ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Общие вопросы теории теплообмена
Неравномерноераспределение температуры в металле, характерное для сварки и других видовместной тепловой обработки металла, неустойчиво. С течением времени температурав неравномерно нагретом теле выравнивается, причем более нагретые части отдаюттепло непосредственно соприкасающимся с ними менее нагретым частям. Такойэнергетический обмен между взаимодействующими телами или их отдельными частямис неодинаковой температурой называется теплообменом или теплопередачей.Количество энергии, переданной частицами более горячего тела частицам болеехолодного, называется количеством теплоты, или просто теплотой. При этомтеплота переходит от точек с более высокой температурой к точкам с более низкойтемпературой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене междуразличными телами это положение также сохраняется, т. е. теплота переходит отболее нагретых к более холодным телам. Таким образом, конечный результаттеплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же телазаключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается.
Понятие «теплообмен»охватывает совокупность всех явлений, при которых имеет место переноснекоторого количества теплоты из одной части пространства в другую в твердых,жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природевесьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в видецелого комплекса разнородных явлений. Для удобства принято делить переностеплоты на простейшие виды: теплопроводность, конвекцию, теплообмен излучением,или радиацией. Эти процессы глубоко различны по своей природе и характеризуютсяразличными законами. Соответственно этому и строится математическая теорияописания каждой формы теплообмена, со своими уравнениями, своимиматематическими методами, аналитическими или численными, или методами аналогий.
Теплопроводностьхарактеризуется тем, что ее действие связано с наличием вещественной среды ичто теплообмен может происходить только между такими частицами тела (молекуламии атомами), которые находятся в непосредственной близости друг от друга.Явление это можно представить себе так, что теплота переходит от одной частицык другой, однако при этом сами частицы не перемещаются. В чистом виде процесстеплопроводности наблюдается в твердых телах.
Конвекция наблюдаетсятогда, когда материальные частицы какого-нибудь тела изменяют свое положение впространстве и при этом переносят содержащуюся в них теплоту. Это явление имеетместо в жидкостях и газах и всегда сопровождается теплопроводностью, т. е.передачей теплоты от одной частицы к соседней, если только во всей текущеймассе нет полного равенства температур. Теплообмен между средой и стенкойназывают теплоотдачей.
Теплообмен излучениемхарактеризуется отсутствием контакта между телами, обменивающимися теплотой.Примером может служить излучение Солнцем теплоты на Землю через космическоепространство, в котором, как известно, плотность вещества ничтожна. Явлениетеплового излучения возникает у поверхности или внутри тела в результатесложных молекулярных и атомных возмущений. При этом некоторая часть внутреннейэнергии тела преобразуется в электромагнитные волны (или в другом представлениив фотоны — кванты энергии) и уже в такой форме передается через пространство.
Все эти различные формыпереноса теплоты не обособлены и в чистом виде встречаются лишь на отдельныхучастках пути прохождения теплоты. В большинстве случаев один вид теплообменасопутствует другому и разделить их между собой очень трудно.
Одним из законов, лежащихв основе аналитической теории теплопроводности, является гипотеза Фурье,связывающая перенос теплоты внутри тела с температурным состоянием внепосредственной близости от рассматриваемого места. Поэтому при изучениитеории теплопроводности прежде всего необходимо установить основные понятия,такие, как температурное поле, градиент температуры, вектор теплового потока.
Температурное поле
Температурным полемназывается совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемогопространства (тела) в каждый фиксированный момент времени.
