Баттерворт Фильтры
Баттерво́рт Фильтры — электронды фильтрлардың бір түрі. Бұлтоптың фильтрлары басқалардан жобалау әдісімен ерекшеленеді. БаттервортФильтры өткізу жолағында оның амплитуда-жиіліктік сипаттамасыбарынша біртегіс болатындай етіп жобаланады. Мұндай фильтрлер алғашрет Стефан Баттерворт атты британдық инженердің «Фильтрлейтінкүшейткіштер теориясы жайлы» (ағылш. OntheTheoryofFilterAmplifiers), Wireless Engineer журналында 1930 жылы.
Баттервортфильтрының амплитуда — жиіліктік сипаттамасы өткізу жолағыныңжиілігінде барынша біртегіс және басу (полоса подавления) жолағында0-ге дейін төмендейді. Логарифмді АФЖС (АФЧХ) -да Баттерворт фильтрыныңжиіліктік отклигінің (частотный отклик) басу жолағында амплитудаминус шексіздікке дейін төмендейді. Бірінші реттік фильтр кезінде АЖС — 6децибел октаваға (-20 децибел декадаға) жылдамдығымен өшеді(негізінде бірінші реттік фильтрлардың барлығы типке байланыссызидентипті және де бірдей жиілікті отклик). Екінші реттік Баттервортфильтры үшін АЖС — 12 дБ октаваға өшеді, үшінші реттікфильтр үшін — 18 дБ т. с. с. Баттерворт фильтрының АЖС-сы — жиіліктіңмонотонды кемитін функциясы. Баттерворт Фильтры-жоғарғы ретте (басужолағында сипаттаманың одан да асатындарын есепке алмағанда) АЖСсақтайтын фильтрлардың жалғыз түрі, солай болып тұрафльтрлардың көптеген түрлері (Бессель фильтрі, Чебышевфильтрі, Эллипстік фильтрі) әр түрлі ретті түрлі АЖС болады.
Чебышев фильтрініңІ және ІІ типтерімен немесе эллипстік фильтрмен салыстырғандаБаттерворт фильтрінің сипаттамасы оларпдыңкінен де біртегіс түсуібар және сондықтан оның үлкен реті болуы қажет(орындалуындаөте қиын), оның барлығы басу жолағыныңжиіліктерінде қажетті сипаттамаларды қамтамасыз ету үшін.Бірақ Баттерворт фильтрінің өткізу жолағында аса түзусызықты фаза-жиіліктік сипаттамасы бар.
/>
Сурет1-Фильтрлардың сипаттамалары
Баттервортфильтрінің 1-ден 5-ке дейінгі төмеңгі жиіліктік реттер үшінАЖС. Сипаттаманың иілуі — 20n дБ/декадаға, мұнда n — фильтрдің реті.
Барлықфильтрлер үшін сияқты олардың АЖС қарастырған кездетөменгі жиілікті фильтрларды пайдаланады, олардан оп-оңай жоғарыжиілікті фильтрді алуға болады, ал осындай фильтрлерді тізбектей жалғасақ,–жолақтыфильтр немесе режекторды фильтр.
/> – шіреттегі Баттерворт фильтрінің амплитуда-жиліктік сипаттамасы /> жіберуші функциядан /> алынуы мүскін (1):
/> (1)
мұнда
/> – фильтрдіңреті
/> -үзілістің (срез) жиілігі (амплитудасы −3dB болатын жиілік)
/> – тұрақтықұраушының күшею коэффициенті (нөлдік жиіліктегікүшею)
Шексіз/>мағыналары үшін АЖС тікбұрышты функция болатынын, жәнеде үзіліс жиілігінен кем жиіліктер күшейту коэффициенті/>-мен өтетінін, ал үзіліс жиілігінен жоғары жиіліктертолығыиен өшеті байқау қиын емес. Соңғы /> мағыналары үшін сипаттаманың өшуі біртегісболады.
/> формальдыауыстырғыш көмегімен /> өрнегін(2) мына түрде />:
/> (2)
Жіберетінфункцияның полюстері радиусы /> болатындөңгелекте бірі-бірінен бірдей алыстықта сол жақжартылайжазықтықта орналасқан. Яғни, Баттервортфильтрінің жіберуші функциясын оның сол жақ жартылайжазықтықтыңs-жазықтығын анықтай отырып анықтауға болады (3),(4) өрнектер. />-шы полюскелесі өрнектен шығады:
/> (3)
Мұндағы
/> (4)
Жіберуші функцияныкелесі (5) өрнек түрінде жазуға болады:
/> (5)
Аналогты түсіндірмелерБаттерворттың сандық фильтрлеріне қолданылады, мұндағытек айырмашылығы өрнектерs-жазықтық үшінемес z-жазықтық үшін жазылады.
Бұл жіберушіфункцияның бөлімі Баттерворттың полиномы деп аталады.Баттерворттың нормиронған полиномалары
Баттерворттыңполиномалары комплексті түрде жазыла алады, жоғарыда айтылғандай,бірақ олар негізінен қатынас түрде затты (вещественный) коэффициенттермен(комплексті-байланысқан жұптар көбейту арқылы біріктіріледі).Полиномалар />үзілісжилігімен нормиронады. Баттерворттың нормиронған полиномалары, осындайжолмен (6) және (7) өрнектер, канондық формаға иеболады.:
/>, /> – жұп(6)
/>, (7)
/> – тақ
Максимальды біртегістік
/>және/>қабылдап, жиілік бойынша амплитудтысипаттаманың тундысы (8) өрнек түрінде:
/> (8)
Ол барлық /> үшін монотонды кемиді, өйткені күшею коэффициенті әрқашанқанағаттанарлық (положителен). Демек, Баттерворт фильтрініңАЖС-да пульсация болмайды. Амплитудты сипаттаманы қатарға жазғанда(9) өрнекті алатынымыз:
/> (9)
Басқаша айтқанда,амплитудты-жиіліктік сипаттаманың барлық туындылары жиілігі 2n-шігедейін нольге тең болатындығы нан «максималды біртегістік»шығады.
