1. Определениереакций опор составной конструкции (система двух тел)
Задание: Конструкция состоит из двух частей.Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции /> наименьший, и для этоговарианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.
Дано: /> =9,0 кН; />= 12,0 кН; />= 26,0 кН/>м; />= 4,0 кН/м.
Схема конструкции представлена нарис.1.
/>
Рис.1. Схема исследуемой конструкции.
Решение:
1) Определение реакции опоры А пришарнирном соединении в точке С.
Рассмотрим систему уравновешивающихсясил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов силотносительно точки B.
/>
Рис.2.
/> (1)
где />кН.
После подстановки данных и вычисленийуравнение (1) получает вид:
/>кН (1’)
Второе уравнение с неизвестными /> и /> получим, рассмотревсистему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположеннойлевее шарнира С (рис. 3):
/>
Рис. 3.
/>.
Отсюда находим, что
/>
/> кН.
Подставив найденное значение /> в уравнение (1’) найдем значение />:
/> кН.
Модуль реакции опоры А пришарнирном соединении в точке С равен:
/> кН.
2)Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящейзаделкой, показанной на рис. 4.
/>
Рис. 4
Системы сил, показанные на рис. 2 и4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил,приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис.5).
/>
Рис. 5
Составим уравнение равновесия:
/> />
/>
и из уравнения (1’) находим:
/>
/>
Следовательно, модуль реакции прискользящей заделке в шарнире С равен:
/>
/> кН.
Итак, при соединении в точке Сскользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирномсоединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В искользящей заделки.
Для левой от С части (рис. 5а)
/> />,
/> кН.
Составляющие реакции опоры В и моментв скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой отС части конструкции.
/> />
/> кН*м
/> /> /> кН
/> />;/> кН
Результаты расчета приведены втаблице 1.
Таблица 1. Силы, кН
Момент, кН*м
XA
YA
RA
XC
XB
YB
MC Для схемы на рис. 2 -7,5 -18,4 19,9 – – – – Для схемы на рис. 4 -14,36 -11,09 17,35 -28,8 28,8 12,0 -17,2
2. Определениереакций опор твердого тела
Задание: Найти реакции опор конструкции. Схемаконструкции показана на рисунке 1. Необходимые данные для расчета приведены втаблице 1.
Табл. 1Силы, кН Размеры, см
/>/>
/> a b c R r 2 1 15 10 20 20 5
/>
Рис. 1. Здесь: />, />, />, />.
Решение: К конструкции приложены сила тяжести />, силы /> иреакции опор шарниров /> и />: />(рис. 2)
/>
Рис. 2.
Из этих сил пять неизвестных. Для ихопределения можно составить пять уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительнокоординатных осей:
/>;
/>;
/>; /> кН.
/>;
/>; /> кН.
/>;
/>; /> кН.
Уравнения проекций сли на осикоординат:
/>;
/> кН
/>;
/>кН.
Результаты измерений сведены в табл. 2.
/>
/>
/>
/>
/> 0,43 кН 1,16 кН 3,13 кН -0,59 кН 3,6 кН 3. Интегрирование дифференциальных уравнений
Дано
a=45°; Vв=2Va; τ=1c; L=3 м; h=6
Найти ƒ=? d=?
Решение
mX=SXi 1 Fтр=fN
mX=Gsina-Fcoпр N=Gcosa
a mX=Gsina-fGcosa
X=gsina-fgcosa
X=(g(sina-fcosa) t+ C1
X=(g(sina-fcosa)/2) t2+ C1t+C2При нормальныхусловиях: t=0 x=0X=C1 X= C2=> C1=0
X=g(sina-fcosa) t+ 1 X=(g(sina-fcosa)/2) t2
X=VвX=L
Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ
L=((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ
ƒ=tgα-(2L/τ*g*cosα)=1-0,8=0,2
Vв=2l/τ=6/1=6м/с
Рассмотрим движение тела от точки В доточки С показав силу тяжести действующую на тело, составим дифференциальное уравнениеего движения. mx=0 my=0
Начальные условия задачи: при t=0
X0=0 Y0=0
X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα
Интегрируем уравнения дважды
Х=C3 Y=gt+C4
X= C3t+ C5
Y=gt /2+C4t+C6, при t=0
X=C3; Y0=C4
X=C5; Y0=C6
Получим уравнения проекций скоростей тела.