Температура являетсяскалярной величиной, так как она характеризует тепловое состояние в любой точкетела, определяя степень его нагретости. Температуре нельзя приписать какое-либонаправление и поэтому температурное поле является скалярным. Математическимвыражением распределения температуры в теле является выражение, содержащее вкачестве независимых переменных пространственные координаты и время:
в декартовой системекоординат
Т=Т(х, у,z,t); (2.1)
Основной задачейаналитической теории теплопроводности является изучениепространственно-временного изменения температуры, т. е. нахождение зависимости(2.1). Уравнение (2.1) является записью наиболее общего вида температурногополя, когда температура в теле изменяется с течением времени и от одной точки кдругой. Такое поле соответствует неустановившемуся тепловому режимутеплопроводности и называется нестационарным температурным полем. Если тепловойрежим является установившимся, то температура в каждой точке тела с течениемвремени остается неизменной, меняясь лишь от точки к точке. Такое температурноеполе называется стационарным и температура является функцией только координат,например в декартовых координатах
Т=Т(х, у, z), ∂T/∂t=0.(2.2)
Температурное поле,соответствующее уравнению (2.2), является пространственным, или трехмерным, таккак температура является функцией трех координат.
Если вдоль одной изкоординат температура остается постоянной, то математически это условие записывается(например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0. В этом случае поленазывается двумерным и записывается: для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);для стационарного режима Т=Т(х, у).
Если температура остаетсяпостоянной вдоль двух координат (например, у и z), то дТ/ду = дТ/дz = 0 и поленазывается одномерным. В этом случае можно записать: для нестационарного режимаТ=Т(х, t); для стационарного Т=Т(х).
Переменные х, у, z,фигурирующие в уравнении (2.1), определяют положение любой точки рассматриваемоготела, являясь координатами этой точки в выбранной системе координат. Этипеременные могут принимать бесконечное множество числовых значений, как ипеременная t, характеризующая время течения процесса теплопроводности.Совокупность всевозможных числовых значений переменных х, у, z, t, каждому изкоторых соответствует вполне определенное значение температуры Т=Т(х, у, z, t),называется областью определения функции Т(х, у, z, t). Функция Т(х, у, z, t) всвоей области определения считается обычно непрерывной, дважды непрерывнодифференцируемой по пространственным координатам (х, у, z) и непрерывнодифференцируемой по времени t.
В теле, имеющемтемпературу Т(х, у, z, t), можно выделить поверхность, во всех точках которой внекоторый момент времени температура одинакова. Такая поверхность называетсяизотермической поверхностью или поверхностью уровня. Уравнение поверхностиуровня имеет следующий вид:
Т(х, у, z, t)=C или Т=С,где C=const.
В отличие от стационарныхв нестационарных полях форма и расположение изотермических поверхностей стечением времени изменяются. Изотермические поверхности характеризуются следующимиосновными свойствами:
а) двеизотермические поверхности, имеющие различные температуры, никогда непересекаются друг с другом, так как в одной и той же
точке тела одновременно не может быть двух различных температур;
б) изотермическиеповерхности не имеют границ внутри тела. Они
или кончаются на поверхности, или замыкаются на себя, располагаясь
внутри тела;
в) теплота нераспространяется вдоль изотермической поверхности,
а направляется от одной изотермической поверхности к другой. Это следует изположения о том, что тепловая энергия распространяется от более нагретогоучастка к менее нагретому.
/>
Рис. 2.1
Таким образом, можносчитать, что изотермические поверхности разделяют твердое тело на тонкие «слои»— изотермические оболочки, отделяющие часть тела с температурой, большей, чем T=С,от части тела с температурой, меньшей, чем Т=С. Пересечение изотермическихповерхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии,соответствующие одинаковой температуре). Они обладают теми же свойствами, что иизотермические поверхности, т. е. не пересекаются, не обрываются внутри тела,оканчиваются на поверхности либо целиком располагаются внутри самого тела. Нарис. 2.1 представлен участок двумерного температурного поля с изотермами Т, Т±∆Т,Т±2∆Т и т. д.
Задание температурногополя соотношением Т=Т(х, у, z, t) не всегда дает достаточно ясное представлениео поведении этого поля, а задание изотермических поверхностей (поверхностейуровня) с отметкой на них соответствующих значений температуры Т=С равносильнозаданию самого поля Т=Т(х, у, z, t), при этом взаимное расположение поверхностейуровня даст наглядное представление о соответствующем поле температур.Указанный способ изображения поля особенно удобен, когда речь идет о двумерномполе.