Сипаттаманыңжоғары жиіліктерде түсуі
/> қабылдап,АЖС-ның жоғары жиіліктегі логарифмнің иілуін табамыз:
/> (10)
Децибелл түріндежоғарыжиілікті саимптотаның иілуі −20n дБ/декадаға.Фильтрдің жобалануы
Топологиялықфильтрлардың түрлі қатарлары бар, олардың көмегіменсызықты аналогты фильтрлер орындалады. Бұл схемалар элементтердіңмағынасымен ғана ерекшеленеді, ал олардың құрылымыөзгеріссіз қалады.
Кауэрдің топологиясы
Кауэр топологиясыпассивті элементтерді (сыйымдылық және индуктивтілік) қолданадыБаттеворт фильтрі берілген жіберуші функциямен Кауэра 1 тип формасында құрылуымүмкін, фильтрдің k-ы элементі өрнекпен беріледі:
/>; k жұп(11)
/>; k тақ(12)
Саллен-Кей топологиясы
Саллен-Кейтопологиясын пассивті элементтерден басқа активті элементтер (операциялықкүшейткіштер және сыйымдыылық) де пайдаланады. Саллен-Кейсхемасының әрбір каскады математикалық сипатталатынкомплексті-байланысқан полюстердің жұбымен сипатталатынфильтр болып табылады. Бүкіл фильтр барлық каскадтардыңтізбектей жалғануынан құралады. Егер жарайтын (действительный)полюс түссе, ол жеке орындалуы тиіс, әдетте RC-сымы түрінде жәнеортақ схемаға қосылған.
Саллен — Кейсхемасында әр каскадтың жіберуші функциясының түрікелесі:
/> (13)
БөліміБаттерворттың полиномасының көбейткіштерінің болуыкерек. /> қабылдап, алатынымыз:
/> (14)
және
/> (15)
Соңғы қатынаскөлденең таңдалуы мүмкін екі белгісізді береді.
сызықты фильтрлармен салыстыру
Төмендегісурет Баттерворт фильтрінің АЖС-н басқа белгілі бірдей (бесінші) реттегіфильтрларын салытыра отырып көрсетеді:
/>
Сурет2-Фильтрлардың амплитуда — жиіліктік сипаттамасы
Суреттен көрініптұрғандай, Баттерворт фильтрінің түсуі төртеуіненқарағанда ең жайы, бірақ оның АЖС-сы өткізужолағының жиілігінде ең біртегіс.
Мысал
/>
Баттерворттыңтөменгі жиіліктегі (Кауэр топологиясы) аналогты фильтры />үзіліс жиілігімен келесі элементтердіңноминалдарымен: />фарад,/>ом, />и />генри.
/>
Комплексті аргументжазықтығында H (s) жіберуші функцияныңтығыздығының логарифмді графигі 3-ретті Баттерворт фильтрінің/> үзіліс жиілігімен. Үш полюсбірлік радиустың дөңгелегінің сол жақ жартылайжазықтығындажатады.
Баттерворттыңаналогты төмен жиілікті 3 — фильтрін қарастырайық мыналармен қоса/>фарад, />ом, />және />генри.C сыйымдылықтардың толық кедергісін 1/Cs түріндежәне L индуктивтіліктердің толық кедергісін Lsтүрінде, мұнда /> – комплексті айнымалы, және элетр схемаларын есептейтін теңдеулердіқодана отырып, мынадай фильтр үшін келесі жіберуші функцияны аламыз:
/>
/> АЖСтеңдеумен беріледі:
/>
Ал ФЖС келесі теңдеумен:
/>
Топтық ауытқу(задержка) дөңгелектік жиіліктегі фазаның туындысыныңминусы ретінде және де фаза бойынша түрлі жиіліктегі сигналдыңауытқуының өлшемі болып табылады. Осындай фильтрдіңлогарифмдік />АЖС-ында пульсация не өткізу жолағында, не басу жолағындаболмайды.
Комплексті жазықтықтағыжіберуші функция модулінің графигі сол жақтағы үшполюсті көрсетеді. Жіберуші функция толығымен осы полюстардыңбірлік дөңгелекте орналасуымен дәл оське қатысысимметриялы анықталады. Әрбір индуктивтілікті сыйымдылықпен,ал сыйымдылықты-индуктивтіліктермен ауыстыра отырып Баттерворттыңжоғарыжиілікті фильтрін аламыз.
/>
/> және 3-ретті Баттерворт фильтрінің топтық ауытқуы/> үзіліс жиілігімен.
Әдебиет
1. В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
2. Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основамрадиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
3. Miroslav D. Lutovac Filter Design forSignal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: PrenticeHall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2
4. Richard W. Daniels Approximation Methodsfor Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN0-07-015308-6
5. Steven W. Smith The Scientist andEngineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: CaliforniaTechnical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
6. Britton C. Rorabaugh ApproximationMethods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN0-07-054004-7
7. B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive SignalProcessing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
8. S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rdEdition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
9. Michael L. Honig, David G. MesserschmittAdaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: KluwerAcademic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
10. J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN0-387-07563-1
11. L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall,1978. — ISBN 0-13-213603-1
12. Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall,1990. — ISBN 0-13-212887-X
13. A.V. Oppenheim, R.W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN0-13-214635-5
14. L.R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ:Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
15. John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall,1988. — ISBN 0-02-396815-X