X=Vв*cosα, Y=gt+Vв*sinα
и уравнения его движения
X=Vв*cosα*t Y=gt /2+Vв*sinα*t
Уравнение траектории тела найдем,исключив параметр t из уравнения движения. Получим уравнениепараболы.
Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα
В момент падения y=h x=d
d=h/tgβ=6/1=6м
Ответ: ƒ=0,2 d=6 м
4. Определениереакций опор составной конструкции (система двух тел)
Задание: Конструкция состоит из двух частей.Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции /> наименьший, и для этоговарианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.
Дано: /> =9,0 кН; />= 12,0 кН; />= 26,0 кН/>м; />= 4,0 кН/м.
Схема конструкции представлена нарис.1.
/>
Рис.1. Схема исследуемой конструкции.
Решение:
1) Определение реакции опоры А пришарнирном соединении в точке С.
Рассмотрим систему уравновешивающихсясил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов силотносительно точки B.
/>
Рис.2.
/> (1)
где />кН.
После подстановки данных и вычисленийуравнение (1) получает вид:
/>кН (1’)
Второе уравнение с неизвестными /> и /> получим, рассмотревсистему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположеннойлевее шарнира С (рис. 3):
/>
Рис. 3.
/>.
Отсюда находим, что
/>
/> кН.
Подставив найденное значение /> в уравнение (1’) найдем значение />:
/> кН.
Модуль реакции опоры А пришарнирном соединении в точке С равен:
/> кН.
2)Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящейзаделкой, показанной на рис. 4.
/>
Рис. 4
Системы сил, показанные на рис. 2 и4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил,приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис.5).
/>
Рис. 5
Составим уравнение равновесия:
/> />
/>
и из уравнения (1’) находим:
/>
/>
Следовательно, модуль реакции прискользящей заделке в шарнире С равен:
/>
/> кН.
Итак, при соединении в точке Сскользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирномсоединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В искользящей заделки.
Для левой от С части (рис. 5а)
/>
/>,
/> кН.
Составляющие реакции опоры В и моментв скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой отС части конструкции.
/> />
/> кН*м
/> /> /> кН
/> />;/> кН
Результаты расчета приведены втаблице 1.
Таблица 1. Силы, кН
Момент, кН*м
XA
YA
RA
XC
XB
YB
MC Для схемы на рис. 2 -7,5 -18,4 19,9 – – – – Для схемы на рис. 4 -14,36 -11,09 17,35 -28,8 28,8 12,0 -17,2
Дано :
R2=15; r2=10;R3=20; r3=20
X=C2t2+C1t+C0
При t=0 x0=8 />=4
t2=2 x2=44 см
X0=2C2t+C1
C0=8
C1=4
44=C2 *22+4*2+8
4C2=44-8-8=28
C2=7
X=7t2+4t+8
/>=V=14t+4
a=/>=14
V=r2/>2
R2/>2=R3/>3
/>3=V*R2/(r2*R3)=(14t+4)*15/10*20=1,05t+0,3
/>3=/>3=1,05
Vm=r3*/>3=20*(1,05t+0,3)=21t+6
atm=r3/>
/>=1,05t
atm=R3/>=20*1,05t=21t
anm=R3/>23=20*(1,05t+0,3)2=20*(1,05(t+0,28)2
a=/>
5. Применениетеоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механическойсистемы
Исходные данные.
Механическая система под действиемсил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Трение скольжения тела 1 исопротивление качению тела 3 отсутствует. Массой водила пренебречь.
Массы тел — m1, m2, m3, m4; R2, R3, R4 – радиусы окружностей.
/>