Равенство вида Т(х, у, t)= C (всюду время t фиксировано) определяет на плоскости (х, у) некоторую кривуюу = φ(х, с, t). Такие кривые называются линиями уровня (изотермами)плоского (двумерного) температурного поля Т=Т(х, у, t) (рис. 2.2).
/>
/>
Рис. 2.2
На практике приходитсяиметь дело с температурными полями, обладающими специальными свойствамисимметрии, облегчающими изучение таких полей.
§ 2.3 Температурныйградиент
/>
Рассмотрим две бесконечноблизкие изотермические поверхности
с температурами Т и Т+∆Т(∆Т>0) и какую-либо точку М, лежащую
на одной из них (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Перемещаясь из точки Мвдоль любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменениятемпературы по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться вдолькакого либо направления l, пересекающего изотермические поверхности, то наблюдаетсяизменение температуры. Используя понятие производной скалярного поля позаданному направлению, можно описать его локальные свойства, т. е. изменениетемпературы Т при переходе от точки М к близкой точке М’ по направлению l.Скорость изменения температуры Т в точке М в направлении l характеризуетсяпроизводной функции Т
дТ/дl= lim[T(M’) — Т(М)]/∆l. (2.3)
∆l→0
Наибольшая разностьтемпературы на единицу длины вектора перемещения [Т(М”)—Т(М)]/∆l наблюдаетсяв направлении нормали n к изотермической поверхности (рис. 2.3). В соответствиис (2.3) максимальная скорость изменения температуры при этом равна пределуотношения изменения температуры ∆T к расстоянию между изотермическимиповерхностями по нормали ∆n, когда ∆n стремится к нулю:
дТ/дп= lim [T(M”)—T(M)]/∆n=lim ∆T/∆n. (2.4)
∆n →0 ∆n→0
Итак, в любой точке Мизотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный понормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Абсолютнаявеличина этого вектора равна изменению температуры на единицу длины перемещенияв рассматриваемом направлении — скорости возрастания температуры в этомнаправлении (т. е. производной от температурной функции Т по направлениюнормали n). Такой вектор называют градиентом температуры в точке М илиградиентом температурного поля и записывают в виде символа grad T:
в декартовых координатах(х, у, z)
grad T = ∂T/∂xi + ∂T/∂y j + ∂T/∂z k (2.5)
Для обозначения вектора (2.5)в теории поля иногда применяют символ gradT = T
Согласно сказанному выше,можно записать
|grad T| = ∂T/∂n (2.6)
длина вектора grad Травна скорости возрастания Т в этом направлении. Здесь и всюду далее n —единичный вектор нормали.
Температурный градиентпоказывает, насколько интенсивно (резко) меняется температура внутри тела.
Производная от функции Тпо направлению нормали n и вектор gradT связаны соотношением
дТ/дп = п grad Т. (2.7)
Вектор нормали n кповерхности T=const в точке М может иметь два противоположных направления, одноиз которых можно считать внешним по отношению к данной поверхности, а другоевнутренним.
