Министерство образования и науки Саратовской области Муниципальное образовательное учреждение «Гимназия №87» Число е Творческая работа ученицы 11«а» класса гимназии №87 Березиной Евгении Учитель: Заико И. В. Саратов 2007 Содержание Введение 3 Глава 1 Леонардо Эйлер как великий математик 5
Глава 2 Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e 2.2 Приближенное вычисление значения числа e 2.3 Трансцендентность числа e 14 Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) 16 Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение 19 Глава 5 Применение числа e в математических задачах 22
Заключение 25 Список использованной литературы 26 Приложение 27 Приложение 28 Приложение 29 Приложение 30 Приложение 31 Приложение 32 Введение Это малое е Так не нравится мне: Если честно сказать, Можно только назвать Неприличным его поведенье Дж. А. Линдон В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом
Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера(1707 – 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение
Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы Эйлера–Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера. Под числом e понимают предел , который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить
приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы , где θ – это отношение разности (yn является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1). При этом число e является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y =
ex оказывается настолько важной, что, в отличие от y = ax (где a≠e), она получила особое название – экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Значение ex так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства (если x>0 и n N) или (если x
либо отличительных свойств. Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета. В данной работе представлены краткий обзор основных событий творческой жизни Леонарда Эйлера, суть числа e, представлен способ вычисления его приближенного значения и приближенного значения ex, так же показано проявление числа e в реальной жизни и его использование
в математике. Глава 1 Леонард Эйлер как великий математик Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.) (приложение 1). Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им
Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.
Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству
в самых различных областях математики и её приложений. Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 – 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов.
Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути. Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение
математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой.
Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии). В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ. В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком
языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики. Прекрасно зная ум Эйлера, на его свадьбу 1733 года на дочери живописца
Екатерине Гзель ему преподнесли сочиненные по случаю стихи: В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер удивит весь мир, Что только цифры и расчёты Его единственный кумир. Теперь совсем в другом он мире, Где чувства, счастье и любовь И то что дважды два – четыре, Доказывать придётся вновь!
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу самостоятельно всего за 3 дня.
Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой» философски заметил он. До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение « Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении », изданное в 1736 году, принесло ему мировую
славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. В 1741 году Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях и в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком. Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской
Академии – и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 году Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в
изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов. В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: « Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности:
«Введение в анализ бесконечных» 1748 г «Морская наука» 1749 г «Теория движения луны» 1753 г «Наставление по дифференциальному исчислению» 1755г а так же десятки статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.
Почти сто лет спустя, когда во многих странах – и прежде всего в Англии – стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов. Вступившая в 1762 году на русский престол Екатерина II, предложила Эйлеру управление математическим отделением и звание конференц-секретаря
Академии. Фридрих долго не хотел разрешать ученому возвращаться в Россию, в ответ на что Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 году Фридрих разрешает наконец-то ему уехать в Россию. Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей, которая поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. После возвращения в Петербург у
Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза – он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. В мае 1771 года в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из
Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной.
В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию – и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились наблюдать девять местных светил медицины, но вся операция заняла три минуты и Эйлер снова стал видеть. Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать – лишь постепенно привыкать к новому состоянию.
Однако для Эйлера было просто невозможно «не вычислять», и уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова, на этот раз навсегда. Несмотря на это, отнёсся он к такому неприятному событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе. В 1773 году. по рекомендации
Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс (1755 – 1825 гг.). Это было большой удачей для Эйлера, так как Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет, то есть до самой своей смерти,
Эйлер именно ему диктовал свои труды. В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами ряда своих учеников». В сентябре 1783 году учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи.
Беседуя с А. И. Лекселем (1740 – 1784 гг.) о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» – и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших
математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер. Главные понятия, созданные Эйлером, это точки Эйлера, прямая Эйлера и окружность Эйлера в треугольнике; теорема Эйлера для многогранников, метод ломаных Эйлера (один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет),
Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера), углы Эйлера (они используются главным образом в механике при описании движения тел), и, разумеется, число Эйлера, то есть число e. Именно Эйлер определил число e как бесконечную дробь Глава 2 Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e Рассмотрим числовую последовательность (xn), заданную формулой .
Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность (yn), заданную формулой . Докажем, что (yn) – убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (an) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно, ; . Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем: .
Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим . Таким образом, , а значит . Теперь докажем ограниченность снизу (yn), для этого воспользуемся неравенством Бернулли: . Поскольку (yn) – ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. И, наконец, докажем сходимость последовательности : Предел последовательности (xn)= и называют числом e, то есть числом
Эйлера. 2.2 Приближенное вычисление значения числа e На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение. Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений) xn= применить формулу бинома, то получим: Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то
получим следующее неравенство: .Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем: . Это неравенство имеет место при любом натуральном k.Таким образом, имеем xn
в этот ряд, то есть . Оценим степень близости yn к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением yn+m (где m=1,2,3 ), следующим за yn, и самим yn. Имеем Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство: , которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем : .Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта yn+m будет принимать
последовательность значений yn+1, yn+2, yn+2, yn+3,…, yn+m,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому , а так как , то . Если через θ обозначить отношение разности к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать . Заменяя здесь yn его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e: . Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов
его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/107,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность. Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже 0,000 000 03, поэтому, отбрасывая его, мы получаем
погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,108 (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/108. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что
суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами и. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 8 0, 000 000 1 Таким образом, с помощью формулы можно вычислить приближенное значение e с точностью до любого требуемого знака. 2.3. Трансцендентность числа e Как и число π, число e трансцендентное, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического
уравнения с рациональными коэффициентами, и нет способа построить отрезок, длина которого выражалась бы числом e. Докажем трансцендентность (иррациональность) этого числа, для этого вернемся к уже использованной выше формуле: . Предположим, что e равно рациональной дроби . Тогда для этого n справедливо равенство (где 0<>
мы получим слева целое число, а справа – целое число с дробью , что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что число e трансцендентно, то есть иррационально. Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = ex оказывается настолько важной, что, в отличие от y = ax (где a≠e), получила особое название – экспоненциальная функция, или кратко экспонента.
Как и y = ax (где a≠e) при a>1, функция y=ex монотонно возрастает и не обращается в нуль на всем множестве действительных чисел (приложение 3). Кроме того, существует ряд теорем, облегчающих работу с заданной функцией. Так, например, Если x>0, то для любого натурального n выполняются неравенства (1) (2) Докажем неравенство (1) методом математической индукции.
1) Проверим справедливость заданного утверждения при n=1. Имеем: = 1 + х – истинно, поскольку y = 1+x – это касательная к графику функции y = ex в точке с абсциссой x0=1; а так как функция y = ex обращена выпуклостью вниз на множестве всех действительных чисел, то для любого x из множества всех действительных чисел выполняется неравенство . 2) Предположим, что неравенство (1) верно при n=k, то есть, предположим, что .
3) Докажем его справедливость при n = k+1, то есть докажем, что . Для этого образуем вспомогательную функцию φ – разность левой и правой частей неравенства , то есть При х=0 эта функция обращается в нуль: φ(х)=0. Её производная имеет вид: . По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция φ(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку φ(0)=0, то для всех х>0 имеем
φ(х)>φ(0)=0, что и означает, что выполняется неравенство . Таким образом мы доказали справедливость при n = k+1 неравенства , в предположении его справедливости при n = k, а так как оно справедливо и при n = 1, то оно справедливо для всех натуральных n. Теперь докажем неравенство (2) методом математической индукции. 1) Проверим его справедливость при n = 1, имеем: – истинно.
2) Предположим верность данного неравенства при n = k, то есть, предположим, что . Докажем справедливость этого неравенства при n = k+1, то есть докажем, что , для этого образуем вспомогательную функцию φ – разность левой и правой частей неравенства , то есть . По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция φ(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку φ(0)=0, то для всех х>0 имеем φ(х)>φ(0)= 0,
а что и означает, что выполняется неравенство . Таким образом мы доказали справедливость неравенства при n=k+1 в предположении его справедливости при n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n То есть мы доказали, что при x>0 и n N верно двойное неравенство . С помощью него можно найти с любой точностью значение ex при любом x, так как , а значит . Кроме того, при x
Используя полученные неравенства, вычислим приближенное значение для e-0,5 с точностью до 0,001. Во-первых, найдем такое n, чтобы . Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пять слагаемых в каждом из неравенств, имеем: , отсюда e-0,5≈0,607; более точные вычисления дают результат 0,6065… Теперь вычислим приближенное значение e0,5 с точностью 0,01. Найдем такое n, чтобы выполнялось неравенство . Таким n является число 3, тогда , отсюда e0,5≈0,165;
более точные вычисления дают значение 0,6487. Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера. Ответ на него столь же прост, как и на вопрос о математическом его применении.
