Автоколебания системы с одной степенью свободы
Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого “захватывания”. Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы “захватывает” автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды “исчезнувших” автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида – кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m
таким образом, чтобы при m
= 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m
, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали “устойчивостью по Ляпунову”.
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
При m
= 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда m
бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
Начальные условия выберем так:
F2 – степенной ряд по b
1 b
2, m
начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при b
1 b
2, m
получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
Если в этой системе можно b
1 b
2 представить в виде функции m
так, чтобы b
1 b
2, m
исчезли из системы (7) , то (3) – периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m
служит неравенство 0 Якобиана.
В нашем случае:
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m
и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x
; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x
и x
‘.
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) – решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x
, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.
; аналогичным образом можно показать,
что (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m
.
будем искать в виде:
(12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
m , получим:
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы
выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты
при соответствующих степенях m , получим
Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:
(14)
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
(15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
S1, S2 – периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a
1, a
2 – характеристические показатели.
Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:
=0 (16)
Полагаем ;
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a
), или что все равно ÷
l
÷
. Если ÷
l
÷
÷
l
÷
= 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷
l
÷
> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q <>2; В первом случае l
-комплексные; ½
l
2 ½
=q; (20) если q1 – неустойчивость.
Случай второй – l
– действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m
из формул (19) (12).
(22)
Если принять во внимание (15)
(22a)
(23)
Мы видим, что при достаточно малом m
и w
¹
n; n '
Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b 0 – неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
(23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда l
=
m
l
о; w
2 = 1+ aо m
, (24) (aо , m
– расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо ¹
0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
(25)
При m
= 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
(27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b
1 b
2, m
и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).
(29)
Запишем условия периодичности для (27):
Делим на m
:
( 30a )
Необходимым условием существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b
1, b
2, в виде рядов по степеням m
. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.
(33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).
Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости
проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:
Из формул (22) (34) , тогда D
– тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
(36)
;
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D
в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
; (37)
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m
)
1) p2 – q
2) p2 – q > 0
В первом случае устойчивость характеризуется условием q
Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b D
> 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b D
> 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика – кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w
1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
(39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
(40)
S-крутизна характеристики, К – напряжение насыщения .
Далее, вводя обозначения:
Получим дифференциальное уравнение для х:
(41)
А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая.
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если w
> 1, т.е. w
о > w
1, то разность фаз равна 0, если w
p
. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b
(42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q – const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.
Или преобразовав их, получим следующее:
Полагая Р = R sin j
; Q = R cos j
. Далее найдем для амплитуды R и фазы j
для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Первая формула дает “резонансную поверхность” для амплитуды. Вторая – для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b D
> 0. Считаем b и D
через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.
1)
a0 – является общим корнем уравнений
2)
Сама ширина D
w
, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: D
w
= aо w
2о (MS – c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) l
2о D
w
= w
о Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов ( Vоg – амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).
Список литературы
Андронов А.А. Собрание трудов, издательство “Академии наук СССР”, 1956.
Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство “Академии наук СССР”, 1956.
Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.
Дата добавления: 06.04.2001