Если нормаль n направитьв сторону больших температур, то дТ/дп>0 и, как следует из (2.7), градиенттемпературы будет направлен в ту же сторону (угол между векторами n и grad Tравен нулю). Если нормаль направить в сторону убывающей температуры, топроизводные дТ/дп
Тепловойпоток. Векторная и скалярная формы закона Фурье
В теле, не находящемся вполном тепловом равновесии (т. е. обладающим неравномерным распределением температуры),всегда происходит перенос теплоты. Отсюда следует, что для передачи теплотытеплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента вразличных точках тела. Тепловой поток в отличие от температуры — величины скалярной— имеет вполне определенное направление, а именно: от точек тела с болеевысокой к точкам с более низкой температурой. Таким образом, тепловой потокможно рассматривать как ректор, направленный в сторону уменьшения температур, аполе тепловых потоков — векторным. Для математического описания поля тепловыхпотоков вводится вектор q, называемый вектором плотности теплового потока. Подвектором плотности теплового потока в точке М температурного поля понимаютвектор, направление которого совпадает с направлением переноса теплоты, аабсолютная величина выражает тепловой поток или интенсивность переноса теплоты,измеряемую количеством теплоты, проходящей в единицу времени через единицуплощади поверхности, перпендикулярной направлению потока в рассматриваемойточке. Обозначим через dQ количество теплоты, проходящее через изотермическуюповерхность площади dσ за время dt. Тогда, по определению, абсолютноезначение вектора плотности теплового потока можно записать в виде
q = dQ/ (dσ dt) (2.8)
Формула (2.8)характеризует плотность теплового потока единичного элемента изотермическойповерхности. Понятие плотности теплового потока, как будет показано ниже,применимо к любой, а не только к изотермической поверхности.
Опыт показывает, чтопередача теплоты теплопроводностью происходит по нормали к изотермическойповерхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой.Следовательно, вектор плотности теплового потока направлен по нормали кизотермической поверхности в направлении падения температуры. Можно говорить оплотности теплового потока и вдоль любого другого направления l, отличного отнаправления нормали п. В этом случае плотность теплового потока в направлении lесть проекция вектора q на это направление, т.е. величина q·cos(n,l).
Сущность гипотезы Фурьесостоит в том, что тепловой поток через элемент изотермической поверхностивполне определяется значением температурного градиента в рассматриваемой точкеМ. Возникновение тепловых потоков вдоль изотермических поверхностей невозможно,так как по всей изотермической поверхности составляющая градиента температурыравна нулю. Следовательно, векторы плотности теплового потока q и grad Tнаправлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположныестороны (рис. 2.4).
/>
Рис. 2.4
С увеличением перепадатемператур, т. е. с возрастанием температурного градиента, увеличивается иплотность теплового потока. Опыты показали, что плотность теплового потокаможно считать пропорциональной первой степени удельного перепада температуры.Это и явилось основой гипотезы Фурье о наличии простейшей количественнойзависимости между абсолютными значениями векторов плотности теплового потока итемпературного градиента. На основе этих данных, а также соображений опротивоположном направлении этих векторов закон Фурье в векторном видезаписывается следующим образом:
q = — λ grad T. (2.9)
Этот закон,сформулированный в виде гипотезы, был подтвержден многочисленными опытами.Выражение (2.9) описывает механизм теплопроводности и используется при выводеуравнения теплопроводности, лежащего в основе всех теоретических исследованийпроцессов теплопроводности.
Коэффициентпропорциональности λ называется теплопроводностью и является физическойконстантой, характеризующей теплопроводящие свойства материала данного тела.Подставляя в уравнение (2.9) единицы q и температурного градиента, найдем для λединицу Вт/(м-град).
Числовое значениетеплопроводности определяет количество теплоты, проходящее через единицуплощади изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры,равном единице. Значение теплопроводности в общем случае зависит от природывещества, его структуры, влажности, давления, температуры и других факторов. Вбольшинстве случаев теплопроводность λ для различных материаловопределяется опытным путем, а при технических расчетах значение λ беретсяиз справочных таблиц.
С повышением температуры λвозрастает (что связано с увеличением скорости движения молекул и их учащеннымсоударением), от давления же λ практически не зависит.
