекція ΔАВС, то
/> (2)
З(1), (2) слідує
/>,
звідки/>. (3)
Аналогічноодержимо
/> (4),
/>.
Додамопочленно (3), (4), (5), одержимо:
/>.
Такимчином,
/>.
Доведення 7. Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС />, />.Виберемо прямокутну декартовісистему координат /> так, що вісь />сумістилась з прямою ОА,вісь /> – зпрямою ОВ, а вісь /> – з прямою ОС і розглянемовектори /> і/> ( Рис.2.7 ). Маємо в />: />
Оскільки
/>^/>, />.
Отже,
/> (1)
Обчислимо
/> (2),
/> (3)
Враховуючи(1), (2), (3), одержимо
/>,
звідки/>.
ЗΔАСН /> />.
Маємо/>.
Тоді
/>
Оскільки
/>,
то/>,
звідси/> або />
Доведення 8. Для обчислення площі трикутника АВС (Рис.2.7) використаємо геометричнетлумачення векторного добутку двох векторів, а саме:
/>
Оскільки
/>,
тоодержимо:
/>
Тоді/>
Такимчином,
/>,
звідки/>
Враховуючи,що
/>,
остаточноодержимо
/>
Доведення 9.У вибраній системі координат /> координати вершин тетраедра ОАВС( Рис.2.8 ) набудуть вигляду: />.
Об’ємтетраедра можна обчислити за формулою:
/>,
де/> (/>) – координативершин тетраедра.
Застосуємоцю формулу
/>. (1)
Зіншого боку
/> (2),
деОН – висота тетраедра (Рис. 2.6).
ВисотуОН знайдемо як відстань від точки О до площини трикутника АВС. Для цьогоскладемо рівняння площини (АВС) «у відрізках на осях»:
/>
або/>
Тоді
/>. (3)
З(1), (2), (3) слідує
/>,
звідки/>
або/>.
/>/>
Доведення 10. Використаємо (рис.2.8) і позначення на ньому. Висоту ОО1обчислимо як відстань між точками О і О1, для цього складеморівняння прямої ОО1. Рівняння площини (АВС) має вигляд
/>
(див.розв’язання 9),
де/>— вектор нормалі.
Оскільки/>, то />/>(як два перпендикуляридо площини).
Такимчином, вектор />— напрямний вектор прямої ОО1.Канонічні рівняння прямої ОО1 набудуть вигляду:
/>,
звідсиодержимо параметричні рівняння ОО1:
/>
Обчислимокоординати точки О1, розв’язавши систему рівнянь:
/>
/>
/>
Тоді/> (1)
Обчислимооб’єм тетраедра ОАВС за формулою
/>, тоді />. (2)
Враховуючи,що
/>,
одержимо:
/>,
звідки/>
або/>.
Доведення 11. Теорему Піфагора для прямокутного тетраедра можна розглядати якнаслідок теореми косинусів для довільного тетраедра [3], яка формулюється так:квадрат площі будь-якої грані тетраедра дорівнює сумі квадратів площ іншихграней без подвоєних добутків площ цих граней, взятих попарно, на косинусдвогранних кутів між ними, тобто
/>. (1)
Упрямокутному тетраедрі двогранні кути />прямі і з теореми косинусів (1)одержимо співвідношення
/>
площіграней — катетів, а /> — площа грані — гіпотенузи.
Такимчином, стереометричний аналог теореми Піфагора можна сформулювати так: Упрямокутному тетраедрі квадрат площі грані гіпотенузи дорівнює сумі квадратівплощ граней — катетів.
Зауваження. Має місце наслідок з цієї теореми: площі граней — катетів є середнімигеометричними між площею грані — гіпотенузи і площами їх проекцій на грань — гіпотенузу (див. доведення 5).
Висновок
Мабуть, найпопулярнішою зусіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса,значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двохсуперечностей і надає їй особливої привабливості.Теорема Піфагора — важливийінструмент геометричних обчислень. Використовуючи її, можна обчислити упланіметрії діагональ квадрата і прямокутника, висоту, медіану, бісектрисурівностороннього або рівнобедреного трикутника, висоту рівносторонньоготрикутника, радіуси вписаного і описаного кіл правильного трикутника,рівнобедреного трикутника тощо.
ТеоремаПіфагора використовується при розв’язанні трикутників, у теорії площ.
Устереометрії теорема Піфагора застосовується при обчисленні висоти, ребра абоапофеми правильної піраміди, при вивченні многогранників, тіл обертання та їхкомбінацій.
Взагалі,перелічити з достатньою повнотою всі випадки, де використовується теоремаПіфагора в геометрії неможливо. Вона має не лише теоретичний характер, а йшироко використовується на практиці при розрахунках покрівель дахів, верхніхчастин вікон у будинках готичного і романського стилю, паркетуванні підлогитощо.
Зтеореми Піфагора випливає чимало наслідків, які є її вінцем, зокрема:
– у прямокутному трикутникубудь – який катет менший від гіпотенузи;
– косинус кута а менше одиницідля будь – якого гострого кута а;
– якщо до прямої з однієї точкипровести перпендикуляр і похилі, то похилі більші перпендикуляра; рівні похилімають рівні проекції; з двох похилих більша та, у якої проекція більша.
Сама теорема Піфагора є наслідком теореми: косинус кута залежить лише відградусної міри кута. Тому, якщо теорему Піфагора «вплести» у вінок їїнаслідків, то отримаємо вінок наслідків теореми про косинус кута.
Ізозначень sinα, cosα, tgα випливають такі властивості:
– катет, протилежний куту α, дорівнює добуткугіпотенузи на sinα;
– катет, прилеглий до кута α, дорівнює добуткугіпотенузи на cosα;
– катет, протилежний куту α, дорівнює добутку другогокатета на tgα;
– катет прямокутного трикутникає середнє пропорційне між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу;
– висота прямокутноготрикутника, опущена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне міжпроекціями катетів на гіпотенузу.
Всягеометрія складеться з таких прекрасних віночків, слід лише придивитись до них,звертати на них увагу, порівнювати, запам’ятовувати і вміло використовувати їхпри розв’язанні задач.
Література
1. Боровик В.Н., ЗайченкоІ.В., Кобко Л.М. «Гармонія і естетика трикутника». Навчальний посібник длястудентів вищих навчальних закладів – 2-е вид., виправл. і доп… РекомендованоМОН України – К.: Освіта України, 2007. – 180с.
2. Кобко Л.М. «Аналогія:планіметрія–стереометрія в таблицях». Навчальний посібник для студентівпедагогічних вищих навчальних закладів. – Чернігів, 2008.- 64с.
3. Кобко Л.М. «У світі геометрії».Навчально–методичний посібник для студентів педагогічних вищих навчальнихзакладів. – Чернігів, 2009.- 209с.