Главным образом оно проявляет себя при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета. Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления
процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в , или 2,69
рубля. В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины , где п — число начислений прибыли.
При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е. Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности
банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипятизначным числом. Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах.
Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой
природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция. И хотя при расчетах в строительном конструировании инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются почти исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е. Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется — цепная линия (приложение 4). В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит
число е и уравнение этой кривой имеет вид .Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром: если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то он выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гилберта — это вершины потухших подводных вулканов, в сечении вертикальной плоскостью они имеют форму цепной линии.
Цепная линия не принадлежит к числу кривых, называемых коническими сечениями (эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, так как их можно получить на поверхности конуса в пересечении с плоскостью Р, не проходящей через вершину конуса; при этом поверхность конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины) (приложение 5), хотя по виду очень напоминает параболу. Французский энтомолог Жан Анри Фарб в книге «Жизнь паука» дает описание цепной линии, непревзойденное
по своему красноречию: «Бессмысленное число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дому в туманное утро, рассмотрим внимательно сплетенную за ночь паутину. Усеянные крохотными капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги,
превращаясь в сверкающую гроздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем своем великолепии». Глава 5 Применение числа е в математических задачах Как уже было неоднократно сказано, число Эйлера действительно имеет огромное значение в математике. Для подтверждения этого приведем несколько задач, в решении которых оно так или иначе фигурирует. Так как факториал числа п равен числу перестановок из п предметов, то не удивительно, что число е фигурирует
в задачах теории вероятностей, связанных с перестановками. Классическим примером является следующая задача о перепутанных шляпах. Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, гардеробщица случайно перепутала их. Спрашивается, с какой вероятностью хотя бы один из владельцев получит свою собственную шляпу. Существуют и другие формулировки этой задачи. Например, речь может идти о рассеянной секретарше, которая
положила как попало несколько писем в заранее надписанные конверты. Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо дойдет по назначению? Или: однажды всех матросов отпустили в увольнение на берег; вернувшись усталыми, они замертво попадали на первые попавшиеся койки; какова вероятность того, что один матрос спит на своей койке? Для решения задачи нужно знать две величины: во-первых, число всех перестановок из 10 шляп и, во-вторых,
число «совершенно беспорядочных» перестановок, то есть число перестановок, при которых ни один владелец шляпы не получает свою шляпу. Первое число равно 10 то есть 3 628 800. Однако вряд ли кто-нибудь отважится выписать все эти перестановки, чтобы отобрать из них «совершенно беспорядочные». К счастью, существует один простой, хотя и несколько необычный, метод нахождения нужного числа. Оказывается, что число «совершенно беспорядочных» перестановок из п предметов равно целому числу,
ближайшему к дроби . В нашем случае таким целым числом является 1 334 961, поэтому вероятность того, что ни один человек не получит назад свою шляпу, равна 1 334 961/3628 800 = 0,367 879 Последнее число очень близко к . Сократив 10! в числителе и знаменателе, получим 1/е. Следовательно, вычисленная нами вероятность почти не отличается от 1/е. Таким образом, вероятность того, что все шляпы оказались перепутанными, нам известна.
Очевидно, что всегда происходит одно из двух: либо все шляпы оказываются перепутанными, либо хотя бы одна из них возвращается к своему владельцу. Следовательно, вычитая 1/е из 1 (вероятность достоверного события равна 1), мы получаем вероятность того, что, по крайней мере, один человек получает свою шляпу назад. Итак, искомая вероятность оказывается равной 0,6321, что составляет почти 2/з. У только что решенной задачи есть одна странная особенность: после того как число шляп достигает шести
или семи, дальнейшее его увеличение фактически не влияет на результат. Независимо от числа людей (будь их десять или десять миллионов), вероятность того, что одна или более шляп окажутся у владельцев, равна 0,6321 (из приложения 5 видно, что вероятность того, что никто не получит свою шляпу, очень быстро достигает предела, равного