Выражение (2.8) запишем ввиде
dQ= q·dσ·dt. (2.10)
Как отмечалось, нормаль пк элементу dσ изотермической поверхности может иметь два направления(направляющие косинусы этих направлений отличаются только знаками). Условимсясчитать тепловой поток положительным, если направление потока совпадает свыбранным направлением нормали, и отрицательным, если оно ему противоположно.Для абсолютных значений векторов, входящих в равенство (2.9), следует, что q=λ|gradT|.Теперь в равенстве (2.6) необходимо поставить знак минус, т. е. |grad Т|= — дТ/дпи
q=—λ∂T/∂n. (2.11)
Можно писать закон Фурьев скалярной форме:
dQ=- λ(dT/dn)dσdt. (2.12)
Выражение (2.12)определяет количество теплоты, проходящее через малый участок dσизотермической поверхности за время dt по направлению нормали n к площадкеdσ.
Теплосодержание S [ватт/г]это количество теплоты, сообщённое твердому телу при нагреве до температуры T, отнесенноек единице его массы, отсчитывают при технических расчетах не от абсолютногонуля, а от значения, соответствующего нулю стоградусной шкалы. Теплосодержаниежелеза S при нагреве от 0 до 1600° возрастает на 1434 кал/г. В критическихточках, соответствующих аллотропическим превращениям Feα→ Fer (906°)и Fer —>Feα (1401°), а также температуре плавления (1528°), при нагревепоглощается, а при охлаждении выделяется теплота, и теплосодержание изменяется скачкообразно.
Теплоемкость твердоготела (истинная или при данной температуре) с ватт/г°С представляет пределотношения количества теплоты ∆S, сообщенного телу, к соответствующемуизменению температуры ∆Т при бесконечном уменьшении этого изменения с=dS/dT.
Для расчетов иногдаудобно принимать среднюю теплоемкость в данном промежутке температур,представляющую отношение количества теплоты S2—S1, сообщенного телу, ксоответствующей разности температур T2—T1. Так, например, средняя теплоемкостьжелеза в промежутке от 0 до 1500° составляет 256/1500=0.73 ватт/г С°.
Так как в сварочныхпроцессах масса свариваемого металла изменяется несущественно удобно в расчетахиспользовать удельную объемную теплоемкость, численно равную произведениюмассовой теплоемкости на плотность.
Дифференциальное уравнениетеплопроводности
Связь между величинами,участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается такназываемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которогостроится математическая теория теплопроводности. В основу выводадифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии,сочетаемый с законом Фурье.
Выделим в теле некоторуючасть объема V, ограниченную замкнутой поверхностью S, через которую происходиттепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой — остальнойчастью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q,полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а такжеот внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества,содержащегося в выделенном объеме:
Q = Q1 + Q2. (2.13)
где Q — изменениевнутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt,Дж; Q1 — количество теплоты, введенное в выделенный объем путемтеплопроводности за время dt, Дж; Q2 — количество теплоты, которое выделилось вобъеме V за время dt вследствие внутренних источников теплоты, Дж.
Это утверждение вместе сзаконом Фурье положено в основу вывода
дифференциального уравнения теплопроводности — основного уравнения аналитическойтеории теплопроводности.
/>
Рис. 2.5
Пусть V — выделенныйобъем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (необязательно изотермической); n — единичный вектор внешней нормали к точкамповерхности S (рис. 2.5); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (х, у, z) вмомент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделеннымобъемом за малый промежуток времени dt, имея в виду, что Q=Q1+Q2. Длявычисления Q1 воспользуемся законом Фурье в скалярной форме. Количествотеплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку dσ завремя dt, равно
dQ1 =λ∂T/∂n·dσ·dt= λ·n·gradT dσ· dt =- qndσ·dt (2.14)
где q =— λ gradT—вектор плотности теплового потока.
Количество теплоты, протекающееза время dt через площадь поверхности S, выразится интегралом
/> (2.15)
где qn — проекция вектораq на нормаль п.
Поверхностный интеграл (2.15)можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающейдвойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему V,ограниченному этой поверхностью:
/> (2.16)
Таким образом,
/> (2.17)
Выделение или поглощениетеплоты внутри объема V удобно хаpактеризовать с помощью плотности (мощности)тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функциюF(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dtвыделяется количество теплоты, равное
dQ2= F(x, у, z, t)dVdt= F(M,t)dVdt. (2.18)
Тогда за промежутоквремени dt в теле объемом V выделится количество теплоты
/> (2.19)
Здесь F(M, t)>0; еслиF(M, t)
Общее количество теплотыQ,, полученное выделенным объемом V,
/> (2.20)
С другой стороны,согласно формуле (2.13), это количество теплоты равно изменению внутреннейэнергии вещества, содержащегося в выделенном объеме. Указанное изменение наосновании первого закона термодинамики может быть выражено формулой
Q=CdT, (2.21)
где С — теплоемкостьвыделенного объема; dT — изменение его температуры.
Таким образом, Q можетбыть вычислено двумя способами, с одной стороны, по формуле (2.20), с другой —путем учета изменения температуры в точках объема V, ограниченного поверхностьюS. В точке (х, у, z) за промежуток времени dt температура Т(х, у, z, t)изменится на
Т(х, у, z, t+dt)-T(x, у,z, t)=(dT/dt)dt.
Элементу объема dV массойρdV для такого изменения температуры потребуется количество теплоты,равное cρ (dT/dt)dVdt, а всему объему
/> (2.22)
где с—удельнаятеплоемкость, Дж/(кг-град); ρ — плотность вещества, кг/м3; ср,Дж/(м3-град).
Принимая во внимание (2.21)с учетом (2.20) и (2.22), находим
/> (2.23)
Равенство (2.23) должновыполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда вкаждой точке внутри тела
cρ(∂T/∂t) + divq – F(M,t) =0 (2.24)
Это заключение справедливо,если левая часть в равенстве (2.24) — непрерывная функция. Предположим, что вточке М(х, у, z) равенство нарушается, т. е., например, [cpdT/dt+divq—F(M,t)]>0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V,содержащей точку М, получим противоречие с условием (2.23).
Так как q=—λgradT,то равенство (2.24) можно записать следующим образом:
cp(dT/dt)=div(λgvadT)+F(M, t). (2.25)
Получено уравнение,которому должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t), представляющая собойтемпературу некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальнымуравнением теплопроводности или уравнением Фурье.
Для изотропногогомогенного тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так кaк div(gradT)= ∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно запишем
дТ/∂t = а∆Т(М,t)+[1/(cp)]F(M, t), (2.26)
где а= λ/(ср) —коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч.
Тогда, в декартовыхкоординатах уравнение (2.26) имеет вид
dT/dt=a(∂2 T/ ∂x2+ ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2)+[1/(cp)]F(x, у, z, t). (2.27)
В отличие от λ,которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризуеттеплоинерционные свойства тела и является мерой скорости выравниваниятемпературного поля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а=λ/(ср),где сρ — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность апрямо пропорциональна теплопроводности λ и обратно пропорциональнааккумуляционной способности сρ вещества. Особенно наглядным становитсяфизический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннеетепловыделение и ∂T/∂t=a∆T(M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z)зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будетнарастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующемумоменту времени. При этом, чем больше а (т. е. чем меньше сρ), темпропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, ахарактеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростьюсвою температуру во времени.
Уравнение (2.26)представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в которомнезависимыми переменными являются время и три пространственные координаты, азависимой переменной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени(линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первойстепени. Но вместе с тем оно является уравнением второго порядка, так какдифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т попространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общемслучае функцией координат и времени.
Может, в частности,оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке неизменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившеесясостояние). Тогда ∂T/∂t=0 и уравнение (2.26) принимает вид
∆T(M)+(1/λ)F(M)=0, (2.27)
где плотность тепловыхисточников F (М) уже не зависит от времени.
Уравнение (2.27)называется уравнением Пуассона.
Если внутри телаотсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение(в декартовых координатах)
∆Т(М)=∂2T/ ∂x2+ ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2 =0, (2.28)
которое называетсяуравнением Лапласа.